2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟测试基础卷

北师大版数学九年级上册期中模拟测试基础卷一、选择题（每题3分，共30分）1．河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图2-1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物.将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2-2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（）A．三角形 B．矩形 C．半圆 D．菱形2．如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是（）A．① B．② C．③ D．④3．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（）A．12x（x-1）=72 C．x（x+1）=72 D．124．一元二次方程x2A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根5．若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为A．(−2,−1) B．(−4,−2) C．7．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（)A．6 B．8 C．9 D．128．下列说法正确的是()A．对角线互相垂直的四边形是矩形B．对角线相等的菱形是正方形C．菱形的对角线相等D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形9．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM.若AC=6，BD=8，则OM的长为（）A．52 B．4 C．5 D．10．如图，在▱ABCD中，下列结论中错误的是（）A．当AB=BC时，▱ABCD是菱形B．当OA=OB时，▱ABCD是矩形C．当AC平分∠BAD时，▱ABCD是菱形D．当AC=BD时，▱ABCD是正方形二、填空题（每题3分，共18分）11．如图，l1∥l12．已知xy=5213．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC=90°，若BC=12，AC=8，则DF的长为．14．如图，在△ABC中，DE‖BC,且AD=3,DB=2,3，DB=2，则AEAC的值是15．已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，则1a+116．如图，BD是矩形ABCD的对角线，BE平分∠ABC交CD于点E．若∠DBE=10°，则∠ADB=．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：（1）2x（2）2x+1218．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．19．在如图的方格纸中，△O1A（1）在图中标出位似中心P的位置.（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出一个与△OAB的位似比为2：1的△O（3）分别写出A，B的对应点A2,B2的坐标：A220．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF∽△ECF；（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．21．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是DC边上的任一点(不包括端点D，C)，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）连接BD，若BD=AF，求DE的长.22．根据以下素材，探索完成任务素材1泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件．素材2泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件．问题解决任务1求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率；任务2为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件?23．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE=DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB=60°，BC=4，求DE的长．24．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．（1）求证：四边形AFDE是平行四边形；（2）若四边形AFDE是矩形，AE=3，AF=4，求BC的长．

答案解析部分1．【答案】D【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：由图象可得：

这个几何体的主视图中没有出现的图形是菱形故答案为：D【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.2．【答案】B【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：先看左视图：从左面看，这个几何体是两层，左右两列.移走①：左视图不变移走②：左视图会变.

故答案为：B

【分析】分别移走①、②，判断左视图是否会发生改变即可.3．【答案】B【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：∵共有x支球队，每支球队需要和除自身外的(x−1)支球队比赛，又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数∴总比赛场数为x(x−1)，已知总比赛场数为72场，∴可列方程x(x−1)=72．故答案为：B.

【分析】设共有x支球队，根据“每两队之间都进行两场比赛，共比赛72场”列方程即可．4．【答案】A【知识点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵∆=−22−4×1×0=4>0故答案为：A.

【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有根的判别式∆=b2−4ac5．【答案】C【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系【解析】【解答】解：x(x+2)−3=0，即x2+2x-3=0

∴x1+x2=-2=m

x1x2=-3=n

故答案为：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m，n，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.6．【答案】B【知识点】图形位似变换的点的坐标特征【解析】【解答】解：如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，

∴AC∥A'C'，

∴△0A'C'~△OAC

OA'0A=0C'OC=A'C'AC∴

∵△OA'B'与△OAB的相似比为2:1，

∴OA'OA=21，

∴OA'0A=故答案为：B.

【分析】如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，得出△0A'C'~△OAC，然后根据相似三角形的性质，即可得出OC'=4，A'C'=2，再根据点A'所在的象限，即可得出点A'的坐标。7．【答案】C【知识点】相似三角形的性质-对应周长【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2:∴△ABC的周长:△DEF的周长=2设△DEF的周长为x，则6:解得x=9．故答案为：C.【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．8．【答案】B【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定；正方形的判定【解析】【解答】解：A选项：∵对角线互相垂直的四边形不能判定为矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴A错误，不符合题意；

B选项：∵菱形本身对角线互相垂直平分，增加对角线相等的条件后，满足正方形的判定要求，∴对角线相等的菱形是正方形，B正确，符合题意；

C选项：∵菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，∴C错误，不符合题意；

D选项：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，∴D错误，不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形、矩形、正方形的判定，菱形的性质逐项判断即可.9．【答案】A【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD

∵AC=6，BD=8

∴OA=3，OB=4

∴在Rt△ABC中，AB=故答案为：A.【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线定理.利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到△AOB是直角三角形，并利用勾股定理求出边长AB，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM的长.10．【答案】D【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定【解析】【解答】解：A：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得出A正确；

B：当OA=OB时，根据平行四边形的性质可得出AC=BD，进而根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得出B正确；

