甘肃省武威市2023-2024学年高一年级下册期末质量检测数学试卷（含答案）

甘肃省武威市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.复数z的虚部为（）

i-i

A.B.-1C.1D.2

2.已知AO是△48C的中线，AB=a,AD=b^以商是为基底表示配，则冠=（）

3.sinl64°sin44°—cos!6°sin46°=()

4.有下列命题：

①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；

②芍两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；

③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的儿何体叫棱柱;

④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.

⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.

其中正确的命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，卜.列结论正确的是

A.线段48与所在的直线异面

B.线段CO与/?"所在的直线平行

C.线段CD与G"所在的直线所成的角为60。

第1页

D.线段48与EF所在的直线相交

G.已知77i,九足两条不同直线，a,/7,y是二个不同平面，下列命题中正确的为()

A.若a_Ly,/?1y,则aII/?B.若m_La,n1a,则mII几

C.若mIIa,nWa,则mII几D.若mII%,mil/?,则aII夕

7.2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大褰村和重庆荆竹

村成功入选.辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客.小明准备利用假期从中选一个乡村游

玩，记事件从小明选大寨村，事件B：小明选荆竹村，事件C：小明选绿江村.已知P(A)=0.3,尸(瓦)=

0.6,则P(4+8)=()

A.0.12B.0.18C.0.7D.0.9

8.某商场开展2()周年店庆购物抽奖活动(1()0%中奖)，凡购物满50()元的顾客均可参加该活动，活动方式

是在电脑上设置一个包含1,2,3,4,5,6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数

字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若

该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50

元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为()

A.磊B.1C.JD.1

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得。分.)

9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是

()

A.圆柱的侧面积为2"陵

B.圆锥的侧面积为2TIR2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2

10.如图，正方体A8C。-418165的棱长为1,P是线段86上的动点，则下列结论正确的是()

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A.三棱锥Di-P4A的体积为定值

B.4P+PC的最小值为2企

C.&P〃平面ACDi

D.直线4】尸与女所成的角的取值范围是［0,富

11.设48,。为随机事件，且204)〉0,。(8)>0,尸(0>0,下列说法正确的是()

A.事件4,8相互独立与4,8互斥不可能同时成立

B.若三个事件4B,C两两独立，则PG48G=PG4)P(B)P(C)

C.若事件独立，贝IJP(MB)=P(4)P(g)

D.若PM)=W，P(8)=J,P(An8)=:，则P(AU8)T

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.如图，已知正三棱柱ABC—的底面边长为2cm,高为5cm,一质点自4点出发，沿着三楂柱的侧

面绕行一周到达4点的最短路线的长为cm.

力'、」8

13.已知复数2=。+优，其中aW{-2,0,1},bG{0,1,4,9},则复数z=a+bi是纯虚数的概率为.

14.设。和C分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下方程％2十.十

c=0有实根的概率是.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤.)

15.已知平面向量苍=(1,一2),6=(-1,-1).

(1)求卜万一可的值;

(2)求五与石夹角的余弦值.

16.已知sina=aE0,加)

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(I)求cosa,tana的值：

(2)求sin2a,cos2a的值

(3)求cos(a-的值.

17.如图，在正方体4BCD-481加。1中,

(1)求证:43〃平面&DCB1；

(2)求直线与々C所成的角的大小；

(3)求证：BCi_L平面41DCB1.

18.如图，在四棱锥S-A8co中，底面A8C0是边长为1的正方形，SA=SB=2,E、F分别是SC、80的中

点.

(1)求证：EF〃平面S4B；

(2)若二面角S-48-。的大小为先

(i)求S4与80所成角的余弦值；

(ii)求直线SO与平面48co所成角的大小.

19.龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌(每个数

字四个花色：红桃、红色、方块、红色、黑桃、黑色、梅花、黑色)现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红

10和一张红K即为成功.现有三种抽取方式，如下表：

方式①方式②方式③

抽取规则有放回依次抽取不放回依次抽取按数字等比例分层抽取

成功概率P1P2P3

(I)分别求出在三种不同抽取方式卜的成功概率;

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(2)若三种抽取方式小明各进行一次，

⑴求这二次抽取中至少有一次成功的概率；

3)设在三种方式中仅连续两次成功的概率为P，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，

什么样的顺序使概率P最大？如果无关，请给出简要说明・

第5页

答案解析部分

1.【答案】B

【解析］【解答】解：z=m=复数z的虚部为一看.

