全国高中数学联赛江苏赛区复赛

2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．已知数列{an}、{bn}满足an＝2eq\o(,\d\fo()\s\up6(eq\f(2n+3,5)))，bn＝eq\f(1,n)logeq\s\do4(2)(a1a2a3…an)，n∈N*，则数列{bn}的通项公式是．答案：bn＝eq\f(n＋4,5)，n∈N*简解：由an＝2eq\o(,\d\fo()\s\up6(eq\f(2n+3,5)))，得a1a2a3…an＝2eq\o(,\d\fo()\s\up6(eq\f(2(1＋2＋…＋n)＋3n,5)))＝2eq\o(,\d\fo()\s\up6(eq\f(n(n＋4),5)))，n∈N*．所以bn＝eq\f(1,n)×eq\f(n(n＋4),5)＝eq\f(n＋4,5)，n∈N*．2．已知两点M(0，2)、N(－3，6)到直线l的距离分别为1和4，则满足条件的直线l的条数是．答案：3简解：易得MN＝5，以点M为圆心，半径1为的圆与以点N为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l有3条．3．设函数f(x)＝ax2＋x．已知f(3)＜f(4)，且当n≥8，n∈N*时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，则实数a的取值范围是．答案：(－\eq\f(1,7)，－\eq\f(1,17))简解：(方法一)因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，此时f(n)＞f(n＋1)恒成立等价于f(8)＞f(9)，即64a＋8＞81a＋9，解得a＜－\eq\f(1,17)．因为f(3)＜f(4)，所以9a＋3＜16a＋4，解得a＞－\eq\f(1,7)．即a∈(－\eq\f(1,7)，－\eq\f(1,17))．(方法二)考察二次函数f(x)＝ax2＋x的对称轴和开口方向．因为当n≥8时，f(n)＞f(n＋1)恒成立，所以a＜0，且－\eq\f(1,2a)＜\eq\f(17,2)，解得a＜－\eq\f(1,17)．因为f(3)＜f(4)，所以－\eq\f(1,2a)＞\eq\f(7,2)，解得a＞－\eq\f(1,7)．即a∈(－\eq\f(1,7)，－\eq\f(1,17))．(第4题)CABDD1C1B1(第4题)CABDD1C1B1A1PQR点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的点，AP＝AQ＝AR＝1，则四面体C1PQR的体积为．答案：eq\f(4,3)简解：因为C1C⊥面ABCD，所以C1C⊥BD．又因为AC⊥BD，所以BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD．又PQ∥BD，所以AC1⊥PQ．同理AC1⊥QR．所以AC1⊥面PQR．因为AP＝AQ＝AR＝1，所以PQ＝QR＝RP＝eq\r(2)．因为AC1＝3eq\r(3)，且VA－PQR＝\eq\f(1,3)·\eq\f(1,2)·12·1＝\eq\f(1,6)，所以VCeq\s\do4(1)－PQR＝\eq\f(1,3)·\eq\f(eq\r(3),4)·(eq\r(2))2·3eq\r(3)－VA－PQR＝eq\f(4,3)．5．数列满足，N*．记Tn＝a1a2…an，则T2010等于．答案：－6简解：易得：a1＝2，a2＝－3，a3＝－\eq\f(1,2)，a4＝\eq\f(1,3)，a1a2a3a4＝1．又a5＝2＝a1，由归纳法易知an＋4＝an，n∈N*．所以T2010＝T2008×a2009×a2010＝a1a26．骰子是一个立方体，个面上分别刻有、、、、、点.现有质地均匀的骰子10只.一次掷只、只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为的概率的比为．答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2.共3+3!+1=10种，概率为.掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2.共4+=10种，概率为.所以概率的比为:=1:6.ABDC(第7题)7．在△ABC中，已知BC＝5，AC＝4，cos(A－B)＝ABDC(第7题)则cosC＝．答案：\eq\f(11,16)简解：因，故.如图，作AD，使∠BAD＝∠B，则∠DAC＝∠A－∠B．设AD＝BD＝x，则DC＝5－x．在△ADC中，由余弦定理得x＝3．再由余弦定理得cosC＝\eq\f(11,16)．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则eq\f(MO,MF)的最大值为．答案：eq\f(2eq\r(3),3)简解：设点M(x，y)，则(eq\f(MO,MF))2＝eq\f(x2＋y2,(x＋eq\f(1,2))2)＝eq\f(4x2＋8x,4x2＋4x＋1)＝1＋eq\f(4x－1,4x2＋4x＋1)．令4x－1＝t，当t≤0时，显然eq\f(MO,MF)≤1．