第八章 作业32 直线与平面平行

作业32直线与平面平行

分值：100分

单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分

基础巩固

1.下列说法中，与“直线。〃平面等价的是

A.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

B.直线。与平面a内的两条直线平行

C.直线a与平面«内无数条直线不相交

D.直线a上有两个点不在平面a内

2.如图所示,在正方体A8CD正方CD'中,E,五分别为四边形ABCD和四边形ABC。的中心,则正方体

的六个面中与E尸平行的平面有

A.1个B.2个

C.3个D.4个

3.如图所示，在四棱锥P-A5C。中，点G,E,F,"分别是棱户AB,CD,PC上共面的四点，BC”平

面GEFH,则GH与EF的位置关系为

A.相交

C.垂直D.异面

4.已知平面。与平面夕相交于直线机，直线〃〃直线〃7,则

A.一定有直线〃〃平面a

B.一定有直线〃〃平面4

C.一定有直线〃〃平面a且直线〃〃平面p

D.直线〃〃平面a和直线〃〃平面△至少有一个成立

5.如图，己知四棱锥R48CO的底面是平行四边形，AC交BD于点O,E为的中点，尸在P4上,

AP=L4F,PC〃平面8ER则2的值为

AB

A.lB.-

2

C.2D.3

6.在正方体ABCD-ABiGQi中，若平面A1G与平面ABC。的交线为/,则

A.I//CDB.//741C

C./〃平面ABC。DJ〃平面ACDi

7.（多选）如图，正方体的棱长为2,E,尸分别是A。，的中点，点P是底面48C。内一

动点，则下列结论正确的为

A.不存在点P,使得小〃平面A8G。

B.过B,E,厂三点的平面截正方体所得截面图形是梯形

C.三棱锥G-A山产的体积为4

D.三棱锥F-ACD外接球的表面积为9兀

8.如图，在三棱台。ERA8C中，AB=2DE,G,”分别为AC,的中点，M是4。上一点，且

AM=2MD,设点N是平面ABEO内一点，且MN〃平面FG”,则点N的位置是.（写出一种即可）

9.在三棱柱ABGAIBIG中，E是棱CG的中点，。是棱8c上一点，Bg.DC,若A|8〃平面AOE,则实

数2的值为.

10.（10分）如图，在正方体ABCDAiBiCNi中,A4i=4,E,F,G分别为CO,CCi，8囱的中点.

（1）求三棱锥C-BE尸的表面积；（5分）

（2）求证：DG〃平面6所.（5分）

ID综合运用

11.如四甲，在梯形A8CO中，AB//CD,CD=2AB,E,尸分别为A。，CO的中点，以A尸为折痕把△AO尸

折起，使点。不落在平面A8C尸内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是

①4尸〃平面8c。；②8E■〃平面。尸；③CO〃平面BEE

图甲图乙

A.OB.1

C.2D.3

12.（多选）如图，在由透明塑料盒制成的长方体容器A8C£>-48iG。内灌进一些水，将容器底面一边8c固

定于地面上，再将容器倾斜（不考虑水流出）.随着倾斜度的不同，下列说法正确的是

A.水的部分始终呈棱柱形

B.水面EFG”的面积不改变

C.棱心。始终与水面EFGH平行

D.水面石尸G”的形状为平行四边形

13.在直三棱柱A3C-4SG中，。为AAi的中点，点尸在侧面8CG8上运动，当点P满足条件

时，4P〃平面BCD（填一个满足题意的条件即可）

14.（13分）在棱长为1的正方体ABCD-A山CQ中,E,尸分别为4向，的中点.

（1）求五面体48。-4七b的体积：（6分）

（2）若点尸在线段4G上，。尸〃平而8。所，求G尸的长度.（7分）

ID7拓广探究

15.（15分）如图，三棱柱48aAiiG的各棱长均相等，M为极AC上一点，Q为棱的中点,AQ〃平面

CiBM.

（1）求器的值；（6分）

（2）若平面4M场将三棱柱ABC-ABiG分为两部分，较小部分的体积为％,较大部分的体积为L，求微的

值.（9分）

答案精析

l.A2.D3.B4.D5.D

6.D［因为点平面A8G,点8£平面A8C。,

所以Be/.

又因为直线4G〃平面ABC。，AiGu平面A18G,

故得4G〃/,

所以I是过点3且平行于4G的直线.

对于A,因为4G〃/,A1G/7AC,

所以l〃AC,故/〃CD不成立，即A错误；

对于B,因为/〃AC,而ACCIAC=C,故/〃4c不成立，即B错误；

对于C,因为/〃AC,而ACPI平面ABC。=C,故/〃平面4SCO不成立，即C错误;

对于D,因为/〃AC,

又ACu平面AC。，处平面AC。，所以/〃平面AC。，即D正确.]

