浙江省温州市某中学2025自主招生数学试卷（含答案）

浙江省温州市浙鳌中学2025自主招生数学试卷

一、填空题(本大题有10小题，每小题6分，共60分)

1.已知/(x)=x2-3a2,g(x)=(2a+l)r,若/1(x)<g(x)有且只有一个整数解，则。的取值范围

是•

2.若对于任意非零实数。，抛物线产元+如一2〃总不经过点尸(xo—3,xo2-16),则符合条件点?有且仅

有个.

3.如图是函数州=与竺=的图象，点4、8分别在,川、以上，48口工轴，点C在x轴上，S//rc=4,则依一公

4.如图，oABCD^,对角线力C与BQ相交于点。,48=08.点E、点厂分别是。/、的中点，连结

EF,匚尸EC=45。，FHUBC于H,FH交BD于G,FG=,则线段8C的长为.

5.如图，在矩形/ACQ中，E为8c边上一点，将口/AE沿/E翻折至匚4EG,48=4,BC=3,CD交4G

于点儿交EG于点、F,EF=FH,则cos「lD4G=.

6.如图，CE是口力8C。的边力〃的垂直平分线，垂足为点O,CE与。力的延长线交于点E.连结力C、BE、

DO,00与4C交于点尸，则下列结论：①四边形力C8E是菱形：(2)QACD=nBAE,③4F=BE；

④Scw「S四边形"。£=2口3.其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号)

7.如图，在平面直角坐标系中，矩形。力FU04=3,00=4,将门力。/?沿对角线OF翻折，使点力落在点

。处，点。的坐标为.

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8.如图，在等腰Rt匚480中，口4=90。，点8的坐标为（0,2）,若直线^=〃孑+加（〃30）把□480分成面

积相等的两部分，则〃7的值为.

B\

a(a>b)

9.定义/"以伍，'}=|b（a<b）‘已知函数/（X）=max{\2x—1|,ax2-\rb],其中。<0,若f（x）的最小值

为1,则a+b=.

10.某条道路一排共10盏路灯（灯的编号各不相同），为节约用电，晚上只打开其中的3盏灯.若要求：①

第一盏灯与最后一盏灯均不亮：②每连续三盏灯中至少有一盏是亮的.则这样亮灯的方法有种.

二、解答题（本大题有3小题，共40分）

11.已知。、方为整数，方程3/—33+母丫+4"=0的两个实数根满足。、夕满足a（a+l）+43+1）=®+

1）0+1）.试求所有的整数对（a,b）.

12.已知4、b、编均为正整数，求证：（m/>）>1.（（a,b）表示a、b的最大公因数）.

13.如图，匚Oi与口。2交于点4、B,DOi的弦。。切口。2于E,8C交口。2于尸，。的延长线交口。2于G,

射线GF交口。】于A/、N,连结DM、DN.求证：点E为匚A/DV的内心.

14.如图，在Rt匚ABC中，D、E是斜边AB上两点，CE平分匚DCB,若AD=BE=1,求CE¥j长.

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答案解析部分

1.【答案】，ZWQVO

【解析】【解答】解：令h(x)=f(x)-g(x)=x2-3a2-(2a+l)x=x2-(2a+l)x-3a2,

当a=0时，h(x)=x2-x,

令h(x)<0,则x2-x<0,解得0〈x〈l,不符合题意舍去;

当a#O时，

当x=O时，h(0)=-3a2<0,

•・・h(x)<0时，只有一个正数解,

.(/i(l)=l-(2a+l)-3a2>0

•-1)=1+(2a+1)-3层>o'

解得与Cwa<0，

故答案为：l^Z<a<0.

◊

【分析】令h(x)=f(x)・g(x),分为a=O或a#)时两种情况，根据题意列不等式组求出a的取值范围即可.

2.【答案】2

【解析】【解答】解：•・•对于任意非零实数a,抛物线、=。/+。》一2。总不经过点「a0-3，无02—16),

22

x0-16工a(x0-3)+Q(%O-3)-2

(x0-4)(x0+4)工。(〜一1)(%—4)

当％0~4-0时，劭=4,此时点P在抛吻线y=ax2ax—2a的图象上，不符合题意，

当为o~4WO时,根据等式的性质可得(心+4)用(%0-1)

・••要满足题意则有阳)=-4或劭=1,

・••点P的坐标为(・7,0)或(-2,-15)

故答案为：2.

