2026年人教版高一数学第3单元数列测试题

2026年人教版高一数学第3单元数列测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_n+1=a_n+3(n∈N)，则该数列的通项公式为（）A.a_n=3n+1B.a_n=3n-1C.a_n=2+3(n-1)D.a_n=2+3n解析：由题意知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=2，公差d=3，根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，可得a_n=2+3(n-1)=3n-1，故选B。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则b_4的值为（）A.16B.17C.18D.19解析：由数列前n项和公式S_n=2n^2+n，可得b_4=S_4-S_3=（2×4^2+4）-（2×3^2+3）=33-15=18，故选C。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_(n-1)+n(n∈N)，则c_5的值为（）A.15B.31C.120D.125解析：由题意知数列{c_n}是阶乘数列变形，c_n=c_(n-1)+n=c_(n-2)+(n-1)+n=…=c_1+2+3+…+n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2，当n=5时，c_5=5×6/2=15，故选A。4.已知数列{d_n}的通项公式为d_n=2^n-1，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A.2^n-nB.2^n+n-1C.2^(n+1)-n-2D.2^(n+1)-n解析：数列{d_n}是等比数列变形，d_n=2^n-1，则S_n=（2^1-1）+（2^2-1）+…+（2^n-1）=（2^1+2^2+…+2^n）-n=2^(n+1)-2-n，化简得2^(n+1)-n-2，故选C。5.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5的值为（）A.6B.8C.9D.10解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9，故选C。6.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式为（）A.e_n=6n-5B.e_n=6n-3C.e_n=3n-2D.e_n=3n-1解析：当n=1时，e_1=S_1=3×1^2-2×1=1；当n≥2时，e_n=S_n-S_(n-1)=（3n^2-2n）-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故通项公式为e_n=6n-5，故选A。7.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_(n-1)+2n(n∈N)，则f_6的值为（）A.55B.56C.57D.58解析：由题意知数列{f_n}是二次函数变形，f_n=f_(n-1)+2n=f_(n-2)+2(n-1)+2n=…=f_1+2[2+3+…+n]=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，当n=6时，f_6=6×7+1=43，故选B。8.已知数列{g_n}的通项公式为g_n=n(n+1)/2，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）A.n(n+1)(n+2)/6B.n(n+1)/4C.n(n+1)/2D.n(n+1)/3解析：数列{g_n}是三角数列，S_n=1×2/2+2×3/2+…+n(n+1)/2=（1^2+2^2+…+n^2）+（1+2+…+n）=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6，故选A。9.在等比数列{h_n}中，若h_2=6，h_4=54，则该数列的公比q为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质h_4=h_2q^2，可得q^2=54/6=9，解得q=3（q=-3舍去），故选A。10.已知数列{i_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第3项i_3的值为（）A.7B.8C.9D.10解析：当n=1时，i_1=S_1=1^2+1=2；当n=2时，i_2=S_2-S_1=（2^2+2）-（1^2+1）=5；当n=3时，i_3=S_3-S_2=（3^2+3）-（2^2+2）=8，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，可得25=10+5d，解得d=3。参考答案：32.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=4n^2-3n，则该数列的通项公式b_n=______。解：当n=1时，b_1=S_1=4×1^2-3×1=1；当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=（4n^2-3n）-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7，故通项公式为b_n=8n-7。参考答案：8n-73.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=16，则该数列的公比q=______。解：由等比数列性质c_4=c_1q^3，可得16=2q^3，解得q=2。参考答案：24.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1(n∈N)，则该数列的前3项分别为______。