计算题专项特训（四）学生版

计算题专题特训(4)

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一、解答题

1.2024年7月27日巴黎奥运会上，两名00后小将黄雨婷、盛李豪获得射击混合团体10

米气步枪金牌，为中国队夺得首金！比赛用的气步枪是利用压缩空气推动弹丸的枪械，它的

原理可简化如下图：将高压空气储存在气罐A中，撞击锤向前顶开气阀门K,压缩气体经

细小通道进入枪膛B中，A、B中气体立即达到平衡且不向外界漏气，从而给弹丸强大作用

力将其发射出去。已知枪膛B内为常压气体，压强为P。，体积为玲，气罐A储存的气体初

始压强为。外，体枳为细小通道体积可忽略不计，不考虑温度的变化。求：

|撞击锤|

(1)初始储存在气罐A中的气体，做等温变化在压强为几时所对应的体积；

⑵气阀门K打开瞬间枪膛B中的压强。

2.如图所示，竖直放置汽缸内用质量为〃，的活塞密封•部分气体，活塞能无摩擦地滑动，

容器的横截面积S,将汽缸放在大气压恒为Po的空气中，开始时气体的温度为刀，活塞与缸

底的距离为由于外界温度改变，活塞缓慢下降高度人后再次平衡，此过程中气体向外界

放出热量Q。求：

(1)活塞再次平衡时外界的温度心:

