2026年抽样推断试题及答案

2026年抽样推断试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1.某城市欲调查2026年居民家庭月均用电量，总体为120万户家庭。若采用简单随机抽样抽取500户，以下表述正确的是（）。A.抽样框需包含所有120万户的具体用电数据B.每个家庭被抽中的概率与用电量高低正相关C.样本均值的抽样分布近似服从正态分布（中心极限定理适用）D.若总体方差未知，无法计算抽样平均误差2.分层抽样与整群抽样的关键区别在于（）。A.分层抽样要求层内差异小，层间差异大；整群抽样要求群内差异大，群间差异小B.分层抽样是多阶段抽样，整群抽样是单阶段抽样C.分层抽样的样本量更大，整群抽样的样本量更小D.分层抽样的误差一定小于整群抽样3.某企业生产的零件长度服从正态分布，总体标准差σ=0.5mm。采用重复抽样抽取n=100个零件，样本均值x̄=25.3mm，则抽样平均误差为（）。A.0.05mmB.0.5mmC.0.005mmD.0.1mm4.在95%置信水平下，估计总体均值的置信区间时，若其他条件不变，将样本量从n增加到4n，则置信区间的宽度（）。A.变为原来的1/2B.变为原来的1/4C.变为原来的2倍D.保持不变5.对某品牌手机电池续航时间进行假设检验，原假设H₀:μ=12小时，备择假设H₁:μ≠12小时。若最终结论为拒绝H₀，则可能的错误是（）。A.第一类错误（弃真错误）B.第二类错误（取伪错误）C.无错误，结论一定正确D.无法判断错误类型二、简答题（每题8分，共24分）1.简述简单随机抽样的特点及适用场景。2.影响总体均值区间估计精度的主要因素有哪些？如何通过调整这些因素提高精度？3.假设检验中，显著性水平α与检验功效（1-β）的关系是什么？增大样本量对二者有何影响？三、计算题（共66分）1.（15分）2026年某县开展粮食产量抽样调查，总体为1000个自然村，每个村的平均耕地面积为80亩。采用简单随机抽样抽取50个村，测得样本平均亩产量为620公斤，样本标准差s=35公斤。要求：（1）计算抽样平均误差（重复抽样与不重复抽样两种情形）；（2）以95%的置信水平估计该县平均亩产量的置信区间（t临界值取1.96）。2.（18分）某电商平台为评估2026年“618”活动期间用户消费金额，按用户活跃度将总体分为三层：高活跃用户（A层，N₁=5万）、中活跃用户（B层，N₂=15万）、低活跃用户（C层，N₃=30万）。采用分层抽样（按比例分配）抽取n=1000个样本，各层样本均值与方差如下：A层：x̄₁=850元，s₁²=12000B层：x̄₂=420元，s₂²=6500C层：x̄₃=180元，s₃²=2000要求：（1）计算各层应分配的样本量n₁、n₂、n₃；（2）计算总体平均消费金额的点估计值；（3）若允许误差E=20元，95%置信水平下（Z=1.96），是否需要调整样本量？说明理由（不考虑有限总体校正）。3.（15分）某新能源汽车企业宣称其2026款车型的平均续航里程μ≥500公里。质检部门随机抽取36辆汽车进行测试，测得样本均值x̄=492公里，样本标准差s=30公里。假设续航里程服从正态分布，显著性水平α=0.05，检验该企业的宣称是否成立（t临界值取1.69）。4.（18分）某城市拟调查2026年居民家庭宽带月均费用，已知总体方差σ²=400元²，要求估计误差不超过5元，置信水平为95%（Z=1.96）。（1）计算重复抽样下的必要样本量n₀；（2）若总体数量N=50万户，计算不重复抽样下的必要样本量n₁；（3）若实际调查中仅能获取n=200个样本，计算此时的估计误差（不重复抽样）。答案一、单项选择题1.C（简单随机抽样中，每个个体被抽中概率相等；抽样框需包含总体单元标识，而非具体数据；总体方差未知时可用样本方差替代计算误差；中心极限定理在n≥30时适用，故C正确）。2.A（分层抽样要求层内同质性高（差异小）、层间异质性高（差异大），以降低误差；整群抽样要求群内异质性高（差异大）、群间同质性高（差异小），以减少群间误差，A正确）。3.A（重复抽样平均误差=σ/√n=0.5/√100=0.05mm，选A）。4.A（置信区间宽度=2×Z×σ/√n，样本量从n增至4n，宽度变为原来的1/2，选A）。5.A（拒绝H₀时可能犯第一类错误，即原假设为真时错误拒绝，选A）。二、简答题1.简单随机抽样的特点：①每个样本单元被抽中的概率相等；②抽样框需完整列出所有总体单元；③是最基本的抽样方法，理论成熟。适用场景：总体单元差异较小、无明显分类特征、抽样框容易获取的情况（如小型企业调查、社区居民健康普查）。2.影响区间估计精度的因素：①样本量n（n越大，精度越高）；②总体方差σ²（σ²越小，精度越高）；③置信水平（置信水平越高，临界值Z越大，区间越宽，精度越低）；④抽样方法（分层抽样通常比简单随机抽样精度高）。提高精度的方法：增大样本量、降低总体方差（如分层减少层内方差）、降低置信水平（但需权衡可靠性）。3.α为第一类错误概率（弃真），β为第二类错误概率（取伪），二者在样本量固定时此消彼长。检验功效=1-β，即正确拒绝原假设的概率。增大样本量可同时降低α和β，因为更大的样本提供更多信息，减少推断误差，从而提高检验功效并降低弃真概率。三、计算题1.（1）重复抽样平均误差：μₓ̄=s/√n=35/√50≈4.95公斤；不重复抽样平均误差：μₓ̄=s/√n×√(1-n/N)=35/√50×√(1-50/1000)≈4.95×0.975≈4.83公斤。（2）95%置信区间：x̄±Z×μₓ̄（不重复抽样更准确）=620±1.96×4.83≈620±9.47，即（610.53，629.47）公斤。2.（1）各层样本量按比例分配：n₁=1000×(5/(5+15+30))=1000×(5/50)=100；n₂=1000×(15/50)=300；n₃=1000×(30/50)=600。（2）总体平均消费金额点估计值：x̄_st=(N₁x̄₁+N₂x̄₂+N₃x̄₃)/(N₁+N₂+N₃)=(5×850+15×420+30×180)/50=(4250+6300+5400)/50=15950/50=319元。（3）计算分层抽样的平均误差：s_st²=(N₁²s₁²/n₁+N₂²s₂²/n₂+N₃²s₃²/n₃)/N²代入数据：=(5²×12000/100+15²×6500/300+30²×2000/600)/50²=(25×120+225×21.67+900×3.33)/2500=(3000+4875.75+3000)/2500≈10875.75/2500≈4.35标准误=√4.35≈2.09元允许误差E=Z×标准误=1.96×2.09≈4.1元＜20元，当前样本量1000已满足精度要求，无需调整。3.检验假设H₀:μ≥500，H₁:μ＜500（单侧检验）。检验统计量t=(x̄-μ)/(s/√n)=(492-500)/(30/√36)=(-8)/5=-1.6。临界值t₀.05(35)=-1.69（单侧），统计量-1.6＞-1.69，未落入拒绝域，不拒绝H₀，即认为企业宣称成立。4.（1）重复抽样样本量n₀=(Z²σ²)/E²=(1.96²×400)/5²=(3.8416×400)/25≈1536.64/25≈61.47，取62。（2）不重复抽样样本量n₁=n₀/(1+n₀/N)=62/(1