小学数学四年级上册《商不变的性质（第二课时）》教学设计

小学数学四年级上册《商不变的性质（第二课时）》教学设计一、教学背景分析（一）教材分析与定位【基础】【重要】本课“商不变的性质”是小学数学四年级上册第六单元“除法”中的核心内容。本课是在学生已经掌握了两位数除以一位数、三位数除以两位数的计算方法，并初步理解了除法意义的基础上进行教学的。本单元共分两个课时，第一课时侧重于引导学生通过观察、比较，初步发现并归纳出“被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变”这一规律；而作为第二课时，其教学定位绝非简单的规律复述与机械练习，而是要实现从“规律发现”到“规律理解”的深化，再到“规律应用”的升华。【非常重要】本课时的核心任务在于深化对“商不变性质”中核心要点——“同时”、“相同”、“0除外”的深度理解，特别是要攻克“余数变化”这一认知难点。同时，要引导学生从多个维度（正向、逆向、变式）应用该性质进行简便运算，体会其在数学学习及实际生活中的价值，为后续学习小数除法、分数的基本性质、比的基本性质等内容奠定坚实的认知基础和思想方法。（二）学情分析【重要】认知基础：通过第一课时的学习，学生已经能够初步表述商不变的性质，并能进行一些简单的模仿性应用，如根据24÷12=2，直接说出240÷120的结果。学生已经积累了通过观察、比较、归纳发现数学规律的基本活动经验。认知冲突与难点：1.【难点】机械记忆与深度理解的脱节：学生往往能熟练背诵“被除数和除数同时乘或除以相同的数”，但在面对非标准形式的算式时（如被除数乘一个数，除数加一个数），容易产生混淆，暴露出对“同时”和“相同”理解的浅表化。2.【高频考点】【难点】余数的“陷阱”：当应用商不变性质进行有余数除法的简便计算时，例如将4500÷200转化为45÷2进行计算，学生容易得出商22余1的错误结论。这是因为他们未能理解，在简算过程中，被除数和除数的变化虽然保证了商不变，但余数也随之发生了相同倍数的变化。这是本课时必须突破的核心难点。3.应用的灵活性不足：学生习惯于解决标准化的题目，对于如何灵活运用性质（如将除数转化为整十数、一位数进行口算），以及如何逆用性质解决问题，尚缺乏主动意识和有效策略。基于以上分析，本课时的教学必须从学生的真实困惑出发，设计富有挑战性和思辨性的学习活动，引导学生在“无疑—生疑—解疑”的过程中，实现对商不变性质从“知其然”到“知其所以然”的跨越。（三）教学理念本节课将秉持“以问启思，以用促深”的教学理念。通过创设认知冲突的情境，激发学生深层次的思考；通过核心问题的引领，驱动学生自主探究、合作交流，在辨析与争论中逐步逼近知识的本质；通过多层次、多类型的应用实践，让学生在“用数学”的过程中，深化对规律的理解，感悟数学思想，发展运算能力和推理意识。二、教学目标设计基于对教材和学情的分析，设定如下教学目标：（一）知识与技能【基础】1.进一步理解和掌握商不变的性质，能准确识别并解释性质中的“同时”、“相同的数”和“0除外”三个关键点。2.【重要】能运用商不变的性质，对“被除数和除数末尾都有0”的除法进行简便计算，并能结合具体情境或算理，正确确定简算后有余数除法中的余数。3.能灵活运用商不变的性质解决一些简单的实际问题，并能进行一些除法的简便口算。（二）过程与方法【重要】1.经历“猜想—验证—归纳—应用”的探究过程，通过观察、比较、分析、抽象和概括，进一步发展学生的推理意识和抽象思维能力。2.【非常重要】通过辨析“余数变化”的认知冲突，引导学生经历“发现问题—提出猜想—举例验证—修正结论”的完整探究过程，初步培养批判性思维和严谨求实的科学态度。（三）情感、态度与价值观1.在探究活动中，感受数学的严谨性与结论的确定性，体验成功的乐趣，增强学习数学的自信心。2.体会数学规律之间的内在联系与“变与不变”的辩证统一思想，感受数学的简洁美与实用价值。三、教学重难点（一）教学重点【重要】深化理解商不变的性质，并能运用性质进行被除数和除数末尾有0的除法的简便运算。（二）教学难点【难点】【非常重要】理解并掌握应用商不变的性质进行有余数除法简算时，确定余数的方法。