聚焦核心素养 构建知识网络-小学五年级数学“因数与倍数”单元复习课教案

聚焦核心素养构建知识网络——小学五年级数学“因数与倍数”单元复习课教案

  一、设计理念

  本复习课设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，超越传统的知识点罗列与题海战术，致力于实现从“知识本位”到“素养本位”的课堂转型。本课以“数的认识”领域中的“因数与倍数”核心概念群为轴心，强调对数学概念本质的理解与知识网络的主动建构。设计遵循“理解-关联-应用-创新”的深度学习路径，通过创设结构化、情境化、挑战性的学习任务，引导学生在梳理、辨析、探究与解决问题的过程中，将零散的知识点整合为具有内在逻辑关联的知识体系。重点关注学生数感、推理意识、模型意识及应用意识的发展，通过跨学科视角的适度融入（如密码学、周期现象、自然规律），揭示数学知识的广泛联系与实际价值，培养学生的数学思维品质与综合解决问题的能力，体现当前学科育人、综合育人的课程改革前沿理念。

  二、学情分析

  本课教学对象为五年级下学期学生。经过单元新授课学习，学生已经掌握了因数、倍数、2、3、5的倍数特征，奇数和偶数、质数和合数、最大公因数与最小公倍数等基本概念和求法。然而，通过对前期学习的观察与分析，发现学生存在以下典型学情：第一，概念混淆普遍。部分学生对“因数与倍数”的相互依存关系理解不深，容易将“倍数”与“倍”混淆；对质数与合数、奇数与偶数的分类标准存在交叉性混淆。第二，知识碎片化。学生大多能记忆单项知识点，但缺乏主动将“数的整除性”相关知识进行横向（概念间）与纵向（方法与应用间）关联的意识，知识呈点状分布，未形成网状结构。第三，方法运用僵化。在解决求最大公因数和最小公倍数的实际问题时，部分学生习惯机械套用短除法或列举法，对方法的选择依据和优化策略缺乏思考，尤其在面对非典型情境或复杂条件时，难以灵活转化与建模。第四，学习层次分化。部分优秀学生已不满足于基础练习，渴望更具思维挑战的任务；而部分基础薄弱的学生则在概念辨析和综合应用上存在困难。因此，本次复习课需设计差异化、层次化的活动，既面向全体夯实基础网络，又为不同潜质的学生提供发展空间。

  三、教学目标

  基于核心素养导向与学情诊断，设定如下三维教学目标：

  1.知识与技能：通过系统梳理与辨析，进一步巩固因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数、公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数等核心概念，明晰其内涵、外延与相互联系。能熟练运用2、3、5的倍数特征进行快速判断，熟练掌握求一个数的因数、倍数以及求两个数的最大公因数和最小公倍数的基本方法，并能根据具体问题情境灵活选择最优策略。

  2.过程与方法：经历“自主梳理-合作建构-批判辨析-迁移应用”的完整复习过程，掌握用思维导图、分类比较、数形结合等策略构建单元知识网络的方法。在解决综合性、探究性问题的过程中，提升分析、比较、抽象、概括、推理和建模的数学思维能力，发展有序思考和创新思考的策略。

  3.情感、态度与价值观：在构建知识网络和挑战智慧任务中体验数学的逻辑之美与结构之美，感受数学知识与现实世界的广泛联系，增强学习数学的兴趣和自信心。培养严谨求实的科学态度、合作交流的意识以及勇于探索的创新精神。

  四、教学重难点

  教学重点：引导学生自主建构“因数与倍数”单元系统化、结构化的知识网络，深刻理解核心概念之间的本质联系与区别。

  教学难点：灵活运用本单元知识解决复杂的实际问题，特别是在非标准情境下识别问题本质，建立数学模型（如最大公因数、最小公倍数模型），并选择或创造性地运用解题策略。

  五、教学准备

  1.教师准备：精心设计的多媒体课件（内含知识梳理框架、动态演示、探究性问题情境）；实物投影仪；供小组合作使用的学习任务单（包含概念辨析卡、探究活动指南、综合应用场景）；数字卡片（1-50）；设计分层巩固练习卷。

