2026年四川省南充市中考数学真题及答案解析

第1页（共1页）2026年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分。1．（4分）计算2+（﹣2）结果是（）A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．42．（4分）如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（）A．PA B．PB C．PC D．PD3．（4分）已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如表．如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择（）运动员甲乙丙丁方差2.15.24.31.1A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．（4分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（）A．3x+5＝5x﹣7 B．5x+3＝7x﹣5 C．3x﹣5＝5x+7 D．5x﹣3＝7x+55．（4分）如图，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β大小为（）A．95° B．100° C．105° D．110°6．（4分）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，则OE长为（）A．1 B． C．2 D．7．（4分）已知x＝1，则x3﹣2x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（4分）反比例函数图象经过M（a，﹣3），N（2，b）两点，若a＜﹣2，则b的取值范围是（）A．b＜﹣3 B．b＞﹣3 C．b＜3 D．b＞39．（4分）中国古代思想家庄子在《墨经》中记载了小孔成像实验．图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A，B的对应点分别是A′，B′），且AB⊥A′B，A′B′⊥A′B，若AB＝10cm，P到A′B的距离PQ＝6cm，则A′B′长为（）A．12cm B．13.5cm C．15cm D．18cm10．（4分）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O的直线l与抛物线C1，C2的另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m的值为（）A．﹣3或 B．﹣3或1 C．或 D．或1二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上。11．（4分）若0，则x的值为．12．（4分）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式CO2，H2O，Fe．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线MN分别交AC，AB于点D，E，则DE的长为．14．（4分）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为cm．15．（4分）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为．16．（4分）如图，点P在正方形ABCD内，且AP＝AB＝1，将PB绕点B顺时针旋转90°得到P′B，连接PC，P′C，PP′，PP′交BC于点M．下列结论：①CP′＝1；②PC的最小值为2；③D，P，P′三点共线；④当△MCP′为等腰三角形时，BP′的长为．其中正确结论为．（填写序号）三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）先化简，再求值：2a•（﹣a）+（a+3）2+（a+2）（a﹣2），其中a＝﹣2．18．（8分）请在横线上添加下列条件中的一个：①AE＝CF，②BE＝BF，③BE∥DF，使结论成立，并完成证明．【条件】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，．（选填序号，选择一个正确的即可）【结论】∠ABE＝∠CDF．19．（8分）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组：A组（50≤x＜60），B组（60≤x＜70），C组（70≤x＜80），D组（80≤x＜90），E组（90≤x≤100）．并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝；m名队员比赛成绩的中位数落在组（选填组名）．（2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．20．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x2，求k的值．21．（10分）如图，一次函数图象与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于点B（6，0），与反比例函数图象交于点C（m，1）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）点P在反比例函数第一象限图象上，∠BOP＝∠OAB，求点P的坐标．22．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为切线，点D在⊙O上，∠C+2∠B＝180°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AC＝10，cosC，求AB的长．23．（10分）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息．背景某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利．鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）素材一若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚；若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚．素材二现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；加工厂安排皮蛋加工线不低于3条；一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．素材三每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元；一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理．