(2)此过程中密闭气体内能减少多少。

3.某充气式座椅简化模型如图所示，质量相等且导热良好的两个汽缸C、D,通过活塞〃、

〃封闭质量相等的两部分同种气体A、B,两活塞通过轻弹簧相连。整个装置静置在水平面

上，已知C汽缸质量为封闭气体的初始高度均为L,初始环境温度为经，大气压强为“0,

重力加速度为g，活塞的横截面积为S、质量和厚度不计，活塞光滑且活塞与汽缸不漏气。

(1)若环境温度缓慢升至L27；),求稳定后A气体的高度。

(2)若环境温度缓慢升至L2”,此过程中A气体内能增加量为U,求A气体从外界吸收

的热量Q。

4.如图所示，两个带有限位的开口汽缸A和B,高都为/?,底面积分别2s和S,下端由较

细的气管联通，A、B汽缸中各有一个位于汽缸底部的活塞，质量分别为2〃?、加。现通过阀

门K给汽缸缓慢打气，每次可以打进压强为体枳相同的室温气体，打了15次后，两活

塞都恰好到达汽缸的正中央，关闭K。已知室温为27C,大气压强汽缸导热性能

良好，气管中气体忽略不计，活塞厚度可忽略，不计一切阻力，重力加速度为加

(1)求活塞到达汽缸的正中央时，汽缸内气体的压强外

(2)求每次打入室温气体的体积

(3)若在汽缸B中的活塞上方缓慢倒入质量为小的沙子，汽缸内气体达到平衡后，再给汽缸

加热，求当汽缸B中的活塞刚要开始上升时，汽缸内气体的温度兀

5.如图所示，一导热性能良好的球形容器内部不规则，某兴趣小组为了测量它的容积，在

容器上竖直插入一根两端开口的长/=100cm的薄壁玻璃管，接口用蜡密封。玻璃管内部横

截面积S=O.2cm2,管内一长力=14cm的静止水银柱封闭着长度4=10cm的空气柱，此时外

界温度。=27现把容器没在温度为4=77。。的热水中，水银柱缓慢上升，当水银柱重新

静止时下方空气柱长度4=60cm,实验过程中认为大气压没有变化，大气压P。相当于76cm

高汞柱的压强。（0℃对应的热力学温度为273K,忽略水银柱与玻璃管壁之间的摩擦阻力）

⑴求容器的容积；

（2）在标准大气压下，这时对热水继续缓慢加热，能否让水银柱全部从上部离开玻璃管？

6.图中的A是一个边长为/的方形导线框，其电阻为凡线框以恒定速度了沿x轴运动，

并穿过图中所示的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，如果以x轴

的正方向作为安培力的正方向，线框进入磁场瞬间开始计时，求：

（1）线框穿过图中所示磁场的发热品Q；

（2）作出线框所受的安培力随时间变化的图像，标明图线关键位置的坐标值（只作图，不看

过程）。

7.如图中所示（俯视图），虚线边界左侧空间分布磁感应强度为B的强磁场，方向竖直向

下，边界右侧空间分布磁感应强度为2B的匀强磁场，方向竖直向上。•质量为〃?，总电阻

为R，油边长为3s,床边长为L的单匝矩形线"cd垂直于磁场水平放置，灰边平行于虚线

边界，疝、cd边上的e、7•两处（e、/两处在边界处）有两个小孔，一光滑绝缘的固定轴穿过

两个小孔（小孔和轴图中未画出），。〃到边界的距离为S。现让线框在外力（不计重力）的

作用下，绕d轴以角速度如顺着4看为逆时针方向开始匀速转动。

（1）求从图示位置开始转动半周过程中通过线框某一横截面的电量大小%

（2）在乙图上画出线框中感应电流随时间变化的图像（以abcda方向为电流正方向，从初

始时刻开始，画一个周期，请标注电流最大值）；

（3）求匀速转动一周外力所做的功

i

XX••••

d\--------rI；~~~ic.

X>X:....O111七―A

X♦R1:3

'图甲图乙

8.如图所示，电阻不计且足够长的U型金属框架放置在倾角。=37。的绝缘斜面上，该装置

处于垂直斜面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小B=0-5T,质量m=0.1kg、电阻R=0.4C

的导体，心垂直放在框架上，从静止开始沿框架无摩擦下滑，与框架接触良好，框架的质量

M=0.2kg、宽度L=0.4m,框架与斜面间的动摩擦因数〃=0.6,与斜面间最大静摩擦力等

于滑动摩擦力，g取10m,sL

⑴若框架固定，求导体棒的最大速度%;

（2）若框架固定，导体棒从静止下滑5.75m时速度v=5m/s,求此过程回路产生的热晨。及下

滑时间t；

（3）若框架不固定，求当框架刚开始运动时棒的速度匕。

9.如图所示，间距g1m的平行光滑的金属导轨固定在绝缘水平面上，水平导轨足够长，

整个空间存在垂直导轨竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=2T,长度均为d=lm的人工智

能金属棒m瓦其电学属性可以自由切换,质量分别为q=0.5kg、，%=1kg,初始时b

均静止，电容为C=0.25F的电容器未充电。现对。棒施加垂直于棒的水平外力b=6N。不计

导轨电阻。

XXXXXXXX

|XXXXx^rxxx

「XXXXXXXX

b

(1)开关K处于断开状态时，若金属棒人万电阻分别为4=2C、6=1。，求最终电流稳定

时两棒的速度差为多大？

(2)开关K一直处于闭合状态时，若将〃棒的电阻切换为很大(可认为它与导轨间始终处于

绝缘状态而静止不动)，。棒电阻仍为飞=2。，。棒在P=6N作用下做匀加速运动，求其加

速度大小？

(3)开关K一直处于断开状态时，若将〃棒的电阻切换为零；〃棒切换为直流电阻为零的纯电

感状态，其自感系数L=2H,将〃棒锁定不动。。棒在46N作用卜升始运动，已知〃棒产

生的自感电动势大小为6=心当。求〃棒的最大动能。

Ar

10.如图所示，半径『0.5m的水平金属圆盘绕过中心O的竖直轴以①=100rad/s的角速度逆

时针匀速转动。圆盘边缘通过电刷与导轨的4点相连，中心。与单刀双掷开关S的接线柱

1相连。水平固定平行导轨A/A2段和8/比段为粗糙导轨，AM3段和&&段为光滑导轨，且

A/A2段与4243段在A2处绝缘，田&段与8283段在比处绝缘。垂直导轨放置的金属棒PQ

与粗糙段导轨之间的动摩擦因数为"=0.5。在导轨的左端连接自感系数为八0.1H的线圈。

圆盘和水平导轨均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小均为B=l.0T。已知金属

棒/。质量m=0.1kg,导轨的宽度gLOm,电阻R=5.0C,电容器的电容C=0.06F。不计金

属棒PQ、导轨和自感线圈的电阻，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10ir7s2o

(1)求电容器所带的电荷量；并判断哪个极板带正电？(选“M极板”或“N极板”)

