高考数学题型分类突破-直线与圆

专题九直线与圆

【题型分析】

考情分析：

1.直线的方程、直线的平行与垂直、轴对称等多以小题的形式出现，难度较小;

2.求圆的方程、弦长、面积等多以小题的形式考套，难度中等；

3.直线与圆、圆与圆的位置关系多与点到直线的距离公式结合，难度中等，偶尔

也会作为情境出现在大题中，难度较小.

题型1直线方程与位置关系

0典例精析

例1已知A为圆C:好+（＞1）2三上的动点，B为圆及（43）2+），2三上的动点，P

为直线产务上的动点，则IP外|%|的最大值为.

方法总结：

求点关于直线的对称点的常用方法

设点y）关于直线/：设+By+C=O对称的点为严（及,J2）,连接PP',交/于

点M,则/垂直平分尸P',所以PP_U,且M为PP的中点，又因为点M在直线

（ki.kpp,——1,

/上，所以|力“1+%2|B力+、21c=0即可得出对称点尸'（12,"）的坐标.

122

岗跟踪训练

（改编）一条光线从点P（L-1）射出，经），轴反射后与圆（『3）2+），2=]相交，则入射

光线所在育线的斜率的取值范围为（）.

A・陛，0]B.[0,总

C.忌，°）D.（O,4

题型2圆的方程

G典例精析

例2过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

方法总结：

1.求圆的方程的方法

⑴儿何法：根据圆的儿何性质，找圆心，求半径，进而写出方程.

(2)待定系数法：根据题目特征设圆的标准方程或一般方程，列方程(组)，求相关

参数，进而写出方程.

2.常用结论

(1)设4(的,6),8(X2,”)，则以AB为直径的圆的方程为(兀-川。-%2)+。-%)。也)=0;

(2)过圆M：x2+^+Dx+Ev+F=0与直线/：4-+为+。=0交点的圆系方程为

X2+y2-^Dx+Ey+E+2(Ax+C)=0(/为参数)；

⑶过圆On小+)，2+。|又+向)，+乃二0与圆丫2+炉+/)2工+£2ty+F2=0交点的圆系方

程为炉+产+。/+左产后+/1(12+),2+0加+七2)，+尸2)=0(不包括圆。2,A为参数)，当

2=-1时，上述方程表示一条过两圆交点的直线.

感跟踪训练

已知圆历过A(-3,1),3(24),C(7,1)三点,则|MB|=().

A.2V5B.2V6C.5D.4&

题型3直线、圆的位置关系

考向1J直线与圆的位置关系

©典例精析

例3已知〃是a,c的等差中项，直线at+by+cR与圆f+)，+4y-l=0交于A,

8两点，则|A8|的最小值为().

A.1B.2C.4D.2V5

方法总结：

1.当直线与圆相交时，弦长的求法

(1)几何法：利用圆的半径心圆心到直线的距离心弦长/之间的关系/二小+弓

)2,整理得到弦长/二2尸不.此法思路简明，计算量小，求弦长问题一般选用几

何法.

(2)代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距

离公式计算弦长.

(3)弦长公式法:设直线/：y=履+〃与圆的交点为(xi,yi),(X2,”)，将直线方程

22XX

代入圆的方程，消元后得到弦长/=VT+JP|X|-X2|=7(1+ZC)[(XI+X2).4I2]»

再利用根与系数的关系求解.

2.当直线与圆相切时，几种切线的求法

⑴经过圆/+)，2=户上一点P(xo,冲)的切线方程为加叶州)=户.

(2)经过圆(上〃)2+°，-与2二/上一点p(xo,阿的切线方程为(xo-4)a-4)+(yo-b)(y-b)=产.

⑶经过圆x2+f+Dx+Ey+F=()上一点户(Xo,yo)的切线方程为

XQX+yoy+Q产;"O+E，；，。+F=0.

同跟踪训I练

在平面直角坐标系犬0)中，已知圆C：(心m)2+():2/〃)2=3加2(〃z>0)与直线x+2y-2=0

交于A,B两点，过点A,B分别作圆C的切线/A.若八与/2交于点尸，且。

为线段。户的中点，则加=.

