人教A版高一数学暑假预习：幂函数的图像和性质（练）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

3.4募函数的图像和性质

【题型解读】

【题型一幕函数的概念】

1.（2022•河北•武安市第一中学高一期末）在函数y=F，y=2d,y=f+x,y=\中，幕函数的个数为

2.12022•广东中山市月考•）若函数y=（〃?2—3〃?+3）/'3-4为累函数，则实数”的值为；当此哥

函数在（0,+a）单调递减，则实数优的值为.

3.（2022.山东•济南一中期中）下列函数中哪个是幕函数（）

A.y=B.y=c-y=V2x3D.），=（-2x）-3

4.（2022•安徽宣城市•高一期末）已知基函数/（"=厂的图像过点（2,；）,则实数。的值为.

5.（2022•广东潮州月考）已知y=（/"+2〃?-2）x"'一2+2〃一3是哥函数，求〃?，〃的值.、

【题型二赛函数的图像】

1.12022•山东济宁•高一期中）如图所示的曲线是幕函数），=£'在第一象限内的图象.已知〃分别取-1,

I,p2四个值，则与曲线G、a、G、a相应的〃依次为（）

1

B.2,-1,1,-

2

1

D.-1，1,2,-

2

2.12022•湖北十堰高一期末）三个基函数（1）），二＜、（2）_y2,（3）y=f都经过的点的坐标是

vy—A,J

）

A.（4,2）B.（2,4）C.（0,0）D.（1,1）

3.（2022・四川凉山•高一期末）若幕函数＞与y=在第一象限内的图像如图所示，贝IJ（）

B.〃<一1,0<<1；

C.—1<//<0,m>\；D.??<—1,tn>\.

4.（2。22•河北石家庄期中）函数），"尸』和此的图象如图所示,有下列四个说法:

①如果那么

a

②如果a?〉。＞'，那么

a

③如果那么一IvavO；

④如果"＞了“时，那么….

c.①②D.①③④

【题型三算函数的三要素】

1.12022•绥德中学高一期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）'

A.y=广B.”

52

C.y=0.y—

2.12022•山西•怀仁市第一中学校月考）若塞函数），二犬的图像过点（4,2）,则），=f的值域是

3.（2022・北京大兴•高一期末）已知幕函数/3=（〃1）2/52在（。,+动上单调递增.

（1）求用的值;

（2）当时，记/（力的值域为集合A,若集合8=[2-七4一修，且475=4,求实数左的取值范

围.

【题型四幕函数的性质】

1.12021•广西高一期末）事函数/（"=（加-2加-2卜一々.在（0,+力）为增函数，则〃?的值是（)

A.-1B.3C.一卜或3D.1或一3

2.（2022•陕西•咸阳市高新一中高一期中）已知基函数/（"=（瘠+〃7-1）/向在（0,笆）上单调递减，则实

数w的值为（）

A.-2-B.-1C.1D.-2或1

3.（2022.安徽宣城.高一期中）已知塞函数/（另=/”7（〃7£”的图象关于y轴对称，且与X轴、y轴

均无交点，则，〃的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

4.（2021・江苏•高一专题练习）已知轻函数的图象经过点（4,2）,则函数/*）二—,若

f（2-a）＞f（a-l）f则实数。的取值范围是—.

5.（2022•广东高一期末）比较下列各组数的大小：

（1）和3.「＞（2）_87和一（57；（3）（-§）3和（―高）3；

6.（2022•四川高一期末）若鼎函数"4）="-八2〃+3（夕•在（0,+8）上是增函数，且在定义域上

是偶函数，则〃+9=（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2022•山东高一期末）已知点（a8）在暴函数〃x）=（a-l）/的图象上，若/（〃?）+/（1-3/〃）＜0,则

实数〃?的取值范围为.

【题型五幕函数的综合运用】

1.12022•陵川县高级实验中学校月考)已知某函数〃力=(，〃2+4/〃-4卜1在区间(0,+8)上单调递增.

(1)求/("的解析式；

(2)用定义法证明函数g(x)=/(x)+与©在区间(。，2)上单调递减.

