小学三年级数学下册《数学广角-搭配（二）》知识清单

小学三年级数学下册《数学广角——搭配（二）》知识清单一、单元整体解读：从生活走向数学，构建有序思维本单元“数学广角——搭配（二）”是义务教育课程标准实验教科书人教版三年级下册第八单元的内容。它是在学生二年级上册已初步接触简单的排列与组合基础上进行的延伸与深化。本单元的核心价值不在于机械地套用公式计算种数，而在于通过解决生活中的实际问题，经历观察、操作、猜想、实验、验证的过程，培养学生全面、有序地思考问题的意识，体会分类讨论、数形结合及符号化等重要的数学思想，为后续学习更为复杂的概率统计知识奠定坚实的基础【重要】。本单元的学习，学生将从直观的、具体的操作层面（如摆卡片、画实物），逐步过渡到抽象的、符号化的表达层面（如用图形、字母表示），进而理解并掌握解决搭配问题的数学模型。其精髓在于“有序”二字，唯有点“序”，方能避“漏”防“复”，达成思维的缜密与严谨【核心素养】。二、核心概念界定：厘清排列与组合的辩证关系【基础】在学习具体方法之前，必须帮助学生建立清晰的概念框架，尤其是区分“排列”与“组合”这两个极易混淆的核心概念，尽管在三年级不直接给出定义，但需在情境中感悟其本质区别。（一）排列（与顺序有关）1.概念精要：从给定数量的元素中，任意取出指定数量的元素，按照一定的顺序排成一列，求共有多少种排法，这就是排列问题。在排列中，顺序的改变会直接影响结果【难点】。2.生活模型：站队拍照（如三人照相位置不同，照片不同）、组数（如数字1、2组成12和21，是两个不同的两位数）、电话号码排序等。3.核心特征：有序性。即“交换元素位置，结果发生变化”。（二）组合（与顺序无关）1.概念精要：从给定数量的元素中，任意取出指定数量的元素，并将其并成一组，求共有多少种组法，这就是组合问题。在组合中，选取的元素与选取的顺序无关，只与选取的内容有关【难点】。2.生活模型：握手（甲和乙握手，与乙和甲握手是同一回事）、打比赛（两队比赛，不分主客场时，A对B与B对A是同一场）、选图书（选两本书，无论先选哪本，最后拿到的都是这两本）。3.核心特征：无序性。即“交换元素位置，结果不变”。（三）本单元所学问题的层级关系本单元内容属于“简单的排列与组合”，是组合数学的启蒙阶段，具体分为三个层次：1.第一层：简单的排列问题（例1：组数问题）。2.第二层：简单的组合问题（例2：服装搭配、早餐搭配）。3.第三层：稍复杂的组合问题（例3：球队比赛、互通电话）。三、分课时核心知识与考点精析第一课时稍复杂的排列问题（例1）（一）核心知识与原理1.问题模型：用几个数字（或元素）组成两位数（或多位数），且数字不能重复使用，求共有多少个不同的满足条件的数。2.核心方法：固定法（首位法）★★★★★【高频考点】1.3.基本思路：为了做到不重复、不遗漏，需要按照一定的顺序进行思考。通常采用“固定十位法”，即先确定十位上的数字，再依次变化个位上的数字。2.4.操作步骤：1.3.5.选择十位数字（注意“0”不能作为首位）。2.4.6.将选定的十位数字与其余所有可能的个位数字依次搭配，写出所有两位数。3.5.7.更换十位数字，重复步骤2，直至所有非“0”数字都做过十位。8.思想渗透：分类讨论思想。将复杂问题分解为若干简单情况（固定不同十位）分别解决。（二）典型例题解析1.例题：用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？2.解题步骤【规范解答】：1.3.第一步：明确首位限制。因为“0”不能放在十位上，所以十位上的数字只能从1、3、5中选择。2.4.第二步：有序枚举。1.3.5.当十位是1时，个位可以是0、3、5，组成的数有：10、13、15。（3个）2.4.6.当十位是3时，个位可以是0、1、5，组成的数有：30、31、35。（3个）3.5.7.当十位是5时，个位可以是0、1、3，组成的数有：50、51、53。（3个）6.8.第三步：汇总结果。总个数=3+3+3=9（个）。7.9.第四步：作答。答：能组成9个没有重复数字的两位数。（三）考点与变式训练1.