根据以上信息，完成下列任务：【任务一】（1）该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？【任务二】（2）工厂有几种安排加工线的方案？【任务三】（3）如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．24．（10分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AP＝AB．【初步感知】（1）如图1，点P在线段AC上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB的长．【深入探究】（2）如图2，点P在线段CD上，若CP＝DP，设AB长为x，AC长为y，求y与x之间的函数关系式．【拓展运用】（3）如图3，点P在线段CD上，将△ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求的值．25．（12分）已知抛物线y＝﹣（x﹣t）2+1（t为常数）．（1）若抛物线过点（﹣3，m），（1，m），求t的值．（2）抛物线与x轴交于A，B两点，点P（2t﹣1，0）为线段AB上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线yx﹣3交于点M，N，求MN最大值．（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）都在抛物线上，当﹣2t﹣1≤x1≤﹣2t，2≤x2≤4时，都有y1＜y2，求t的取值范围．

2026年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的。请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分。1．（4分）计算2+（﹣2）结果是（）A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4【解答】解：根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得0．∴2+（﹣2）＝2﹣2＝0．故选：C．2．（4分）如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【解答】解：如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是PC，故选：C．3．（4分）已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如表．如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择（）运动员甲乙丙丁方差2.15.24.31.1A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，而方差最小的是丁．∴如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择丁；故选：D．4．（4分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（）A．3x+5＝5x﹣7 B．5x+3＝7x﹣5 C．3x﹣5＝5x+7 D．5x﹣3＝7x+5【解答】解：根据题意得：5x+3＝7x﹣5．故选：B．5．（4分）如图，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β大小为（）A．95° B．100° C．105° D．110°【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BDC＝∠A+∠α＝60°+40°＝100°，∵a∥b，∴∠β＝∠BDC＝100°．故选：B．6．（4分）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，则OE长为（）A．1 B． C．2 D．【解答】解：∵直径AB⊥CD，∴CECD2＝1，∵OC＝OB＝2，∴OE．故选：B．7．（4分）已知x＝1，则x3﹣2x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵，且x≠0，∴等式两边同乘x得1﹣x2＝x，整理得x2＝1﹣x，对所求式变形得x3﹣2x＝x•x2﹣2x，将x2＝1﹣x代入得x•x2﹣2x＝x（1﹣x）﹣2x＝﹣x2﹣x，再将x2＝1﹣x代入上式得﹣x2﹣x＝﹣（1﹣x）﹣x＝﹣1，∴x3﹣2x的值为﹣1．故选：A．8．（4分）反比例函数图象经过M（a，﹣3），N（2，b）两点，若a＜﹣2，则b的取值范围是（）A．b＜﹣3 B．b＞﹣3 C．b＜3 D．b＞3【解答】解：反比例函数图象经过M（a，﹣3），N（2，b）两点，设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得k＝xy，∴k＝﹣3a＝2b，∴，∵a＜﹣2，∴，解得b＞3．故选：D．9．（4分）中国古代思想家庄子在《墨经》中记载了小孔成像实验．图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A，B的对应点分别是A′，B′），且AB⊥A′B，A′B′⊥A′B，若AB＝10cm，P到A′B的距离PQ＝6cm，则A′B′长为（）A．12cm B．13.5cm C．15cm D．18cm【解答】解：物体AB在幕布上形成倒立的实像A′B′（点A、B的对应点分别是A′、B′）．若物体AB的高为10cm，小孔P到地面距离PQ为6cm，∴PQ∥AB，∴△A′PQ∽△A′AB，∴，∵PQ∥A′B′，∴△BPQ∽△BB′A′，∴，则①+②得，∴1，∴1，∵AB＝10cm，PQ＝6cm，∴1，解得A′B′＝15，∴实像A′B′的高度为15cm．故选：C．10．（4分）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O的直线l与抛物线C1，C2的另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m的值为（）A．﹣3或 B．﹣3或1 C．或 D．或1【解答】解：设过原点直线l：y＝kx（k≠0），联立方程组，则mx2＝kx，∴x（mx﹣k）＝0，舍去原点x＝0，得；联立方程组，则（m+2）x2＝kx，∴x[（m+2）x﹣k]＝0，舍去原点x＝0，得．∴，，∵OA2＝3OA1，∴|m|＝3|m+2|．∴m＝﹣3或m．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上。11．（4分）若0，则x的值为﹣1．