2027金版教程一轮复习数学基础版微专题（一） 破解抽象函数问题的方法

第三章函数与基本初等函数微专题（一）破解抽象函数问题的方法抽象函数问题是近几年高考的热点，常与函数的性质结合考查，试题较难．在处理抽象函数问题时，我们可以通过赋值法把握函数特殊点的特征，也可以从研究抽象函数“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为的某种基本初等函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，从而解决问题．对已知等式中的变量赋值或代数式，经过恰当的运算和推理，即可求得某些特定的函数值，或得出函数所满足的特定关系式，推出函数的相关性质，从而解决问题．1.(2026·河北沧衡八县联考)已知函数f(x)满足∀x∈R，f(x－1)＋6≥f(x＋5)，f(x＋1)－3≥f(x－2)，若f(3)＝2，则f(2031)＝(

)A．2031 B．2030C．2029 D．2028解析：依题意，因为f(x－1)＋6≥f(x＋5)，所以f(x)＋6≥f(x＋6)，令x＝－3，则f(－3)＋6≥f(3)，因为f(3)＝2，所以f(－3)≥－4，因为f(x＋1)－3≥f(x－2)，则f(x)－3≥f(x－3)，即f(x)≥f(x－3)＋3，令x＝0，则f(0)≥f(－3)＋3，即f(0)≥－1，令x＝3，则f(3)－3≥f(0)，所以f(0)≤－1，故得f(0)＝－1，又f(2031)＝f(2025＋6)≤f(2025)＋6≤f(2019)＋6＋6≤…≤f(3)＋338×6＝2030，又f(2031)≥f(2031－3)＋3＝f(2028)＋3≥f(2025)＋3＋3≥…≥f(0)＋677×3＝－1＋2031＝2030，所以f(2031)＝2030.故选B.类型二函数模型法(多角度探究)角度1一次函数模型(2026·四川成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞0时，f(x)＜0，则关于x的不等式f(x2)＋f(2x)≥0的解集为(

)A．[－2，0] B．[0，2]C．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)形如f(x±y)＝f(x)±f(y)∓b这样的抽象函数问题可以通过构造一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)来解决．2.(2026·山东济南模拟)已知函数f(x)对任意的x，y∈R，满足条件f(x)＋f(y)＝2＋f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＞2，f(3)＝5，则不等式f(a2－2a－2)＜3的解集为______________．解析：解法一：由f(x)＋f(y)＝2＋f(x＋y)，即f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－2，可设函数f(x)＝kx＋2(k≠0)，由f(3)＝5，得3k＋2＝5，解得k＝1，即f(x)＝x＋2，满足当x＞0时，f(x)＞2，则不等式f(a2－2a－2)＜3可转化为a2－2a－2＋2＜3，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3，故不等式f(a2－2a－2)＜3的解集为{a|－1＜a＜3}．{a|－1＜a＜3}解法二：设x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)＞2，∴f(x2－x1)＞2，则f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－2＞2＋f(x1)－2＝f(x1)，即f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为增函数．∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)－2＝[f(1)＋f(1)－2]＋f(1)－2＝3f(1)－4，又f(3)＝5，∴f(1)＝3，∴f(a2－2a－2)＜f(1)，∴a2－2a－2＜1，即a2－2a－3＜0，解得－1<a<3，故不等式f(a2－2a－2)＜3的解集为{a|－1＜a＜3}．形如f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c这样的抽象函数问题可以通过构造二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)来解决．3.(2026·江西九江模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，f(1)＝2，则f(－3)＝(

)A．2 B．3C．6 D．9解析：解法一：因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，故可设函数f(x)＝x2＋bx，又由f(1)＝2，得b＝1，所以f(x)＝x2＋x，所以f(－3)＝6.故选C.解法二：因为f(－3)＝f(－1)＋f(－2)＋4＝3f(－1)＋6，f(0)＝f(0)＋f(0)＋0，故f(0)＝0，又f(0)＝f(1－1)＝f(1)＋f(－1)－2＝f(－1)，所以f(－3)＝6.故选C.[0，2]4.(2026·广东汕头模拟)已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且xf(x)＝(y＋1)f(y＋1)，则(

)A．f(x)≥0 B．f(1)＝1C．f(x)是偶函数 D．f(x)没有极值点角度4指数函数模型(2026·安徽合肥质检)已知函数f(x)对于一切实数x，y满足f(0)≠0，f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＜0时，f(x)＞1.则当x＞0时，f(x)的取值范围为________．(0，1)角度5对数函数模型(2026·重庆模拟)已知函数f(x)是定义域为(0，＋∞)的增函数，满足f(4)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(x)＋f(x－3)≤1，则x的取值范围为________．(3，4]6.(多选)(2026·云南昆明模拟)若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，则下列结论中正确的是(

)A．f(1)＝0 B．f(4)＝2C．f(x)＋f(－x)＝0 D．f(x)－f(－x)＝0解析：解法一：依题意，可设函数f(x)＝loga|x|(a＞0，且a≠1)，由f(2)＝1可得a＝2，即f(x)＝log2|x|，故f(1)＝log21＝0，f(4)＝log24＝2，f(x)＋f(－x)＝log2|x|＋log2|－x|＝2log2|x|不恒为0，f(x)－f(－x)＝log2|x|－log2|－x|＝0，所以A，B，D正确，C错误．故选ABD.解法二：由已知可得函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)

①，且f(2)＝1.对于A，令x＝y＝1，代入①，得f(1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0，所以A正确；对于B，令x＝y＝2，代入①，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，得f(4)＝2，所以B正确