2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟测试能力卷

北师大版数学九年级上册期中模拟测试能力卷一、选择题（每题3分，共30分）1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．83 B．4 C．2 D．2．关于x的方程x2+4nx+1−8n−1=0的两个实数根分别为x1，xA．2或3 B．3或−2 C．−3或2 D．−3或−23．图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为A．(28−2x)(16−2x)=80 B．(28−2×2x)(16−2x)=80C．(12×28−2x)(16−2x)=804．对于一元二次方程ax①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；②若c是方程ax③若ax2+bx+c=0a≠0两根为x④若x0是一元二次方程ax2其中正确的()A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③④5．如图，矩形OABC中，点O0,0,AC=4,BO与x轴正半轴的夹角为45°．若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第2026秒时，矩形的对角线交点A．2,−2 B．−2,0 C．0,2 6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方形ABMN，连结NE，则NE的长为()A．10 B．9 C．73 D．417．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点E、F分别为AD、CD边上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF=60°，则以下结论正确的是（）①BE=BF；②△BEF是等边三角形；③四边形EBFD的面积是43；④△DEF面积有最大值为2A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上运动，满足BE=2DF，连结EF，过点C作直线EF的垂线，垂足为G，当CG的长最大时，DF的长为（）A．12 B．1 C．5−1 9．如图，矩形ABCD和正方形AEFG面积相等，点B在边EF上，点G在CD上，FG交BC于M点，EN⊥AB，AB=18，若S△ENB:SA．9+17 B．8+15 C．9+1510．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.下列结论：(①PD=2DF;②四边形PECF的周长为8；A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③二、填空题（每题3分，共18分）11．一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有种．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线DE分别与AC，AB交于点M，N．若BC=4，则MN的长为13．如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，连结CE，作点B关于CE的对称点B'，连结B'C，B'E，连结BB'并延长交AD于点F，交CE于点G，连结AB'并延长交CD于点H，给出下面四个结论：①F为AD的中点；②AH⊥BF；③连结AG，则∠AGE≠∠AGF；④连结AG并延长交BC于点P，则CP=2BP．上述结论中，正确结论的序号是．14．等腰△ABC的一边长为5，另外两边的长恰好是方程2x2−12x+m=0的两个根，则m15．如图，在正方形ABCD中，点E是CD中点，连接BE，点F为BE上一点，AF=AB．若AB=2，则△ABF的面积为．16．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝．三、解答题（共6题，共72分）17．在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，点E，F分别在边BC，CD上，且PE⊥PF于点P.（1）特例发现：如图1，当点P在对角线AC，BD的交点处时，求证：PE=PF；（2）探究证明：如图2，当点P不在对角线AC，BD的交点处时，判断PE与PF的数量关系，并说明理由：（3）拓展运用：在（2）的条件下，若EC=4，CF=2，连接EF，请直接写出PE的长.18．（1）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，△EAF的两边AE，AF分别与边CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°.①【特殊情况】如图1，当点E是线段BC的中点时，直接写出线段AE，AF之间的数量关系▲；②【类比探究】如图2，当点E是线段BC上任意一点时(点E不与B，C重合)，求证：BE=CF；（2）【拓展运用】如图3，四边形ABCD是一个菱形花园，AB=10m，∠ABC=60°，现计划用篱笆围成一块三角形区域AEF，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=60°.为了节约材料，所需的篱笆长度(即△AEF的周长)最短，求出所需的篱笆长度(即△AEF的周长)的最小值，并说明理由.19．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”.通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2-4ac一定为完全平方数.现规定F(a,b,c)=4ac−b24a为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”x2-3x-4=0的两根均为整数，其“快乐数”F（1，-3，-4）=（1）“快乐方程”x2-4x-12=0的“快乐数”为；（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值是.20．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛.当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个.小组赛采取单循环赛制（即每只队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛.积分规则：胜一场得2分，负一场得0分.小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论.具体如下：（1）已知该校八年级共有10个班级参加比赛.小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分；（2）若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分.求本次比赛参赛队伍个数；（3）当参赛队伍总数为奇数个时.小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由.21．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E为边AD上任意一点，AD=nAE.【尝试初探】（1）如图1，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于点N，求证：AE=CN；（2）过点E作EM⊥BD于点M，延长EM交BC于点N，连接BE，若△BEN是等腰三角形，求n的值；（3）如图2，若F是CD上一点，且DC=nDF，连接EF交BD于点G，求DGBG的22．在矩形ABCD中，E是边AB上一点(不与端点重合)，以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形BEGF，使得ABBC（1）如图1，当m=1时，求AEDG（2）如图2，将矩形BEGF绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<30°)，连接AE，当m=33时，求（3）如图3，矩形BEGF在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D，G，F三点共线.若m=3

