2026年小升初数学思维训练：第八章立体图形问题典例精讲

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第八章

立体图形问题知识概述小学阶段学过的规则立体图形有正方体、长方体、圆柱、圆锥和球，通过组合、拼接等方式处理这些规则的立体图形又能得到很多不规则的立体图形。由这些立体图形衍生出来的问题主要包括求它们的表面积、体积，或者已知表面积、体积等其他条件，求解长、宽、高或者半径和高等未知量。要想解决好立体图形问题，首先要掌握好各种立体图形的表面积和体积计算公式，理解它们所表示的含义。其次要有良好的空间想象能力，能想象出各种图形是如何组成一个复杂图形的，可以想象出这些立体图形的展开图，知道它们从不同的方向看去分别是什么形状。最后要有联系实际生活的意识，将自己所学的知识和实际相结合，才能更好地理解这些问题，感受生活中的数学之美。典例精讲1．有一个长方形铁皮，长40厘米，宽30厘米，在它的四角各剪去一个边长为5厘米的正方形，做成一个无盖的长方体铁盒，求这个铁盒的容积。（铁皮的厚度忽略不计）【同步精练】2．现有一块长方形铁皮，长为26厘米，在四个角上剪去边长为3厘米的正方形，将它焊接成容积为840立方厘米的无盖容器，这块铁皮原来的宽是多少厘米？3．有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？【同步精练】4．有一个棱长为40厘米的正方体零件，它的上、下两个面的正中间各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。试求这个零件的表面积。5．有一个粮囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体。圆柱底面周长是12.56米，高4米；圆锥高3米。求这个粮囤的体积。【同步精练】6．如图所示的一个零件，右边是高为10厘米，底面半径为2厘米的圆柱，左边是一个圆锥，它的高是2厘米，求这个零件的体积。（结果保留两位小数）7．把一个圆柱体沿着底面直径竖直切成两部分，已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2020平方厘米，这个圆柱体的侧面积是多少平方厘米？（π取3.14）【同步精练】8．把一个底面直径是6厘米的圆柱，沿底面直径和高切开（如下图），表面积增加48平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《第八章立体图形问题典例精讲》参考答案：1．3000立方厘米【难度】0.65【知识点】体积相关问题【分析】根据题意，将长方形铁皮四角各剪去一个边长为5厘米的正方形后，折叠成的无盖长方体铁盒的长等于原铁皮的长减去2个剪去的正方形边长，宽等于原铁皮的宽减去2个剪去的正方形边长，高等于剪去的正方形边长。利用长方体的体积公式“体积＝长×宽×高”列式计算即可。因为铁皮的厚度忽略不计，所以体积就等于容积。【详解】（40－5×2）×（30－5×2）×5＝（40－10）×（30－10）×5＝30×20×5＝600×5＝3000（立方厘米）答：这个铁盒的容积是3000立方厘米。2．20厘米【难度】0.65【知识点】体积相关问题【分析】将长方形铁皮四个角剪去正方形后焊接成无盖容器，容器的高等于剪去的正方形边长，容器的长和宽分别等于原铁皮的长和宽减去两个正方形边长。已知容器的容积、高和原铁皮的长，可根据“容积＝长×宽×高”先求出容器的宽，再加上两个正方形边长即可求出原铁皮的宽。【详解】容器的长：26－3×2＝20（厘米）容器的宽：840÷3÷20＝14（厘米）铁皮原来的宽：14＋3×2＝20（厘米）答：这块铁皮原来的宽是20厘米。3．533.8平方厘米【难度】0.65【知识点】圆柱的侧面积、圆柱的表面积、组合体的表面积（圆柱）【分析】这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面积，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱的底面。所以，这个零件接触空气的面积即涂漆面积＝高12厘米，底面直径是8厘米的圆柱的表面积＋直径是6厘米，高为7厘米的圆柱的侧面积。圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高。圆的面积（底面积）＝π×半径2，据此代入数据计算。【详解】＝3.14×42×2＋25.12×12＋18.84×7＝3.14×16×2＋301.44＋131.88＝100.48＋301.44＋131.88＝401.92＋131.88＝533.8（平方厘米）答：一共需涂533.8平方厘米。4．9862.08平方厘米【难度】0.65【知识点】组合体的表面积【分析】40＞10＋10，所以两个圆孔没有相连；如图：运用正方体的表面积减去两个圆的面积再加上两个圆柱的侧面积，就是这个机器零件的表面积。【详解】这个机器零件的表面积：40×40×6﹣3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×10×2＝9600﹣25.12＋251.2＝9826.08（平方厘米）答：剩下机器零件的表面积9862.08平方厘米。【点睛】本题考查了正方体圆柱体的体积公式及它们的表面积及侧面积公式。考查了学生的空间想象及思维能力。5．62.8立方米【难度】0.7【知识点】体积相关问题、圆锥和圆柱【分析】根据“圆的周长＝π×直径”得“直径＝圆的周长÷π”。用直径除以2求出圆的半径。再用圆的面积公式S＝πr2求出圆柱体的底面积，这个面积也是圆锥体的底面积。然后再用圆柱的体积公式V＝Sh和圆锥的体积公式V＝Sh分别求出圆柱体和圆锥体的体积并相加即可。【详解】底面直径：12.56÷3.14＝4（米）底面半径：4÷2＝2（米）底面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米）圆柱体的体积：12.56×4＝50.24（立方米）圆锥体的体积：×12.56×3＝12.56（立方米）50.24＋12.56＝62.8（立方米）答：这个粮囤的体积是62.8立方米。6．133.97立方厘米【难度】0.75【知识点】体积相关问题、圆锥和圆柱【分析】先用圆的面积公式S＝πr2求出圆柱的底面积，这个面积也是圆锥的底面积。然后再用圆柱的体积公式V＝Sh和圆锥的体积公式V＝Sh分别求出圆柱和圆锥的体积并相加即可。【详解】底面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）圆柱体积：12.56×10＝125.6（立方厘米）圆锥体积：×12.56×2≈8.37（立方厘米）125.6＋8.37＝133.97（立方厘米）答：这个零件的体积是133.97立方厘米。7．3171.4平方厘米【难度】0.65【知识点】表面积相关问题、圆锥和圆柱【分析】圆柱体沿着底面直径竖直切成两部分后，增加了两个以底面直径为长，圆柱的高为宽的长方形的面积，设底面直径为d，圆柱高为h。分别将增加的长方形的面积和圆柱体的侧面积用d和h表示出来，并求出它们的比值，再用一个增加的长方形的面积除以比值就是圆柱体的侧面积。【详解】设底面直径为d，圆柱高为h。则底面周长为：πd圆柱体的侧面积为：πdh增加的1个长方形的面积为：dh1个增加的长方形面积∶圆柱体的侧面积＝dh∶πdh＝1∶3.14＝1个增加的长方形的实际面积为：2020÷2＝1010（平方厘米）圆柱体的侧面积＝1010÷＝1010×3.14＝3171.4（平方厘米）答：这个圆柱体的侧面积是3171.4平方厘米。8．113.04立方厘米【难度】0.65【知识点】体积相关问题、圆锥和圆柱【分析】要求圆柱的体积，已知底面半径为6÷2＝3厘米，还需要求得圆柱的高；根据题干把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半