考点一：基础组数【基础】1.2.题目：用2、4、6、8组成没有重复数字的两位数，能组成多少个？2.3.解析：没有“0”的限制，四个数字都可做十位。当十位是2时，可组24、26、28（3个）。同理十位是4、6、8时也各有3个。总数：4×3=12（个）。4.考点二：含“0”组数【高频考点】1.5.题目：用0、2、4、6能组成多少个没有重复数字的两位数？2.6.解析：十位不能为0，只能从2、4、6中选。十位是2：20、24、26；十位是4：40、42、46；十位是6：60、62、64。总数：3×3=9（个）。7.考点三：组成个位是双数的两位数【难点】1.8.题目：用1、0、3、5能组成多少个没有重复数字且个位是单数的两位数？2.9.解析：满足个位是单数（奇数），即个位只能是1、3、5。同时要考虑十位不能是0。1.3.10.个位是1：十位可以是3、5（不能是0和1，因为1已被用），组成31、51。（2个）2.4.11.个位是3：十位可以是1、5，组成13、53。（2个）3.5.12.个位是5：十位可以是1、3，组成15、35。（2个）4.6.13.总数：2+2+2=6（个）。（四）易错点警示【易错点】1.易错点1：忘记“0”不能放在首位。例如，用0、1、2组数时，错误地写出02、01这样的数，这不是规范的两位数表示。2.易错点2：思维混乱，重复或遗漏。原因是没有按照“固定一位”的顺序去思考，想到哪写到哪。第二课时简单的组合问题（例2）（一）核心知识与原理1.问题模型：两类不同事物之间进行搭配（如上衣配裤子、饮料配点心、荤菜配素菜），每类事物中有若干个具体选项，求一共有多少种不同的搭配方法。2.核心方法：连线法乘法原理★★★★★【热点题型】1.3.直观法（连线法）：用图形或文字代表具体事物，把第一类每个事物与第二类每个事物都用线连接起来，数出线条的数量。2.4.抽象法（乘法原理）：完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×nm\timesnm×n种不同的方法。★★★★★【核心公式】5.思想渗透：符号化思想（用简洁符号代替复杂事物）、数形结合思想（用连线将抽象搭配直观化）、模型思想（建立乘法模型）。（二）典型例题解析1.例题：一件上衣搭配一条下装算一种穿法。如果有2件上衣和3条下装（如下图），一共有多少种不同的穿法？2.解题步骤【规范解答】：1.3.方法一：连线法（图示法）。1.2.4.将两件上装分别标为A1A_1A1​、A2A_2A2​，三件下装标为B1B_1B1​、B2B_2B2​、B3B_3B3​。2.3.5.从A1A_1A1​出发，可以分别和B1B_1B1​、B2B_2B2​、B3B_3B3​搭配，得到3种穿法。3.4.6.从A2A_2A2​出发，也可以分别和B1B_1B1​、B2B_2B2​、B3B_3B3​搭配，得到3种穿法。4.5.7.数一数，一共有6条线，即6种穿法。6.8.方法二：乘法原理（计算法）。1.7.9.完成“搭配一套衣服”这件事，可以分成两步：第一步，选择一件上装，有2种方法；第二步，选择一件下装，有3种方法。2.8.10.根据乘法原理，总的搭配种数=第一步的方法数×第二步的方法数=2×3=62\times3=62×3=6（种）。9.11.第三步：作答。答：一共有6种不同的穿法。（三）考点与变式训练1.考点一：基础饮食搭配【基础】1.2.题目：学校食堂今天的早餐食谱：饮料有牛奶、豆浆；点心有包子、油条、馒头。如果选一种饮料和一种点心，有多少种不同的搭配？2.3.解析：这是典型的二步组合问题。饮料2种，点心3种。总搭配数=2×3=62\times3=62×3=6（种）。4.考点二：路线搭配【高频考点】1.5.题目：从A地到B地有3条路，从B地到C地有2条路，那么从A地经B地到C地，一共有多少条不同的路线？2.6.解析：第一步从A到B有3种走法；第二步从B到C有2种走法。总路线数=3×2=63\times2=63×2=6（条）。7.考点三：字符搭配（数字或字母）【难点】1.8.题目：拉动纸条，看看可以组成哪些两位数？将可以组成的两位数全部写出来。