2..(2022・广东・金山中学高一期中)已知哥函数人(x)=(>-5〃?+l)x"为奇函数.

(1)求实数加的值；•

(2)求函数g(x)=力⑴+J1-2〃(力/€0，g))的值域.,

3.(2022・全国•高一课时练习)已知寻函数/("=(2，〃2+6-2)口“在(0,+8)上是增函数

(1)求/(»的解析式，

(2)若二?)・，求"的取值范围.

4.(2022•湖南高一月考)已知函数万(力=(""5〃?+1次向为幕函数，且为奇函数.•

(1)求机的值；

(2)求函数g(x)=/?")+J1-2.「在xw的值域.

3.4幕函数的图像和性质

【题型解读】

【题型一募函数的概念】

1.（2022•河北•武安市第一中学高一期末）在函数y=2x2,y=x2+x,y=1中，塞函

数的个数为

【答案】L

【解析】•・・y=P=/2,・•・是事函数；）,=21由于出现系数2,因此不是幕函数；丁=1+%是

两项和的形式，不是辕函数；），=l=W（*0）,可以看出，常函数,，=1的图象比暴函数＞，=/

的图象多了一个点（0,1），所以常函数）=1不是基函数..

2.（2022•广东中山市月考）若函数y=（〃"3〃?+3）/Q…为累函数，则实数”的值为

；当此哥函数在（0,y）单调递减，则实数机的值为一

【答案】1或2I

【解析】由嘉函数定义知：川-3用+3=卜,解得：i=l或2；

当，〃=1时，病+2〃?—4=7,此时基函数在（0,+8）单调递减;

当/〃=2・时，nr+2/n-4=4,此时事函数在（。,+8）单调递增;

二•当辕函数在（0,+8）单港递减时，〃7=1.

故答案为：1•或2;L

3.（2022•山东•济南一中期中）下列函数中哪个是幕函数（）

B.y=BC.),=V2x_3D.y=(-2x)-3

\J

【答案】A

/］、-3

【解析】某函数是），=/,aeR,显然y==?,是幕函数.

丫=区3,y=（_2x）T都不满足哥函数的定义，所以A正确•故选：A.

\A

4.（2022•安徽宣城市•高一期末）已知第函数/（x）=x°'的图像过点［2,1）则实数Q

的值为.

【答案】-2

【解析】因为基函数/'（6=产的图像过点（2,；）,所以（二2",即2-2=2«，解得

a——2,

故答案为：-2

5.（2022•广东潮州月考）已知）=（〃/+2加-2），-2+2〃-3是幕函数，求小，〃的值.

【答案】见解析.

〃户+2〃?-2=1,

【解析】由题意得」

2〃-3=0,

，3r

户

-尸

-i=1

—3

得

或

解3-

--，-2

2I

V.

3

--

所以〃?=-3或1,2-

【题型二幕函数的图像】

1.（2022・山东济宁•高一期中）如图所示的曲线是寡函数y=x”在第一象限内的图象.已知

〃分别取一1，I,；，2四个值，则与曲线G、。2、G、O,相应的〃依次为（）

【答案】A

【解析】寤函数在区间（0,1）上，图象“指大图低”，所以从上至下依次为-1,展1,2,

对应曲线有C]:n=2,C2:〃=1，G:〃=：〃=-1•故选：A

2.（2022.湖北十堰高一期末）三个幕函数（1）y=x-',（2）（3）y=f都经过

,y-AJ

的点的坐标是（）

A.（4,2）B.（2,4）C.（0,0）D.（1,1）

【答案】D

2

【解析】当x=l时，得到），=.尸=1,y=J=j,y=x=l,故都过点（1,1）.故选：

D.

3.（2022・四川凉山・高一阳末）若暴函数），=心与y=x”在第一象限内的图像如图所示，则

C.—1</?<0,；D.n<—\,m>\.