  2.学生准备：单元学习笔记；尺规；草稿本；课前尝试自主回顾本单元所学知识点。

  六、教学过程

  （一）情境启思，聚焦核心（预计时间：8分钟）

  1.趣味导入，激活旧知

   师：（课件出示一张布满整齐方阵队列的团体操表演图片，或一个用相同正方形瓷砖铺满长方形墙面的动态图）同学们，观察这幅图，你能联想到我们最近学习的哪个数学单元的知识？

   生：（可能回答）因数、倍数，铺砖问题会用到公因数和最大公因数。

   师：眼光很准！无论是排列方阵，还是铺设瓷砖，背后都隐藏着“数的整除性”的规律。今天，我们就一起来对“因数与倍数”这个单元进行一次深度整理和复习。（板书课题核心词：因数与倍数（复习））

   师：老师这里有一个数字“24”。（将数字卡片“24”贴在黑板中央）它是我们本单元的一位“关键先生”。请你围绕“24”，尽可能多地回顾与本单元相关的知识。可以独立思考，也可以在草稿本上写一写。

   （学生思考片刻后发言）

   生1：24是偶数，也是合数。

   生2：24的因数有1,2,3,4,6,8,12,24。24的倍数有24,48,72……

   生3：24是2的倍数，也是3的倍数，所以它是6的倍数。

   生4：可以用24来铺长方形，比如长是6，宽是4。

   师：（根据学生回答，适时在黑板上“24”周围进行关键词板书，如：因数、倍数、偶数、合数、2和3的倍数、铺长方形…）同学们从不同角度唤醒了关于24的记忆。那么，这些知识之间究竟有怎样的联系呢？它们共同构成了一个怎样的知识家园？今天，我们的任务就是当一回“知识建筑师”，为它们绘制一张清晰的“家园地图”。

  【设计意图】从现实情境中的数学现象切入，快速将学生带入本单元的学习语境。以关键数字“24”为发散点，激活学生头脑中零散的知识记忆，为后续的系统梳理做好热身和铺垫。同时，提出构建“知识地图”的任务，赋予复习过程以目的感和挑战性。

  （二）自主梳理，合作建网（预计时间：15分钟）

  1.个体静思，初步构图

   师：要绘制地图，先要清点“建材”。请大家安静地回顾整个单元，想一想，这个单元我们主要学习了哪些核心概念？它们是怎么一步步引出的？试着用你喜欢的方式（如列表、提纲、气泡图）在任务单的“我的初步构思”区域进行整理。

   （学生独立梳理，教师巡视，关注不同梳理方式的生成，并发现共性困惑。）

  2.小组共议，完善结构

   师：个人的力量有限，现在请以四人为一小组，分享你们的梳理成果。讨论的目标是：第一，统一核心概念清单，确保没有遗漏；第二，共同商讨这些概念之间的逻辑关系，尝试用一张图（比如思维导图）将它们有机地连接起来。可以使用任务单上的“小组共建区”。

   （小组展开热烈讨论。教师深入小组，倾听观点，关注讨论焦点是简单罗列还是探讨关系，适时以提问引导：“因数和倍数是起点，然后我们是从哪个角度对自然数进行了第一次分类？”“奇偶性和能否被2整除有关，那它和质数合数的分类标准一样吗？”“求最大公因数和最小公倍数，分别解决了哪两类实际问题？”）

  3.全班展评，凝练升华

   师：哪个小组愿意来展示你们共同绘制的“知识地图”？（选择有代表性的一到两个小组，利用实物投影展示。）

   小组代表1：（展示树状图）我们从“数的整除”出发，分成“概念”和“应用”两大分支。概念下面有因数和倍数、2/3/5的倍数特征、奇数和偶数、质数和合数、公因数和公倍数……