7.BD[对于A,如图，当P为8。的中点时，由中位线可得FP〃8Qi,

因为广氏平面ABC。”BRU平面ABGOi,

所以FP〃平面ABC。，故A错误；

对于B,由中位线可得E/〃A。，在正方体中，易证AOi〃8G,

所以EF//RG,

又因为所以过B,E,r三点的截面E8G尸为梯形，故B正确;

对于C，匕棱锥CL祖P=V三棱锥P-wgqx/2X2X2。故C错误；

对于D,三棱锥F-ACD的外接球可以补形为长方体的外接球，

半径

所以其外接球的表面积S=4TIR2=9兀，故D正确.]

8.棱6E上葬近点E的三等分点（答案不唯一）

解析点N可以是棱8E上靠近点E的三等分点.

证明如下：

如图所示，连接MM

为

B

因为4M=2MO,BN=2NE,

所以,4A〃MN,

又G,“分别为AC,8c的中点，

所以G”〃A8,所以MN//GH.

又G"u平面FGH,

MNQ平面FGH,

所以WN〃平面FGH.

故当N是棱BE上靠近点E的三等分点时满足题意.（答案不唯一）

9.2

解析如图所示，连接4c交AE于点M,连接。M,

B

则平面A山CD平面ADE=DM,

又・.・4i8〃平面ADE,且4出u平面A由C,：,A\B//DMy

又△AAIMSZXECM,石是棱CG的中点，

.MCCE1

..-----=----=-,

AXMAiA2

则更二把二

BD41M2

：・BD=2DC,故2=2.

10.⑴解在正方体A8CQ-A山iG9中，A4=4,CB,CD,CG两两垂直,

由E,r分别为C。，CG的中点，得BE=BF=JBC2+CF?=2瓜

EF=y]CE2+CF2=2A/2,

等腰尸底边EF上的高

/『JBE2-(|EF)2=3V2,

所以三棱锥C-BEF的表面积S=SdBEKSdCB计SdCB卢S△CEF

=-X2V2X3V2+-X4X2+-X4X2+-X2X2=16.

2222

(2)证明连接FG,CG,BFCCG=O,连接E。，

由凡G分别是棱CG,88的中点，得四边形8C/G是矩形，则O是CG的中点,

而£是。。的中点，因此EO〃OG,

又EOu平面BEF,OGC平面BEF,

所以DG〃平面8EE

H.C［对于①，由题意得A8统CR

••・四边形A8CT是平行四边形，

J.AF//BC,・.・4网平面8CO,BCu平面8cO,，斗尸〃平面BCD,故①正确；对于②，取。尸的中点G,

连接EG,GC（图略），TE是AD的中点，

：.EG//AF,EG=|AF,又AF统BC,

:.EG//B3EG争C,・"E与CG相交，.ME与平面CQF相交，故②错误；对于③，连接AC,交BF

于点。，连接。风图略），I•四边形A8C尸是平行四边形，・・・0是AC的中点，

：.OE//CD,又OEu平面BEF,CM平面BEF，，。。〃平面阿凡故③正确.故正确的结论有2个.］

12.ACD［根据题意，可得8c固定时，在倾斜的过程中，

始终有ADHEH//FG//BC,

且平面AE总〃平面OHGC,故水的部分始终呈棱柱形，故A正确；

水面ER7”的面积是改变的，因为E〃的长度是变化的，而百/的长度是不变的，

所以水面E/G”的面积是改变的，故B错误；

因为A\Di//AD//EH,AQiQ水面EFGH,EHu水面EFGH,

所以A]Oi〃水面EFGH,故C正确；

根据C项可知，EH//AD,FG//BC,且E”=AO,FG=BC,又AO〃BC,KAD=BC,

所以E"〃/G,EH=FG,

所以四边形EFG”为平行四边形，故D正确.]

13.P是CG的中点（答案不唯一）

解析取CG的中点P,连接4P,

•・•在直三棱柱A8C48G中，。为AAi的中点，点尸在侧面8CG81上运动,

，当点P满足条件?是CG的中点时，AsP//CD,

・.・4因平面BCD,

。。仁平面BCD,

・・・4尸〃平面BCD.

14.解（1）如图所示，将五面体ABD-4E”拆成三棱锥£48。和四棱锥£44。兄

在三棱锥E-ABD中,

可得SAABCF^X1Xl=p

又在正方体A8CD48GO中，AAi_L平面ABC。，48〃A8,且七为4囱的中点，

所以点E到平面A8CQ的距离等于点4到平面A8CO的距离，即三棱锥E-A8。的高为1,

在四棱锥中，可得S四边形3。总X。+3X1小

又在正方体ABCD4EGOI中，AE_L平面AODiA,且E为A囱的中点，

所以点E到平面ADD^的距离为:，

即四棱锥E-AN。尸的高为与

所以立面体A8。出）■的体积V」XZX1X2X

3234224

（2）连接3D,4G,

BDC\AC=O,EFQAiC\=O]l则平面ACCAD平面8OFE=O。，

因为CP〃平面BDFE,

目CPU平而ACCxAy,所以CP〃（）C\.