解：d_1=1，d_2=2d_1+1=3，d_3=2d_2+1=7。参考答案：1，3，75.已知数列{e_n}的通项公式为e_n=3n-2，则该数列的前4项和S_4=______。解：S_4=e_1+e_2+e_3+e_4=（3×1-2）+（3×2-2）+（3×3-2）+（3×4-2）=16。参考答案：166.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_n=21，且S_n=150，则该数列的项数n=______。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得21=5+(n-1)d，解得d=16/(n-1)；又S_n=n(a_1+a_n)/2=150，代入可得n(5+21)/2=150，解得n=10。参考答案：107.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=n^3，则该数列的第5项g_5=______。解：g_n=S_n-S_(n-1)=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，当n=5时，g_5=75。参考答案：758.在等比数列{h_n}中，若h_3=12，h_5=96，则该数列的公比q=______。解：由等比数列性质h_5=h_3q^2，可得96=12q^2，解得q=4。参考答案：49.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_(n-1)+n(n∈N)，则该数列的前4项和S_4=______。解：i_1=1，i_2=1+2=3，i_3=3+3=6，i_4=6+4=10，S_4=1+3+6+10=20。参考答案：2010.已知数列{j_n}的通项公式为j_n=n^2-1，则该数列的前3项和S_3=______。解：S_3=j_1+j_2+j_3=（1^2-1）+（2^2-1）+（3^2-1）=11。参考答案：11三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：由S_n=2n^2+3n，可得当n=1时，a_1=S_1=5；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=（2n^2+3n）-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，故通项公式为a_n=4n+1，该数列是等差数列。参考答案：正确2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q=±2。（）解：由等比数列性质b_4=b_1q^3，可得16=1q^3，解得q=2（q=-2舍去）。参考答案：错误3.若数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+2(n∈N)，且c_1=1，则该数列是等差数列。（）解：由题意知数列{c_n}是等差数列，首项c_1=1，公差d=2。参考答案：正确4.已知数列{d_n}的通项公式为d_n=n(n+1)/2，则该数列的前n项和S_n=n(n+1)(n+2)/6。（）解：数列{d_n}是三角数列，S_n=1×2/2+2×3/2+…+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6。参考答案：正确5.在等差数列{e_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=2。（）解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，可得9=3+4d，解得d=3/2。参考答案：错误6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第3项f_3=8。（）解：当n=1时，f_1=S_1=2；当n=2时，f_2=S_2-S_1=5；当n=3时，f_3=S_3-S_2=8，故选B。参考答案：正确7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则该数列的公比q=3。（）解：由等比数列性质g_4=g_2q^2，可得54=6q^2，解得q=3。参考答案：正确8.若数列{h_n}满足h_n=h_(n-1)+n(n∈N)，且h_1=1，则该数列是等差数列。（）解：由题意知数列{h_n}是阶乘数列变形，h_n=n(n+1)/2，该数列不是等差数列。参考答案：错误9.已知数列{i_n}的通项公式为i_n=2^n，则该数列的前n项和S_n=2^(n+1)-2。（）解：数列{i_n}是等比数列，S_n=2[1-2^n]/（1-2）=2^(n+1)-2。参考答案：正确10.在等差数列{j_n}中，若a_1=2，a_n=20，且S_n=150，则该数列的项数n=10。（）解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得20=2+(n-1)d，解得d=18/(n-1)；又S_n=n(a_1+a_n)/2=150，代入可得n(2+20)/2=150，解得n=10。参考答案：正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}是等差数列，且a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_5=a_3+2d，可得11=7+2d，解得d=2；又a_3=a_1+2d，可得7=a_1+4，解得a_1=3；故通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式b_n。解：当n=1时，b_1=S_1=1；当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=（3n^2-2n）-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故通项公式为b_n=6n-5。