当t＞0时，则(eq\f(MO,MF))2＝1＋eq\f(4,t＋6＋eq\f(9,t))≤1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，且当t＝3，即x＝1时，等号成立．所以eq\f(MO,MF)的最大值为eq\f(2eq\r(3),3)，此时点M的坐标为(1，±eq\r(2))．二、解答题（本题满分16分）xOBAyCDEFP如图，点P是半圆C：x2＋y2＝1(y≥0)上位于x轴上方的任意一点，A、B是直径的两个端点，以AB为一边作正方形xOBAyCDEFP交AB于F，求证：BE，EF，FA成等比数列．证明：设P(cosα，sinα)，C(－1，－2)，D(1，－2)，E(x1，0)，F(x2，0)．因为点P、E、C三点共线，所以eq\f(sinα＋2,cosα＋1)＝eq\f(2,x1＋1)，所以x1＝eq\f(2(cosα＋1),sinα＋2)－1．………………5分由点P、F、D三点共线，所以eq\f(sinα＋2,cosα－1)＝eq\f(2,x2－1)，所以x2＝eq\f(2(cosα－1),sinα＋2)＋1．………………10分所以BE＝x1＋1＝eq\f(2(cosα＋1),sinα＋2)，EF＝x2－x1＝eq\f(2sinα,sinα＋2)，FA＝eq\f(2(cosα－1),sinα＋2)．所以BE·FA＝eq\f(2(cosα＋1),sinα＋2)×eq\f(2(cosα－1),sinα＋2)＝eq\f(4sin2α,(sinα＋2)2)＝EF2．即BE，EF，FA成等比数列．………………16分三、解答题（本题满分20分）设实数，满足，，函数，.若存在，，，使，求所有的实数的值．解答：因为时，，当且仅当时等号成立，……………5分所以，……………15分当且仅当及与时等号成立.故.……………20分四、解答题（本题满分20分）数列{an}中，已知a1∈(1，2)，an＋1＝an3－3an2＋3an，n∈N*，求证：(a1－a2)(a3－1)＋(a2－a3)(a4－1)＋…＋(an－an＋1)(an＋2－1)＜eq\f(1,4)．证明：(方法一)由an＋1＝an3－3an2＋3an，得an＋1－1＝(an－1)3．令bn＝an－1，则0＜b1＜1，bn＋1＝bn3＜bn，0＜bn＜1．………………5分所以(ak－ak＋1)(ak＋2－1)＝(bk－bk＋1)×bk＋2＝(bk－bk＋1)×bk＋13＜eq\f(1,4)(bk－bk＋1)×(bk3＋bk2bk＋1＋bkbk＋12＋bk＋13)＜eq\f(1,4)(bk4－bk＋14)．………………15分所以(a1－a2)(a3－1)＋(a2－a3)(a4－1)＋…＋(an－an＋1)(an＋2－1)＜eq\f(1,4)(b14－b24)＋eq\f(1,4)(b24－b34)＋…＋eq\f(1,4)(bn4－bn＋14)＝eq\f(1,4)(b14－bn＋14)＜eq\f(1,4)b14＜eq\f(1,4)．………………20分(方法二)由an＋1＝an3－3an2＋3an，得an＋1－1＝(an－1)3．令bn＝an－1，则0＜b1＜1，bn＋1＝bn3，0＜bn＜1．………………5分所以(a1－a2)(a3－1)＋(a2－a3)(a4－1)＋…＋(an－an＋1)(an＋2－1)＝(b1－b2)b3＋(b2－b3)b4＋…＋(bn－bn＋1)bn＋2＝(b1－b2)b23＋(b2－b3)b33＋…＋(bn－bn＋1)bn＋13．………………20分2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试一、（本题满分40分）圆心为I的的内切圆分别切边AC、AB于点E、F.设M为线段EF上一点，证明：与面积相等的充分必要条件是.ABABCEFPQMIDABCEFMI(第1题)证明：过点M作、，垂足分别为P、Q.圆I切边BC于点D，则,,.显然AF=AE,所以,从而推知,得.又,所以与面积相等的充要条件是.①由①可知，问题转化为证明：的充分必要条件是.………10分首先证明：若，则.由可知点M在直线ID上.因为B、D、I、F四点共圆，所以，.又IE=IF，则由正弦定理得,即，而.所以.……………30分其次证明：若，则.设直线ID与EF交于点，则由上述证明可知，于是有，从而.故命题成立.……………40分二、（本题满分40分）将凸n边形的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形.对k=1,2,…，n，记是由顶点引出的蓝色边的条数，求证：.证明：不妨设，并且由点A向引出b条蓝色边，则之间无蓝色边，以外的个点，每点至多引出b条蓝色边，因此蓝色边总数.…………20分故.命题得证.……………40分三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列（N）满足，（），求的通项公式．解：由已知得.若有某个，使，则，…………10分从而，这显然不可能，因为是正整数的无穷数列.故数列中的项是严格递增的.…………20分从而由可知，，，.…………30分于是由的递推公式及数学归纳法知.…………40分显然数列满足要求，故所求的正整数无穷数列为.