1—1(1-+LL2

故答案为：B.

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简判断其虚部即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：因为AD是△ABC的中线,所以BC=28D，

AC=AB^~BC=AB+2BD=通+2(AD一而)=-AB+2AD=-a+2b.

故答案为：B.

【分析】利用向量的线性运算结合平面向量基本定理计算即可求解.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：sinl64°sin44°-cosl6°sin46°=sin(180°-16°)sin(90°-46°)-cosl60sin46<>

=sinl6°cos460—cosl6°sin46°=sin(16°—46°)=-sin300=一宗

故答案为：A.

【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式化简求值即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：①②③、有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边

都互相平行，如图所示：

故①②错误，③正确：

④、用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故④错误;

⑤、一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形是棱锥，故⑤错误.

正确命题有1个.

故答案为：B.

【分析】根据楂柱、棱锥、棱台的概念逐项判断即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：由正方体展开图还原正方体如下图所示：

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由图可知，线段A8与G”所在的直线相交，故A错误;

因为线段CO与E厂所在的直线界面，故B错误：

如图，连接HM,GM,

由正方体的性质可知HM〃CO,△HMG为等边三角形，

所以4G“例=60。为C。与G”所在的直线所成的角，故C正确;

如图,连接BG,

贝IJE/7/BG,BGu平面48G,EFC平面力BG,

所以£77/平面48G,

又因为u平面A8G,

所以EF与A8不相交，故D错误.

故答案为：C.

【分析】先还原正方体，再根据线线的位置关系和异面直线所成的角求解方法，从而逐项判断找出正确的选

项.

6.【答案】B

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【解析】【解答】解：A、如图所示:

aly,/?1y,则a与0相交，故A错误；

B、若m_La,n1a,由线面垂直的性质可得：mIIn,故B正确;

【分析】举例分析即可判断ACD；由线面垂直的性质分析即可判断B.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：事件4B,C为互斥事件，P(A)=0.3,P(F)=0.6,

则P(8)=1-P(B)=0.4,故PQ+B)=0.3+0.4=0.7.

故答案为：C.

【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式求解即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：易知抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况有：(LD,(L2),(L3),(1,4),(1,5),

(1,6),(2,1),…,(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种情况；

两次抽奖奖金之和为200元情况有：

第一次与第二次都中二等奖，包括(1,3),(3,1),(1,1),(3,3),概率为。1=言=3；

第一次中一等奖，第二次中三等奖，包括(6,5),(6,4),(6,2),概率为22=磊=务；

第一次中三等奖，第二次中一等奖，包括(5,6),(4,6),(2,6),概率为「3=靠=务，

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则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为P=Pl+P2+P3=1

故答案为：B.

【分析】将两次抽奖奖金之和为200元分为第一次与第二次都中二等奖，第一次中一等奖，第二次中三等

奖，第一次中三等奖，第二次中一等奖三种情况，利用古典概型求概率的公式计算即可.

9.【答案】C,D

【解析】【解答】解：对于A,因为圆柱的侧面积为27TRX2R=47TR2,所以A错误；

对于B,因为圆锥的母线为J(2R)2+R2=炳R,圆锥的侧面积为正Rx7rR=V57rR2,所以B错误；

对于C,因为球的表面积为4"腔，所以C正确；

对于D,因为圆柱的体积匕="/?2乂2/?=2万/?3,圆锥的体积V2=gx7rR2x2R=|7rR3,

球的体积，3=g加屋，

所以圆柱、圆锥、球的体积之比为27^34^31^3=3:1:2,故D正确.

故答案为：CD.

【分析】根据题意结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：对于A,由正方体可得平面。平面BCC$i且B,PC平面BCC$i，

所以点8到平面。44也的距离等于点P到平面D44也的距离，

所以三棱锥-PA遇的体积Pp-11M=VB-ADXA-聂必小力xl=1x|x1x1x1='为定值,

故A正确；

对于B,当P与B重合时，AP-^-PC=AB+BC=2<272»

所以4P+PC的最小值不为2vL故B错误；

对于C,连接4%,

由正方体可得44i=CCi，AAl//CCl,

所以四边形1GC是平行四边形，所以AC〃&G，

因为jdu平面力4g9平面力

所以41的〃平面AC。1，同理可得BQ〃平面AC。1,

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因为力lQnBCi=C1，&C1，8C1u平面&C1B,所以平面4。田〃平面力。5,