【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零卖数a,抛物线y=Q/+QX-2a总不经

过点P(xo-3，Xo2-16),即可求得点P的坐标，从而可以解答本题.

3.【答案】8

【解析】【解答】解：设直线与轴交于点连接

AByD,AO,BO,»\SAABC=S^AB0=4,

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由反比例函数比例系数k的几何意义可知SMOD=/1，SABOD=必，

乙乙

SRBOD—S^AOD=S&AOR=4,

*'•5乙k2—5乙~4,即k2-k、=8.

故答案为：8.

【分析】设直线AB与y轴交于点D,连接AO,BO,则S^BC=S.皿。=4,然后根据反比例函数比例系数

k的几何意义得到S.OD=；的，S,OD=3kx然后代入计算即可.

4.【答案】16

【解析】【解答】解：连接BE.

•・•四边形ABCD是平行四边形,

/.ADBC.

•・,点E,F分别是AO,DO的中点,

.\CECH=ECEF=45°,

.,.□HEC=45°,

・・・EH=HC.

VE为AO的中点，AB=BO,

・・・BE匚EC,

.•・「BEC=90°,贝ij匚EBC=45°,

•••[EEC是等腰直角三角形，・・・BH=HET8C=ER

EF\\BC,EH^BC,

乙BHG=FEG=90°.

又•:□BGH=EIFGE,

BHG=△FEG,/.HG=EG=权H11

=-EF=^BC.

在RtDEGF中,

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VEG2+EF2=GF2,

阳—2.

解得BC=16.

故答案为：16.

【分析】连接BE,根据三角形的中位线定理得到EF||力0||8C,EF=>D=/C,然后得到」EBC是等腰直

角三角形，再证明△8HGMAFEG,得至l」HG=EG,然后根据勾股定理解答即可.

5.【答案】衿

【解析】【解答】解：设BE=x,

VABCD是矩形，

.,.□B=LC=DD=90°,CD=AB=4,AD=BC=3,

由折叠可得EG=BE=x,CG=LB=90。，AG=AB=4,

.\DC=EG=90°,

由•・•匚CFE=「GFH,EF=FH,

ADCEFnDGHF,

・・・CF=GF,CE=GH=3-x,

・・・EF=CH=x,AH=4-(3-x)=x+1,

・・・DH=4-x,

在R「ADH中，AD2+DH2=AH2,即32+(4-x)2=(x+l)2,

解得x=2.4,

・・・AH=3.4,

,DAG~^—

•・cC()Sos"G而一打3一—万IS

故答案为：If.

【分析】设BE=x,根据矩形的性质和折叠的性质得到□CEFEIDGHF,即可得到CF=GF,CE=GH,进而求出

AH=x+l,DH=4-x,在RPADH中利用勾股定理求出x的值计算即可.

6.【答案】①②④

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AR=CD,AR\\Cn,

•・,EC是AB的垂直平分线，

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...OA=OB=^AB,EC1AB,

•••OA=；C0,

-AB\\CD,

•••△AOEDCE,

EO_AO_1

AEC=CD=2,

EO

•••EO=CO,

OA=OB,

・・・四边形ACBE是平行四边形，

vEC^AB,

・•・四边形ACBE是菱形，

・••①正确；

•・•四边形ACBE是菱形,

乙BAE=乙BAC,

•••481|。。，

：•Z-BAC=Z.ACD,

:.Z.ACD=Z.BAE,

・••②正确；

•/四边形ACBE是菱形，

•••AC—BE,

•••481|CO,

AOFCDF,

AF_OF_OA_1

"CF=DF=CD=2*

AF1

•-AC=3f

:.AF:BE=1:3,

・•.③错误；

设SMC/=aM^£,coF=2s“OF=2a,S“DF=2s^COF=2x2a=4a,

•••S&COD=SACOF4-SKDF=2Q+4a=6Q,S四边开"FOE=^^ACE~S.OF=2spoc一^ACOF=2x3a-2a

4Q.

S四边形AFOE：S4COD—4a：6Q=2:3,

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・•・④正确；

故答案为：①②④.