答案解析部分1．【答案】B【知识点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：由主视图和俯视图，底面三角形一条边长为4，

由左视图可得底面三角形边长为4的边对应的高长为3，且三棱锥的高是2，

则三棱锥的体积是13×【分析】由三棱锥的体积公式V=12．【答案】C【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【解析】【解答】解：x2+4nx+1−8n−1=0，即x2+4nx−4n−1=0，

∵x1，x2是x2+4nx−4n−1=0的两个实数根，∴x1+x2=−4n，x1⋅x2=−4n−1，

∵x根据韦达定理：x1+x3．【答案】D【知识点】一元二次方程的应用-几何问题【解析】【解答】解：∵矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，

∴折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为12（28−2x）cm，

∵折成的长方体底面积为80cm2，

∴12(28−2x)(16−2x)=80.

故答案为：D.

4．【答案】C【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用【解析】【解答】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，故①正确；

②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，

∴ac2+bc+c=0

∴当c≠0时，有ac+b+1=0成立；故②不正确；

③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，

∴Δ=b2-4ac≥0

令x1=−b+b2−4ac2a，x1=−b−b2−4ac2a

∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)有两个实数根，令两根分别为x1'，x2'

∴x1'=−b+b2−4ac2c=1−b−b2−4ac2a=1x2，x25．【答案】D【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴OB=AC=4，OD=BD=2，∵每秒旋转45°，8次一个循环，2026÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅2，∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示：过点D'作D'E⊥x∴OE=D∴点D的坐标为−2【分析】首先先确定矩形对角线交点D到原点O的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转45°，旋转一周为360°，因此每旋转8次，图形会回到初始位置，形成一个循环。计算可得2026÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅2，说明经过2026秒后，点D的位置和旋转2秒后点D的位置一致，且此时点D位于第二象限的对角线上，据此即可求出对应坐标.6．【答案】C【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，如图所示，

∵ABMNO正方形

∴∠BAN=90°，AB=AN

∴∠BAC+∠NAG=90°

又∵∠BAC+∠ABC=90°

∴∠ABC=∠NAG

又∵∠G=∠ACB

∴△ABC≌△NAG(SAS)

∴GN=AC=4，GA=BC=3

∵ACDE为正方形

∴AC=AE

∴NG=AE

∵∠NHG=∠FHE，∠HAE=∠NGH

∴△AEH≌△GNH(AAS)

∴NH=EH，GH=AH=32

∴NH=GH2+NG2=42+(7．【答案】B【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：①连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=CD=4，∠ADB=∠DBC=∴△ABD、△CBD均为等边三角形，AD=BD=4，又∵∠EBF=60°，即：∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF=60°，∴∠ABE=∠DBF，在△ABE和△BDF中，∠A=∠BDF∴△ABE≌△DBF(ASA)，∴BE=BF，故①正确；②·∵BE=BF，∠EBF=60°，∴△EBF为等边三角形，故②正确；③如图，过B作BG⊥AD于G，∴AG=DG=2，BG=∴∵△ABE≌△DBF，∴∵S四边形DEBF=S△DEB+S△DBF④∵△BEF为等边三角形，