因为A/u平面为。山，所以4记〃平面AC。)故C正确:

对于D,因为AC〃4G，

所以乙P&G(或其补角)为直线&P与4c所成的角，

由图可得当P与8重合时•，此时NP4G最大为多

当P与的重合时，此时4P&G最小为0,

所以直线4P与AC所成的角的取值范围是［0,射，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】利用等体积法转化法和三棱锥的体积公式，从而计算出三棱锥Di-PA遇的体积后，则可判断出选

项A；利用反例法结合已知条件可判断出选项B；先证平面41。/〃平面4CQ,再结合面面平行的性质定

理，则可判断选项C；先证/P&G(或其补角)为直线4』与AC所成的角，再求出2PAic1的取值范围后，

则可求判断选项D,从而找出结论正确的选项.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解:A、事件4,1相互独立,贝IJPG4nB)=P(4)P(B)；事件力,8互斥，则PQ4nB)=0,

因为PG4)>0,P(B)>0,所以事件4B相互独立与4B互斥不可能同时成立，故A正确；

B、设样本空间Q={a,b,c,d}含有笔可能的样本点，且A={a,"8={a,c},C={a,d},

则P(*=P(B)=P(C)=*，P(4B)=P(/C)=P(BC)=i,

PQ4B)=P(4)P(B),P(4C)=P(4)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

即三个事件4,两两独立，但P(/1BC)=kP(4)P(B)P(C)=热故B错误；

C、若事件4,8相互独立,则4瓦彳，瓦彳,8也独立，故C正确；

D、若P(£)=5则P(A)=\P(4UB)=P(4)+P(B)-P(4nB)=/故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】利用相互独立性的性质，相互独立事件是可以同时发生的，而互斥事件是不可能同时发生的即可判

断AC：三个事件两两独立，不能确定三个事件相互独立，即不能判断P(A8C)=P(A)P(8)P(C)是否成立即

可判断B；利用概率公式PQ4U8)=PQ4)+P⑻-P(AnB)求解即可判断D.

12.【答案】

【解析】【解答】解：沿着正三棱柱ABC-的侧棱剪开，把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，如

图所示：

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4GB、A\

易知侧面展开图为：长3x2=6cm,宽5cm-个矩形，

易知矩形的对角线长为几调=历，则最短路线的长为VHcm.

故答案为：V6T.

【分析】沿着正三棱柱48。-4净£的侧棱A4]剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形

的对角线长求解即可.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：复数z=Q+仅，其中ae{-2,0,1},bG{0,1,4,9},

则复数z有3x4=12个，其中纯虚数Q=0,bH0的有3个，

则复数z=a+bi是纯虚数的概率为：P=9=上・

故答案为:J.

【分析】先求复数的个数，再由纯虚数得出的取值，判断纯虚数的个数，利用古典概型概率公式求解即

可.

14.【答案】A

【解析】【解答】解：易知投掷一枚股子在两次出现的点数有5的情形有：

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5),共11个，

满足判别式A=/-4C20的有:(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),共7种，

则所求概率为

故答案为：

【分析】利用古典概型概率公式求解即可.

15.【答案】(1)解:因为2五一I=(2,—4)—(―1,—1)=(3,—3)，

故恢-同=+(一3)2=3鱼.

(2)解:设2与石夹角为氏

C=五石=(1，-2)•(-1,-1)=-1+2=710

\a\]b\/l+4x/l+lv'lO10，

故互与石夹角的余弦值为廓.

第11页

【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量坐标运算以及向量的模的坐标表示，从而得出|2五-司的值.

（2）利用数量积求向量夹角公式，从而得出2与了夹角的余弦值.

（1）2d-b=（2,-4）-（-1,-1）=（3,-3），

故12方-b\=J32+（-3）2=3V2：

（2）设五与石夹角为

「冰。=包=（1，-2）-（一1,-1）=-1+2=A0

国回71+4x71+1via101

故G与石夹角的余弦值为需

16.【答案】（1）解：sina=aW得则cosa=—sin2s=—1,tana=—擀；

□'4/UHr

4

-

（2）解：由（1）可得sina=q，cosa=5

贝ijsin2a=2sinacosa=一云，cos2a=cos2a—sin2a=否;

(3)解：cos(«—5)=cosacosS+sinasin?=

【解析】【分析】（1）由题意，根据同角三角函数的关系求解即可;

（2）根据正弦、余弦的二倍角公式求解即可;

（3）根据两角差的余弦公式求解即可.

