2026年四川省乐山市中考数学真题及答案解析

第1页（共1页）2026年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。1．（3分）下面几何体中，是球体的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各数是不等式x﹣1＞0的解的是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣13．（3分）2025年，我国人工智能核心产业规模突破1.2万亿元．数据1200000000000用科学记数法表示为（）A．1.2×109 B．1.2×1010 C．1.2×1011 D．1.2×10124．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝40°，则∠2＝（）A．20° B．40° C．50° D．140°5．（3分）一个布袋里放着3个红球和2个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）若实数a、b满足，则ab的值是（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣67．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF．若S△DEF＝1，则S△ABC＝（）A．2 B．4 C．6 D．88．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件后，不能确定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC9．（3分）若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论：①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）；②二次函数的顶点坐标是；③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2；④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值与c无关．其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。11．（3分）﹣3的相反数是．12．（3分）sin30°＝．13．（3分）一组数据3，7，9，12，15的中位数是．14．（3分）已知方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1和x2，则x1x2＝．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝．16．（3分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为四边形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有（填序号）；①1；②25；③36．（2）我们将k边形数中第n个数记为N（n，k）（k≥3）．已知，N（n，4）＝n2，则N（n，5）＝．（用含有n的代数式表示）三、解答题：本大题共10个小题，共102分。17．（9分）计算：．18．（9分）解方程组：．19．（9分）化简：（x+3）（x﹣3）﹣x2．20．（10分）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD．21．（10分）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．课程内容人数A《论语》21B《史记》9C《天工开物》12D《九章算术》m根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人，表中m的值为；（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数的图象交于P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）两点，连结OP、OQ．（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；（2）求△POQ的面积．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在BA延长线上，连结CD，且∠ACD＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若tanD，⊙O的半径为3，求AD的长．24．（10分）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．【感知密铺】同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．正多边形的边数3456…正多边形的内角和180°360°540°720°…正多边形每个内角的大小60°90°108°a…表中a＝，正六边形（填“能”或“不能”）铺满地面．【探导密铺】同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径．图中，②号三角形可看成①号三角形通过（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过（填“平移”或“旋转”）得到．【创作密铺】最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图．25．（12分）如图，在矩形ABCD中，，AD＝1，点P在线段CD上（点P不与点D重合）．连结AP，将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，点D的对应点为D′．（1）求AD'的长度；（2）求证：当DP＝1时，四边形AD′PD为正方形；（3）若点Q在线段AB上，且，连结CQ，将△BCQ沿CQ翻折得到△B'CQ，点B的对应点为B'．设点B'与点D'之间的距离为d，求d的取值范围．26．（13分）已知抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点P．（1）求A、B两点的坐标；（2）直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C交于D，E两点．①若A、B两点到直线l距离相等，则直线l过定点，请求出这个定点，并说明理由；②若∠DPE＝90°，试问直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2026年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。1．（3分）下面几何体中，是球体的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原图是圆柱，故本选项不符合题意；B．原图是圆锥，故本选项不符合题意；C．