考向2J圆与圆的位置关系

©典例精析

例4写出与圆炉+)，2=1和(心3)2+()，-4)2=16都相切的一条直线的方

程：.

方法总结：

两圆公切线方程的求法

(1)当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为尸心+〃，由公切线的意义可知，

两圆的圆心到直线y=依十人的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于攵和b的

方程组，解这个方程组得到Z,〃的值，即可写出公切线的方程；

(2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的

方程.

勘跟踪训练

(原创)如果圆(心。)2+°，-〃-1)2=4上恰有两个点到原点的距离为3,则实数a的取值

范围为().

A.(-4,3)

B.(-oo,-1)U(0,+co)

C.(-4,-l)U(0,3)

D.(0,3)

【真题改编】

1.过点P(0,-2)作圆C/+)"4『］=()的两条切线，设切点分别为A,B,则经过

P,A,C,B这四点的圆的方程为().

A.x2+产x+2)=0

B.x2+y2+2x-2y=0

C./+产2r-2)=0

D/+产2I+2)，=0

2.过点P((),-2)作圆C：r+产4『i=()的两条切线，设切点分别为A,B,则

万而二().

4444

3.已知Z?是〃，c的等差中项，则直线办+勿十°=0与圆/+)2+4＞，-1=0().

A.相切B.相交

C相离D.位置关系不确定

4.已知直线/：产区+2百与。C(x・2)2+)，2=16交于A,8两点，当aABC的面积

最大时，写出此时火的一个值：.

5.过四点(0,0),(2,0),(2,2),(4,4)中的三点的一个圆的标准方程

为.

【最新模拟】

(总分：83分单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分)

0强基训练

1.“直线xsin0+3-1=0与x+ycos0+1=0平行”是“。=卓’的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知直线/：x-y-2=0,点。在圆。-1)2+)，2=2上运动，那么点C到直线/的距离

的最大值为().

AW2+1BW2

22

C.—D*

22

3.已知圆G：(x+l)2+(j^+l)2=l,圆。2：x2+y2-4x-4y-l=0,则两圆的公切线条数为

().

A.lB.2C.3D.4

4.已知圆C：0-1)2+0+2)2=16,过点。(0,1)的动直线/与圆C相交于历，4两

点，当|MN|=2旧时，直线/的方程为().

A.4x+3y-3=0

B.3r4)升4=0

C.x=0或4x+3y-3=0

D.4x+3y-3=0或3x-4^+4=0

5.已知动点P在直线/：片)=()上，过点尸总能作圆C：(x-tz)2+v2=l的两条切线，

切点为A,B,且NB用＜争亘成立，则。的取值范围是().

A.(-4,())U((),4)

B.(-oo,-4)U(4,+oo)

C.(-2&,0)U(0,2V2)

D.(-8,-2V2)U(2V2,+8)

6.“多选题已知倾斜角为45。的直线/过点A（3,0）,动点P在直线/上，。为坐标

原点，动点。满足|QA|=2|QO|,则下列结论正确的是（）.

A.直线I的方程为）=x+3

B.动点Q的轨迹方程为。+1）2+），2=4

C.|PQ的最大值为2夜+2

D.|PQ|的最小值为2加-2

7.”多选题已知点M在圆C+2A--3=0±,点P（0,1）,0（1,2）,则（）.

A.存在点使得|M尸|二1

B.NMQPg

C.存在点M,使得|MP|二|MQ|

V>.\MQ\=yf2\MP\

8.已知直线/：or-y+3=0是圆C：/+）。+〃-4），-4=0的对称轴，过点P（m-2）作圆

C的一条切线，切点为。，则IPQI=.

9.已知直线/为圆《十卢4在点（鱼，企）处的切线，P是直线/上的一动点，。是

圆（x+l）2+），2=i上的一动点，。为坐标原点，则|尸0|的最小值是.