(1)因为sina=卷,

43

所以cosa=-Vl—sin2a=—p.tancr=一下;

54

(2)sin2a=2sinacosa=一叁,

cos2a=cos2a—sin2a=£

/o\(n\TT,..n3>/3-4

3cos(0一g尸cosacos可4-sinasin可=—前一

17.【答案】（1）证明：因为在正方体中，可知48〃4出,

又因为ABC平面AiOCBi,48]U平面4OC81，所以48〃平面$0C8i；

（2）解：连接A。，BD,如图所示：

在正方体48co-&B1GD1中，可知A*"/。。，=CD,

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所以四边形ABiCD是平行四边形，所以&D〃BiC,

所以乙D41G（或共补角）足直线与直线0C所成角，

又因为40=4]8=8。，所以ZDA/=6O°,则直线4道与直线81c所成角为60°；

（3）证明：在正方体ABCO-AiBiGD]中，

因为_L平面且BCiu平面8&C1C,所以力_LBQ,

又因为8Ci、々C是正方形BBiGC的对角线，所以8cli8传，

又因为4$1『8传=81，且4%,&CU平面41DC2,所以8Ct_L平面4以历.

【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可：

（2）根据异面直线所成角定义求解即可；

（3）根据线面垂直的判定定理证明即可.

（1）因为在正方体/1BCO—41B1GD1中，可知

而48C平面/hDCBi，4〔Biu平面40C81，所以4B//平面/hOCBi.

（2）如图，连接&D,BD,在正方体ABC。-4181clDi中，可知A1BJ/CD,=CD,

所以四边形々/CD是平行四边形，所以&D〃BiC,

所以乙九4避（或其补角）是直线4B与直线&C所成角，乂40=4止=80,所以

^DAAB=60°,所以直线4/与直线当。所成角为60°.

（3）因为在正方体48co-&81GD1中，可知41%L平面881GC,且u平面B&GC,所以1

BCi，

乂因为8G、81c是正方形BBiGC的对角线，因此8cli8传，

又力181nBic=81，且BiCu平面A10C81，

所以BCi1平面AWC81.

18.【答案】（1）证明：因为点尸是正方形A8C0的对角线BD的中点，所以48C三点共线，连结力C,如图所

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点F是对角线AC,8。的交点，则F是AC的中点，E是SC的中点，即EF〃S4

因为EFU'F而SAG,SAu平面S4B,所以EF〃平面SA〃：

（2）解：（i）连结BE,如图所示；

若二面角S-AB-。的大小为队

乙

则平面S48，平面ABCD,目.平面S/8n平面48co=AB,8cl.48,旦8Cu平面A8C0,

所以8cL平面SAB,SBu平面SA8,所以8c1SB,

又因为SB=2,BC=1,所以SC=遮，则8E=[sC=^，

r又EF==1»BF=BD=

异面直线S4与8。所成的角为EF与BD所成的角，为NBFE或其补用,

△MF中，CE8FE=嚓器等=号

所以异面直线S4与BD所成角的余弦值为《；

O

（打）取力8的中点。，连结S。，如图所示:

因为S/l=SB,所以S0_L4B,所以SOJL平面力BCD,

连结0D,贝叱SD。为直线S。与底面ABCD所成的角，

因为底面边长为1,SA=SB=2,所以S0=J22_gj=孚,0。=口1邛,

tanz.SDO==V3»所以Z_SO。=60°,

则直线SD与平面力BCD所成角的大小为60°.

【解析】【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明EF〃S4证明即可；

（2）（i）根据（1）的结果，转化为求E尸与BD所成角的余弦值，利用图形的几何性质，结合余弦定理求解即

第14页

可；

(ii)根据线面角的定义，构造线而知，求解即可.

(1)如图，因为点尸是正方形ABCD的对角线的中点，所以A,F,C三点共线，连结4C,

点F是对角线4C,BD的交点，所以尸是AC的中点，E是SC的中点，

所以“〃S4

EFG平面SAB,54<2平面548,

所以“〃平面SA8

(2)(i)连结BE,

若二面角S—AB—D的大小为奇,

贝I」平面S4BJ_平面4BCD,且平面S4Bn平面力BCD=AB,

BC14B,且8Cu平面48C0,

所以8C1平面SAB,SBu平面SA8,

所以8C_LS8,

又因为SB=2,8C=1,所以SC=V5，则BE=4NSC=*乙，

又EF