八年级数学-全等三角形专题训练题

全等三角形是平面几何的入门与基石，学好全等三角形，不仅能为后续学习四边形、圆等内容打下坚实基础，更能培养逻辑推理能力和空间想象能力。本专题将通过知识梳理、典型例题解析及针对性训练，帮助同学们系统掌握全等三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。一、核心知识梳理（一）全等三角形的定义与性质1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2.性质：*全等三角形的对应边相等。*全等三角形的对应角相等。*全等三角形的对应边上的中线、高线、对应角的平分线也分别相等。*全等三角形的周长相等，面积相等。（二）全等三角形的判定方法判定两个三角形全等，必须具备三个条件，且其中至少有一组对应边相等。常用的判定方法有：1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。2.SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（注意：这里的角必须是两边的夹角，不可是其中一边的对角）3.ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。4.AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。5.HL（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（这是直角三角形特有的判定方法）二、典型例题精析例1：利用“SSS”判定全等已知：如图，点A、C、F、D在同一直线上，AB=DE，BC=EF，AF=DC。求证：△ABC≌△DEF。分析：要证△ABC≌△DEF，已知AB=DE，BC=EF，即已有两组边对应相等。根据SSS，还需第三组边对应相等，即AC=DF。题目中给出AF=DC，因为AF=AD+DF，DC=AD+AC（或根据图形观察，AF和DC有公共部分AD），所以AF-AD=DC-AD，即DF=AC。证明：∵AF=DC（已知）∴AF-CF=DC-CF（等式性质，或：∵AF=AD+DF，DC=AD+AC，∴DF=AC）即AC=DF在△ABC和△DEF中AB=DE（已知）BC=EF（已知）AC=DF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）点评：本题直接考察SSS判定方法，关键在于通过已知条件AF=DC推导出第三组对应边AC=DF。在处理线段和差关系时，要仔细观察图形，找出公共部分或进行等量代换。例2：利用“SAS”判定全等已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2。求证：BC=DE。分析：要证BC=DE，可通过证明△ABC≌△ADE，从而利用全等三角形对应边相等得到结论。已知AB=AD，AC=AE，已有两组边对应相等，只需再证它们的夹角相等，即∠BAC=∠DAE。由∠1=∠2，根据等式性质，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。证明：∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式性质）即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已证）AC=AE（已知）∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC=DE（全等三角形对应边相等）点评：本题考察SAS判定方法，难点在于通过角的和差关系证明夹角相等。在使用SAS时，务必确认角是已知两边的夹角，这是易出错点。例3：利用“ASA”或“AAS”判定全等已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，AC∥DF。求证：AB=DE，AC=DF。分析：要证AB=DE，AC=DF，可证△ABC≌△DEF。已知BF=CE，可得BF+FC=CE+FC，即BC=EF。由AB∥DE，可得∠B=∠E（两直线平行，同位角相等）；由AC∥DF，可得∠ACB=∠DFE（两直线平行，同位角相等）。此时有两角及夹边对应相等，可用ASA判定全等。证明：∵BF=CE（已知）∴BF+FC=CE+FC（等式性质）即BC=EF∵AB∥DE（已知）∴∠B=∠E（两直线平行，同位角相等）∵AC∥DF（已知）∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，同位角相等）在△ABC和△DEF中∠B=∠E（已证）BC=EF（已证）∠ACB=∠DFE（已证）∴△ABC≌△DEF（ASA）∴AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）点评：本题结合了平行线的性质与ASA判定方法。在复杂图形中，要善于利用平行线、对顶角、公共角等条件挖掘隐含的等角关系。若本题先证得∠A=∠D，结合∠B=∠E和BC=EF，也可使用AAS进行判定。例4：利用“HL”判定直角三角形全等已知：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE。求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。分析：本题明确给出了两个直角三角形，且已知斜边AB=DE，一条直角边AC=DF，符合“HL”判定定理的条件。证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中∠C=∠F=90°（已知）AB=DE（已知）AC=DF（已知）∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）点评：“HL”定理仅适用于直角三角形，是直角三角形全等判定的特殊方法。在应用时，要先明确指出两个三角形是直角三角形。三、专题训练题（一）基础巩固1.已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，则∠F的度数为（）。2.如图，△ABC≌△CDA，AB=3cm，BC=4cm，则AD的长为（）cm。3.下列条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C'的是（）A.AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'B.∠A=∠A'，∠B=∠B'，AB=A'B'C.AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B'D.AB=A'B'，∠A=∠A'，∠B=∠B'4.已知：如图，AB=AD，BC=DC。求证：∠B=∠D。（二）能力提升5.已知：如图，点E、F在AC上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：DF=BE。6.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC。求证：AD∥BC。7.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AC=AD。8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。求证：AD平分∠BAC。（三）综合应用9.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。求证：DE=AD+BE。10.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF。求证：EF与AC互相平分。四、参考答案与提示基础巩固1.50°（提示：先求∠C=50°，再由全等三角形对应角相等得∠F=∠C）2.4（提示：全等三角形对应边相等，AD=BC）3.C（提示：C选项为SSA，不能判定全等）4.提示：连接AC，用SSS证△ABC≌△ADC，得∠B=∠D。能力提升5.提示：先证AF=CE，再由AD∥BC得∠A=∠C，用SAS证△ADF≌△CBE。6.提示：用HL证Rt△ABD≌Rt△CDB，得∠ADB=∠CBD，从而AD∥BC。7.提示：先证△ABC≌△ABD（AAS或ASA）。8.提示：用SSS证△ABD≌△ACD，得∠BAD=∠CAD。综合应用9.提示：证△ADC≌△CEB（AAS），得AD=CE，DC=EB，所以DE=DC+CE=EB+AD。10.提示：连接AF、CE，先证△ABC≌△CDA（SSS）得∠BAC=∠DCA，再证△AEO≌△CFO（ASA或AAS），从而得AO=CO，EO=FO，即EF与AC互相平分。（O为EF与AC的交点）五、总结与建议全等三角形的证明是几何入门的重点和难点，同学们在学习过程中应注意以下几点：1.牢固掌握判定方法：理解并熟记SSS、SAS、ASA、AAS、HL的条件和适用范围。2.善于寻找已知条件：包括题目中直接给出的条件、图形中隐含的条件（如公共边、公共角、对顶角、平行线产生的角关系等）。3.学会分析思路：从要证的结论出发，逆向思考需要什么条件，逐步向已知条件靠拢（分析法）；或