个位：249十位：3682.9.解析：本质是组合问题，十位有3种选择，个位有3种选择。但要注意，这里个位和十位的数字可以相同吗？题目未说明卡片只有一张，通常理解为可以重复。但本单元重点是“搭配”，即“分别组合”。1.3.10.当十位是3时：32、34、392.4.11.当十位是6时：62、64、693.5.12.当十位是8时：82、84、894.6.13.共3×3=93\times3=93×3=9（个）。（四）易错点警示【易错点】1.易错点：混淆了“搭配”与“排列”。在搭配衣服问题中，先穿上衣再穿下装，与先穿下装再穿上衣，结果是一种穿法，不是两种。这是组合问题，与顺序无关，但我们在用乘法计算时，已经包含了所有情况，无需再考虑顺序。第三课时稍复杂的组合问题（例3）（一）核心知识与原理1.问题模型：从几个元素中，任取两个元素（不考虑顺序）进行组合（如每两个人通一次电话、每两个队踢一场比赛、每两个人握一次手），求一共有多少种组合方式。2.核心方法：图示连线法（数线段）计算法★★★★★【难点】1.3.连线法：把元素在圆周上或直线上排列，将每两个元素用线段连接，然后数出线段的条数。连线时要按一定的顺序，如从第一个点开始，向它后面的所有点依次连线；再从第二个点开始，向它后面的所有点依次连线；以此类推，保证不重不漏。2.4.计算法（枚举归纳法）：设共有n个元素。1.3.5.第1个元素，需要与它后面的n−1n1n−1个元素组合，有n−1n1n−1种。2.4.6.第2个元素，需要与它后面的n−2n2n−2个元素组合（因为与第1个已经组合过了），有n−2n2n−2种。3.5.7.……4.6.8.第n−1n1n−1个元素，需要与它后面的1个元素组合，有1种。5.7.9.总组合数=(n−1)+(n−2)+⋯+2+1(n1)+(n2)+\dots+2+1(n−1)+(n−2)+⋯+2+1。10.思想渗透：化繁为简、归纳推理思想。（二）典型例题解析1.例题：2011年亚洲杯足球赛A组球队如下：卡塔尔、科威特、乌兹别克斯坦、中国。每2个球队踢一场，一共要踢多少场？2.解题步骤【规范解答】：1.3.方法一：直观连线法。1.2.4.将4个球队用点表示，并标注名称或序号①、②、③、④。2.3.5.从①开始，分别向②、③、④连线，得到3场。（①②、①③、①④）3.4.6.从②开始，因为②和①已经连过，所以只向③、④连线，得到2场。（②③、②④）4.5.7.从③开始，因为③和①、②已经连过，所以只向④连线，得到1场。（③④）5.6.8.数一数，共有3+2+1=63+2+1=63+2+1=6条线，即6场比赛。7.9.方法二：计算法（枚举归纳）。1.8.10.总球队数n=4。2.9.11.第一个队（卡塔尔）要和剩下的3个队各赛一场：3场。3.10.12.第二个队（科威特）与第一个队已赛过，只需和剩下的2个队（乌兹别克斯坦、中国）各赛一场：2场。4.11.13.第三个队（乌兹别克斯坦）与前两个队已赛过，只需和剩下的1个队（中国）赛一场：1场。5.12.14.第四个队（中国）与其他队均已配对完毕，无需再算。6.13.15.总场次=3+2+1=63+2+1=63+2+1=6（场）。14.16.第三步：作答。答：一共要踢6场。（三）考点与变式训练1.考点一：互通电话【基础】1.2.题目：有5个好朋友，每2人通一次电话，一共要通多少次电话？2.3.解析：这是典型的组合问题。总人数n=5。通话次数=4+3+2+1=104+3+2+1=104+3+2+1=10（次）。4.考点二：握手问题【高频考点】1.5.题目：三年级二班举行联欢会，有8名同学表演小合唱，结束时他们每两人握一次手，一共握了多少次手？2.6.解析：总人数n=8。握手总次数=7+6+5+4+3+2+1=287+6+5+4+3+2+1=287+6+5+4+3+2+1=28（次）。也可以用公式n×(n−1)÷2n\times(n1)\div2n×(n−1)÷2来计算，即8×7÷2=288\times7\div2=288×7÷2=28（次），但这属于更高阶的知识，三年级以理解连加为主。7.