小学数学五年级上册《除得尽吗？-循环小数初步》教学设计

小学数学五年级上册《除得尽吗？——循环小数初步》教学设计一、教学内容分析【基础】【重要】“除得尽吗？”是北京师范大学出版社出版的义务教育教科书小学数学五年级上册第一单元“小数除法”中的教学内容。本课是在学生已经掌握了小数除法的基本计算方法，能够解决“除得尽”的除法问题（即商为有限小数）的基础上，进一步探究除法计算中商除不尽的现象，从而引出循环小数的概念。这部分内容是数概念的一次重要拓展，从有限小数扩展到无限小数，从精确计算延伸到近似计算，为学生后续学习分数的意义、分数与小数的互化以及中学阶段的实数概念奠定坚实的基础。教材通过“蜘蛛3分爬行73米，蜗牛11分爬行9.4米”的生活情境，引导学生计算两者的平均速度，在计算过程中发现73÷3和9.4÷11的商除不尽，且商的小数部分重复出现某个数字或某组数字，由此引入循环小数、循环节以及循环小数的简便记法。同时，教材还安排了“试一试”环节，引导学生用“四舍五入”法对循环小数取近似值，沟通循环小数与近似计算的关联。从课程改革的视角来看，本课内容不仅承载着知识技能的教学，更蕴含着数学思想方法的渗透，如极限思想、符号化思想、模型思想，以及培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。二、学情分析【重要】【基础】五年级的学生已经具备了一定的整数除法和小数除法计算能力，能够熟练计算除数是整数或小数的除法，并理解商不变的性质。他们对“除尽”有直观的感受，认为除法计算总可以得到一个确定的结果。然而，当遇到除不尽的情况时，学生往往会产生认知冲突，这种冲突正是驱动探究学习的动力。在生活经验中，学生可能已经接触到一些循环现象，如昼夜交替、四季轮回、红绿灯交替等，这为理解循环小数的“循环”含义提供了感性支撑。但学生的抽象思维能力尚在发展之中，对于“无限”“循环”等概念的深刻理解还存在一定困难，尤其是对于循环小数的规范表示和循环节的确定，需要教师的引导和同伴的互助。此外，部分学生可能会将循环小数与之前学习的有限小数混淆，或者对“余数重复出现导致商重复出现”的内在逻辑关系理解不到位。因此，教学中应注重引导学生观察余数的变化规律，通过计算、比较、讨论，逐步抽象出循环小数的本质特征。三、教学目标【核心素养导向】（一）知识与技能【基础】【高频考点】....经历探索除不尽的小数除法的计算过程，认识循环小数、循环节，理解循环小数的意义，并能正确使用“...”或循环点表示循环小数。2.掌握用“四舍五入”法求循环小数的近似值的方法，能根据实际需要取循环小数的近似数。3.能正确区分有限小数和无限小数，理解无限小数包括循环小数和无限不循环小数（仅作了解，为后续学习铺垫）。（二）过程与方法【重要】1.通过观察、比较、分析、归纳等活动，经历循环小数的形成过程，培养学生抽象概括能力和符号化思想。2.在探索循环小数规律的过程中，体会“无限”“逼近”的极限思想，发展学生的数感和推理能力。3.借助计算器辅助探究较复杂的循环小数，感受信息技术在数学学习中的作用，提高探究效率。（三）情感态度与价值观1.在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值。2.通过小组合作交流，养成倾听、质疑、协作的良好学习习惯，培养严谨求实的科学态度。3.在探索数学规律的过程中，体验数学的奇妙与乐趣，激发学习数学的兴趣和探索欲望。四、教学重难点【难点】【热点】（一）教学重点【非常重要】【高频考点】理解循环小数的意义，掌握循环小数的表示方法，能正确判断循环小数并求出近似值。（二）教学难点【难点】1.理解“余数重复出现，商就重复出现”的内在逻辑，即循环小数的成因。2.准确确定循环节，尤其是当循环节不是从第一位小数开始时（混循环小数），学生容易出错。