当BE⊥AD时，BE最短，△BEF的面积最小，此时AE=DE=∴BE=同理可得：此时S∵∴S△DEF=43−∴正确的结论为：①②③.故选：B.【分析】①连接BD，根据菱形ABCD的性质及∠DAB=60°，可以得到△ABD为等边三角形，结合∠EBF=60°，可得∠ABE=∠DBF，可利用ASA判定△ABE≌△DBF，从而得到BE=BF；②根据BE=BF,∠EBF=60∘,即可得到△EBF为等边三角形；③根据S四边形DEBF=S△DEB+S△DBF及△ABE≅△DBF,可以得到S四边形DEBF=8．【答案】A【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=3，∴AD=AB=DC=3,如图：过F作FH⊥AB于H，则四边形DAHF是矩形，∴AH=DF,设DF=x，则AH=x,∴FC=3−x,∴FE=H∵FH⊥AB，CG⊥EF，∴∠FHE=∠HFC=∠FGC=90°，∴∠HEF+∠HFE=∠HFE+∠GFC=90°，∴∠HEF=∠GFC，∴△HFE∽△GCF，∴HFGC=FECF，即整理为关于x的一般式为：(GC∴Δ=(−2GC2∴0≤GC≤5∴GC的最大值为5，当CG的长最大时，将5代入方程4x2−4x+1=0，解得：x=∴当CG的长最大时，DF的长为12．

故答案为：1【分析】由正方形的性质可得AD=AB=DC=3,∠A=∠D=90°，过F作FH⊥AB于H，则四边形DAHF是矩形，即可得到AH=DF,FH=AD=3；设DF=x，则AH=x,BE=2x，根据勾股定理求出FE=32+(3−3x)2，然后根据两角对应相等得到△HFE∽△GCF，根据相似三角形的对应边成比例求出CG=9．【答案】A【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵四边形AEFG是正方形，∴∠GAE=∠AEF=∠F=∠AGF=90°，AG=AE，∴∠GAB+∠BAE=90°∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，CD=AB=18，∴∠DAG+∠GAB=90°，∴∠DAG=∠BAE，∵EN⊥AB，∴∠ANE=90°，∴∠D=∠ANE=90°，又∵AG=AE，∴△ADG≌△ANE(AAS)，∴S△ADG=S△ANE，∵矩形ABCD和正方形AEFG面积相等，∴S矩形ABCD∴S△ENB∵S△ENB∴S△ENB∵∠EBN+∠MBF=90°，∠EBN+∠BEN=90°，∴∠MBF=∠BEN，同理可证，∠MBF=∠CGM，∴∠CGM=∠BEN，∵∠BNE=∠C=90°，∴△CGM∽△NEB，∴EN:∴DG:∴EN=DG=18×4∵∠AEN+∠BEN=90°，∠AEN+∠EAN=90°，∴∠BEN=∠EAN，∵∠ANE=∠ENB=90°，∴△ANE∽△ENB，∴ANEN∴AN8解得AN=9+17或AN=9−∴AD=9+17故答案为：A.【分析】根据正方形的性质，利用AAS得到△ADG≌△ANE，即可得到S△ADG=S△ANE，EN=DG，AN=AD．再根据矩形ABCD和正方形AEFG面积相等，即可得到S△ENB+S△BFM=S△GCM10．【答案】B【知识点】勾股定理；正方形的性质【解析】【解答】如图，连接PC，

