2026年小升初数学思维训练：第十三章统筹优化问题典例精讲

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第十三章

统筹优化问题知识概述在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”“面积最大”“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。那么应该如何解决这些问题呢？这就需要统筹兼顾效率、科学安排。因此，掌握一些统筹安排的方法，了解最优化的思想，能节省人力、时间、物力，提高我们的解题速度。典例精讲1．6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？【同步精练】2．五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？3．如图，有甲、乙两个工厂各自需要15吨钢材，而丙、丁两个仓库正好分别有12吨、18吨这种钢材，问如何调运可使甲、乙两个工厂都正好得到各自所需要的钢材而又能使运输费用最省。（假设每吨钢材每千米的运费相同）【同步精练】4．甲、乙两村相距5千米，要在两村之间建一所小学。甲村有60人上学，乙村有40人上学，那么小学应该建在什么地方，才能使这100个学生每天上学的总行程最短？5．小芳为家里做饭，她择菜需要8分钟，洗菜5分钟，放水3分钟，淘米3分钟，煮饭10分钟，切菜4分钟，炒菜6分钟。若小芳家使用的是单火眼煤气灶，她怎样安排做饭顺序最省时合理？若小芳家使用的是双火眼煤气灶，又将怎样安排才合理？最省时间分别是多少？【同步精练】6．妈妈处理好鱼后，让小明帮助烧鱼，他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅、煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少。答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《第十三章统筹优化问题典例精讲》参考答案：1．按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟【难度】0.4【知识点】最优化问题【分析】第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候；……第6个人接水时，只有他1个人等候；可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水。【详解】最短时间：＝18＋20＋20＋18＋14＋10＝100（分钟）答：按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟。【点睛】本题考查的是时间统筹优化问题，对于此类问题，要把时间最少的排在最前面。2．先安排李佳治病，然后孙勇治病，最后赵明治病。【难度】0.65【知识点】沏茶问题【分析】由题目可知，校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，孙勇1＋3＝4（分钟），赵明1＋3＋5＝9（分钟），即可解题。【详解】由分析可知：李佳1分钟孙勇1＋3＝4（分钟）赵明1＋3＋5＝9（分钟）时间总和是1＋4＋9＝14（分钟）。答：先安排李佳治病，然后孙勇治病，最后赵明治病。3．方案：由丁仓库运15吨钢材到甲工厂，运3吨钢材到乙工厂，丙仓库运12吨钢材到乙工厂。【难度】0.65【知识点】最优化问题【分析】本题是整数复合应用题，可根据最佳方法问题的解答方法进行解答；运费的多少决定于每吨钢材所运的路程，所以只需计算所有钢材被运的路程，并使总路程尽可能少即可；依据图示以及"运费＝钢材吨数×两地间距离"可知，运费最省的方法是丙仓库钢材运到乙工厂，不够的部分，再从丁仓库补全，丁仓库剩余的钢材全部运到甲工厂，据此解答。【详解】因为运费的多少决定于每吨钢材所运的路程，所以只需计算所有钢材运输的路程，并使总路程尽可能少。设所有钢材运输路程为S（单位：千米）。设从丙仓库运往甲工厂钢材m吨，则所剩（12−m）吨钢材将运往乙工厂，且丁仓库将运往甲工厂（15−m）吨，剩余的（18−15＋m）吨应运往乙工厂。所以S＝800m＋500×（12−m）＋400×（15−m）＋300×（18−15＋m）＝200m＋12900由上式可看出要使运费最省而又要两个工厂都得到所需钢材，只需S最小即可，而S的大小取决于m。故m最小时S最小，所以m应为0。所以具体调运方案为：由丁仓库运15吨钢材到甲工厂、运3吨钢材到乙工厂，丙仓库运12吨钢材到乙工厂。4．甲村【难度】0.65【知识点】最优化问题【分析】总行程＝甲村学生人数×甲村到学校的距离＋乙村学生人数×乙村到学校的距离。由于甲村学生人数多于乙村，若学校向乙村方向移动，甲村学生增加的路程总和将大于乙村学生减少的路程总和，导致总行程增加。因此，学校应建在人数较多的甲村，以使人数多的一方路程最短。【详解】假设学校从甲村向乙村方向移动1千米。甲村60名学生每人多走1千米，共多走：60×1＝60（千米）乙村40名学生每人少走1千米，共少走：40×1＝40（千米）总行程增加：60－40＝20（千米）因为20＞0，所以向乙村方向移动总行程会增加。要使总行程最短，学校应靠近人数多的甲村。故小学应该建在甲村。5．（1）安排见详解；29分钟（2）安排见详解；26分钟【难度】0.65【知识点】沏茶问题【分析】（1）若小芳家使用单火眼灶具，则炒菜和煮饭不能同时进行，可这样安排：淘米3分钟，煮饭10分钟（同时择菜、洗菜），补洗菜3分钟，放水3分钟，切菜4分钟，炒菜6分钟，据此即可解题。（2）若小芳家使用双火眼灶具，则炒菜和煮饭可同时进行，这样安排：择菜8分钟，洗菜5分钟，放水3分钟（同时淘米），煮饭10分钟（同时切菜、炒菜），据此即可解题。【详解】由分析可知：（1）3＋10＋3＋3＋4＋6＝29（分钟）答：可这样安排：淘米3分钟，煮饭10分钟（同时择菜、洗菜），补洗菜3分钟，放水3分钟，切菜4分钟，炒菜6分钟，最省时间是29分钟。（2）8＋5＋3＋10＝26（分钟）答：这样安排：择菜8分钟，洗菜5分钟，放水3分钟（同时淘米），煮饭10分钟（同时切菜、