能力提升

1（）・过点P（l,2）作圆O：/+）2=1（）相互垂直的两条弦43与CQ,则四边形AC5O

的面积的最大值为（）.

A.6V6B.2715C.9V6D.15

11.设直线/：x+y-l=0,一束光线从原点。出发沿射线）=履（迂0）向直线/射出，

经/反射后与x轴交于点M,再次经/轴反射后与），轴交于点乂若|而匚口，则

6

k的值为（）.

321

A.-B.-C.-D.2

232

12.已知直线产H+m（也内））与x轴和y轴分别交于AB两点,且|4阴二2退,动

点C满足CA±CBf则当k,m变化时，点C到点0（1,1）的距离的最大值为

A.472B.3V2

C.2V2D.V2

13.已知圆Cr十0,_2）2=16,点P在直线/：x+2y+6=0上，过点尸作圆C的两条

切线，切点分别为A,8.当N4P8最大时，cosZAPB=.

14.已知圆M：（心4）2+尸=9,直线产丘交圆M于4B两点，点C（6,0）,则4ABC

面积的最大值为.

创新思维

15.（原仓ij）已知点A（-L0）,8（1,0）,点尸在圆O：£+0+2）2=9上，则满足

的点P的个数为（）.

A.3B.2C.lD.0

16.“多选题（原创）设圆。满足如下条件：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成

两段圆弧，其弧长的比为2.当圆C的面积最小时，下列说法正确的是（）.

A.圆心C的坐标可以为（0,1）

B.圆C截x轴所得的弦长为I

C.圆心C到直线工+）=2的距离可以为竽

D.圆C的面积为兀

参考答案

专题九直线与圆

分类突破2题型分析

题型1直线方程与位置关系

例1罕+1

【解析】如图，设点E（3,0）关于直线产夕的对称点为£（如〃），

f2L1=-i（=-

则胪M+3’解得m四故呜散

b=2--,ln=y,

则圆E关于直线产夕对称的圆E的方程为（唱2+（）4）20,要使IP分网的

值最大，则夕，A,夕（其中点8为点8关于直线），=%对称的圆色上的点）三点

共线，且该直线过C,E两点，

故其最大值为IA81的最大值，|AB1max=|C£|+l=：（32+（卷⑴2+1=噌+].

跟踪训练C

【解析】如图所示,

由题意可设入射光线PQ所在直线的方程为y+1q（戈-1）,

令尸0,则产・1・&,可得。（0,-1-A）,则反射光线QA所在直线的方程为），二-Ax-

\-k.

•k+l+/q〃

由']O,解得4H＜（），

・：入射光线所在直线的斜率的取值范围为（-4，（））.

JL。

题型2圆的方程

例2(x-2)2+(y-3)2=13^(x-2)2+(y-l)2=5或x12+y-\或2+(y-

iT

,25

解析依题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

若圆过点(0,()),(4,0),(-1,1),

F=0,(F=0,

则16+40+F=0,解得0=-4,

,1+1—O+E+F=0,,E=-6,

所以圆的方程为好+)2.446)，=0,

即(42)2+°，-3)2=13；

若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),

F=0,(F=0,

则卜6+40+F=0,解得)D=-4,

16+4+40+2E+F=0,(E=-2,

所以圆的方程为好+)2-442)，=0,即(心2尸+()，-1)2=5；

若圆过点(0,0),(4,2),(-1,1),

(F=0,

L，D-8

则1+1—D+E+F=0,解得＜D=-3,

.16+4+40+2E+尸=0,卜=」

所以圆的方程为炉+产%•争=0,即尾)2+(),92考；

若圆过点(-1,1),(4,0),(4,2),

r.16

卜=一手，

0=_竺

5，

(E=-2,

所以圆的方程为/+卡普42)，-昔二0,即(x1)2+(yJ)2二桨.

