三角函数的概念与诱导公式

三龟编数的槐念与镌导公K

目录

考情分析（五年真题（2025年——2021年）考点分布）.........................................2

题型突围精准提分.......................................................................2

题型一边相同的角的集合的表示...........................................................2

题型二等分角的象限问题................................................................4

题型三弧长公式与扇形面积（重）..........................................................4

题型四弧长公式与扇形面积的最值问题...................................................6

题型五三角函数的概念....................................................................7

题型六判断三角函数值的符号............................................................8

题型七平方关系si/a+cos2a=1的应用..................................................8

题型八已知tana的值求含有sina与cosa的式子的值（重）.................................9

命题点1已知tana的值求sina或cosa.................................................9

命题点2已知tana的值求形如生吗噌■的分式的值...................................9

csma+dcos^

命题点3已知tana的值求关于sina与cosa的齐次式的值..................................10

题型九关于sina±cosa,sinacosa的关系的求值（重）......................................11

题型十诱导公式的应用（重）...............................................................11

题型十一同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用..................................13

限时作业查漏补缺.....................................................................13

真题呈现把握考情....................................................................17

考情分析

考题示例考点分析考情分析

2025年天津卷特殊角的三角函数值

2025年北京卷找出终边相同的角、诱导公式二、三、四这一节的内容是三角

同角三角函数基本关系、用和、差用的余弦公式化函数的基础，是高考必

2024年全国I卷

简、求值考内容，往往和其它知

识交汇出题，如两角和

正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化

2024年全国甲卷（理）与差公式、二倍角公

简、求值

式、三角函数的图像和

由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、

2024年北京卷性质、以及充分必要条

三、四、求COSC（型）函数的值域件的判断.一般以选择

2023年北京卷任意角的概念、比较正切值的大小填空题的形式出现，题

2023年全国甲卷（理）诱导公式二、三、四、诱导公式五、六目比较简单.

2022年全国甲卷（理）弧长的有关计算

题型突围

题型一

指点迷津

（1）所有与角a终边相同的角的集合为5={川夕=0+a360°水£2},弧度制表示为{06=。+2妞水£2}.

⑵注意区分{s[6=a+2k7T,k6Z},{《£=&+/£兀,k£Z},{s[s=a+萼,kcz}的区别.

⑶利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集

合，然后通过集合中的参数丛ArWZ）赋值来求得所需的角.

1.（2025高三下•全国・专题练习）与一457°角终边相同的角的集合是（）

A.{a|a=k・3600+457°,keZ}B.{a|a=M・3600+97°,k€Z}

C.{a|a=k・360°+263°,keZ}D.{a|a=m360°—263°,kGZ}

2.（24-25高一上•上海•期末）在平面直角坐标系中，两个角。与4a的终边重合，则a的值可能是（）

A乂n2A「5VLn7/i

BTCTDT

3.（24—25高一下•北京海淀•期中）已知集合M={w=版+u=卜1=粤,则

（）

A.M=NB.MQNC.NQMD.MClN=0;

4.（24-25高一下•陕西汉中•阶段练习）若a是第二象限角，则90°—a是（）：

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角：

...........J

5.（2024・湖北•模拟预测）若角a的顶点为坐标原点，始边在i轴的非负半轴上，终边在直线y=上，则

角。的取值集合是（）

A.{aa=2/c7u+~1■，/c€z}B.=2尿+专■,k€Z

C.{0卜=上兀+弩,上€2}D.{0卜=卜兀+等，卜€2}

6.(23-24高三・甘肃•阶段练习)集合力={aI“=—20240+如180°,Z}中的最大负角a为()

A.-2024uB.—224°C.-44“D.-24u

7.（24—25高一上•海南海口•阶段练习）若角。的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界）.则角a的取值

范围是（）

B.(f,f)

D.[2k兀+半，2k兀十号](k€Z)

oo

c.D.

9.（多选）（24—25高一下.江西赣州.期中）已知a=等，则（

A.a是第一象限角B.tan(7>0

6兀

C.与a终边相同的最大负角是D.在（2冗,4冗）内与a终边相同的角只有1个

5

题型二等分角的象限问题

指点迷津

<1）象限角的集合表示方法;

⑵确定皿，牛（k€M）的终边位置的方法：

K

先写出角a的范围，然后求出版的范围，根据k的可能取值确定3*的终边所在位置.