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=32，求该数列的通项公式c_n。解：由等比数列性质c_4=c_1q^3，可得32=2q^3，解得q=4；故通项公式为c_n=c_1q^(n-1)=2×4^(n-1)=2^(2n-1)。4.若数列{d_n}满足d_n=d_(n-1)+3(n∈N)，且d_1=1，求该数列的前5项和S_5。解：d_1=1，d_2=4，d_3=7，d_4=10，d_5=13，S_5=1+4+7+10+13=35。5.已知数列{e_n}的通项公式为e_n=n^2，求该数列的前3项和S_3。解：S_3=e_1+e_2+e_3=1^2+2^2+3^2=14。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_n=15，且S_n=70，求该数列的项数n。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得15=5+(n-1)d，解得d=10/(n-1)；又S_n=n(a_1+a_n)/2=70，代入可得n(5+15)/2=70，解得n=7。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=n^3，求该数列的第4项g_4。解：g_n=S_n-S_(n-1)=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，当n=4时，g_4=49。8.在等比数列{h_n}中，若h_2=6，h_5=48，求该数列的公比q。解：由等比数列性质h_5=h_2q^3，可得48=6q^3，解得q=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备的价值，已知第1年设备价值为100万元，以后每年比前一年增加5万元，求第5年设备的价值。解：由题意知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=100，公差d=5；当n=5时，a_5=a_1+4d=100+20=120（万元）。2.某城市人口增长率为每年5%，已知2020年人口为100万，求2023年的人口数量。解：由题意知数列{b_n}是等比数列，首项b_1=100，公比q=1.05；当n=3时，b_3=b_1q^2=100×1.05^2=110.25（万）。3.某人存款计划每年存入银行1000元，已知银行年利率为2%，求第3年存款的本息和（不考虑复利）。解：第1年存款本息和为1000×1.02=1020元，第2年存款本息和为1000×1.02^2=1040.4元，第3年存款本息和为1000×1.02^3=1060.808元，总本息和为1020+1040.4+1060.808=3121.208元。4.某公司员工工资每年增加10%，已知2020年工资为5000元，求2022年员工的工资。解：由题意知数列{c_n}是等比数列，首项c_1=5000，公比q=1.1；当n=2时，c_2=c_1q=5000×1.1=5500元。5.某工厂计划每年比上一年增加生产设备的数量，已知第1年设备数量为10台，以后每年比前一年增加2台，求第6年设备数量。解：由题意知数列{d_n}是等差数列，首项d_1=10，公差d=2；当n=6时，d_6=d_1+5d=10+10=20（台）。6.某城市人口增长率为每年4%，已知2020年人口为200万，求2024年的人口数量。解：由题意知数列{e_n}是等比数列，首项e_1=200，公比q=1.04；当n=4时，e_4=e_1q^3=200×1.04^3=229.376（万）。7.某人每年购买国债1000元，已知国债年利率为3%，求第4年国债的本息和（不考虑复利）。解：第1年国债本息和为1000×1.03=1030元，第2年国债本息和为1000×1.03^2=1060.9元，第3年国债本息和为1000×1.03^3=1092.727元，第4年国债本息和为1000×1.03^4=1125.508元，总本息和为1030+1060.9+1092.727+1125.508=4319.135元。8.某公司员工工资每年增加8%，已知2020年工资为6000元，求2023年员工的工资。解：由题意知数列{f_n}是等比数列，首项f_1=6000，公比q=1.08；当n=3时，f_3=f_1q^2=6000×1.08^2=7296.96元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.D5.C6.A7.B8.A9.A10.B解析：2.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，由a_1=2，d=3，可得a_n=2+3(n-1)=3n-1，故选B。3.数列前n项和S_n=2n^2+n，b_4=S_4-S_3=（2×4^2+4）-（2×3^2+3）=33-15=18，故选C。4.数列递推公式c_n=c_(n-1)+n，可得c_n=c_(n-2)+(n-1)+n=…=c_1+2+3+…+n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2，当n=5时，c_5=5×6/2=15，故选A。5.数列{d_n}是等比数列变形，d_n=2^n-1，S_n=（2^1-1）+（2^2-1）+…+（2^n-1）=（2^1+2^2+…+2^n）-n=2^(n+1)-2-n，化简得2^(n+1)-n-2，故选C。6.等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9，故选C。7.数列前n项和S_n=3n^2-2n，当n=1时，e_1=S_1=1；当n≥2时，e_n=S_n-S_(n-1)=（3n^2-2n）-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故通项公式为e_n=6n-5，故选A。8.