【分析】根据平行四边形的性质得到CD=2AO,然后证明□AOEDEIDCE,得至ljEO=OC,得到四边形ACBE

是菱形判断①；根据菱形的性质和平行线的性质判断②；证明匚AOFDDCDF,根据对应边成比例判断③；

设sA/1CF=a,表示S四边形AFOE，判断④解答即可.

7•【答案】（弟-为

【解析】【解答】解：如图，连接AD交OB于点E,过点E作EFE1OC于点E,

由折叠可得，ADJOB,且AE=ED,BC=OA=3,

•••OABC是矩形,

.\rOAB=90°,AB=OC=4,

••・AB=Jc42+4解=&+42=5.

•SAOAB=2。4x4B=)0BxAEf

・“lOAxAB3x412

-AE=-0B-=—=Tf

_________Q

：・CE=\l0A2-A77=左

又「EF匚OC,BCDOC,

AEFDBC,

.,.□OEFCDOBC,

,EF_0E_0F即£•5|OF

-BC-0B-0C'3=5=T，

解得：EF=条，OF=票，

・••点E的坐标为

然后根据中点坐标公式得到点D的坐标为（祟_为,

故答案为：（祟-第

【分析】根据折叠得到点F是AD的中点，然后根据勾股定理求出OR长，然后根据面积法和勾股定理求出

0E长，再根据相似求出点E的坐标，利用中点坐标公式计算解答即可.

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8.【答案】5-尸

【解析】【解答】解：,.,y=7nx+m=m(x+l),

・•・函数y=mx+m-定过点((-1,0),

当x=0时，y=m,

・••点C的坐标为(0,m)

当直线1与OA相交时，很显然直线1不可能把A/lOB分成面积相等的两部分,

・•・直线1一定与直线AB相交，才可能将△AOB分成面积相等的两部分，

由题意可得，直线AB的解析式为y=-x+2,

2—771

X=m+T

3m,

(y=m+1

,直线1：y=mx+m(mW0)把△48。分成面积相等的两部分，

.(2-砌1

,,22f

解得叫=号豆…=注回(舍去)，

故答案为：皂萝.

【分析】先得到直线过(L0),然后分析得到直线1一定与直线AB相交，才可能将"OB分成

面积相等的两部分，求出求出直线y=mx+m与直线AB的交点坐标，利用三角形的面积公式列方程求出m的

值即可.

9.【答案】1

【解析】【解答】解：作出y=|2x-1|与y=Q/+b的函数图象，如图所示：

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•・・f(x)的最小值为1,

•••y-ax2+b恰好经过点(1,1),

故答案为：1.

【分析】利用定义判断b的范围，作出两函数y=|2x—l|Vy=Q%2+b的函数图象，根据f(x)定义判断

y=a/+b与点(1,1)的关系，得出a+b的值.

10.【答案】4

【解析】【解答】解：根据条件中的要求，可以把10盏路灯从左到右编号1,2,……10号，

要满足条件任何连续三盏路灯中至少一盏是亮的且首尾两盏灯均不打开，

则可以亮的路灯号码是：2,5,8；3,5,8；3,6,9；3,6,8,共有4种结果，

故答案为：4.

【分析】根据题意，先把10盏路灯从左到右编号1,2,...10号，要满足条件任何连续三盅路灯中至少一

盏是亮的且首尾两盏灯均不打开，用列举的方法得到结果.

11.【答案】解：因为a2+a+/?2+/?=a/?+a+/?+l,

所以步十『一邓一1=0,

所以(a+5)2—3a/7-1=0①，

4ab

代入①得((Q+b)2—4ab—1=0,

所以(a-b)2=1,

a-b=±L

而a>b.

所以a-b=l,所以a=b+l,

在原方程中,A=9(a+b)2-4x4abx3>0,

整理，并把(a=b+l代进去可知4b2+4d<3,

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两边加1并用平方和公式知:

(26+I)2<4;

所以・2$2b+lW2,

而b为整数，

b=-l或0,

当b=-l时，

a=0,符合题意，

b=0,a=l符合题意，

所以(a,b)为(0,-1)或(1,0).

【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范

围，从而判断出a、b的值.