四、教学过程设计（一）温故而知新，引发新思考（约5分钟）1.回顾规律上课伊始，教师通过课件出示一组算式：8÷2=480÷20=4800÷200=48000÷2000=4师：同学们，请看大屏幕，谁来说一说这些算式的结果？观察这组算式，它们运用了我们上节课学习的什么知识？生：商不变的性质。（学生齐答或指名回答）师：你能用自己的话说一说什么是商不变的性质吗？在这个性质中，你认为哪些词最关键？引导学生回顾并强调：【非常重要】“同时”、“相同的数（0除外）”。教师随机板书这三个关键词。2.初步应用，引出新知师：看来大家对性质掌握得不错。那老师要考考大家了。你能根据240÷30=8，直接说出下面算式的结果吗？并说说你是怎样想的。课件出示：①120÷15=②480÷60=③（240×3）÷（30×3）=④（240÷5）÷（30÷5）=学生快速回答①至④题，并说明是运用了商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数。3.设置冲突，导入新课师：大家反应真快！那这一道呢？课件出示：⑤（240×2）÷（30+30）=生1：结果是8，因为除数30加30等于60，相当于乘2，被除数也乘2，商不变。生2：我不同意，这不符合商不变的性质，除数是加了一个数，不是乘或除以一个相同的数。师：出现了两种不同的声音。到底谁说得对呢？我们不妨动手算一算。（学生计算，发现结果是480÷60=8）师：咦，结果确实是8，但第二位同学说得也有道理，性质说的是“同时乘或除以”，这里是“加”，为什么结果还是不变呢？引导学生观察发现：30+30，其实就是30×2，加30就是增加了它的一倍，相当于乘2。所以“加一个和自己相同的数”与“乘2”在效果上是一致的。师：说得太好了！数学就是这样神奇，有些看似不同的变化，背后却藏着相同的本质。这节课，我们就继续走进“商不变的性质”第二课时，不仅要会用，更要理解它背后的深意，去解决一些更“狡猾”的问题。（板书课题：商不变的性质（第二课时））（二）探究新知（一）：简算的便利与“余数”的陷阱（约15分钟）【核心环节】【非常重要】1.情境导入，列出算式课件出示情境图（改编自教材或生活情境）：学校食堂买了450千克大米，准备分给全校各班。如果每个班分50千克，够分给几个班？还剩多少千克？师：谁能列式解决这个问题？生：450÷50=9（个）师：真棒！那如果食堂买的是4500千克大米，每个班还是分50千克，够分几个班？生：4500÷50=90（个）2.制造冲突，引出简算师：同学们算得又快又准。如果我把条件改成“买了4500千克大米，每个班分500千克”呢？你会列式吗？生：4500÷500。师：这个算式有什么特点？生：被除数和除数末尾都有0。师：观察得真仔细！你们能用我们刚学的商不变的性质，把这个算式变得简单一点吗？引导学生回答：被除数和除数同时除以100，变成45÷5。教师板书：4500÷500=（4500÷100）÷（500÷100）=45÷5师：45÷5等于多少？生：9。师：所以4500÷500=9。这样算是不是简便多了？应用商不变的性质，可以把大数变小，让计算更简便。3.深入探究，遭遇“陷阱”师：掌握了这个方法，我们再来看一道题。学校用一笔钱给老师们买办公用品。买了900元的文件夹，每个文件夹40元，能买多少个？还剩多少元？学生列式：900÷40。师：大家能用刚才的简便方法，在练习本上试着做一做吗？（教师巡视，发现两种典型做法）预设学生做法：做法A（直接列竖式计算）：2240）90080——10080——20商22，余20。做法B（应用商不变性质简算）：900÷40=（900÷10）÷（40÷10）=90÷4224）908——108——2商22，余2。4.组织辩论，聚焦问题师：老师收集到了两种做法。一种结果是余20，另一种结果是余2。同一个算式，怎么会有两个不同的余数呢？到底哪个对？为什么？请大家以小组为单位，讨论一下。（小组展开热烈讨论，教师参与其中，引导学生从多个角度思考：①哪个结果更符合生活实际？②简算过程中，被除数和除数发生了什么变化？这个变化对商和余数的影响一样吗？③能否用验算的方法来验证？）5.全班交流，明晰算理师：哪个小组来分享你们的观点？