北师大版五年级下册数学《露在外面的面》练习

在我们的数学学习中，“空间与图形”领域常常需要我们具备一定的观察能力和空间想象能力。“露在外面的面”这一知识点，正是对正方体（或长方体）表面积计算的灵活运用与拓展。它要求我们能够准确判断出组合几何体中，有多少个面是暴露在空气中，没有被其他物体遮挡的。这不仅考验我们对图形的直观认知，更强调有序思考和方法的运用。下面，我们将通过知识梳理、典型例题解析和巩固练习，一起来攻克这个知识点。一、知识回顾与要点解析1.什么是“露在外面的面”？当正方体或长方体堆放在一起（通常会涉及到靠墙、靠地面等场景，这些被依靠的面不算露在外面），我们从不同方向（正面、上面、侧面等）能看到的正方体（或长方体）的面，以及那些虽然从特定方向看不到，但确实没有被其他正方体（或长方体）遮挡，也不与地面、墙面接触的面，统称为“露在外面的面”。2.核心方法与步骤：*观察与想象：仔细观察几何体的摆放方式，在脑海中构建出它的空间形状。*确定方向：通常我们会从正面、上面、左面（或右面）这三个基本方向去观察。对于复杂的组合，有时还需要考虑后面、下面和右面（或左面），但要注意避免重复计数。*逐一计数：在每个确定的方向上，按一定的顺序（如从左到右、从上到下）数出能看到的小正方形面的个数。*避免遗漏与重复：特别注意那些位于“凹”处或“凸”处的面，以及被部分遮挡的情况。对于多个正方体叠放，要考虑每一层、每一列的遮挡关系。*计算总面积：如果已知每个小正方体一个面的面积（或棱长），则露在外面的总面积=露在外面的面的总个数×一个面的面积。二、典型例题精析例题1：基础堆叠（单个方向观察与简单叠加）题目：将3个棱长为1分米的小正方体如图所示（此处假设为简单竖叠，即一个接一个叠起来）摆放在墙角，露在外面的面的面积是多少平方分米？思路分析：首先，明确这是3个小正方体竖直叠放在墙角。我们需要考虑它与墙面和地面的接触情况。通常墙角有两个墙面和一个地面，与之接触的面都不算露在外面。我们从三个方向观察：*正面：能看到最前面的一列，有3个小正方形面。*侧面（假设为右面）：能看到最右侧的一列，有3个小正方形面。*上面：只能看到最顶上的1个小正方形面。这里需要注意，由于是在墙角，左侧面和后面以及底面都被遮挡或接触墙面/地面，无需考虑。所以露在外面的面一共有：3（正面）+3（侧面）+1（上面）=7（个）。每个面的面积是1×1=1（平方分米），因此总面积是7×1=7（平方分米）。解答：露在外面的面共有7个，总面积是7平方分米。例题2：多角度观察与组合堆叠题目：如图（此处假设有4个小正方体，底层前排2个，后排1个靠右，第二层在底层前排左边小正方体上再放1个），摆成了一个几何体，每个小正方体的棱长都是2厘米。请你算一算，这个几何体露在外面的面积是多少平方厘米？思路分析：这个几何体的摆放相对复杂一些，我们必须更有耐心地从不同方向去数。1.先确定每个小正方体一个面的面积：2×2=4（平方厘米）。2.分别从正面、上面、左面、右面观察并计数（根据实际摆放，有些方向可能看到的一样多，可灵活处理）：*正面：我们可以看到有3个小正方形面（底层前排2个，第二层1个）。*上面：我们可以看到底层前排2个和后排1个，共3个小正方形面。*左面：我们可以看到底层左边1个（前排），以及第二层左边1个，共2个小正方形面。*右面：我们可以看到底层右边1个（前排）和底层后排1个，共2个小正方形面。*后面：由于底层后排有1个，从后面看过去，底层后排1个，以及前排被遮挡后是否有露出来的？此处假设前排后面无遮挡，后面能看到1个小正方形面。