⑵将开关从1打至U2,金属棒PQ由静止开始运动，从开始到最大速度经历的时间占0.4s,

求金属棒的最大速度；

(3)若金属棒经过人2&时的速度为vo=2.Om/s,此时立即力1一外力，使金属棒做匀速运动，求

金属棒匀速运动折1.0m过程中线圈储存的能量。

11.某一冰雪项目的训练场地，分为覆盖着冰层的平台和雪地两部分，如图所示。运动员从

距平台边缘s=28m处收起滑雪杖，保持姿态不变，以％=8m/s的初速度向平台边缘滑去,

离开平台后落至雪地。己如平台和雪地的高度差〃=2.45m,运动员与冰面间的动摩擦闪数

A=005,不计空气阻力,重力加速度g=10m/s2。求运动员:

A

77力

焉

“(〃/〃”〃〃〃〃/刀《77777/

(I)在平台上收起滑雪杖后加速度的大小4：

⑵滑离平台时速度的大小I，；

⑶落至雪地时与平台边缘的水平距离X。

12.喷射悬浮飞行器，又叫喷水飞行背包(Flyboard),是一款能够实现水上飞行的娱乐产

品。如图所示，飞行器工作时,摩托艇的发动机通过一根长导管把水向上输送到飞行背包上,

再经飞行背包上的两个向下的喷口把水向下喷出时，会产生强劲的反推力，这样摩托艇上的

用户就可以让飞行背包飞起来了。整个系统需要两个人配合，一个人在摩托艇上控制引擎,

调整水压力，飞行背包上的人控制飞行方向和角度。已知连接飞行背包与摩托艇的长导管的

横截面积为1=5,飞行背包上的两个后喷导管的横截面积均为S2=：S,水的密度为「，

重力加速度大小为g,忽略一切阻力。某次飞行中，飞行背包与飞行体验者的总质量为M,

恰好能在距水面H高度处悬停，忽略处在水面以上的长导管及内部水的总质量。求：

(1)长导管中与两喷II处的水流速度大小之比:

(2)飞行背包上的两个向下的喷口喷水的速度大小；

(3)摩托艇发动机工作平均功率至少为多大。

13.如图所示，在光滑的水平桌面上放有右端固定挡板的长木板甲，甲的左端和中点处各有

小物块乙和丙，乙与丙、丙与挡板之间的距离均为乙甲与乙、丙之间的动摩擦因数均为4，

甲、乙、丙的质量均为，儿开始时，丙和甲静止，现给乙水平向右的初速度。重力加速度取

小所有碰撞均为弹性碰撞.

一|挡板

®__________

甲

<-----------><----------->

LL

(1)求乙和丙碰撞前，丙受到的摩擦力大小/;

(2)若乙刚好与丙不发牛碰撞，求乙克服摩擦力做的功W：

(3)若丙能从长木板甲上滑出，则乙的初速度w应满足的条件。

14.如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，

椭圆的半长轴和半短轴分别为〃和方，长轴水平，短轴竖直.质量为〃，的小球，初始时刻从

椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平

面内建立固定于地面的直角坐标系xOx,椭圆长轴位于工轴上。整个过程凹槽不翻转，重力

加速度为

(1)在平面直角坐标系xQy中，求出小球运动的轨迹方程；

(2)固定凹槽，在)，轴左侧适当位置对凹槽进行适当切割保留剩余部分(如图所示)并在

切割位点接上一个倾角为30。的足够长斜面。在保证小球飞出时速度与水平方向夹角大于30。

情况下，求：

①切割位点横坐标为-.10时，小球飞出的速度如：

②小球落在斜面最远点时的切割位点的横坐标。

15.如图所示，倾角为30。的足够长斜面和半径为R的半圆弧连接，圆心。在斜面的延长线

上，M为半圆弧的左侧最高点，N为圆弧最低点且物块B、C间由一轻质弹

簧拴接置于斜面上处于静止状态，其中C紧靠在斜面底端固定挡板P处，B用跨过轻滑轮

的不可伸长的轻绳与小球A相连，开始时将小球A锁定在M处，此时轻绳与斜面平行恰好

无张力。某时刻解锁小球A,当小球A沿圆弧运动到最低点N时，物块C对挡板的作用力

恰好为0。已知小球A的质量⑼=6加，物块B、C的质量〃重力加速度为g,

小球可视为质点，不计一切摩擦，弹簧始终在弹性限度内，求：

⑴弹簧的劲度系数匕

（2）解除小球A锁定的瞬间，小球A受到轻绳的拉力沿圆弧的切线方向，求此时拉力的大小

T;