小组1：我们觉得余20是对的。因为900元买40元的文件夹，最多买22个，22×40=880元，剩下20元，符合实际情况。小组2：我们同意余20是对的。但是为什么简算后变成了余2呢？我们验算了一下：用简算得到的商22和原来的除数40相乘，22×40=880，再加上余数2，等于882，不等于900。如果用商22乘简算后的除数4，22×4=88，加余数2等于90，这正好是简算后的被除数90。这说明，在简算过程中，余数也跟着被除数和除数一起，除以了10。师：（非常惊喜）这个小组的发现太有价值了！他们把道理讲得非常透彻。我们一起来看（配合课件动态演示或板书）：在900÷40中，当我们为了计算简便，将被除数和除数同时除以10，得到新的算式90÷4。这个新算式的商和原算式的商是一样的，都是22。但是，90÷4的余数“2”，是相对于被除数“90”和除数“4”而言的。它实际上表示的是2个“4”？不对，我们要回到原算式去看。因为被除数缩小了10倍，它剩下的余数“2”也相应的缩小了10倍。要想得到原算式的余数，必须把这个“2”再扩大10倍，也就是2×10=20。教师板书核心推导过程：900÷40=22……20↓同时除以10↓90÷4=22……2结论：应用商不变的性质进行简算时，商（不变），余数（变），余数的变化规律是：被除数和除数同时除以几（0除外），余数也除以几；若要得到原余数，则需将简化后的余数再乘几。6.即时练习，巩固认知【难点】完成下列简算，并写出余数。6700÷300=（6700÷100）÷（300÷100）=67÷3=22……（？）引导学生说出：简算后余数是1，原余数应该是1×100=100。完成竖式简算的规范写法教学。教师示范在竖式中如何应用商不变的性质（划去被除数和除数末尾相同个数的0），并强调余数的书写位置和含义。例如：22300）67006——76——1这里的“1”在百位上，表示100。（三）探究新知（二）：灵活多变的应用（约10分钟）【重要】1.巧算除数非整十数的除法师：商不变的性质不仅能简算末尾有0的除法，还能帮助我们口算一些看似复杂的题目。比如，你能快速口算200÷25吗？（学生可能面露难色，或尝试列竖式）师：25是一个特殊的数，看到25，你会想到哪个数和它相乘能变成整百数？生：4，25×4=100。师：太棒了！那我们能不能运用商不变的性质，让除数25变成100呢？引导学生得出：200÷25=（200×4）÷（25×4）=800÷100=8。师：看，把除数变成100，计算就成了口算！同样的方法，你能计算300÷125吗？生：125×8=1000，所以300÷125=（300×8）÷（125×8）=2400÷1000=2.4（或商2余400，视学生知识水平而定）。2.拓展思维，逆用性质师：性质通常是被我们“正着用”，现在我们来“反着想”。已知A÷B=15，那么（A×5）÷（B×5）=？生：15。师：如果（A÷3）÷（B÷3）=？生：也是15。师：看来大家掌握得不错。那如果（A×5）÷B=？这个商还是15吗？为什么？引导学生讨论得出：这不再是“同时”乘了，只有被除数乘5，除数不变，根据除法关系，商会扩大5倍，变成75。设计意图：通过变式练习，打破学生的思维定势，强化对“同时”和“相同”这两个核心要点的理解，提升思维的灵活性和批判性。（四）巩固练习，内化提升（约8分钟）1.【基础练习】根据第一题的商，直接写出下面两题的商，并说说理由。72÷9=8720÷90=7200÷900=36÷3=12360÷30=3600÷300=2.【变式练习】判断对错，错的请改正。（1）210÷50=21÷5=4……1（）（2）8400÷400=84÷4=21（）（3）运用商不变的性质，可以使计算更简便。（）重点讨论第（1）题，强调余数问题。3.【应用练习】【高频考点】在括号里填上合适的数，使计算简便。240÷15=（240×2）÷（15×□）=□÷30=□450÷18=（450÷9）÷（18÷□）=50÷□=□（得数用小数或分数表示，视情况而定）（五）课堂总结，回顾反思（约2分钟）师：同学们，这节课我们继续学习了商不变的性质。回顾一下，你有什么新的收获？还有什么疑问吗？引导学生从以下几个方面