2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟测试巩固卷

北师大版数学九年级上册期中模拟测试巩固卷一、选择题（每题3分，共30分）1．用配方法解一元二次方程x2A．x+52=20 B．x−52=30 C．2．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（）.A．7个 B．8个 C．9个 D．10个3．若关于x的一元二次方程（a-1）x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠14．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥lA．38 B．34 C．525．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（）A．22 B．2+2 C．4−226．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，AE,BD相交于点F，S△DEFA．1:2 B．1:2 C．1:3 D．7．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AB=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则OE的长为()A．52 B．83 C．3 8．如图，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=8，则线段BM的长为()A．8 B．6 C．4 D．29．匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长1.8m，宽0.8m，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为2m2．设外框的宽度为xmA．1.8+x0.8+x=2 C．1.8+2x0.8+2x=2 10．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF=2A．2 B．22 C．23二、填空题（每题3分，共18分）11．已知一元二次方程x2+4x-3=0的两根是x1，x2，则x12+12．如图，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，若DEBC＝23，则AEEC13．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=15．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等的直角三角形(△ABF，△BCG，△CDH，△DAE)和中间一个小正方形拼成的大正方形，连结EG并延长，交CD于点M.若ED=EM，则∠ADE的度数为.16．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD.若四边形BEDF是菱形，则EF的长为.三、解答题（共7题，共72分）17．解方程：（1）x（2）218．关于x的一元二次方程x（1）求证：方程有两个不相等的实数根。（2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，4)，B(-4，1)，C(-1，2).（1）以x轴为对称轴，画出△ABC的轴对称图形△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在第四象限内将△ABC放大到原来的2倍，画出△ABC的位似图形△A2B2C2；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积之比.20．如图，四边形ABCD是矩形，AB<BC，点E在AD的延长线上.（1）求作点F，使点F在AD边上，且∠AFB=2∠EBC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（2）在(1)的条件下，若AB=4，BC=6，DE=2，求AF的长.21．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．（1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元（用含x的代数式表示）；（2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是；（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？22．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB和CE交于点F，DF=FB，AF∥DC．（1）求证：△BEF∽△BAD；（2）求证：四边形ADCF为平行四边形；（3）若DB⊥CE，AD=4，BF=3EF，求BC的长．23．（1）如图①在Rt△ABC内，∠ABC=90°，AB=BC，D是△ABC内一点，将（2）在(1)的条件下，如图②，当BD//AE，延长CD交AE于点F，若BC=3，（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，①线段AE与CD的数量关系是；②当∠BAE=45°时，点E到AB的距离EF的长为2，则线段CD的长为

答案解析部分1．【答案】C【知识点】配方法解一元二次方程【解析】【解答】解：原方程为x2移项得x2方程两边同时加25得x2配方得(x−5)2=20.

故答案为：C.2．【答案】A【知识点】由三视图判断小正方体的个数【解析】【解答】如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体最多的个数，则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7(个).

故选A.【分析】根据视图分析每个位置的可能层数和对应的正方形的个数解答即可.3．【答案】C【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：

∵关于x的一元二次方程a−1x2+2x+1=0有实数根

∴△=22−4a−1=4−4a+4⩾0

∴a⩽2

∵a−1≠0

∴a⩽2且a≠1

故选：C

【分析】由于关于x的一元二次方程a−1x4．【答案】A【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥l3于点F，交l2∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，AD=BC=3．∵l2∴AG∴AG=1∴AGCD=【分析】由矩形的性质得出CD=AB=4，AD=BC=3，根据平行线分线段成比例定理，即“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，列式并变形得出AG=15．【答案】A【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质【解析】【解答】解：正方形ABCD的边长为2，∴BC=DC=2,∠BCD=90°,∠CBD=45°,∴BD=B∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，∴DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°，∴BF=BD−DF=22−2，∴∠FBE=∠FEB=45°，∴EF=BF=22∴BE=2∴△BEF的周长是BE+EF+BF=4−22故答案为：A．