3.初步建立“无限”的概念，理解循环小数是无限小数。五、教学准备（一）教师准备：多媒体课件（包含蜘蛛和蜗牛爬行情境图、计算过程动态演示、练习题等）、实物展台、计算器（备用）。（二）学生准备：练习本、笔、小组合作学习记录单、计算器（可选）。六、教学过程【核心环节，详细展开】（一）创设情境，引入新知【基础】【激发兴趣】1.情境呈现：课件出示例题情境图——蜘蛛和蜗牛进行爬行比赛。蜘蛛3分钟爬行73米，蜗牛11分钟爬行9.4米。请学生大声读出已知信息，并提出数学问题：谁爬得快？引导学生想到需要计算各自的速度：蜘蛛的速度=73÷3，蜗牛的速度=9.4÷11。2.初步计算，产生冲突：（1）学生独立尝试计算73÷3。预设大部分学生能够列出竖式进行计算，当除到个位余1，添0继续除，商3余1，再添0继续除，商3余1……学生会发现这个过程可以一直进行下去，永远除不完。此时教师追问：“这样除下去，能除完吗？商有什么特点？”学生可能回答：“除不完，商的小数部分总是3重复出现。”（2）同样计算9.4÷11。引导学生列出竖式，注意将除数11转化成整数，被除数9.4扩大100倍变为940，商相应缩小。或者直接小数除法计算：9.4÷11，个位不够商1，商0点上小数点，94除以11商8余6，添0得60除以11商5余5，添0得50除以11商4余6，添0得60除以11商5余5……学生会发现余数6和5交替出现，导致商的小数部分依次出现8、5、4重复循环。3.揭示课题：通过以上两个算式，我们发现有些除法算式永远除不完，商的小数部分有规律地重复出现。这种现象在数学中叫作“循环小数”。今天我们就来研究“除得尽吗？”——其实有些除法是永远除不尽的，它们就是循环小数。【板书课题：循环小数】【设计意图】从学生熟悉的生活情境出发，激发学习兴趣。通过计算产生认知冲突，让学生亲身感受到“除不尽”的现象，引发探究欲望，自然过渡到新知识的学习。（二）自主探究，发现规律【重要】【核心过程】1.观察比较，初步感知：（1）请学生观察73÷3和9.4÷11的竖式计算过程，小组内讨论：这两个算式的商有什么共同点和不同点？（2）全班交流：共同点是商的小数部分都是重复出现一些数字；不同点是73÷3的商是0.333…，只有一个数字3重复出现；9.4÷11的商是0.85454…，是54这两个数字交替重复出现。（3）教师引导：像这样，一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。【板书定义】2.深入探究，理解成因：（1）追问：为什么商的小数部分会重复出现相同的数字？引导学生观察竖式中的余数。以73÷3为例，除到个位余1，添0后10除以3商3余1，再添0还是10除以3商3余1……余数始终是1，所以商就一直商3。以9.4÷11为例，第一次余6，添0后60除以11商5余5，添0后50除以11商4余6，余数再次出现6，那么接下来就会重复刚才的过程：余6→商5→余5→商4→余6……所以商就会重复出现54。（2）归纳总结：教师引导学生归纳：当余数重复出现时，商就会重复出现。只要余数重复出现，计算过程就会无限循环下去，得到的商就是循环小数。【非常重要】（3）动态演示：利用课件动态展示竖式计算中余数的变化过程，用不同颜色标注重复出现的余数和对应的商，帮助学生建立直观印象。3.认识循环节和简便记法【基础】【高频考点】：（1）讲解：在循环小数中，依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。例如，73÷3的商0.333…的循环节是“3”；9.4÷11的商0.85454…的循环节是“54”。（2）简便记法：循环小数可以只写一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就在这个数字上面点一个圆点。