①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，

∴∠PDC=45°，

又∵PF⊥CD，

∴∠PFD=90°，

∴△PDF为等腰直角三角形，

∴PD=2DF；

②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形，

∴PE=BE，

∵∠PEC=∠ECF=∠PFC=90°

∴四边形PECF为矩形，

∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2（CE+BE）=2BC=2×4=8，

③∵四边形PECF为矩形，

∴PC=EF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，

易证△ADP≌△CDP，

∴AP=PC，

∴AP=EF，

当AP最小时，EF最小，

∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP=12BD，EF的最小值等于22，

④延长FP交AB于M，延长AP交EF于H，

∵AB∥CD，PF⊥CD，

∴FM⊥AB，

∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，

∴PM=PE，

∵AP=EF，∠AMP=∠EPF=90°，

∴Rt△AMP≌Rt△FPE（HL），

∴∠BAP=∠PFE，

∵∠AMP=90°，

∴∠BAP+∠APM=90°，

∵∠APM=∠HPF，

∴∠PFH+∠HPF=90°，

∴∠PHF=90°，

∴AP⊥EF，

综上，①②④正确．

故答案为：B.

【分析】①先证△PDF是等腰直角三角形，则PD=2DF，即可判断；

②先证明△PEB是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PECF为矩形，则四边形PECF的周长=2BC=8，即可判断；

③证明△ADP≌△CDP，则AP=PC，根据矩形对角线相等得PC=EF，当AP⊥BD时，垂线段最短，即可判断；11．【答案】10【知识点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，

第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，

则9+3+2+1=15

以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，

最终剩余的2个小立方体

①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；

②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；

③若第三行第二个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置都可以放。

由于③中分别与①②的一个位置重复

∴可能的情况有3+3+6-2=10种故答案为：10．【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。12．【答案】2【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：由作图可知，直线DE是线段AC的垂直平分线，∵∠C=90°，∴BC⊥AC，∴MN∥BC，∴△ANM∽△ABC，∴MNBC∵AM=1∴MN=1∵BC=4，∴MN=2．【分析】根据尺规作图的方法可知直线DE是线段AC的垂直平分线，进而得到M为AC的中点，再结合N是AB的中点，利用三角形中位线定理求解．13．【答案】①②④【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：设正方形ABCD边长为2a，则AE=EB=a，AB=BC=CD=DA=2a

∵B，B'关于CE对称

∴CE⊥BB'，即CE⊥BF

∴∠CGB=90°

∴∠BCE+∠CBG=90°

在正方形ABCD中，∠ABC=∠ABF+∠CBG=90°

∴∠ABF=∠BCE，

在△ABF和△BCE中，

∠FAB=∠EBCAB=BC∠ABF=∠BCE

∴△ABF≌△BCE(ASA)

∴AF=BE=a.

又AD=2a，

∴AF=FD，即F为AD中点，①正确，符合题意；

∵E是AB中点

∴EG是△ABB'的中位线

∴EG//AB'

∵EG在CE上，

∴CE//AH

又CE⊥BF

∴AH⊥BF，②正确，符合题意；

∵CE⊥BF

∴∠EGF=90°

∴∠EGF+∠EAF=∠AEG+∠AFG=180°

∴A，E，G，F四点共圆

∴∠AGE=∠AGF=12∠EGF=45°∵AH⊥BF，AB=2a，AF=a，BF=5a，AB·AF=BF·AB'，

∴AB'=2a·a5a=255a

∴B'F=AF2−AB'2=55a，

∵CE//AH

∴BGB'G=BEAE=1，

∴FG=BF−FB'2+FB'=【分析】设正方形ABCD边长为2a，结合E为AB中点，得出AE=EB=a，AB=BC=CD=DA=2a，根据轴对称可得CE⊥BB'，即CE⊥BF，则∠CGB=90°，证明△ABF≌△BCE(ASA)，得出AF=BE=a，结合AD=2a，得出AF=FD，即F为AD中点，则①正确；由轴对称可得，G是BB'中点，结合E是AB中点，得出EG是△ABB'的中位线，则CE//AH，结合CE⊥BF，得出AH⊥BF，则②正确；证明A，E，G，F四点共圆，结合AE=AF，得出∠AGE=∠AGF=12∠EGF=45°，因此③错误；证明△AFG∽△PBG，得出BP14．【答案】10或18【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的概念；已知一元二次方程的根求参数【解析】【解答】解：设方程的两根为x1和x∵△ABC是等腰三角形，∴x1=5或x2①当x1=5或∵5为方程2x∴2×52−12×5+m=0∴原方程为2x解得x=1或5，此时△ABC的三边长为1，5，5，符合题意；②当x1∴Δ=解得m=18，∴原方程为2x解得x1此时△ABC的三边长为3，3，5，符合题意；综上所述，m的值为10或18．

故答案为：10或18.

