(2025年)时间序列习题含答案

(2025年)时间序列习题含答案某城市2010年1月至2024年12月共180个月的月度平均气温数据（单位：℃）如下表所示（部分数据）：时间2010M12010M2...2024M112024M12气温（℃）3.24.5...12.811.2注：完整数据经统计，前168个月（2010M1-2023M12）为训练集，后12个月（2024M1-2024M12）为验证集。习题1.平稳性初步判断：根据训练集数据绘制时序图和自相关函数（ACF）图。观察时序图是否存在明显趋势或季节波动？ACF图中滞后1-12阶的自相关系数是否呈现缓慢衰减特征？结合平稳性定义（均值、方差不随时间变化，自协方差仅与滞后阶数有关），判断该序列是否为平稳时间序列，说明理由。2.ADF检验：对训练集数据进行ADF单位根检验，设定检验类型为“包含常数项，不包含趋势项”，滞后阶数根据AIC准则自动选择为2。检验结果如下：ADF统计量=-1.85，1%临界值=-3.46，5%临界值=-2.87，10%临界值=-2.57。根据检验结果，判断原假设（存在单位根，非平稳）是否被拒绝？说明结论。3.差分处理与模型识别：对原序列进行一阶差分（记为序列=），得到差分后序列。绘制差分序列的ACF图和偏自相关函数（PACF）图，结果显示：ACF在滞后1阶显著（相关系数=0.42），滞后2阶不显著（相关系数=0.11）；PACF在滞后1阶显著（相关系数=0.38），滞后2阶显著（相关系数=0.25），滞后3阶及以上不显著。根据ACF和PACF的截尾/拖尾特征，判断差分后序列适合的ARMA模型类型（AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)），并确定具体阶数（p,q）。4.参数估计与模型表达式：使用极大似然估计法对选定的ARMA模型进行参数估计，得到如下结果：AR(1)系数：=0.52MA(1)系数：=−常数项：c=残差方差：=写出该模型的具体表达式（考虑差分后序列与原序列的关系）。5.模型诊断：计算模型残差的Ljung-Box统计量，滞后12阶的Q统计量=15.6，对应的p值=0.21（显著性水平α=0.05）。判断残差是否为白噪声，说明依据。若残差非白噪声，可能的原因是什么？6.预测应用：使用估计的模型对2024年1-12月的气温进行预测（验证集），得到点预测值与实际值的对比数据如下：月份123456789101112实际值8.59.212.115.318.721.223.523.120.817.613.410.1预测值8.29.511.815.018.521.023.322.820.517.213.09.8计算预测误差的平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE），并评价模型的预测效果。7.季节性检验：原序列的ACF图显示滞后12阶的自相关系数为0.58（p值=0.000），滞后24阶为0.42（p值=0.001）。结合气候常识（该城市属温带季风气候，四季分明），判断原序列是否存在显著季节性？若存在，需对模型进行何种调整？答案1.平稳性初步判断：时序图显示原序列存在明显上升趋势（如2010年冬季平均气温约3-5℃，2023年冬季约5-7℃），且无显著季节波动（各年同期气温波动幅度未呈现固定周期）。ACF图中，滞后1阶自相关系数=0.89，滞后2阶=0.82，滞后12阶=0.65，呈现缓慢衰减特征（未在短滞后阶数内截尾）。根据平稳性定义，原序列均值随时间递增（存在趋势），自协方差随滞后阶数增加缓慢衰减，因此为非平稳时间序列。2.ADF检验：ADF统计量=-1.85，大于5%临界值=-2.87（即未落入拒绝域），因此不能拒绝原假设（存在单位根）。结论：原序列非平稳，需进行差分处理以消除趋势。3.差分处理与模型识别：差分后序列的ACF在滞后1阶显著（>2倍标准误），滞后2阶不显著（<2倍标准误），表现为“拖尾”（仅前1阶显著）；PACF在滞后1、2阶显著，滞后3阶及以上不显著，表现为“截尾”（2阶后不显著）。根据ARMA模型识别规则：若ACF拖尾、PACF截尾于p阶，则为AR(p)模型；若ACF截尾于q阶、PACF拖尾，则为MA(q)模型；若两者均拖尾，则为ARMA(p,q)模型。此处ACF拖尾（非截尾）、PACF截尾于2阶，但ACF仅滞后1阶显著，PACF滞后2阶显著，更符合ARMA(1,1)模型特征（ACF和PACF均在1阶后拖尾但衰减较快）。因此，差分后序列适合ARMA(1,1)模型。4.参数估计与模型表达式：差分后序列=，ARMA(1,1)模型表达式为：=代入估计参数得：=整理后原序列的模型形式为：=即：=5.模型诊断：Ljung-Box检验原假设为“残差是白噪声”，p值=0.21>0.05，未拒绝原假设。结论：残差为白噪声，模型拟合充分。若残差非白噪声，可能原因包括模型阶数选择错误（如遗漏高阶AR或MA项）、未考虑季节性成分、存在异常值未处理等。6.预测效果评价：MAE（平均绝对误差）计算公式为∑|(0.3RMSE（均方根误差）计算公式为，计算得：≈≈预测误差较小（MAE和RMSE均约0.3℃），说明模型对验证集的预测效果良好，能较好捕捉气温变化趋势。