考点三：组合后送信（两步组合）【难点】1.8.题目：有5个小朋友，寒假里每两人互寄一张贺卡，一共需要多少张贺卡？2.9.解析：此题需辨析与“握手”的区别。互寄贺卡，甲寄给乙和乙寄给甲是两张不同的贺卡，这与顺序有关，是排列问题。所以总贺卡数=人数×（人数1）=5×4=205\times4=205×4=20（张）。本题极易与“打电话”混淆【易错点】。（四）易错点警示【易错点】1.易错点：混淆“组合”与“排列”。如将“每两人握一次手”（组合，无顺序）与“每两人互赠一张照片”（排列，有顺序）混为一谈。握手是相互的，一次即可；互赠是单向的，需要两次。必须紧扣问题情境，判断所选元素是否与顺序有关。四、综合题型与思维拓展（一）多步骤组合问题1.例题：学校食堂中午食谱：荤菜有红烧肉、鱼香肉丝2种；素菜有土豆丝、炒青菜、麻婆豆腐3种；汤有紫菜蛋花汤、西红柿汤2种。如果要求选一荤、一素、一汤，一共有多少种不同的搭配？2.解析：这是三个步骤的组合问题，是乘法原理的直接推广。完成这件事需要三步：选荤（2种）、选素（3种）、选汤（2种）。3.解答：总搭配数=2×3×2=122\times3\times2=122×3×2=12（种）。（二）含限制条件的搭配问题1.例题：有4件上衣（红、黄、蓝、白）和3条裤子（黑、灰、蓝）。如果要求上衣和裤子不能都是蓝色，一共有多少种不同的穿法？2.解析：采用“总体剔除”法。1.3.先算出无限制条件下的总搭配数：4×3=124\times3=124×3=12（种）。2.4.再找出不符合条件的搭配（即“上衣蓝且裤子蓝”）：只有1种。3.5.符合要求的搭配数=12−1=11121=1112−1=11（种）。6.思维点拨：当问题中出现“不能”“至少”等限制词时，可以考虑用整体减去反面的方法。（三）图形与符号的抽象化运用★★★★★【重要思想】在解决所有搭配问题时，最终都应引导学生用图形、字母或数字来代替具体事物。例如：1.用△、○、□代表不同事物。2.用A1A_1A1​、A2A_2A2​代表上衣，用B1B_1B1​、B2B_2B2​、B3B_3B3​代表裤子。这种符号化的表达，不仅简洁明了，便于记录，更能帮助学生剥离具体情境，直达数学本质，构建抽象的数学模型，是数学思维发展的重要标志。五、本单元常见考查方式与答题规范（一）常见考查方式1.填空题：直接考查基本概念和计算。如“用3、5、7能组成（）个没有重复数字的两位数。”“有2件上衣和4条裙子，一共有（）种不同的穿法。”2.选择题：考查对概念的理解和辨析。如“下列问题中，属于排列问题的是（）A.每两人握一次手B.每两人互寄一张贺卡C.选两种图书”。3.连线题/列举题：要求用连线或文字列举的方式，展示出所有搭配方案【热点】。4.解决问题（应用题）：结合生活情境，综合考查运用乘法原理或枚举法解决实际问题的能力【高频】。（二）标准答题步骤与规范【重要】在解答“数学广角”的题目时，不仅要答案正确，更要过程清晰，体现“有序思考”的过程。建议按以下步骤书写：1.第一步：审题与定序。明确题目是求排列还是组合，决定解题策略（固定法、连线法、乘法原理）。2.第二步：有序表达。1.3.若用枚举法，必须按一定顺序（如从小到大、固定一位）列出所有可能，并在每一步后面用括号注明个数。2.4.若用乘法原理，需写清楚分几步，每一步有几种方法。5.第三步：列式计算。列出综合算式并计算出结果。6.第四步：作答。写出答句，确保答案完整。示例答题模板（以例2为例）：搭配一套衣服可以分两步完成：第一步选上衣，有2种选择；第二步选下装，有3种选择。根据乘法原理，一共有2×3=62\times3=62×3=6（种）不同的穿法。答：一共有6种不同的穿法。六、易错点与难点突破策略（一）四大易错点汇总【易错点】1.遗漏“0”的特殊性：在组数问题中，常忘记“0不能做首位”。2.顺序混淆不清：在解决组合问题时（如握手），错误地认为“甲与乙”和“乙与甲”是两种不同的情况，导致重复计算。3.枚举缺乏条理：在列举时，东拉一个，西扯一个，导致重复或遗漏。4.对题意理解偏差：不能准确辨析“选出2个”是组合，“组成2位数”是排列。