【分析】设方程的两个根为x1与x2，分类讨论：当5为等腰三角形的腰时，等腰三角形的底边与另一条腰是一元二次方程的实数根，故x1=5或x2=5，将x=5代入原方程求出m=10，然后将m=18代入原方程求出方程的两个实数根，根据三角形三边关系及等腰三角形定义检验；当5为等腰三角形的底边时，等腰三角形的两腰是一元二次方程的两个实数根，故方程有两个相等的实数根，即x1=x2，根的判别式△=b2-4ac=0，由此建立方程求出m为18，然后将m=18代入原方程求出方程的两个实数根，根据三角形三边关系检验，综上可得答案.15．【答案】8【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质【解析】【解答】解：过点A作BE的垂线，垂足为G，如下图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BEC，∵∠AGB=∠BCE=90°，∴△ABG∽△BEC，∴S∵BE=BS△BEC=1∴S∵AF=AB,AG⊥BE，∴S故答案为：8【分析】本题考查正方形性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，过A作AG⊥BE于G，由正方形对边平行得∠ABG=∠BEC，结合直角相等证ΔABG∽ΔBEC，用相似三角形面积比等于相似比平方求SΔABG，再由AF=AB、AG⊥BE得BF=2BG，故S16．【答案】6【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】如图，过点M作GH||AB交AD，BC于点G，H，则由材料知S矩形BEMH=S矩形MGDF，

可知S△BEM=S△DMF，

即12EM·BE=12DF·MF，

因为BE=CF=4，

所以12×3×4=12×2×MF，17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴PB=PC=PD，AC⊥BD.∴△BPC，△CPD都是等腰直角三角形.∴∠PBE=∠PCF=45°.∵PE⊥PF，∴∠BPC=∠EPF=90°.∴∠BPC-∠EPC=∠EPF-∠EPC，即∠BPE=∠CPF.在△PBE和△PCF中∠BPE=∠CPE∴△PBE≌△PCF(ASA).∴PE=PF.（2）解：过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M，N.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠PCM=∠PCN.∴四边形PMCN是矩形.∴PM∥CN.∴∠MPC=∠PCN.∴∠MPC=∠PCM.∴PM=CM.∴四边形PMCN是正方形.∴PM=PN，∠MPN=∠EPF=∠PME=∠PNF=90°.∴∠MPN-∠MPF=∠EPF-∠MPF，即∠EPM=∠FPN.在△PEM和△PFN中∠EPM=∠FPN∴△PEM≌△PFN(ASA).∴PE=PF.（3）PE=【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】（3）解：连接EF，

∵PE⊥PF，∴∠EPF=90°，

∵∠BCD=90°，CE=4，CF=2，

∴EF=CE2+CF2=25,

∵PE=PF，

∴EF2=PE218．【答案】（1）解：①AE=AF.②证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC，∠BCD=120°.∴△ABC是等边三角形，F∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ACD=60°，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，又∵∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴BE=CF.（2）解：由(1)知△BAE≌△CAF，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴△AEF的周长=EF+AE+AF=3AE，如图，作AH⊥BC，垂足为H，∴当AE最小时，△AEF的周长最小，则当AE⊥BC时，AE最短，即点E与点H重合∵AB=10，∠ABC=60°，∴∠HAB=30°，∴BH=5，∴AH=5∴△AEF的周长的最小值=3AH=15∴当AE⊥BC时，所需的篱笆长度最短，最短为153米.【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：(1)AE=EF，

理由如下：

连接AC，如图：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=CB，AD//BC，∠ABC=60°

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAD=120°，∠D=60°

∵E是BC的中点，

∴∠BAE=30°，AE⊥BC

∵∠EAF=60°

∴∠DAF=∠BAD-∠EAF-∠BAE=30°

∴∠AFD=90°

∴AE=AF

∴△AEF是等边三角形

∴AE=AF=EF

故答案为：AE=EF.

