2026年(完整版)随机变量及其列与独立性检验练习题附答案

2026年(完整版)随机变量及其列与独立性检验练习题附答案一、离散型随机变量及其分布列1.某电子厂生产的元件中，次品率为0.15。现随机抽取5个元件，设X为其中的次品数。（1）求X的分布列；（2）计算P(X≤2)；（3）求E(X)和D(X)。答案（1）X服从参数n=5，p=0.15的二项分布，即X~B(5,0.15)。分布列为：P(X=k)=C(5,k)(0.15)^k(0.85)^{5−k}，k=0,1,2,3,4,5。具体计算：P(X=0)=C(5,0)(0.15)^0(0.85)^5≈0.4437；P(X=1)=C(5,1)(0.15)^1(0.85)^4≈0.3915；P(X=2)=C(5,2)(0.15)^2(0.85)^3≈0.1382；P(X=3)=C(5,3)(0.15)^3(0.85)^2≈0.0244；P(X=4)=C(5,4)(0.15)^4(0.85)^1≈0.0022；P(X=5)=C(5,5)(0.15)^5(0.85)^0≈0.0001。（2）P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)≈0.4437+0.3915+0.1382=0.9734。（3）E(X)=np=5×0.15=0.75；D(X)=np(1−p)=5×0.15×0.85=0.6375。二、连续型随机变量及其概率密度2.设随机变量Y的概率密度函数为：f(y)=⎩⎨⎧ky(1−y),0≤y≤1；0,其他。（1）求常数k；（2）计算P(Y<0.5)；（3）求E(Y)和D(Y)。答案（1）由概率密度的规范性，∫_{−∞}^{+∞}f(y)dy=1，即∫₀¹ky(1−y)dy=1。计算积分：k∫₀¹(y−y²)dy=k[(y²/2−y³/3)]₀¹=k(1/2−1/3)=k/6=1，故k=6。（2）P(Y<0.5)=∫₀^{0.5}6y(1−y)dy=6∫₀^{0.5}(y−y²)dy=6[(y²/2−y³/3)]₀^{0.5}=6[(0.25/2−0.125/3)−0]=6×(0.125−0.0417)=6×0.0833≈0.5。（3）E(Y)=∫₀¹y×6y(1−y)dy=6∫₀¹(y²−y³)dy=6[(y³/3−y⁴/4)]₀¹=6(1/3−1/4)=6×(1/12)=0.5；E(Y²)=∫₀¹y²×6y(1−y)dy=6∫₀¹(y³−y⁴)dy=6[(y⁴/4−y⁵/5)]₀¹=6(1/4−1/5)=6×(1/20)=0.3；D(Y)=E(Y²)−[E(Y)]²=0.3−(0.5)²=0.3−0.25=0.05。三、随机变量的独立性与联合分布3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列如下：Y\X01200.10.20.110.20.30.1（1）求X和Y的边缘分布列；（2）判断X与Y是否独立；（3）计算Cov(X,Y)。答案（1）X的边缘分布列：P(X=0)=0.1+0.2=0.3；P(X=1)=0.2+0.3=0.5；P(X=2)=0.1+0.1=0.2。Y的边缘分布列：P(Y=0)=0.1+0.2+0.1=0.4；P(Y=1)=0.2+0.3+0.1=0.6。（2）独立性需验证对所有i,j，P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)。例如，P(X=0,Y=0)=0.1，而P(X=0)P(Y=0)=0.3×0.4=0.12≠0.1，故X与Y不独立。（3）E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0+0.5+0.4=0.9；E(Y)=0×0.4+1×0.6=0.6；E(XY)=0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.2+1×1×0.3+2×0×0.1+2×1×0.1=0+0+0+0.3+0+0.2=0.5；Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0.5−0.9×0.6=0.5−0.54=−0.04。四、独立性检验（卡方检验）4.为研究某城市居民的学历（高中及以下、本科、研究生）与是否使用共享单车（是、否）的关系，随机调查了500人，得到列联表如下：使用共享单车（是）不使用（否）合计高中及以下80120200本科150100250研究生302050合计260240500（1）计算卡方统计量χ²；（2）以α=0.05的显著性水平检验学历与使用共享单车是否独立（临界值χ₀.₀₅²(2)=5.991，χ₀.₀₅²(4)=9.488）。答案（1）卡方统计量公式：χ²=Σ[(O_ij−E_ij)²/E_ij]，其中E_ij=(行合计×列合计)/总样本。计算各E_ij：高中及以下-是：(200×260)/500=104；高中及以下-否：(200×240)/500=96；本科-是：(250×260)/500=130；本科-否：(250×240)/500=120；研究生-是：(50×260)/500=26；研究生-否：(50×240)/500=24。计算各(O_ij−E_ij)²/E_ij：(80−104)²/104=576/104≈5.538；(120−96)²/96=576/96=6；(150−130)²/130=400/130≈3.077；(100−120)²/120=400/120≈3.333；(30−26)²/26=16/26≈0.615；(20−24)²/24=16/24≈0.667。χ²≈5.538+6+3.077+3.333+0.615+0.667≈19.23。（2）自由度df=(行数−1)(列数−1)=(3−1)(2−1)=2×1=2。临界值χ₀.₀₅²(2)=5.991，计算得χ²≈19.23>5.991，故拒绝原假设，认为学历与使用共享单车不独立。五、综合应用题5.设随机变量Z表示某地区一天内的用电量（单位：万千瓦时），其概率密度为：f(z)=⎩⎨⎧0.02e^{−0.02z},z>0；0,其他。（1）求Z的分布函数F(z)；（2）计算一天内用电量超过50万千瓦时的概率；（3）若该地区每日供电量为80万千瓦时，求供电不足的概率；（4）求E(Z)和D(Z)。答案（1）分布函数F(z)=P(Z≤z)=∫₀^z0.02e^{−0.02t}dt=1−e^{−0.02z}（z>0），z≤0时F(z)=0。（2）P(Z>50)=1−F(50)=e^{−0.02×50}=e^{−1}≈0.3679。（3）供电不足即Z>80，概率P(Z>80)=e^{−0.02×80}=e^{−1.6}≈0.2019。（4）Z服从参数λ=0.02的指数分布，故E(Z)=1/λ=50；D(Z)=1/λ²=2500。六、提高题（多维随机变量）6.设随机变量U和V独立同分布，均服从参数p=0.6的伯努利分布（即P(U=1)=P(V=1)=0.6，P(U=0)=P(V=0)=0.4）。令W=U+V，求：（1）W的分布列；（2）P(W≥1|U=1)；（3）E(W|U=1)。答案（1）W的可能取值为0,1,2。P(W=0)=P(U=0,V=0)=P(U=0)P(V=0)=0.4×0.4=0.16；P(W=1)=P(U=1,V=0)+P(U=0,V=1)=0.6×0.4+0.4×0.6=0.48；P(W=2)=P(U=1,V=1)=0.6×0.6=0.36。（2）P(W≥1|U=1)=P(U+V≥1|U=1)=P(V≥0|U=