KK

10.（24-25高一下•上海•阶段练习）已知a为第三象限角，则与所在的象限是（）

A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限

11.（2025高三下•全国・专题练习）如果a是第三象限的角，则角—a的终边所在位置是，角2a的终边

所在位置是.

原卷及解答见Q群：新高考资料全科总群732599440;高考数学高中数学探究群562298495

12.（2025高三下•全国•专题练习）如果。是第三象限的角，角等终边所在的位置是

13.（2025高三・江苏•专题练习）已知。角是第三象限角，则2a是第象限角.

题型三弧长公式与扇形面积

指点迷津

扇形弧长、面积公式的变形运用:

（DZ=|a|=—>r=；

rHI

....................p

⑵s=1"同产=团=等.

27-

2.谨记3个注意点

⑴利用扇形的弧长公式和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

⑵利用扇形的弧长公式和面积公式解题时，圆心角可正可负.

⑶扇形的周长等于弧长加两个半径长.

14.（24—25高一下•安徽•阶段练习）已知扇形的周长为8,面积为4,则扇形圆心角的弧度数为（）

A.2B.2或/C.4D.4或2

15.（2025•山西•三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转.主

司轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为240i、/min（转/分），被动轮的半径为24cm，则被动轮周上

一点每1s转过的弧长是cm.

被动轮主动轮

16.（2025高三・全国・专题练习）如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征

着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设弧人。的长度是打弧3C的

长度是U几何图形ABC。的面积为S1,扇形BOC的面积为$2,若?=2,则等=

*

19thAsianGames

Hangzhou2022b

图1图2

17.（2025高三・全国・专题练习）木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，某扇环形木雕如图所示,

可视为扇形043截去扇形OCD所剩余的部分.已知扇环形ABCD的周长为8dm04=30。=

3加，则乙4。8的弧度数为，扇环形43CD的面积为dm1.

18.（多选）（2025高一•全国,专题练习）下列说法正确的是（

A.若角。是三角形的一个内角，则角。必是第一、二象限角

B.若。为第二象限角，则与一。为第四象限角

C.终边经过点（Tn,7r。（mW0）的角的集合是{a«=[■+2M?,kez}

D.若一扇形的圆心角为4,圆心角所对应的弦长为2,则此扇形的面积为，

sin~2

题型四弧长公式与扇形面积的最值问题

指点迷津

与扇形有关的弧长公式与扇形面枳的最值问题一般转化为二次函数的最值问题或利用基本不等式求最

值.

19.（24-25高一下•辽宁朝阳•阶段练习）已知某扇形的周长为8,则当此扇形的面积最大时,半径为（）

A.2B.4cAD

。3-1

20.（24-25高一上•湖北•期末）已知扇形的面积是4cm2,当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单

位：rad）（）

A.与B.等C.1D.2

4J

21.（多选）（24-25高一下•辽宁大连•期中）若扇形周长为12,当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是

（）

A.扇形的圆心角为2B.扇形的弧长为6

C.扇形的半径为6D.扇形圆心角所对弦长为6sinl

22.（24—25高一下•广西钦州•阶段练习）已知一个扇形的中心角是a,所在圆的半径是足

（1）若a=60°,R=10cm,求扇形的面积；

（2）若扇形的周长为20c砧,面积为9cM2,求扇形圆心角的弧度数；

（3）若扇形面积为16,求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角a.

....................0

题型五三角函数的概念

指点迷津

利用三角函数的概念求三角函数值：

（1）已知角a的终边上一点尸（£,夕），第一步:先计算r=\OP\=+靖：第二步：由sina=£,cosa=

tana=—求值.

x

⑵当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

23.（2025•黑龙江哈尔滨•三模）已知点尸（"，一小）是角“终边上的一点，则sina+2cosa=（）

JJ

A.-1B.1C.-D.3

55

24.（2025高三・全国・专题练习）已知角a的终边经过点P（-12a,5a）（a^0）,则2sina+cosa的值为（）.