数列递推公式f_n=f_(n-1)+2n，可得f_n=f_(n-2)+(n-1)+n=…=f_1+2+3+…+n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2，当n=5时，f_5=5×6/2=15，故选A。9.数列{g_n}是等比数列变形，g_n=n(n+1)/2，S_n=1×2/2+2×3/2+…+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6，故选A。10.数列递推公式h_n=h_(n-1)+n，可得h_n=h_(n-2)+(n-1)+n=…=h_1+2+3+…+n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2，当n=6时，h_6=6×7/2=21，故选B。11.数列{h_n}是等比数列变形，h_n=2^n，S_n=2[1-2^n]/（1-2）=2^(n+1)-2，故选D。二、填空题1.32.8n-73.24.1，3，75.166.107.758.49.2010.11解析：2.等差数列性质a_5=a_3+2d，可得11=7+2d，解得d=2；又a_3=a_1+2d，可得7=a_1+4，解得a_1=3；故通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。3.数列前n项和S_n=3n^2-2n，当n=1时，b_1=S_1=1；当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=（3n^2-2n）-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故通项公式为b_n=6n-5。4.等比数列性质c_4=c_1q^3，可得32=2q^3，解得q=4；故通项公式为c_n=c_1q^(n-1)=2×4^(n-1)=2^(2n-1)。5.数列递推公式d_n=d_(n-1)+3，可得d_n=d_(n-2)+3+3=…=d_1+3(n-1)=1+3(n-1)=3n-2，当n=5时，d_5=3×5-2=13。6.数列{e_n}的通项公式为e_n=n^2，S_3=e_1+e_2+e_3=1^2+2^2+3^2=14。7.等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得15=5+(n-1)d，解得d=10/(n-1)；又S_n=n(a_1+a_n)/2=70，代入可得n(5+15)/2=70，解得n=7。8.数列前n项和S_n=n^3，g_n=S_n-S_(n-1)=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，当n=4时，g_4=49。9.等比数列性质h_5=h_2q^3，可得48=6q^3，解得q=2。三、判断题1.正确2.错误3.正确4.正确5.错误6.正确7.正确8.错误9.正确10.正确解析：2.数列前n项和S_n=2n^2+3n，当n=1时，a_1=S_1=5；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=（2n^2+3n）-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，故通项公式为a_n=4n+1，该数列是等差数列。3.等比数列性质b_4=b_1q^3，可得16=1q^3，解得q=2（q=-2舍去）。4.数列递推公式d_n=d_(n-1)+2，可得d_n=d_(n-2)+2+2=…=d_1+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1，该数列是等差数列。5.数列{d_n}是三角数列，S_n=1×2/2+2×3/2+…+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6。6.等差数列性质a_5=a_1+4d，可得9=3+4d，解得d=3/2。7.数列前n项和S_n=n^2+n，当n=1时，f_1=S_1=2；当n=2时，f_2=S_2-S_1=5；当n=3时，f_3=S_3-S_2=8，故选B。8.等比数列性质h_5=h_2q^3，可得48=6q^3，解得q=4。9.数列递推公式h_n=h_(n-1)+n，可得h_n=h_(n-2)+n+(n-1)=…=h_1+2+3+…+n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2，该数列不是等差数列。10.数列{i_n}是等比数列，S_n=2[1-2^n]/（1-2）=2^(n+1)-2。11.等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得20=2+(n-1)d，解得d=18/(n-1)；又S_n=n(a_1+a_n)/2=70，代入可得n(2+20)/2=70，解得n=7。四、简答题1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，由a_3=7，a_5=11，可得11=7+2d，解得d=2；又a_3=a_1+2d，可得7=a_1+4，解得a_1=3；故通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。2.数列前n项和S_n=3n^2-2n，当n=1时，b_1=S_1=1；当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=（3n^2-2n）-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故通项公式为b_n=6n-5。3.等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)，由c_1=2，c_4=32，可得32=2q^3，解得q=4；故通项公式为c_n=2×4^(n-1)=2^(2n-1)。4.数列递推公式d_n=d_(n-1)+3，可得d_n=d_(n-2