原图是球，故本选项符合题意；D．原图是三棱锥，故本选项不符合题意．故选：C．2．（3分）下列各数是不等式x﹣1＞0的解的是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：由x﹣1＞0得，x＞1，显然只有A选项符合题意．故选：A．3．（3分）2025年，我国人工智能核心产业规模突破1.2万亿元．数据1200000000000用科学记数法表示为（）A．1.2×109 B．1.2×1010 C．1.2×1011 D．1.2×1012【解答】解：1200000000000＝1.2×1012．故选：D．4．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝40°，则∠2＝（）A．20° B．40° C．50° D．140°【解答】解：由题知，∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2＝∠1＝40°．故选：B．5．（3分）一个布袋里放着3个红球和2个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：布袋中球的总数为：3+2＝5（个），因此从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．故选：A．6．（3分）若实数a、b满足，则ab的值是（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6【解答】解：∵（b+3）2＝0，0，（b+3）2≥0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，则ab＝2×（﹣3）＝﹣6，故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF．若S△DEF＝1，则S△ABC＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，∴DEAC，EFAB，DFBC，∴，∴△DEF∽△CAB，∴，∵S△DEF＝1，∴S△ABC＝4．故选：B．8．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件后，不能确定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC【解答】A项，增加条件AB＝AD，因为四边形ABCD是平行四边形，根据“在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形．故A项表述正确．B项，增加条件AC⊥BD，根据“对角线相互垂直的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形．故B项表述正确．C项，增加条件AC＝BD，由“对角线相等的平行四边形是矩形”可得四边形ABCD是矩形，当矩形ABCD不是正方形时，矩形ABCD就不是菱形．故C项表述错误．D项，增加条件∠BAC＝∠DAC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以∠ACB＝∠DAC，所以∠ACB＝∠BAC，所以AB＝BC．根据“在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形ABCD是菱形．故D项表述正确．故选：C．9．（3分）若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原分式中的a和b都变为原来的2倍的分式为，故本选项符合题意；B．原分式中的a和b都变为原来的2倍的分式为，故本选项不符合题意；C．原分式中的a和b都变为原来的2倍的分式为，故本选项不符合题意；D．原分式中的a和b都变为原来的2倍的分式为，故本选项不符合题意．故选：A．10．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论：①二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c）；②二次函数的顶点坐标是；③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2；④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值与c无关．其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，∴当x＝0时，y＝c，则二次函数图象与y轴的交点坐标是（0，c），故①正确；②由题意得，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x，∴顶点坐标为（，c），故②错误；③∵二次函数为y＝x2+bx+c，∴抛物线开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又∵二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，对称轴是直线x，∴|﹣1|＞|3|．∴当3时，即b＜﹣6，则13，符合题意；当﹣31时，即﹣6≤b≤2，则13，可得b＜﹣2，故﹣6≤b＜﹣2；当1时，即b＞2，则1＞3，无解，∴b＜﹣2，故③错误；④由题意，当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，不妨设当x＝x1时，取最大值m；当x＝x2时，取最小值为n，∴mbx1+c，nbx2+c，∴m﹣n＝（bx1+c）﹣（bx2+c）bx1bx2．∴m﹣n的值与c无关，故④正确．故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。11．（3分）﹣3的相反数是3．【解答】解：﹣3的相反数是3．故答案为：3．12．（3分）sin30°＝．【解答】解：sin30°．故答案为：．13．（3分）一组数据3，7，9，12，15的中位数是9．【解答】解：把这组数据从小到大排序为3，7，9，12，15，共5个数据，第三个数据为中位数，∴这组数据的中位数为9，故答案为：9．14．（3分）已知方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1和x2，则x1x2＝3．【解答】解：由题知，因为方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1和x2，所以x1x2．故答案为：3．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝5．【解答】解：由勾股定理得，，∵∠ABC＝90°，D是AC的中点，∴．16．（3分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为四边形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有①③（填序号）；①1；②25；③36．（2）我们将k边形数中第n个数记为N（n，k）（k≥3）．