⑶小球A运动至N点时的速度大小Vo

16.如图所示，在第•象限存在垂直X。），平面向外的磁场，磁感应强度大小与到。点的距

z-I

离/•成反比，即满足用（A未知），磁场分布在的范围内，第三象限与第四象限

r2

分别存在垂直xOy平面向里和向外的半径为4的圆形匀强磁场，磁感应强度大小均为

82=手。第二象限有一束质量是加，电荷量是％速度大小为口与x轴的距离满足

qL2

的范围内的粒子水平向右运动，已知这束带电粒子均在第一象限做圆周运动并垂直于x轴进

入第四象限，最终均会打在垂直于y轴的屏上。不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。

一束水平向右

运动的带电粒子

XX

⑴求出B,二V的表达式中k的数值：

r

(2)离x轴距离不同的入射粒子，在第四象限圆形磁场中溶动的时间不同，求最长时间与最

短时间的时间差；

⑶计算出第三象限磁场内有粒子经过的区域面积，并画出粒子打在屏上的范围。

17.如图甲所示，平面直侑坐标系宜为第二象限内，有垂直纸面向外半径为R的圆形匀强

磁场I,磁感应强度为6/(大小未知)，磁场分别与x、y轴相切于尸，Q点、,在)，轴右恻有

一定宽度的垂直纸面向里的匀强磁场H,磁感应强度为Bz,B尸2比,现有一长为2R的线状

粒子源，沿+.V方向均匀发射速度为物的同种带电粒子，粒子经磁场I偏转后均从。点进入

不计粒子重力及粒子间相互作用。

乙

(I)求磁场I的磁感应强度大小B/：

(2)若粒子源发射的粒子中仅有75%能穿过磁场II的右边界，求磁场II的宽度出

(3)若撤去磁场II,在,，轴右侧加磁场III,磁场III的磁感应强度以随横坐标x变化的关系图

线如图乙所示，规定垂直纸面向里为磁场的正方向。求从。点沿+x方向射入磁场01的粒子，

运动至x=3d处时沿+x方向的分速度vxo

18.如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为周期

为片的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的

匀强磁场。磁感应强度大小为B.一带电粒子在/=0时刻从左侧电场某处由静止释放，在/=，0

时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在，=2()时刻第一次离开金属板

间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间

的电场。已知金属板的板长是板间距离的三倍，粒子质量为，〃。忽略粒子所受的重力和场的

边缘效应。

（1）判断带电粒子的电性并求其所带的甩荷量4；

（2）求金属板的板间距离。和带电粒子在1=，。时刻的速度大小v：

（3）求从/=（）时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。

电上々一金限FT・・・•一磁

19.如图所示，间距为L的平行金属板人仄CO之间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场（图

中未画出），电场强度为良，磁感应强度为小。带异种电荷的两离子。、江负离子。质量

为〃?、带电量为夕，其比荷为正离子〃比荷的9倍。它们在分别距离A6、CO板与处，以平

行于金属板方向的速度沿直线穿过ABC。区域进入电场强度为民的匀强电场区，E2与日

平行。MNP为沿AB、CZ）中心线方向的光滑绝缘板，离子与板碰撞后反弹无能量损失（即

反弹前后水平分速度保持不变，竖直分速度大小不变、方向相反），且电量保持不变，到达

板的N点后反弹进入磁感应强度为庆的匀强磁场区，不计两离子间的相互作用力及重力。

⑴在图中画出A8、CO闻匀强磁场8/的方向，并写出离子速度大小的表达式；

（2）MN的长度要满足什么条件，两离子能恰好到达N