跟踪训练C

【解析】设圆M的标准方程为(心〃)2+()/)2=己

因为圆M过A(・3,1),B(24),C(7,1)三点,

(.3<)2+(1-b、)2=r2

所以

(a=2,

解得b=1,

(r=S,

所以圆M的方程为(x-2)2+(y-l)2=25,

题型3直线、圆的位置关系

考向1直线与圆的位置关系

例3C

解析因为人是mc的等差中项，所以»=〃+c,所以c=2/)-a,代入直线方程

cix+by+c=O中，得ax+by+2b-a=0,即〃(工-1)+。(”2)=0,令鼻笆o<：-2

故直线QX+〃Y+C=O恒过点(1,-2).设P(l,-2),将圆的方程/+产+唯-1=0化为标

准方程，得/+()，+2)2=5.

设圆心为C(0,-2),在同一平面直角坐标系中画出直线与圆的图象，由图可知,

当PC_LAB时，|AB|最小,

又|PC|=1,|AC|二遍，所以。8|疝『2田=|二2，4r2.pf2=2遥=y=4.故选C.

1

跟踪训练4-

【解析】设48与CP相交于点从如图所示,

因为c为线段。尸的中点，所以|PCI=|OCI=J771r『二6"?，圆的半径一二遮加，

圆心到直线的距离心严需2|二%21.

因为在RtACAP与RtACAH中，可得cos9=^=，，所以得感'解得机=1

或/«—.

4

又C为OP的中点，所以圆心c(〃7,2"。在直线x+2y-2=0的下方，

所以加+4/〃-2<(),即〃2，所以〃2=]

54

考向2圆与圆的位置关系

例43x+4y-5=0或不二-1或7x-24y-25=0

【解析】由两圆方程不得，两圆圆心距d=y/32+42=5,两圆半径分别为n=l,

「2二4,

:力+「2=5=d,

•:两圆外切，•:两圆有三条公切线，如图所示.

:%oc=*•:七1=暂设直线，1：>=-%+〃，即3x+4y-4)=0,由臂叽1,得力=1(负

值舍去)，

•:直线/i的方程为3x+4y-5=0.

由图可知，/z：x=-l,且，2与A关于直线尸孑对称，

(X=-1,(X=-1,

由4解得，4

即直线/2与/3的一个交点为(/，1)，

•J

在/2上取一点(I0),设该点关于直线产京的对称点为(X0,四)，

@±皿(x=2_

贝，解得a

Uo+l_4,v°~~25,

""I

•:直线6的方程为产A(x+l)-%即7x-24)，・25=0.

故与两圆都相切的一条直线方程可以是3工+4)，-5=()或工=-1或7x-24y-25=0.

跟踪训练C

【解析】由已知条件知圆(X-。)2+①4・1)2=4与圆f+y=9有两个交点,则由两圆

相交的条件可知l<Ja2+(i+a)2<5,即1<2。2+2。+1<25,由2。2+2〃+1<25,

解得-4v.v3,由1<2〃+2。+1,解得〃>0或。<-1.

综上，实数。的取值范围为(-4,-1)U(O,3).

分类突破之真题改编

LD

【解析】因为壮+尸-4心1=0,即(工-2)2+)2=5,所以圆心C(2,0),半径片正，由

圆的切线性质可知，CA_L玄，CB1.PB,所以P,A,C,8四点在以PC为直径

的圆上，又尸(0,・2),C(2,0),所以该圆的方程为工(42)+()，+2))=0,即回+♦・

2x+2y=0.

2.C

【解析】因为f+产4齐1=0,B|J(x-2)2+/=5,所以圆心C(2,0),半径片遥，又

P(0,-2),则附|二"2+22=2&,则|以|二|尸8|二J|PC|2.r2二b,可得

sinZAPC=^=—,则cosZAPB=cos2ZAPC=1-2sin2ZAPC=1-2x(122V=-l,

2V24\4/4

所以福•丽=1而H丽卜cosNAP8=(百)2xg)=

3.B

【解析】因为。，b,c成等差数列，所以2b=〃+c,所以c=2〃-m代入直线方程

ax+〃y+c=0中，Wax+by+2h-a=0f即。(心1)+伙y+2)=0,

令屏加0<：-2,

故直线Qx+〃y+c=()恒过点(1,-2).