【分析】由正方形性质得BC=CD=2，∠ACD=90°，∠CBD=45°，在Rt△BCD中，利用勾股定理算出BD的长，由轴对称的性质得出DF=CD=2，∠EFE=∠DCB=90°，然后根据线段和差算出BF，进而根据等腰直角三角形的性质求出EF、BE的长，最后根据三角形面积计算公式列式计算即可.6．【答案】D【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是CD的中点，

∴DE=12∴DEAB∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF故答案为：D.

【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB∥CD，AB=CD，由中点定义可求出DEAB7．【答案】C【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】∵菱形ABCD中，AC，BD交于点O，BD=8，

∴OA=OC，OB=4，

AC⊥BD，

∴∠AOB=90°，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：OA=3，

∴AC=2OA=6，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∴OE=12AC=3，

故答案为：C.

8．【答案】D【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：∵DF=2BF，∴BFDF∵点D,E分别是边∴DE∥BC，DE=1∴△DEF∽△BMF，∴BFDF∴BM=1故答案为：D.

【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，DE=12BC=49．【答案】C【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：∵匾额原长为1.8m，宽为0.8m，且在四周加宽度为xm的外框，∴制成后的总长度为(1.8+2x)m，总宽度为(0.8+2x)m，∵制成后的总面积为2m∴根据矩形面积公式可列方程：(1.8+2x)(0.8+2x)=2．

故答案为：C【分析】设外框的宽度为xm，根据题意建立方程即可求出答案.10．【答案】B【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，

又∵∠ECM=30°

∴∠DCF=50°

∵DF⊥CM，

∴∠CFD=90°

∴∠CDF=40°

又∵四边形ABCD是菱形，

∴BD平分∠ADC.

∴∠HDC=40°

在△CDH和△CDF中，

∠CHD=∠CFD∠HDC=∠FDCDC=DC

∴△DCH≌△DCF(AAS)，

∴DH=DF=2，

∴【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度.11．【答案】22【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1，x2，其中a=1∴x1+∴x1故答案为：22.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x12．【答案】2【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：∵DE‖BC,∴△ADE∽△ABC,∴∴故答案为：2.【分析】根据平行得到△ADE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例求解即可.13．【答案】5【知识点】解一元二次方程的其他方法【解析】【解答】解：关于x的方程x2+mx−n=0可转化为x2则小刚构造的大正方形的面积是(x+x+m)2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为x+m、宽为x，中间小正方形的边长为m∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，∴x+x+m=144=12，∴2x+2=12，解得x=5，则关于x的方程x2+mx−n=0的正数解为故答案为：x=5．

故答案为：5.【分析】先得出小刚构造的大正方形、中间小正方形的边长，然后列方程求出x的值解答即可．14．【答案】1【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∴S△AODS△BOC=(ADBC)2，

∵S△ABDS△BCD故答案为：19【分析】首先根据等高三角形的性质，得出S△AODS15．【答案】22.5°【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型【解析】【解答】解：过E作EN⊥CD，

∴EN//AD

∵四边形EFGH是正方形，

∴∠HEG=45°.

∵ED=EM，EN⊥CD

∴∠DEN=12∠DEM=22.5°

∵EN//AD

∴∠ADE=∠DEN=22.5°

故答案为：22.5°.