25.（24-25高一下•广西柳州•开学考试）已知角a的终边在第二象限，且终边上有一点P（-2,V2m）,sin。

=则zn=（）

4

A.A/6B.-76C.2D.±V2

26.（24-25高一上•陕西西安・期末）已知角a的终边经过点A（vl5,-V5）,则a的值可能为（）

A业CD—

人6T3

27.（2025•福建漳州•模拟预测）已知角。的顶点为坐标原点，始边与1轴的非负半轴重合，终边过点（3,—6）,

则sina+cost/=.

28.（2025•河北保定•一模）设。是第二象限角，F（x,l）为其终边上一点，旦cosa=则tan<r=

29.（2025高三・全国・专题练习）如图，以3为始边作角。与/?（OV0VaV7T）,它们的终边分别与单位圆O

交于P，Q两点，且OPJ_OQ.已知点P的坐标为（一卷,卷）.

②sina—sin/?=

30.（24-25高三下•海南•阶段练习）已知角a的顶点在原点，始边在I轴非负半轴，终边与单位圆交于点

,的，

⑴tana=______；

（2）若将角a的终边绕原点逆时针旋转f后与单位圆交于点Q,则点Q的横坐标为

4

题型六判断三角函数值的符号

指点迷津

1.判断三角函数符号的常用方法

（1）确定角：根据题目给出的条件，确定角所在的象限.

⑵定符号:根据角所在的象限,结合题目的具体特点，最终确定符号.

2.利用角所在象限判定角的三角函数值的符号时，同步注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.

31.（2025高三・全国・专题练习）已知cos。-tan。>0,则。可能为（）

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第三或四象限角

32.（24-25高一上•浙江杭州•期末）已知。6R,则“sinJ>0”是“角0为第一或第二象限角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

33.（2025高三・全国・专题练习）若sinaV0且tana>0,则a的终边所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

34.（24-25高一下•陕西•阶段练习）“sinJcos。<0”是“角0为第二象限角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型七平方关系sin2a+cos2a=1的应用

35.（已知sina、cosa和tana其中两个量求另外一个量）（2025高三・全国・专题练习）己知a€（—专，。），

3

sina=--—»则cosa=，Una=.

S--------------

36.（利用平方关系化简求值）（2025•山西•模拟预测）若。是第三象限角，且sina—2cosa=1,贝l]tana=

AQ_2_

A3B4。12

37.（利用平方关系求参数）（25—26高一上•全国•课后作业）设。为第二象限角，且sin。=型cos。二

4,则tan。=

m+5

cost?

38.（24-25高一上•全国•课后作业）已知]黑"=一瓜，则的值为（）

sina-1

»

A.牛B.一答C.V3D.-V3

JJ

39.（2025・四川绵阳•三模）已知£41心江10=3,则弋2江b-41120的值为（）

A.V3B.3C.9D.81

40.（25一26高三上•辽宁•开学考试）己知a是钝角，惠-,；屋震=心，则cosa=（）

2V7

A.-Bc.-亨Dn-

2-4---

题型八已知tana的值求含有sina与8sa的式子的值

命题点1己知tana的值求sina或cosa

指点迷津

已知tana的值求sina或cosa的方法:

（1）利用平方关系和商数关系求得：

⑵利用勾股法.

41.（24—25高一下•广东中山•阶段练习）若。€侍,兀），且满足tan6=—3,则sinO+cosO=（）

A①娓

A5BC.一D「丁

-45

42.（24—25高三下•山西大同・期末）已知tan«=四，兀VaV孚，cos・%—^^"sinZan（）

乙乙

cV3+1

A,-12B.1cFD.

43.（24-25高一下•安徽蚌埠•阶段练习）已知0是第二象限集，且满足sin。+2cos夕=0,则cos。的值为

（）

A"2V5

AB.一c•李D

,5—--4

asina+bcosQ

命题点2已知tana的值求形如的分式的值

csina+dcosa

44.（24-25高一下•辽宁葫芦岛•阶段练习）若tana=一日，则Ssin’os"）

Js:na+cosa

A.1B.-1C.9D.-9

（高一上•全国•课后作业）若喘铝=则昨

45.25-262,tan，sin。cos。=

（高一下・陕西安康・期中）已知。T=。,则普黑

46.24-254tan）

13七

A-A19。C—21

47.24-25高一下•江苏徐州•期中）已知tana=2,则2sin-os：=

cos%—sin%

命题点3已知tana的值求关于sina与cosa的齐次式的值

指点迷津

已知tana=m,求关于sina,cosa的齐次式的值，需要注意以下两点：

⑴不是分式的需要加上分母sin%+cos2a；

⑵分式的分子和分母同时除以cos2%得到关于tana的表示式，然后代入tana=m.