【分析】(1)连接AC，证明△ABC是等边三角形，即可得出AE=AF：

(2)连接AC，证明△BAE≌△CAF(ASA)，得到BE=CF；

(3)由(1)知△AEF的周长=3AE，作AH⊥BC，垂足为H，当AE最小时，△AEF的周长最小，则当AE⊥BC时，AE最短，即点E与点H重合，进而即可求解.19．【答案】（1）-16（2）解：∵关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0是“快乐方程”

∴∆=−2m−12−4×1×m2−2m−3=4m+13

（3）0或3【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【解析】【解答】解：

（1）∵a=1,b=−4,c=−12

∴F1,−4,−12=4×1×−12−−424×1=−16

（3）∵a=1、b=−m、c=m+1、p=1、q=−n+1、r=2n

∴Fa,b,c=4m+1−m24=−m−22−84、Fp,q,r=8n−n+224=−n−224

∵m−22−8是个完全平方数

∴m=−1或m=5

∵r·Fa,b,c=c·Fp,q,r20．【答案】（1）40（2）因为参赛队伍总数为偶数个，所以A组，B组队伍数一样多.所以设A组、B组队伍数均为x队，

则x(x−1)解得∴x1=8，则8+8=16队答：本次比赛参赛队伍个数为16队（3）能.因为参赛队伍总数为奇数，

所以设A组有y队，则B组有(y+1)队.所以y(y−1)解得∴y1=9，所以y+1=10则9+10=19队答：参赛的队伍数为19队是，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的应用-数字问题【解析】【解答】解：（1）∵参赛班级共有10个，为偶数，

∴A、B两组各有10÷2=5个班级，

∵单循环赛制中，n个队伍的总场次为nn−12，

∴代入n=5，可得5×5−12=10（场），

∴两组总场次为10×2=20（场），

∵每场比赛无论胜负，总得分固定为2分，

∴总得分为：20×2=40（分），

故答案为：40.

【分析】（1）先求出A、B两组各有10÷2=5个班级，再求出两组总场次为10×2=20（场），最后结合“每场比赛无论胜负，总得分固定为2分”列出算式求出总分即可；

（2）设A组、B组队伍数均为x队，根据“全部队伍累计总得分为112分”列出方程x(x−1)2×2×2=11221．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD.∵M是BD的中点，∴BM=DM，∵∠DME=∠BMN.∴△EDM≌△NBM(ASA)，

∴DE=BN.∵在矩形ABCD中，AD=BC，∴AD-DE=BC-BN，即AE=CN（2）解：若△BEN是等腰三角形时，需分情况：①如解图①，当BE=BN时，∵EM⊥BD，∴∠EBM=∠NBM=∠ADB，∴BE=DE，∴∵在Rt△ABD中，∠A=90°，AD=2AB，∴∴∵∠EDM=∠BDA，∠A=∠EMD=90°.∴△EDM∽△BDA，∴即5∴∴∴∴②如解图②，当EB=EN时，∠EBC=∠ENB.∵∠C=∠EMB=90°=∠NMB，∴∠ENB=∠BDC=∠ABD.∴∠ABD=∠EBC，∵∠ABE+∠EBN=∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ABE=∠CBD=∠ADB.∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ADB，∴∵AD=2AB，∴∴∴AD=4AE，即n=4；③如解图③，当NE=NB时，∠NEB=∠NBE