（*注意：这一步容易遗漏，需要仔细想象*）*下面：所有小正方体的底面都与桌面接触，不算。3.汇总：3（正）+3（上）+2（左）+2（右）+1（后）=11（个）。**思考：有没有更简便的方法？比如，先数出所有小正方体的总面数，再减去被遮挡的面数和与地面接触的面数。这种方法对空间想象要求更高，但也是一种有效的途径。**总面数：4个正方体×6个面=24个面。*遮挡面数：两个正方体相接触，会遮挡2个面（每个正方体各1个）。图中有1处接触（底层前排左边与第二层那个），所以遮挡了2个面。*与地面接触的面数：底层有3个小正方体，每个与地面接触1个面，共3个面。*露在外面的面数：24-2（遮挡）-3（地面）=19个？显然与之前结果矛盾。这说明这种方法在这里容易出错，因为“遮挡面”不仅包括正方体之间的接触，还包括是否靠墙等因素。在此题未说明靠墙的情况下，之前从方向计数的方法更稳妥，且刚才从方向计数可能也遗漏了。*重新仔细从方向计数（假设不靠墙、不悬空）：*正面：3个*后面：底层后排1个，前排两个的后面是否被遮挡？如果后排只有1个且靠右，那么前排左边小正方体的后面是露出来的，前排右边小正方体的后面被后排那个遮挡了吗？如果后排那个在右边且与前排右边对齐或更靠右，则前排右边小正方体后面不被遮挡。此处假设后排那个在底层后排靠右，与前排右边小正方体在同一列的后方，则前排右边小正方体后面被遮挡，前排左边小正方体后面露出来。所以后面能看到：1（后排）+1（前排左）=2个。*上面：3个（如前）*下面：0个（都接触地面）*左面：底层左边1个（前排左），第二层左边1个，共2个。*右面：底层前排右1个，底层后排右1个，共2个。*总计：3+2+3+2+2=12个。（*这个过程说明，细致的观察和不遗漏任何方向至关重要，初始的粗略判断很容易出错。*）4.计算总面积：12×4=48（平方厘米）。解答：这个几何体露在外面的面积是48平方厘米。（*温馨提示：在实际解题时，如果题目没有给出图形，文字描述可能会有歧义，此时画图是最好的辅助手段。如果给出图形，则应严格按照图形所示进行观察。*）三、巩固练习基础巩固1.判断题：把一个正方体放在墙角，有3个面露在外面。（）2.填空题：4个相同的小正方体并排摆放在地面上（不靠墙），露在外面的面有（）个。3.计算题：一个棱长为3分米的正方体木箱，放在地面上，它露在外面的面积是多少平方分米？（木箱的盖是打开的，但此处题目未明确，按常规理解，若盖打开，上面也算露在外面；若盖关闭，则上面不算。此处假设为封闭木箱放在地面上，无盖情况需题目明确。通常此类基础题指封闭木箱，放在地面，露在外面5个面。）能力提升4.组合计数：用5个棱长为1厘米的小正方体拼成一个“十字”形（中间一个，上下左右各一个），并将这个“十字”形平放在桌面上。请问，露在外面的面有多少个？露在外面的面积是多少平方厘米？5.综合应用：如图（请自行想象或绘制：3个小正方体摆成L形，即底层2个并排，在其中一个的上面再放1个），每个小正方体棱长5厘米，求露在外面的面积。四、总结与提示“露在外面的面”的计数，最关键的在于“有序”和“全面”。*有序：按照一定的顺序，比如先从固定的三个方向（正、上、左）去数，确保不重复、不遗漏。*全面：不要想当然，对于复杂的组合，要多角度审视，甚至可以用“移一移”、“拆一拆”的思想，想象每个小正方体在组合中的位置及其各面的暴露情况。*动手辅助：如果空间想象能力暂时不足，可以用小正方体积木实际摆一摆，或者在纸上画出不同方向看到的平面图形（三视图的初步思想），这都是非常好的学习方法。希望通过以上