【解答】解：由已知可得，解得：x＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（4分）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式CO2，H2O，Fe．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为．【解答】解：把写有化学式CO2，H2O，Fe的3张的卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的结果有2种，即AB、BA，∴这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为，故答案为：．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线MN分别交AC，AB于点D，E，则DE的长为3．【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴AD＝CDAC＝4，∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴DE∥BC，∴1，∴AE＝BEAB＝5，在Rt△ADE中，∵AD＝4，AE＝5，∴DE3．故答案为：3．14．（4分）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为100cm．【解答】解：如图，将长方体的前面和右面展开，∴PQ（cm）；如图，将长方体的前面和上面展开，∴PQ（cm）；如图，将长方体的下面和右面展开，∴PQ（cm）；∵25＜29，∴5，∴100＜20，∴蚂蚁爬行的最短距离为100cm，故答案为：100．15．（4分）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为1或3．【解答】解：当y＝0时，x2+mx+m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2．∵AB，∴|x1﹣x2|．∴m2﹣4m+3＝0，∴m＝1或3．故答案为：1或3．16．（4分）如图，点P在正方形ABCD内，且AP＝AB＝1，将PB绕点B顺时针旋转90°得到P′B，连接PC，P′C，PP′，PP′交BC于点M．下列结论：①CP′＝1；②PC的最小值为2；③D，P，P′三点共线；④当△MCP′为等腰三角形时，BP′的长为．其中正确结论为①③．（填写序号）【解答】解：对于①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，由旋转的性质可得，∠PBP'＝90°，BP＝BP′，∵∠ABP+∠CBP＝90°，∠CBP'+∠CBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP'中，，∴△ABP≌△CBP'（SAS），∴CP'＝AP＝1，故①正确；对于②，如图，连接AC，在Rt△ABC中，，∵，∴当A、P、C三点共线时，PC取得最小值，故②错误；对于③，如图，连接DP，设∠BAP＝α，则∠DAP＝90°﹣α，∵AB＝AP，∴，∵AB＝AD，∴AD＝AP，∴，∴∠DPB＝∠APD+∠APB＝135°，∵∠PBP'＝90°，BP＝BP'，∴∠BPP'＝∠BP'P＝45°，∵∠BPP'+∠DPB＝180°，∴D，P，P'三点共线，故③正确；对于④，如图，设CM＝x，∵∠CMP＝∠DCM+∠CMD＝90°+∠CMD＞90°，又∵△MCP'为等腰三角形，∴CM＝MP'＝x，∴∠CP′M＝∠MCP'，∵CP'＝1＝CD，∴∠CDP′＝∠CP′M＝∠MCP′，∴△MCP′∽△CDP′，∴，即，∴，∴，在Rt△CDM中，CM2+CD2＝DM2，∴，整理，得，解得（负值舍去），∴，，在Rt△CDM中，，∴∠CDM＝30°，∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDM＝60°，又∵AD＝AP，∴△ADP是等边三角形，∴DP＝AD＝1，∴，在Rt△BPP'中，，故④错误；综上，正确的结论为①③．故答案为：①③．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（8分）先化简，再求值：2a•（﹣a）+（a+3）2+（a+2）（a﹣2），其中a＝﹣2．【解答】解：2a•（﹣a）+（a+3）2+（a+2）（a﹣2）＝﹣2a2+（a2+6a+9）+（a2﹣4）＝﹣2a2+a2+6a+9+a2﹣4＝6a+5，当a＝﹣2时，原式＝6×（﹣2）+5＝﹣7．18．（8分）请在横线上添加下列条件中的一个：①AE＝CF，②BE＝BF，③BE∥DF，使结论成立，并完成证明．【条件】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，①或③．（选填序号，选择一个正确的即可）【结论】∠ABE＝∠CDF．【解答】解：选择①证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠ABE＝∠CDF；选择③证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∴ED∥BF，又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴∠EBF＝∠EDF，∴∠ABC﹣∠EBF＝∠ADC﹣∠EDF，即∠ABE＝∠CDF；故答案为：①或③．19．（8分）为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组：A组（50≤x＜60），B组（60≤x＜70），C组（70≤x＜80），D组（80≤x＜90），E组（90≤x≤100）．并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝20；m名队员比赛成绩的中位数落在C组（选填组名）．（2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．【解答】解：（1）由统计图可知，m＝7÷35%＝20，m名队员比赛成绩的中位数落在C组，故答案为：20，C；（2）树状图如下所示，，由上可得，一共有12种等可能性，其中甲、乙两名队员恰好被选中的可能性有2种，∴甲、乙两名队员恰好被选中的概率为．20．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x2，求k的值．【解答】（1）证明：∵原方程为x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0，∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k﹣2）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k+8＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：由条件可知x1+x2＝2k+1，，∵x1＝2x2，∴2x2+x2＝2k+1，∴，∴，代入得：，整理得k2+k﹣20＝0，解得k＝4或k＝﹣5．