(2025年)应用时间序列分析(第5版)习题答案

(2025年)应用时间序列分析(第5版)习题答案考虑时间序列{yt}的样本自相关函数（ACF）与偏自相关函数（PACF）如下表所示（k为滞后阶数）：k12345ACF0.650.220.080.03-0.01PACF0.650.380.050.020.01解答：判断ARMA模型形式需结合ACF与PACF的截尾性。ACF在k=1时显著（绝对值大于2/√n，假设n足够大），k≥2时绝对值迅速衰减至接近0，呈现“截尾”特征；PACF在k=1和k=2时显著（0.65和0.38均超过临界值），k≥3时衰减至不显著，表现为“拖尾”特征。根据ARMA模型识别规则：若ACF截尾于q阶、PACF拖尾，则为MA(q)；若PACF截尾于p阶、ACF拖尾，则为AR(p)；若两者均拖尾，则为ARMA(p,q)。此处ACF截尾于k=1（q=1），PACF拖尾但前两阶显著（p=2），因此该序列可能服从ARMA(2,1)模型，即ARMA(p=2,q=1)。对某月度气温序列进行ADF（增广迪基-富勒）检验，设定模型形式为：Δyt=α+βt+γyt-1+ΣδiΔyt-i+εt，其中Δ为一阶差分算子，t为时间趋势项，εt为白噪声。通过EViews软件计算得到检验统计量为-3.2，1%、5%、10%显著性水平下的临界值分别为-3.96、-3.41、-3.12（含常数项和趋势项的ADF临界值表）。解答：ADF检验的原假设H0：γ=0（序列存在单位根，非平稳）；备择假设H1：γ<0（序列平稳）。判断规则为：若检验统计量（TS）小于临界值（CV），则拒绝H0，认为序列平稳。本例中TS=-3.2，比较临界值：-3.2>-3.41（5%临界值）且-3.2>-3.12（10%临界值）。需注意，ADF检验的临界值为负数，检验统计量越负（越小）越倾向于拒绝原假设。此处TS=-3.2未小于10%临界值-3.12（-3.2<-3.12不成立），因此在10%显著性水平下无法拒绝原假设，认为该月度气温序列存在单位根，非平稳。需进一步进行差分处理（如一阶差分）后重新检验。已知AR(2)模型表达式为：yt=0.5yt-1+0.3yt-2+εt，其中εt为白噪声，E(εt)=0，Var(εt)=σ²，且εt与yt-s（s≥1）不相关。（1）平稳性条件：AR(p)模型平稳的充要条件是其特征方程的所有根的模大于1。AR(2)的特征方程为：10.5z0.3z²=0。将方程改写为0.3z²+0.5z1=0，求解根：z=[-0.5±√(0.25+1.2)]/(2×0.3)=[-0.5±√1.45]/0.6。计算得两个根：z1=[-0.5+1.204]/0.6≈1.173，z2=[-0.51.204]/0.6≈-2.840。两者的模分别为|z1|≈1.173>1，|z2|≈2.840>1，因此该AR(2)模型满足平稳性条件。（2）自协方差函数γ1和γ2：对于平稳AR(2)模型，自协方差函数满足Yule-Walker方程：γk=0.5γk-1+0.3γk-2（k≥1）当k=1时，γ1=0.5γ0+0.3γ-1。由于自协方差函数对称（γk=γ-k），γ-1=γ1，因此γ1=0.5γ0+0.3γ1→0.7γ1=0.5γ0→γ1=(5/7)γ0。当k=2时，γ2=0.5γ1+0.3γ0。代入γ1=(5/7)γ0，得γ2=0.5×(5/7)γ0+0.3γ0=(2.5/7+2.1/7)γ0=4.6/7γ0≈0.657γ0。为求γ0，利用平稳序列的方差公式：Var(yt)=γ0=E[(0.5yt-1+0.3yt-2+εt)²]=0.25γ0+0.09γ0+0.3×0.5×2γ1+σ²（交叉项为2×0.5×0.3×E(yt-1yt-2)=2×0.15γ1）。