设P(l,-2),将圆的方程/+)，2+4)，-1=0化为标准方程，得f+(y+2)2=5.

设圆心为C(0,-2),则|PC|=1〈V5,即点P在圆。内，所以该直线与圆一定相交.

故选B.

4.V3-2或百+2

【解析】由圆的方程知,圆心C(2,0),半径r=4,则圆心C到直线/：y=kx-^2y[3

1#+2西|

的距高的西•

因为弦长|A8|=2V16-d2，所以

^c=1xt/x2V16-d2=y/d2^_d2^<]("+]-与2=8,当且仅当《二16-/,即

“二2夜时取等号，

所以当△ABC的面积最大时，d-=2加,解得k二V5±2.

5.(x-l)2+(y-l)2=2或(%・l)2+(y-3)2=10或(45)2+(y-1产=10

【解析】易得(0,0),(2,2),(4,4)三点共线，没有过该三点的圆，过其余任意

三点都可以有一个圆.

若过(0,0),(2,0),Q,2)三点，这三点构成等腰直角三角形，则过这三点的圆

的圆心坐标为(1,1),半径片/，故圆的标准方程为(x-l)2+(y-l)2=2.

设过不共线三点的圆的一般方程为12+)，2+队+@+尸=0(。2+F4尸>0).

若过(0,0),(2,0),(4,4)三点,

(F=0,(D=-2,

则有4+20+E=0,解得E=-6,

(32+40+4E+F=0,(F=0,

所以所求圆的一般方程为/+921.6)=0,化为标准方程为(X-1)2+()，-3)2=10.

若过(2,0),(2,2),(4,4)三点，

(4+2D+F=0,

则有8+2D+2E+F=0,

(32+40+4E+F=0,

(D=-10,

解得E=-2,所以所求圆的一般方程为r+V/QoZy+MR,化为标准方程为(x-

(F=16,

5)2+(y-l)2=10.

分类突破最新模拟

强基训练

1.B

［解析］若直线xsin0+*v-1=0与x+ycos夕+1=0平行，

则sin分0,cos分0,所以与也=_2_打•，

1cosO1

则sinGcoseg|sin20-fsin20=1,2夕=怖+2&兀(A£Z),0=?+E(k£Z),故不是

222Nq

充分条件；

反之，当夕3时，半二工，斗成立，故是必要条件.

41cose1

故“直线xsin6>+1.y-l=0与x+ycos9+1=0平行''是*=，’的必要不充分条件.

2.C

【解析】圆(%-1)2+俨=2的圆心坐标为(1,0),半径为片企.

则圆心(1,0)到直线/：『)，-2=0的距离介J冷?耳

所以圆上的点C到直线/：x-y-2=0的距离的最大值为畀后苧

3.D

【解析】由题意可知，圆G：。+。2+()叶1)2=1是以(-1,・1)为圆心，1为半径的

圆；

圆Q：A：2+/-4x-4y-l=0,即(x-2)2+()，-2)2=9是以Q,2)为圆心，3为半径的圆.

因为圆心距|GC2|=V5T9=3或>1+3=4,所以两圆相离，所以两圆的公切线条数

为4.

4.C

【解析】当直线/与x轴垂直时，易知直线/的方程为x=0,此时|MN|=2W3,

符合题意；

当直线/与/轴不垂直时，设直线/的斜率为七则直线/的方程为)，=依+1,即

Ax->+l=O,

则圆心C到直线I的距离d—r~^,X\MN\=2Vr2_d2=2V16—d2=2V15»

d=I2+i=1,解得％=-%则直线/的方程为）=-*+l,即4x+3y-3=0.

综上可知，直线/的方程为x=()或4工+3)，-3=0.故选C.

【解析】设N8/%=仇则sin?n=西r二百1，

因为N8以=。猾恒成立，所以立"二14,即|PC|>2恒成立,

OZ1<IZ

又IPCI的最小值为点C到直线/的距离，设此距离为乩则d二借，所以与>2,解

得心2&或"-2&.