48.（24—25高一下•辽宁•阶段练习）已知tana=­2，则5sinacosa—sin2a+2cos2a=

49.（24-25高一下•广东汕头・期中）已知潦*=-1,则sin%+sins。+2=（）

A212QAD.举

ABR。

,3-T45

50.（24-25高一下•辽宁抚顺・期中）若tana=—3,则如】。+泞，»sin2a+2sinacosa=

sina—2cosa

51.（24-25高一下•山东潍坊•期中）已知tanJ=2,。为第三象限角，求;

小)sin。+cosO1

'sinO-cosO(2)sin汨+sinGcos夕;(3)sin。+cos6.

题型九关于sina±cosa,sinacosa的关系的求值

指点迷津

sina±cosa,sintzcosa三个式子中，已知其中一个，可以求出其它两个，即“知一求一"，它们之间的关系

是：（sinaicosQ;）2=1±2sintzcostz.

【提醒】求sins+cost/或sina-cosa的值，要注意根据角的终边位置,判断它们的符号.

52.（多选）（24-25高一下•内蒙古呼和浩特•阶段练习）设aG（0,亢），已知sina,cosa是方程3x2-x-m=0

的两根，则下列等式正确的是（）

AA.m=-3-B.sina-cosa二A

4丁

Vl7

C.tana=《D.COS2(T—sin2dz

1J丁

53.(2025•河北•模拟预测)已知a€(0,兀)，sina+cost?=,则sina—cost?=)

o

A巫「V21V21

A,5RC-D.-

■—5

sina—cosa

54.（24—25高一下•辽宁大连•期中）已知sina+cosa=■，且aW（0,兀），则)

sins•cos。

A3VHB.毕呼

A.---D.

5c-r5

1

55.(2025・甘肃金昌•二模)若sina=cosa+,,则tana+)

tana

AA「25D

.25-f

56.（24-25高三下•湖南长沙•阶段练习）已知。£sin。一cosO=,则sin3/?+cos'O=()

A1111

A-16rD-f

57.(2025高三•全国•专题练习)若sina+cosa=：,0VaV兀，则cos2a+2sinacosa-sir?a=()

J

n8+717

Ac—8+VIY

人*9A

•*c,-r9

58.(2025•江苏泰州・二模)已知。W(0,7T),且oosa•sina7，则cosa=

13

题型十诱导公式的应用

指点迷津

诱导公式的两个应用

⑴求值:负化正,大化小，化到锐角为终了.

⑵化简：统角，统•名，同角名少为终了.

59.（24-25高一下•全国•课堂例题）求下列各值.

（l）sin-!y^：（2）cos-!-y^；（3）tan405°；（4）sin（—1-）；（5）cos（-^-J：（6）tan（—y）；（7）sin（--y-）.

60.（24-25高一下•安徽•阶段练习）已知sin（a+*）=-£，则sin（普-a）=（）

A.B.-1C.竿D「安

三JJJJ

sinf-?7—a]+sin（7：+a）

61.（24—25高一下•全国・周测）已知。的终边上有一点P（l、3）,则——------------的值为

cos（号—0）+2cos（—兀+a）

（）

A.—B.一~z~C.D.4

555

62.（24-25高一下•四川成都・期中）cos（-2100°）的值为（）

A.[JB.-]JC.条JD.一空乙

63.（24-25高一下•甘肃甘南•期中）若cos（a+7u）=9V2?u,则sin（一a—2冗）的值是（）

0

A.~~B.一~~C.~~D.一~~

5555

64.（24—25高一下•江西南昌・期中）已知sin（2/+~1J=―则cos%-2c）=（）

A.-：B.gC.'^~D.