【分析】依据题意，过E作EN//CD，则EN//AD，结合ED=EM，EN⊥CD，可得16．【答案】15【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质【解析】【解答】解：连接AC，

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴AC=AB2+BC2=10，

∴AO=5，

∴OB=5，

∵四边形BEDF是菱形，

∴DE=BE=BF，∠EOB=90°，

∵BE2=AE2+AB2，

∴BE2=（8-BE）2+36，

∴BE=254，

∴EO2=BE2-BO2=22516，

∴EO=154，17．【答案】（1）解：1x（x-2）（x-3）=0，则x-2=0或x-3=0，所以：x1=2，x2=3.（2）因为a=2，b=-4，c=1，所以△=(−4则x所以x【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）先移项，提取公因式(x-2)，利用分解因式解方程即可；

（2）得到a，b，c的值，计算b2-4ac的值，然后代入求根公式解方程即可.18．【答案】（1）证明：∴△＝[−(2k＋1)]＝4∴该方程有两个不相等的实数根.（2）解：由根与系数的关系得x{x12k＋1整理得k2即k的值为4或－5【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【解析】【分析】（1）计算方程的根的判别式得到Δ=9>0，即可得到方程根的情况；（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝2k＋1,x119．【答案】（1）解：△A1B1C1即为所求

（2）解：△A2B2C2即为所求

（3）解：因为△A1B1C1与△ABC轴对称，所以△A1B1C1≌△ABC又因为△ABC∽△A2B2C2关于点O位似，所以△ABC∽△A2B2C2，且相似比为1：2所以△A1B1C1∽△A2B2C2，.且相似比为1：2所以S【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；位似图形的性质【解析】【分析】本题考查坐标与图形变换中的轴对称和位似变换，以及图形面积比的计算。

（1）画关于x轴的轴对称图形，需依据轴对称性质：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，分别求出A、B、C三点的对称点A1、B1、C1，再顺次连接得到ΔA1B1C1；

（2）画以原点为位似中心、放大2倍且在第四象限的位似图形，根据位似性质：位似图形对应点的坐标比等于位似比，将A、B、C三点的横纵坐标都乘以2，且根据第四象限坐标特征（横坐标为正、纵坐标为负）确定A2、B2、C2的坐标，顺次连接得到图形；

（3）计算面积比时，由轴对称的性质可知ΔA1B20．【答案】（1）解：如图，F是所求作的点.（2）解：∵四边形ABCD是矩形，BC=6，∴∴∵∴∴∵DE=2，∴AE=AD+DE=8.设AF=x，则BF=EF=8-x.在Rt△ABF中，∠A=90°，AB=4，由勾股定理得A∴x∴AF=3.【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角【解析】【分析】（1）作∠FBE=∠EBC，边BF与AD的交点F即为所求；（2）根据矩形的性质可得∠E=∠EBC,∠AFB=∠FBC、进而可得∠FBE=∠E，利用等角对等边可得BF=EF，即可求得AE的长；设21．【答案】（1）(28−x)（2）y=100+20x（3）解：根据题意得：(28−x)(100+20x)=4000，解得：x1=3，当x=3时，68−x=68−3=65>58，不符合题意，舍去；当x=20时，68−x=68−20=48<58，符合题意．答：每顶头盔应降价20元．【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系【解析】【解答】解：（1）∵进价为每顶40元，售价为每顶68元，每顶头盔降价x元，

∴每顶头盔的利润为：68-40-x=28-x（元）.

故答案为：（28-x）.

（2）每周的销售量y=100+x2×40=100+2x.

故答案为：y=100+20x.

【分析】（1）根据利润=售价-进价，列出代数式即可；

22．【答案】（1）证明：∵DF=FB，∴点F是DB的中点，∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，EF=1∴∠BEF=∠BAD，∠BFE=∠BDA，∴△BEF∽△BAD；（2）证明：由（1）知：EF∥AD，即CF∥AD，又∵AF∥DC，∴四边形ADCF为平行四边形；（3）解：∵DB⊥CE，AD=4，BF=3EF，∴∠ADB=90°，由（1）知：EF∥AD，EF=1∴∠BFE=∠ADB=90°，EF=1∴∠BFC=180°−∠BFE=90°，BF=3EF=3×2=6，∵四边形ADCF为平行四边形，∴CF=AD=4，在Rt△BCF中，BC=C∴BC的长为213【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形