但更简便的方法是利用AR(p)模型的方差表达式：γ0=σ²/(10.5φ10.3φ2)？不，正确推导应为：展开Var(yt)=E[(0.5yt-1+0.3yt-2+εt)²]=0.25E(yt-1²)+0.09E(yt-2²)+2×0.5×0.3E(yt-1yt-2)+E(εt²)。由于平稳性，E(yt-1²)=E(yt-2²)=γ0，E(yt-1yt-2)=γ1，因此γ0=0.25γ0+0.09γ0+0.3γ1+σ²。代入γ1=(5/7)γ0，得γ0=0.34γ0+0.3×(5/7)γ0+σ²→γ0=0.34γ0+(1.5/7)γ0+σ²→γ0=(0.34+0.214)γ0+σ²→γ0=0.554γ0+σ²→0.446γ0=σ²→γ0=σ²/0.446≈2.242σ²。因此，γ1≈(5/7)×2.242σ²≈1.601σ²，γ2≈0.657×2.242σ²≈1.473σ²。使用极大似然法估计MA(1)模型：yt=εt+θεt-1，其中εt~N(0,σ²)且相互独立，观测值为y1,y2,...,yn。似然函数构造：MA(1)模型的创新项εt与yt的关系为εt=ytθεt-1（t≥1），初始值ε0通常设为0（或用无条件均值，此处假设ε0=0）。则ε1=y1θε0=y1，ε2=y2θε1=y2θy1，ε3=y3θε2=y3θ(y2θy1)=y3θy2+θ²y1，依此类推，εt可表示为ytθyt-1+θ²yt-2...+(-θ)^{t-1}y1（t≥1）。似然函数L(θ,σ²)为联合密度函数，由于εt独立同分布N(0,σ²)，则：L(θ,σ²)=(2πσ²)^{-n/2}exp[-1/(2σ²)Σ_{t=1}^nεt²]对数似然函数为：lnL=(n/2)ln(2πσ²)1/(2σ²)Σ_{t=1}^nεt²参数估计步骤：1.估计σ²：对lnL关于σ²求偏导并令其为0：∂lnL/∂σ²=-n/(2σ²)+1/(2σ^4)Σεt²=0→σ²=(1/n)Σεt²2.估计θ：将σ²代入lnL，得到集中对数似然函数：lnL_c(θ)=(n/2)ln(2π)(n/2)ln(σ²(θ))n/2，其中σ²(θ)=(1/n)Σεt²(θ)对θ求导需计算d(Σεt²)/dθ。由于εt=ytθεt-1，递推得dεt/dθ=-εt-1θdεt-1/dθ（t≥1），初始条件dε0/dθ=0。展开得：dε1/dθ=-ε0=0（因ε0=0）dε2/dθ=-ε1θdε1/dθ=-ε1dε3/dθ=-ε2θdε2/dθ=-ε2+θε1dε4/dθ=-ε3θdε3/dθ=-ε3+θε2θ²ε1...一般地，dεt/dθ=-Σ_{i=1}^{t-1}θ^{t-1-i}εi（t≥2），dε1/dθ=0因此，Σεt²对θ的导数为2Σεtdεt/dθ=2[ε2(-ε1)+ε3(-ε2+θε1)+ε4(-ε3+θε2θ²ε1)+...]令导数为0，即Σεtdεt/dθ=0，该方程通常无解析解，需通过数值方法（如牛顿-拉夫森法）迭代求解θ的极大似然估计值。具体步骤为：设定θ的初始值（如θ0=0）计算εt(θ0)和dεt/dθ(θ0)计算得分函数S(θ0)=Σεtdεt/dθ(θ0)和海森矩阵H(θ0)=∂²lnL/∂θ²（近似为-Σ(dεt/dθ)^2/σ²）更新θ1=θ0S(θ0)/H(θ0)重复直至收敛（|θk+1θk|<1e-6）考虑GARCH(1,1)模型：rt=μ+εt，εt|Ωt-1~N(0,ht)，ht=ω+αεt-1²+βht-1，其中Ωt-1为t-1期信息集。已知样本估计结果：ω=0.001，α=0.2，β=0.7，当前（t期）条件方差ht=0.04，t期残差εt=0.1。预测下一期（t+1期）的条件方差ht+1：GARCH模型的条件方差具有递推性，预测时使用最新的可用信息。t+1期的条件方