C：根据AC平分∠BAD，再根据AD∥BC，可得出∠BAC=∠BCA，进而得出AB=AC，根据菱形定义，即可得出C正确；

D：当AC=BD时，可得出▱ABCD是矩形，不能判定▱ABCD是正方形，故而得出D不正确。故答案为：D。【分析】根据菱形的判定可得出A，C正确；根据矩形的判定可得出B正确；根据正方形的判定可得出D不正确，即可得出答案。11．【答案】15【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【解析】【解答】∵l1∥l2∥l3，DEEF=23故答案为：15【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.12．【答案】7【知识点】比例的性质【解析】【解答】解：∵xy∴设x＝5a，则y＝2a，那么x+yy故答案为：72【分析】设x＝5a，则y＝2a，代入原式即可求解.13．【答案】2【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1∵BC=12，∴DE=6，在Rt△AFC中，∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=8∴EF=1∴DF=DE−EF=6−4=2，故答案为：2．【分析】根据三角形中位线长度等于第三边的一半，求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出EF，再进行计算即可．14．【答案】3【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【解析】【解答】解：∵DE||BC

∴AEAC=ADAB

∴AEAC=15．【答案】2【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入【解析】【解答】解：∵已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，

∴根据根与系数的关系可知：a+b=-2，ab=-3，

∴1a故答案为：23

【分析】根据根与系数的关系求得a+b=-2，ab=-3，再代入求值即可.16．【答案】55°【知识点】矩形的性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：∵BD是矩形ABCD的对角线，∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC∵BE平分∠ABC交CD于点E．∴∠CBE=∴∠CBD=∠DBE+∠CBE=55°∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD=55°，故答案为：55°【分析】先根据矩形的性质和角平分线求出∠CBE=45°，结合已知条件∠DBE=10°，利用角的和差关系求出∠DBC，最后根据平行线的性质进行解答即可．17．【答案】（1）解：22x+1x−1∴x1=−（2）解：2x+12∴2x+1=x−1或2x+1=−x+1，∴x1=0，​​​​​​​【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）选用因式分解法计算，求出方程的解即可；

（2）开平方法的使用特征，使用直接开平方法计算即可得到答案.（1）解：22x+1x−1∴x1=−1（2）解：2x+12∴2x+1=x−1或2x+1=−x+1，∴x1=0，18．【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0∴k＜14（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k，x1•x2＝k2∵x1+x2+x1x2﹣1＝0∴1﹣2k+k2﹣1＝0∴k＝0或2∵由（1）得，k＜1∴k＝2舍去∴k＝0．【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不等实根，则判别式∆=b2−4ac>0，解不等式即可求出答案.

（2）根据二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝1-2k，x1•x219．【答案】（1）解：图见解析，点P即为所求；

（2）解：如图，△OA2B2即为所求；

（3）(-4，-2)；(-2，-6)【知识点】作图﹣位似变换；图形位似变换的点的坐标特征；位似中心的判断【解析】【解答】解：(3)由图知点A2(-4，-2)，点B2(-2，-6)；

【分析】(1)分别连接OO1和BB1，并延长交点P即为位似中心；

(2)分别延长OA、OB到A2、B2，使A、B分别为OA2、OB2的中点即可；

(3)直接由图可得点A2和B2的坐标.20．【答案】（1）证明：∵DC∥AB，

∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，

∴△ABF∽△ECF．（2）解：∵AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，

∴BF=3cm．

由（1）知，△ABF∽△ECF，

∴BACE=BFCF，即8CE【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟知相似三角形的性质和与判定是解题关键.（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠B=∠ECF，∠（2）根据线段的和差运算可知：BF=BC-CF=3cm，由(1)知：△ABF∽△ECF，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可知：BA（1）证明：∵DC∥AB，∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，∴△ABF∽△ECF．（2）解：∵AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，∴BF=3cm．由（1）知，△ABF∽△ECF，∴BACE=BF∴CE=1621．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADE=∠ABF=∠BAD=90°，∴∠DAE+∠EAB=90°.∵AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF=90°，∴∠DAE=∠BAF.∴△ADE∽△ABF.（2）解：在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD∴在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF由(1)知△ADE∽△ABF，∴即4∴DE=2.【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得∠ADE=∠ABF=∠BAD=90°，然后可证△ADE∽△ABF；

(2)由勾股定理得，BD，BF、由(1)△ADE∽△ABF，则ADAB22．【答案】解：任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为x，由题意得：10001+x解得：x1答：7月份到9月份的月平均增长率为20%任务2：设该泥塑的售价应定为y元/件，由题意得：400−10×y−40解得：y∵要尽可能让顾客得到实惠，则y=50，答：该泥塑的售价应定为50元/件【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

任务2：设该泥塑的售价应定为y元/件，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.23．【答案】（1）证明：∵BE∥DC，BE=DC，

∴四边形BDCE为平行四边形．

∵∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，

∴BD=CD=12AC ，

∴（2）解：连接DE交BC于O点，如图

∵四边形BDCE为菱