21．（10分）如图，一次函数图象与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于点B（6，0），与反比例函数图象交于点C（m，1）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）点P在反比例函数第一象限图象上，∠BOP＝∠OAB，求点P的坐标．【解答】解：（1）设一次函数为y＝kx+b（k≠0），∵点A（0，﹣3），B（6，0）在一次函数图象上，∴，解得，∴一次函数解析式为；∵点C（m，1）在直线上，∴C（8，1），设反比例函数的解析式为（n≠0），∴，解得n＝8，∴反比例函数为；（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵点A（0，﹣3），B（6，0），∴OA＝3，OB＝6，∵∠AOB＝∠PQO＝90°，∠BOP＝∠OAB，∴△AOB∽△OQP，∴，∴PQ＝2OQ，设点P（a，2a）（a＞0），又点P在反比例函数上．∴，取正数解得a＝2．经检验a＝2是原方程的解．∴P（2，4）．22．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为切线，点D在⊙O上，∠C+2∠B＝180°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AC＝10，cosC，求AB的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵在⊙O中，AB为直径，AC为切线，∴AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵点D在⊙O上，∴∠AOD＝2∠B，∵∠C+2∠B＝180°，∴∠C+∠AOD＝180°，∴∠ODC＝360°﹣（∠C+∠AOD）﹣∠BAC＝90°，∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：作AF⊥CD于点F，OE⊥AF于点E，则∠AFC＝∠OEA＝90°，∵CD与⊙O相切于点D，AC与⊙O相切于点A，∴CD＝AC＝10，∵cosC，∴CFAC10＝6，∵∠OEF＝∠EFD＝∠ODF＝90°，∴四边形ODFE是矩形，∴OE＝DF＝CD﹣CF＝10﹣6＝4，∵∠OAE+∠CAF＝90°，∠C+∠CAF＝90°，∴∠OAE＝∠C，∴cos∠OAE＝cosC，∴AEOA，∵OEOA＝4，∴OA＝5，∴AB＝2OA＝10，∴AB的长为10．23．（10分）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息．背景某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利．鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）素材一若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚；若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚．素材二现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；加工厂安排皮蛋加工线不低于3条；一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．素材三每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元；一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理．根据以上信息，完成下列任务：【任务一】（1）该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？【任务二】（2）工厂有几种安排加工线的方案？【任务三】（3）如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．【解答】.解：（1）由题意，设加工厂每条加工线每月可分别加工皮蛋，咸蛋m，n万枚．∴∴答：加工厂每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，咸蛋2万枚；（2）设该月有x条加工线加工皮蛋，有（9﹣x）条加工线加工咸蛋．由题意得，．∴．∵加工厂安排皮蛋加工线不低于3条，∴，又∵x为正整数，∴x＝3或4或5．∴加工厂有3种安排方案；（3）由题意得，未能加工的鸭蛋数：30﹣3x﹣2（9﹣x）＝12﹣x＞0．设该月的利润为y万元．∴y＝3x×0.7+2（9﹣x）×1.2﹣（12﹣x）×0.1＝﹣0.2x+20.4．∵﹣0.2＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝3时，y取得最大值，y最大＝19.8（万元），即安排3条皮蛋加工线，6条咸蛋加工线可获得最大利润19.8万元．24．（10分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AP＝AB．【初步感知】（1）如图1，点P在线段AC上，若OP＝2CP，AC＝6，求AB的长．【深入探究】（2）如图2，点P在线段CD上，若CP＝DP，设AB长为x，AC长为y，求y与x之间的函数关系式．【拓展运用】（3）如图3，点P在线段CD上，将△ADP沿直线AP折叠，若点D落在BC边上，求的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴OC＝OA＝3，∵OP＝2CP，∴OP＝2，∴AB＝AP＝OP+OA＝5；（2）过点P作PE⊥AC于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴PE∥BD，∵CP＝DP，AB＝x，AC＝y，∴，，，∴，在Rt△PCE中，，在Rt△PAE中，，即，整理得，即，（舍去）．∴y与x之间的函数关系式为（x＞0）；（3）如图，设AP交BD于点F，将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D′，连接PD′，AD′，则AD＝AD′＝AP＝AB，∠D′AP＝∠DAP，又∠ABD′＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD＝∠APD′＝∠AD′P＝∠AD′B＝∠ABD′，∴∠DAP＝∠D′AP＝∠BAD′，∵AB∥CD，∴∠APD＝∠PAB＝2∠DAP．∵∠PDA+∠APD+∠DAP＝180°，∴5∠DAP＝180°，∴∠DAP＝36°，∠APD＝∠ADP＝72°，∴，∴∠PDF＝∠DAP＝∠ADF，∴∠DPF＝∠DFP＝72°，∴DF＝AF＝PD．又∠DPF＝∠APD，∴△PDF∽△