12.【答案】证明：设(a,b)=d>存在正整数m、n,使得a=md,b=nd>且(m,n)=l,

ab_md-nd_mnd_mdn

a+b-md-ind~(m+n)d~

因为空为正整数，即嘤为正整数，所以m+n能整除mdn.

a+bm+n

又因为(m,n)=l»所以(m,m+n)=l,(n,m+n)=1(>

ill于m+n能整除mdn,且(m,m+n)=l,(n,m+n)=l,所以m+n能整除mn。

因为m、n是正整数，m+n能整除mn,且m+n>1,所以d>l,即(a,b)>1.

【解析】【分析】先设a、b的最大公因数为d,将a、b表示为d与其他数的乘积形式，再结合已知条件磊

为正整数，通过分析得出d的取值情况，进而证明结论.

13.【答案】证明：如图1,。。1的弦©口切(0。2于E,EP是口。2的直径，连接EF,EB,.fiT%延长

£。2,交U。2于点P,连接FP,

图I

乙CEP=90o,z£TP=90°,

...乙CEF+乙FEP=乙FEP+4P=乙FEP+乙CBE=90°,

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•••Z-CEF=Z.CBE,

v乙ECF二乙BCE,

CEFCBE,

.・.母=乐，即CE2=CF♦C8,同理可得CE2=CA-CG,

如图2,连接AB,AM,BN,CN,CM,EM,

D

•.•四边形ACNM是（（DO1的内接匹边形,

:.乙CNM+4CAM=180°,

•••Z.MAG+Z-CAM=180°,

/.MAG=乙CNM,

v/-BAG=Z.BAM+4MAG,4BAM=乙8NM,□BNC=DBNM+DCNM,

.,.□BNC=EBAG,

VLBFG=口BAG=匚CFN,

.-.□CFN=DCNB,

VDFCN=DNCB,

.-.□FCNOEINCB,

嚼嘲，即CN?=CF・CB,

CN2="2,即CN=CE,

VDAGF=EABC=DAMC,CMCA=CGCM,

.,.□AMCDEMGC,

,・.需=能即CM2=C4.CG,

2

ACM=CE?,即CM=CE,

・・・CM=CE=CN,DCEM=DCME,

/.nCDN=rCDM.riCNM=nCMN.「CDM+「FMD=nCMN+-lFMN,

VDCDM=DCNM=0CMN,

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/.CEMN=LEMD,

・•・CD^OMDN的角平分线，EM足匚DMN的角平分线，

・••点E为△MDN的内心.

22

【解析】【分析】根据切割线定理及相似三角形的性质可得UE?=CF-CB=CNtCE=CF*CB=CM?,则

有CN=CM=CE,然后可得CD是zMON的角平分线，EM是々DMN的角平分线，进而问题可求证.

14.【答案】解：如图所示，过点D作OG团4c于G,过点E作EF团BC于F,

二44Go=乙EFB=90°,

•:^ACB=90°,

^GAD+乙FBE=900=4GAO+LGDA,

•••Z.GDA=Z.FBE,

又・・，AD=BE=1,

.*.△ADG=△EBF(AAS),

GD=BF,AG=EF,

如图所示，以点C为原点以CA,CB所在的直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系,

设A(0,a),B(b,0),直线AB的解析式为y=kx+6,

b=a

a

k=--T-

•••{b,

f

b=a

a

•♦•y=一万X+Q，

设°«,一竿+a),则CG=-^-+a,DG=C,

BF=DG=c.EF=AG=a-+a)=竿，

CF=BC-BF=b-c,

'E。-喈)；

设直线CD的解析式为y=k，x,

ac,

:.-万+a=kc,

aa

：•k'=一丁T——，

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・・・直线CD的解析式为y=(-0+习x,

・・・CE平分皿8,

・••点E到直线CD的距离等于点E到直线CB的距离.

ac|(-g+g)(b-O-g|

：

'~b=百+软+(_球

设、八广QFQ=

2

|(-m+m(b—c)-cm\

•••(cm)2=

(—771+71)2+(-1)Z

...c2m2-(-7n+m2(b-c)2-2c7n(-m+m(b-c)+c2m：2

(-m+n)2+l

c2m2(—m4-n)2+c2m2=(—m+n)2(b—c)2—2cm(—m+n)(b—c)+c2m2,

c2m2(—m+n)2=(—m+n)2(b-c)2—2c?n(-m+n)(b-c),

YbC)2f212二(f

..(bc)-cm+(