例如，0.333…写作，读作“零点三，三循环”；0.85454…写作，读作“零点八五四，五四循环”。强调：循环节必须是从小数部分第一位开始重复的吗？不一定。像0.85454…是从第二位小数开始循环的，这样的循环小数叫作混循环小数；而0.333…是从第一位开始循环，叫作纯循环小数。【难点】教师可适当举例说明。4.尝试练习，巩固新知：（1）完成教材“练一练”第1题：计算下面各题，哪些商是循环小数？并指出循环节。例如：1÷2=0.5（有限小数），1÷3≈0.333…（循环小数，循环节3），1÷5=0.2，1÷7≈0.142857142857…（循环节）。通过计算，学生进一步体会循环小数的特征。（2）小组内互相出题，计算并判断商是否为循环小数，加深理解。【设计意图】通过自主探究和小组合作，让学生经历循环小数的形成过程，从余数的重复理解商的重复，突破难点。同时介绍循环节和简便记法，使知识系统化。（三）合作交流，建构概念【重要】【深化理解】1.分类比较，区分有限小数和无限小数：（1）教师呈现一组小数：0.5，0.333…，0.25，0.142857142857…，1.2，2.1666…，引导学生将这些小数分成两类。（2）学生讨论后明确：一类是小数部分位数有限的小数，叫作有限小数（如0.5，0.25，1.2）；另一类是小数的位数无限的小数，叫作无限小数（如0.333…，0.…，2.1666…）。（3）进一步指出：无限小数中，像0.333…这样的小数部分有规律重复的，叫作循环小数；还有一类无限小数的小数部分没有重复规律，例如圆周率π=3.…，叫作无限不循环小数（后续会学习）。【基础】2.探究循环小数的近似值【热点】【高频考点】：（1）问题情境：在实际应用中，我们有时不需要无限多位小数，可以根据需要取近似值。例如，蜘蛛的速度73÷3≈？保留两位小数是多少？保留一位小数呢？（2）学生独立尝试：73÷3=24.333…，保留两位小数，看小数点后第三位是3，小于5，所以≈24.33；保留一位小数，看第二位是3，小于5，所以≈24.3。（3）方法总结：用“四舍五入”法求循环小数的近似值，与求一般小数的近似值方法相同。需要注意的是，循环小数是无限小数，我们通常先写出它的一般形式（写出两三个循环节），再根据需要取近似数。（4）即时练习：求9.4÷11的商保留两位小数、三位小数分别是多少？学生独立完成并汇报，教师纠正。3.计算器辅助探究【拓展】：（1）教师引导学生思考：有没有办法快速找出一个循环小数的循环节？比如1÷7，用计算器算一下，看看商有什么特点。（2）学生用计算器计算1÷7，发现结果是0.142857142857…，循环节是，正好是6位数字。再试试1÷17，看看循环节长度。让学生感受数学的神奇。（3）讨论：是不是所有分数都能化成循环小数？引导学生初步感知：一个最简分数，如果分母只含有质因数2和5，就能化成有限小数；否则，就能化成无限循环小数。【渗透】【设计意图】通过分类，帮助学生建立清晰的概念体系；通过近似值的计算，沟通新旧知识联系；借助计算器，拓宽探究视野，激发探索兴趣，为后续分数化小数埋下伏笔。（四）巩固练习，深化理解【重要】【高频考点】1.基础练习（全体必做）：（1）判断下列各数哪些是循环小数？哪些是有限小数？并指出循环小数的循环节。3.…0.666…1.23235.32727…0.…7.03（2）用简便记法表示下面的循环小数。3.777…0.…6.3232…9.87454…（3）计算下面各题，除不尽的先用循环小数表示商，再保留两位小数求出近似值。2÷95÷128.6÷1120÷32.变式练习（能力提升）：（1）比较大小：在○里填上“＞”“＜”或“＝”。0.333…○0.30.5454…○0.541.233…○1.233（2）判断：0.5和0.50大小相等，但计数单位不同。