   师：很好，结构清晰。其他小组有补充或不同连接方式吗？

   小组代表2：（展示中心辐射图）我们把“自然数（非0）”放在中心。围绕它，第一圈是根据能否被2整除分出的“奇数”和“偶数”；第二圈是根据因数个数分出的“1”、“质数”和“合数”。而“因数、倍数”是描述两个数关系的，引出公因数、公倍数……

   师：太精彩了！这两个小组的图各有千秋。第一个注重学习内容的板块，第二个则深刻揭示了概念之间的逻辑层次和分类关系。特别是点明了“分类标准不同，结果就不同”，这是非常关键的数学思想。

   （教师结合学生生成的最佳图谱，利用课件动态演示一个更为精炼、规范的知识网络结构图，并引导学生一起解读。）

   课件图示脉络建议：

   核心关系：整除→因数与倍数（相互依存）。

   基于倍数特征：2的倍数→偶数、奇数。

   基于因数特征：因数个数→质数（2个）、合数（多于2个）、1（只有1个）。

   关系拓展：两个数的公有因数→公因数→最大公因数；两个数的公有倍数→公倍数→最小公倍数。

   实际应用模型：最大公因数模型（分割、分组问题）；最小公倍数模型（汇聚、周期问题）。

   师：（总结）看，通过梳理，零散的知识点就变成了一个有联系的整体。理解了这个网络，我们就能更好地把握每个概念的位置和意义。

  【设计意图】复习课的核心价值在于促进学生自主建构知识体系。本环节通过“个体-小组-全班”三层递进的活动，让学生经历从模糊回忆到清晰呈现，从个人理解到集体智慧碰撞的过程。教师的作用是组织、引导和提升，将学生朴素的认知引向对知识内在逻辑结构的深度把握，培养结构化思维的习惯。

  （三）深度辨析，澄清概念（预计时间：12分钟）

  1.创设“数学诊断室”

   师：知识地图画好了，但我们的一些理解可能还有“模糊地带”或“常见病”。现在，我们成立一个“数学概念诊断室”，我是主治医师，你们都是会诊专家。请看以下几则“病例”，请各位专家进行会诊，指出“病因”并开出“处方”。

   （课件逐条出示辨析题，学生独立思考后抢答或指名回答，要求说明理由。）

  2.“病例”会诊

   病例一：“因为3×6=18，所以3是因数，18是倍数。”

   生诊断：表述不完整。因数和倍数是相互依存的，必须说清楚谁是谁的因数，谁是谁的倍数。应改为：3是18的因数，18是3的倍数。

   师处方：强调因数和倍数的“相互依存性”，像父子关系，不能单独说谁是父亲，要说清楚是谁的父亲。

   病例二：“所有的质数都是奇数。”

   生诊断：错误。2是质数，但它是偶数。反例法最有效。

   师处方：牢记“2”这个特殊成员。分类标准不同：质数合数看因数个数；奇数偶数看是否是2的倍数。二者有交叉。

   病例三：“一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身。所以一个数的最大因数和最小倍数相等。”

   生诊断：这个结论对单个的数本身来说是对的。但不能理解为“最大因数”和“最小倍数”这两个概念在任何情况下都指同一个东西。对于两个数的关系，我们讨论的是它们的“公因数”和“公倍数”。

   师处方：辨析概念时，要注意讨论的范围和前提。这句话描述的是“一个数”自身的属性，是正确的。

   病例四：“用短除法求12和18的最大公因数和最小公倍数时，最后把左边的除数乘起来是最大公因数（6），把除数和最后的商都乘起来是最小公倍数（36）。所以，求最大公因数只用管左边，求最小公倍数要全部相乘。”

   生诊断：这只是一个记忆方法。本质是：最大公因数是所有公有质因数的积；最小公倍数是所有公有质因数和各自独有质因数的积。短除法只是呈现了这一过程。

   师处方：不仅要知其“法”，更要明其“理”。理解质因数分解的原理，方法才能记得牢、用得活。

  3.提炼思想方法

   师：通过刚才的会诊，我们澄清了哪些重要的数学思想和方法？

   生：判断一个说法对不对，可以举反例；概念要表达完整；要注意分类的标准；要理解方法的原理……

   师：是的，反例是驳斥错误观点的利器；定义的严谨性是数学的基石；理解本质才能以不变应万变。

  【设计意图】针对学情中“概念混淆”的痛点，将枯燥的判断题转化为“诊断病例”的游戏情境，激发学生的探究欲和表达欲。通过对典型错误的深度剖析，不仅巩固了概念本身，更渗透了举反例、准确表达、理解本质等重要的数学思想方法，提升思维的批判性和精确性。