已知，N（n，4）＝n2，则N（n，5）＝n2．（用含有n的代数式表示）【解答】解：（1）第一行的三角形数分别为1，3，6，10，15，21，28，36，⋯⋯第二行的四边形数分别为1，4，9，16，25，36，49，⋯⋯第三行的五边形数分别为1，5，12，22，35，51，⋯⋯故1和36既是三角形又是四边形数．故答案为：①③．（2）设N（n，3）n2n，N（n，4）＝n2都是n的二次函数，∴N（n，5）也是n的二次函数，则设N（n，5）＝an2+bn+c，则，解得：，∴N（n，5）n2．故答案为：n2．三、解答题：本大题共10个小题，共102分。17．（9分）计算：．【解答】解：＝2+2＝4．18．（9分）解方程组：．【解答】解：，①﹣②得：x＝4，把x＝4代入②得：4+y＝1，解得：y＝﹣3，故原方程组的解为．19．（9分）化简：（x+3）（x﹣3）﹣x2．【解答】解：（x+3）（x﹣3）﹣x2＝x2﹣9﹣x2，＝﹣9．20．（10分）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD．【解答】证明：在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC＝BD．21．（10分）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．课程内容人数A《论语》21B《史记》9C《天工开物》12D《九章算术》m根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有60人，表中m的值为18；（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．【解答】解：（1）根据题意，得学生一共有12÷20%＝60（人），故表中m的值为60﹣21﹣9﹣12＝18，故答案为：60，18；（2）由题可列表：第一次第二次ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）∴P（恰好选到课程A和课程．22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数的图象交于P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）两点，连结OP、OQ．（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；（2）求△POQ的面积．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象经过点P（﹣1，a）、Q（b，﹣1），∴﹣（﹣1）+1＝a，﹣b+1＝﹣1，解得a＝2，b＝2，∴P（﹣1，2）、Q（2，﹣1），∵反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），∴k＝﹣2，∵反比例函数的表达式为；（2）如图，设一次函数y＝﹣x+1与x轴相交于点A，与y轴交于点B，令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），∴OA＝1，又∵P（﹣1，2），Q（2，﹣1），∴．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在BA延长线上，连结CD，且∠ACD＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若tanD，⊙O的半径为3，求AD的长．【解答】（1）证明：如图所示，连接OC，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠BCO，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，即∠OCD＝90°，又∵OC是⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：由（1）得∠OCD＝90°，∵，⊙O的半径为3，∴，即，∴CD＝4，∴，∴AD＝OD﹣OA＝5﹣3＝2．24．（10分）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．【感知密铺】同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．正多边形的边数3456…正多边形的内角和180°360°540°720°…正多边形每个内角的大小60°90°108°a…表中a＝120°，正六边形能（填“能”或“不能”）铺满地面．【探导密铺】同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径．图中，②号三角形可看成①号三角形通过平移（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过旋转（填“平移”或“旋转”）得到．【创作密铺】最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图．【解答】解：【感知密铺】正六边形的内角和720°，则正六边形每个内角的大小，∵3×120°＝360°，即三个正六边形内角恰好组成一个周角，∴正六边形能铺满地面，故答案为：120°；能；【探导密铺】②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到；③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到，故答案为：平移，旋转；【创作密铺】点A位置的密铺设计图如图：25．（12分）如图，在矩形ABCD中，，AD＝1，点P在线段CD上（点P不与点D重合）．连结AP，将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，点D的对应点为D′．（1）求AD'的长度；（2）求证：当DP＝1时，四边形AD′PD为正方形；（3）若点Q在线段AB上，且，连结CQ，将△BCQ沿CQ翻折得到△B'CQ，点B的对应点为B'．设点B'与点D'之间的距离为d，求d的取值范围．【解答】（1）解：∵△ADP沿AP翻折得到ΔAD′P，∴AD'＝AD，又∵AD＝1，∴AD'＝1；（2）证明：法一：∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P，∴AD'＝AD＝1，D'P＝DP＝1∴AD'＝AD＝D'P＝DP，∴四边形AD′PD是菱形，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°∴四边形AD′PD是正方形；法二：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，又∵△ADP沿AP翻折得到ΔAD′P，∴∠AD'P＝∠D＝90°，∠DAP＝∠D'AP，∵DP＝AD＝1，∴∠DAP＝45°，∴∠DAP＝∠D'AP＝45°，∴∠DAD'＝2∠DAP＝90°，∴四边形AD′PD是矩形，又∵DP＝AD，∴四边形AD′PD是正方形；（3）解：①当B′与D'重合时，此时d＝0．②当点P与点C