【答案】B

【解析】由图象知；y=不在（0,+8）上递增，

所以〃?>0,

由），=产的图象增长的越来越慢，

所以m<1,

y=x"在（0,+co）上递减,

所以〃<0,

又当x>l时，丁="”的图象在），=­的下方，

所以n<-1>

故选：B

4.（2022•河北石家庄期中）函数），=.*），=/和、,=].的图象如图所示，有下列四个说法:

.1

①如果那么ovavi；

a

②如果标>4>,，那么a>l;

a

③如果上>标>4,那么一Iva<0；

a

④如果标时，那么”-1.

a

c.®@D.®@®

【解析】当三个函数的图象依尸%…和…2次序呈上下关系时，可得。<皿

所以，若可得所以①正确；

a

当三个函数的图象依y=f,y=x,和），=■!•次序呈上下关系时，-1<X<O或X>1,

X

所以，若/>">」，可得所以②错误；

a

由于当三个函数的图象没有出现），=2,），=/和了=X次序的上下关系，所以③错误;

X

当三个函数的图象依），=9,），=，和y=x次序呈.上下关系时，X<-1,

X

所以，若片>•!■>〃时，可得所以④正确.

a

故选；A.

【题型三幕函数的三要素】

1.（2022・绥德中学高一期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）•

A.）,=/、B.y=x3

52

3

C.y-XD.y-x3

【答案】D

【解析】中，/的定义域和值域均为；

A•*R

8中，y=■的定义域为(0,+8),值域为((IK)：

。中，),=j的定义域和值域均为R：

。中，),二j.的定义域为R，值域为【°，”)，定义域和值域不相同

故选：D

2.(2022•山西•怀仁市第一中学校月考)若塞函数〉=1”的图像过点(4,2),则)，=/的值

域是_________

【答案】10,+8)

【解析】由幕函数》二/的图像过点(4,2),可得2=4。，可得。二」，

故由幕函数的性质可得其值域为[0,+8).故答案为：[。,+8).

3.(2022•北京大兴•高一期末)已知幕函数/(6=(〃1)2/田+2在(0,田)上单调递增

(1)求用的值；

(2)当xw[l,2]时，记/⑴的值域为集合A,若集合5=[2-左4-修，且Au8=A,求

实数攵的取值范围.

【答案】(1)0;(2)[0,1]

【解析】(1)・・・/(x)为冢函数，・・・(/〃-1)2=1,・•.相=0或2.

当〃?=0时，”力=/在(0,转)上单调递增，满足题意.

当m=2时，/(力=广2在((),”)上单调递减，不满足题意，舍去.

m=0.

(2)由(1)知，/(x)=x、

•・・/(x)在[1,2]上单调递增，JA=[1,4].

(2—〃之1

*：B=[2-k,4-k]fA\JB=A,/.BGA,：.lf:解得

L」[4-Z:<4,

故实数上的取值范围为[0』.

【题型四幕函数的性质】

1.(2021•广西高一期末〕塞函数/(力=(〃/-2加-2)/2在(0,也)为增函数，则加的值

是()

A.-1B.3C.一卜或3D.1或一3

【答案】B-

【解析】・・・/（1）为累函数，.•.加-2m-2=l，解得：m=-l或〃?=3；

当，〃=T时,〃”二/，则“X）在（0,田）上为减函数，不合题意;

当m=3时，/（"=『’则“X）在（。,+8）上为增函数，符合题意；

综上所述：机=3.故选：B.,

2.（2022・陕西・咸阳市高新一中高一期中）已知塞函数/（x）=（1+〃-l）V在（（）,田）上

单调递减，则实数勿的值为（）

A.—2*B.-1C.1D.—2或1

【答案】A

【解析】由于/'（"为累函数，所以加+“1=10〃?=-2或加=卜；又函数在

（0,+8）上单调递减，故当〃?=-2时符合条件，故选：A

3.（2022・安徽宣城•高一期中）已知暴函数/（X）=X3*'（〃2£N）的图象关于》轴对称，

且与X轴、轴均无交点，则小的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】由题意可得：3加一7<0同3〃7-7为偶数，mwN，

7

解得m<一,且3〃?一7为偶数，meN,ni=l.故选：C.