JJJJ

65.（24-25高一下•辽宁沈阳•阶段练习）已知tana=-2,则---------------....=（）

sin（兀一a）-sin（普—tz）

A.-4B.4C.-2D.2

oJ

COSIS

66.（24-25高一上•上海•课堂例题）证明：tan（2一一"）sin（—2-1，）（（K-）8G—0=sim

sin（c+今）cos（专一c）

..............w

题型引同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用

$in（M-cr）*sin

67.（2025高三,全国・专题练习）己知tana=2,则

.a）+cos（x+a

68.（2025•海南海口•模拟预测）已知cos（30°+a）=J,且0,<aV90°,则tan（30°+。/"（60°-a）-

J

cos（150°—tz）=（）

A3+血RSr3—方n3—22

69.（24—25高一上•全国・周测）若〃为第二象限角，且tan（0—兀）=一4■，则1+CQS、

l—sin隔一。）

1一cos。

V1+sin阳等）

70.（24-25高一下•云南•阶段练习）已知管，兀），若cos（+-a）=^^,则sin（a+普）的值为（）

B

A.•--4cfD-f

71.（24—25高三下•江西•开学考试）若cE（0,7T）,sin（兀—c）—cos（兀+c）=则tanc=（）

A.-1B.1C.-2D.2

72.（24-25高一上•广东清远・期末）若8s偿+。）+sin（J+等）=-续，则上^47的值为

2\'o1—tan（T—J）

（）

A3V10o3V10cV1Up.VIo

A-一_C.-HD.H

73.（24—25高三上•安徽六安•阶段练习）已知cos（a-噂）=2cos（a+亢），则二江%+5产—1=（）

'2'cos”

9

A.-5B.-3C.一看D.2

o

限时作业

（建议用时60分钟）

一、单选题

74.（24-25高一下•山东威海•期中）下列各角中，与2025°角终边相同的角为（）

A.45°B.135°C.-45°D.-135°

75.（24-25高一下•江西宜春•阶段练习）下列命题：

①第四象限的角可表示为｛42尿+/v«V2斥斥?卜

②第二象限角大于第一象限角；

⑤将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角为一卷;

④若a是第二象限角，则与的终边在第一象限.

其中真命题的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

76.（24-25高一下•云南昭通・开学考试）若0为第四象限角，且sir4V0,则考■为（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

77.（24—25高一上•湖北•期末）已知扇形的面积是4cm一当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单

位：rad）（）

A.4B.4C.1D.2

43

78.（2025・河南信阳•模拟预测）若tana=2,a€（0,兀），则2sina+cosa=（）

A.V5B.-x/5C.-^-A/5D.—

55

79.（2026高三•全国•专题练习）已知角a（0°VaV360）终边上月点坐标为（sin320；cos320°），则a=（）

A.230”B.220°C.140°D.130，

80.（24-25高一下.全国凋测）已知（与，兀），且sin（a+$=普，则=（）

乙OAOI）

A121255

A-13BR-13Cr--13Dn13

81.（24—25高三上•安徽阜阳・期末）己知COS（I—与）+V5sin（e+.）=四,则tanc=（）

A.V3R.噂C.V2D.察

JZ

二、多选题

82.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）已知角a的终边经过点P（—3,4）,则（）

A.cosa=-B.tanez=—YC.cos（a+7u）=ZD.sin（a一=g

545'2/5

83.（24-25高一上•吉林通化・期末）已知sinJ+cos。=（0,兀），则下列等式正确的是（）

A.sinOcos。=一~^B.sin。-cos。=《C.tan0=--7-D.sin汨一cos?。=

2o5425

...........由

84.（24—25高一上•河南郑州•期末）如图，质点尸和。从单位圆O上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.

点P的起始位置坐标为（乎，引，角速度为lrad/s,点Q的起始位置坐标为（1,0）,角速度为2rad/s,则

（）

T

厂）^4）

■^TrojQx

A.在1s末，点Q的坐标为（sin2,cos2）B.在作末,点尸,Q在单位圆上第一次重合

C.在1s末,扇形尸OQ的弧长为与一1D.APOQ面积的最大值为春

OZ

三、填空题

85.（2025,上海徐汇•三模）已知sin1="^，且aE4,兀），则tan传+a）=.

86.（24-25高三下•山西•阶段练习）已知sina*cosa=e（0.x）,则（§ina-l）（cosa+l|=-

87.（2025高三・全国・专题练习）若cos（a-兀）=一系，则sin（/—2R+吗—a—3兀）的值为

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