  （四）综合应用，挑战智慧（预计时间：12分钟）

  1.项目式任务：“智慧密码锁”

   师：掌握了清晰的知识和敏锐的辨析力，现在我们来接受一项更具挑战的实战任务——破解一道“智慧密码锁”。（课件出示情境）

   情境：一个宝箱的密码是一个六位数ABCDEF。这个密码隐藏着以下关于因数与倍数的信息：

   A：是最小的质数。

   B：既是偶数又是质数。

   C：是10以内最大的奇数。

   D：是6和9的最大公因数。

   E：是4和6的最小公倍数。

   F：是一个一位数，它既是2的倍数，又是3的倍数。

   请问，这个六位数密码是多少？

  2.分层探究与引导

   师：请同学们先独立解读每一条信息，尝试解码。如果有困难，可以寻求组内同伴的帮助。

   （学生独立或合作探究。教师巡视，关注不同层次学生的进展。对于快速解码的学生，可追问：“你能解释一下E吗？4和6的最小公倍数是12，E是一位数，这里是否有矛盾？”引发更深思考。对于有困难的学生，提示逐条分析，回顾相关概念。）

   生独立或讨论后，逐步得出：

   A=2（最小质数）。

   B=2（既是偶数又是质数的只有2）。

   C=9（10以内最大奇数是9）。

   D=3（6和9的最大公因数是3）。

   E=？（4和6的最小公倍数是12，但E是一位数，这里似乎有问题？）

   F=6（一位数中既是2的倍数又是3的倍数是6）。

   师：（聚焦争议点E）E的信息真的矛盾吗？仔细读题：“E：是4和6的最小公倍数。”但并没有说E就是这个最小公倍数本身。它可能和这个最小公倍数有关。再想想，我们求出的12，它的数字有什么特点？

   生：12的各位数字之和是1+2=3。

   师：3是一位数。但题目要的是“密码”，通常是一个数字。会不会是取最小公倍数的某种特征？比如……数字根？或者，再想想，我们有没有学过与一个数的倍数特征相关的数字？

   （引导学生回顾：判断一个数是否是3的倍数，看各位数字之和。12是3的倍数，其数字和3也是3的倍数。但此处关联较弱。另一种思路：或许E就是“12”这个结果中的某个数字？）

   教师提示：在密码设计中，有时会用运算结果的某个数位上的数字。我们把12看作一个两位数。

   生：那E可能是1，也可能是2。

   师：哪个更合理？看看上下文，密码是六位数，每个字母代表一位数字。12的个位是2，十位是1。结合其他位都是明确的数字，我们需要确定E是1还是2。有没有其他条件可以约束？看看F的推导用了倍数特征，E的条件是最小公倍数，本身没有更多约束。但从逻辑严谨性看，通常取个位数字更常见？不，我们需要一个唯一答案。可能原题设计就是取最小公倍数12的个位数字“2”。但这样就与A或B重复了。这说明我们的推理可能遇到了障碍，或者题目本意就是考察“最小公倍数是12”，而E是一位数，这里需要转化。常见的转化是：1+2=3。所以E可能是3。但3已经作为D出现了。这似乎是一个“死锁”。

   （此处的“障碍”是预设的思维爬坡点）

   师：同学们遇到了一个有趣的挑战。当直接结果不符合条件（一位数）时，我们需要创造性地解读信息。请大家小组集中智慧，讨论：如何从“4和6的最小公倍数是12”这个结果中，导出一个一位数的、合理的数字作为E？可以跳出常规思维。