3

4.（2021•江苏•高一专题练习）已知哥函数/*）的图象经过点（4,2）,则函数/1）=

—，若/（2—4）>/（。一1）,则实数。的取值范围是—.

【答案】«

【解析】设察函数/。）=丁，由/（4）=¥=2,得到a=g，于是/*）=%="；

2-a>a-\

若——则所以<2-aNO,解得

«-1>()

3

故答案为五；

5.（2022•广东高一期耒）比较下列各组数的大小：

（1）一和（2）和—（I.；（3）

°J.I°936

【答案】(1)32>3(2)-(3)<——

'\9JV3JI6,

【解析】解：(1)函数y=在(0,+8)上为单调减函数，乂3<3.1,所以3卷>3.1：

1V

⑵-8，函数),=/在(0，+网上为单调增函数,

8>

即一”〈-

r=(I6J

函数y在(0,+8)上为单调减函数，又;

所唱‘<成喑)<-犷

6.(2022•四川高一期末)若轻函数〃"=卯"+2匹3(”史〃£2)在(0,+8)上是增函

数，且在定义域上是偶函数，则〃十夕二()

【答案】C

【解析】因为/(力二//如九个尺〃“)是辕函数，所以4=1；

又f(x)=厂内2〃.3(pez)在似+8)上是增函数，

所以+2〃+3>0，解与-1<〃<3,因为peZ,

所以〃=。或1或2,

当p=0时，〃％)=/,因为/(T)=(T)3=—/=_/3,所以/(x)=V是奇函数，不满

足题意，舍去；

当〃=1时，〃"=/，因为/(—)=(_"=犬=/(4所以/(耳二/是偶函数，满足题

意；

当〃=2时，〃x)=Y是奇函数，不满足题意，舍去；

故〃=卜，所以"+4=2.故选：C.

7.(2022•山东高一期末)已知点(。,8)在辕函数/(x)=(a—1)心的图象上，若

〃间+〃1—3加)<0,则实数〃?的取值范围为.

【答案】(T,”)

【解析】因为〃力=(。-1)/为基函数，所以0-1=1,解得所2

所以/(》)=/,又(2,8)在/⑴上，代入解得〃=3,

所以〃x)=V,为奇函数

因为/(/w)+/(l-3w)<0,所以/(〃?)<-/(I-3m)=/(3/n-l),

因为/(x)=d在〃上为单调增函数，■

所以/〃<3〃?一1,解得加>；,

故答案为：

【题型五募函数的综合运用】

1.(2022•陵川县高级实验中学校月考)已知哥函数/("=(〃?2+4〃?-4)"向在区间(0,+8)

上单调递增.

(1)求/("的解析式；、

(2)用定义法证明函数g(x)=/(x)+当⑼在区间(0,2)上单调递减.

【答案】(1)/("=/；(2)证明见解析.•

【解析】(1)解:由题可知：>+4〃-4=1，解得〃7=1或〃2=-5.

若加=1，则/(X)=/在区间(0,+8)上单调递增，符合条件；

若〃=-5,则〃x)=/在区间(0,+2上单调递减，不符合条件.

故f(x)=d「

(2)证明：由(1)可知,g(x)=x2+—.•

任取X1',€(0,2),且用<々,

则8(再)一月(工2)=X；+竺一X；一竺=(X)-x2)(匹+x2)--^-1.-

A'lA?LAIA2J

因为0<N<W<2,•

16

所以内一“2<°，+x<4,-—>44,

2X\X2

所以(X-W)(N+赴)--->。，•

即g(%)>g(z)，故g(£l在区间(0,2)上单调递减.

2..（2022・广东・金山中学高一期中）已知幕函数Mx）=（〃/-5〃z+l）V为奇函数.•

（1）求实数m的值；•

（2）求函数g（x）="x）+Jl-2Mx0，£|）的值域.■

【答案】（1）/n=0；（2）（；，1.

【解析】（1）・・・函数/心）=（〃?2-5/〃+1）/田为家函数.，

nf-5m+l=T>解得〃7=