0.5是有限小数，0.50也是有限小数，如果0.5写作0.4999…，那它还是循环小数吗？渗透0.9=1的思想，但不必深究。（3）解决问题：甲、乙两城相距160千米，一辆汽车从甲城开往乙城用了2.5小时，返回时用了2.8小时。这辆汽车往返的平均速度是多少千米/时？（得数保留一位小数）3.拓展练习（挑战思维）：（1）想一想：1÷11的商是循环小数吗？它的循环节是什么？你有什么发现？1÷11=0.0909…，循环节09；2÷11=0.1818…，循环节18；3÷11=0.2727…，循环节27。引导学生发现规律：分母是11的分数，循环节是9的倍数与被除数相关。（2）猜一猜：1÷7=0.142857142857…，那么2÷7，3÷7的商是多少？你能不用计算直接写出来吗？引导学生发现“”的轮换规律，激发数学兴趣。【设计意图】练习设计层层递进，既有基础巩固，又有变式提升，还安排富有挑战性的拓展题，满足不同层次学生的需求，同时渗透数学规律和数感培养。（五）拓展延伸，应用意识【热点】【跨学科视野】1.生活中的循环现象：（1）教师引导学生列举生活中具有循环现象的例子：昼夜交替、四季更迭、红绿灯变化、星期轮回等。这些现象虽然不是数学中的小数，但它们都体现了“依次不断重复出现”的规律，与循环小数的本质相通。（2）播放视频或图片：自然界中的循环（如水循环）、音乐中的循环（如节拍）、艺术中的循环（如图案设计）。让学生感受到循环是一种普遍存在的自然规律和美学规律。2.数学史渗透：（1）简单介绍古代数学家对循环小数的认识。例如，我国古代《九章算术》中就已经有了分数化小数的记载，而欧洲数学家直到16世纪才开始系统研究循环小数。（2）讲述“纯循环小数化分数”的趣味故事，激发学生进一步探索的欲望。例如，0.333…=1/3，0.2525…=25/99等，但不必展开教学，只需点到为止。3.实际应用：（1）展示超市购物小票，上面商品单价有的保留两位小数，实际计算总价时可能产生循环小数，需要取近似值。（2）布置课后实践任务：调查生活中哪些地方用到了近似值，哪些地方涉及循环现象，写成数学日记或小报告。【设计意图】将数学知识与其他学科及生活实际相联系，拓宽学生视野，培养应用意识和跨学科综合素养，同时渗透数学文化，增强民族自豪感。（六）课堂总结，反思提升【基础】1.知识梳理：（1）引导学生回顾本节课学到了哪些知识？用自己的话说说什么叫循环小数？什么是循环节？怎样表示循环小数？怎样求循环小数的近似值？（2）教师根据学生回答，完善板书，构建知识网络。2.方法反思：（1）我们是怎样发现循环小数的？（通过计算、观察余数重复）（2）在探究过程中用到了哪些数学思想方法？（分类、归纳、符号化、极限思想）3.情感升华：（1）鼓励学生分享学习感受：你对哪个环节最感兴趣？你觉得数学奇妙吗？（2）教师总结：数学来源于生活，又服务于生活。今天学习的循环小数只是数学海洋中的一滴水，希望同学们保持好奇心，继续探索数学的奥秘。七、板书设计《循环小数》一、定义：一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。二、循环节：依次不断重复出现的数字。三、简便记法：在循环节首位和末位数字上点圆点。纯循环小数：0.333…=0.3（点3）混循环小数：0.85454…=0.854（点5和4）四、有限小数和无限小数有限小数：小数位数有限无限小数：小数位数无限（包括循环小数和无限不循环小数）五、求近似值：四舍五入法（看下一位）八、教学反思（预设）本节课的设计力求体现课程改革理念，以学生为主体，以问题为导向，引导学生在计算中发现问题、探究规律、建构概念。从实际效果预测来看，可能有以下几点值得肯定和改进：1.情境创设贴近生活，有效激发了学生的学习兴趣。