   （小组激烈讨论。可能出现的创意方案：12的因数有1,2,3,4,6,12，其中一位数有1,2,3,4,6；或者12是两位数，其十位和个位之和是3；或者12除以某个数…）

   教师最后引导并公布一种预设的合理逻辑（若学生未想出）：在密码学中，有时会对结果进行简单的运算。例如，取最小公倍数12的“各位数字之和”，直到得到一位数为止。1+2=3。而3是一位数，且尚未在密码的其他位使用（D已经是3，但D和E是不同位，可以相同数字吗？密码数字可以重复）。所以E可以是3。那么密码可能是：229336？即229336。

   或者，另一种更简洁的设计（修改原题避免歧义）：将E的条件改为“是4和6的最小公倍数的个位数字”，则E=2。但这样A和B已是2，密码为229326。为了答案唯一且数字不重复，可将A改为“最小的自然数（0通常不作为密码开头？）”或调整其他条件。但课堂中，重点在于推理过程。

   师：我们的目的并非唯一答案，而是享受推理和应对挑战的过程。大家展现出的分析、联想和尝试，非常宝贵。在实际问题中，信息可能需要多角度解读。

  3.跨学科联系（简要拓展）

   师：像这样利用数的特性编制密码，在真正的密码学（计算机科学、数学的交汇学科）中有更复杂、更神奇的应用。比如，现代网络通信的安全基础“RSA加密算法”，就大量运用了我们以后会学到的“质数”、“互质关系”等知识。质数因其独特的因数性质，成为了守护信息安全的“卫士”。这正体现了数学基础知识的巨大力量。

  【设计意图】设计一个融合本单元几乎所有核心概念的综合性、挑战性任务，将复习从“知识再现”推向“思维进阶”和“策略应用”。任务中预设的“矛盾点”（E为一位数与最小公倍数为两位数）旨在激发学生的认知冲突和探究欲望，培养他们在复杂条件中分析、推理、假设和调试的问题解决能力。最后的跨学科点睛，拓宽学生视野，感受数学的实用价值与学科魅力。

  （五）总结反思，延伸启智（预计时间：3分钟）

  1.畅谈收获

   师：回顾今天的复习之旅，你最大的收获是什么？是画出了一张清晰的知识网络图？是澄清了某个曾经模糊的概念？还是享受了破解密码的思维挑战？

   （请几位学生从知识、方法、体验等不同角度分享收获。）

  2.教师总结

   师：今天，我们不仅整理了“因数与倍数”的知识家园，更学会了如何通过建立联系、辨析比较、灵活应用来主动建构属于自己的数学认知体系。数学学习，就像搭积木，单个积木块很重要，但只有当你看到它们如何连接，能搭建出什么，才算真正掌握了它。希望同学们在今后的学习中，都能养成主动梳理、深度思考的好习惯。

  3.延伸思考（课后可选）

   师：留给同学们一个课后思考题：为什么“1”既不是质数也不是合数？这个规定背后有着怎样的数学思考？查阅资料或与老师同学讨论，将你的理解记录下来。

  七、板书设计

  板书采用动态生成与核心结构固定相结合的方式。

  左侧区域（动态生成区）：

  起始：关键数字“24”

  学生发言时，围绕“24”板书关联词：因数、倍数、偶数、合数、2和3的倍数…

  中间主区域（核心结构区）——在小组展示和教师升华后形成：

  因数与倍数（复习）

  核心：整除关系

   ├─概念关系：因数←（相互依存）→倍数

   ├─数的分类（一）：按能否被2整除→奇数、偶数

   ├─数的分类（二）：按因数个数→质数（2个）、合数（>2个）、1（1个）

   └─关系拓展：

     公因数→最大公因数→应用模型：分割、分组

     公倍数→最小公倍数→应用模型：汇聚、周期

  右侧区域（要点提炼区）：

  重要思想方法：

  •举反例

  •表述完整

  •明确分类标准

  •理解方法原理

  八、作业设计（分层）

  A层（基础巩固）：完成练习册上关于本单元概念辨析和基础计算的典型习题。重点梳理自己曾