6.BD

【解析】由直线/的倾斜角为45。得出直线/的斜率为1,由直线/过点(3,()),

得直线/的方程为y=x-3,故选项A错误；

设Q(x，丁)，：1。4|二2|。。|,,：|QA|2二4|QO|2,.：(^-3)2+/=4(^+/),

可得动点Q的轨迹为圆C(X+1)2+)R=4,故选项B正确；

2,可知|PQ|的最小值为旭2=2a-2,|PQ|无最大值，所以选项C错误，选项D

正确.故选BD.

7.ABD

【解析】将圆C的方程化为标准方程，得(x+l)2+y2=4,圆心C(-l,0),半径片2.

又P(0,1),所以|CP|=V5.因为点M在圆。上，所以|MP|£[2-或，2+V2]，

所以存在点M，使得|MP|=1,故A正确.

因为(1+1)2+22=8>4,所以点Q在圆外，又|CP|=々〃=2,所以点P在圆内，

所以当QM与圆C相切时(如图所示)，N"。尸取得最大值，最大值为会所以

NMQPW全故B正确.

设M(x,y),若\MQ\=V2|MP|,则|Mei2=2|MP|2^-l)2+(y-2)2=2[x2+0-

1)2]=2+y+2x・3=0,

又点M在圆。上，所以|MQ|二或|MP|一定成立，C错误，故D正确.

故选ABD.

8.V1T

【解析】由x2+y2+2T-4y-4=0,得(x+1)2+()，-2)2=9,

所以圆。的圆心坐标为(-1,2),半径为3.

因为直线/：6-产3-0是圆C-+旷+244广4-0的对称轴，所以/经过点G1，2).

由/-2+3=0,得。=1,所以点P的坐标为(1,-2),则俨C|幻22+(-4,=2遥.

因为圆。的半径为3,所以|PQ|二J|PC|2.32=ai

9.1+0

2

【解析】圆/+尸=4的圆心为0(0,0),设切点为4遮，鱼)，则如八二4人1,

V2.0

即切线/的斜率k=-}t

故切线/的方程为》-&=-(4夜)，即x+y-2y/2=0.

由圆的性质知，IPQ的最小值为点(-1,0)到直线x+)、2或=0的距离减去1,即

IP如加=中黑51+竽

能力提升

10.D

【解析】

如图所示，作OM_LAB于点M,作ONLCD于点N,易知|OP|二石，设|QM|二加，

2

\ON\=nf则M十〃2=5,所以历8|二2110—丁2,C£>|=2V10-n，所以S四边形

ACBD=hAB\-\CD\=2反]0_62.']0_几2>2><10_/2,10—九2二〔$,

当且仅当V10-m2=J10一几2,即〃7=〃=口时取等号.

所以四边形4C3O的面积的最大值为15.

11.B

【解析】

如图，点。关于直线/的对称点为A（l,1）,

由题意知射线产心。K））与直线/不平行，故原-L

由巧=。，

得『下即喝F备）•

k

故直线AP的斜率心片置吊,

k+1-l

因此，直线AP的方程为），-1+心1）.

令y=0,得x=l-Z,故0）,令x=0,得）=13,由对称性可得N（0,）.

由|而=*得（1困2+（卜）2点,即（出+/&女+器）考，

易得“+1卷，解得女=|或女二|.

若上看则光线第二次反射后不会与），轴相交，故不符合条件.

乙

故故段.

I2.B

【解析】由y++，〃（公母0）,得A（弋,0）,B（0,m）f由|43|=2企，得（吊尸+附2=8.

由CA_LC0得前•目？=（）,即点。在以AZ7为直径的圆上，因此点C的轨迹为一

动圆（不包含A,8两点），如图所示.

设该动圆的圆心坐标为（V,））则有/=喘，y-y,即£=-2/,m=2y\代入（午

尸+汴=8中，整理得/+/=2,即点C的轨迹的圆心在圆一+严=2上（除去圆与

坐标轴的交点）.

易知点。（1,1）与圆力斗），。-2上点（-1,-1）的距离加上动圆的半