2026年广东深圳市龙岗区某学校中考复习综合模拟数学（三）解析版

九年级中考复习综合模拟

数学(三)

(满分：100分)

第一部分选择题(1〜8题)

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是

正确的)

1.如图，在下列几何体中，主视图与其他3个几何体主视图形状不二样的是()

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会观察图形的三视图，进行解答，即可.

【详解】解：A、B、D选项的主视图均为矩形，C选项的主视图为三角形，

故选：C.

2.下列计算中，结果正确的是()

A.B.(-2/H3)2=4/n6C.J(—3)：=-3D.(x+3)(x-3)=x2-3

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键.

根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可.

【详解】解：A.4./=43+4=，，故该选项错误，不符合题意；

B.(-2//)2=4〃心，故该选项正确，符合题意；

C.卜3)2=也=3，故该选项错误，不符合题意；

D.(X+3)(X-3)=X2-9,故该选项错误，不符合题意.

故选B.

3.如图，在V4BC中，AB=BC,ZABC=\20°,AB的垂直平分线交AC于点O.若AC=9,则

AZ)的长为()

B

E

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查对等腰三角形，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线等知识点，熟练掌握线

段的垂直平分线的性质是解题的关键.

连接30,根据等腰三角形的性质推出NC=30。，ZZ9BC=90°,根据含30。角的直角三角形的性质得出

DC=2BD,得到衣二24）,即可求出答案.

【详解】解：连接B。，

,:AB=BC,ZABC=120%

・•・ZA=NC=g（180。-ZABC）=30°,

•・•4区的垂直平分线是OE，

：・AD=BD，

:.44=NAT比）=30。，

AZZ）BC=120°-30°=90°,

:.DC=2BD,

：.IX：=2AD,

•・•AC=9,

AD=—x9=3.

3

故选:B.

4.定义一种新运算：〃[㊉〃=加2-3”则（一3）㊉2的结果为（）

A.-3B.3C.15D.-15

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了新定义卜的含乘方的有理数混合运算，根据新定义代入，先算乘方，乘法，最后再

加法即可.

【详解】解：:"2㊉〃=m2—mn，

/.(-3)02=(-3)2-(-3)X2=9+6=15,

故选：C.

5.有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安

排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x,则以下列出的方程中正确的是（）

X,x+100X「x+100X-x-100x「x-IOO

A.-----5=B.—+5=C.—1-5=D.—5=

4343434亍

【答案】C

【解析】

y1（）0

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设学校住宿的学生人数为X,根据题意得:+5=^-----,从

43

而求解，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键.

【详解】解：设学校住宿的学生人数为4，

根据题意得，2+5=二叫，

43

故选：C.

6.如图，VA8C是面积为1的笔边三角形，分别取AC,8cAB的中点得到△AMC；再分别取4。，

B&,A出的中点得到△A^G；…依此类推，则的面积为（）

B.

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质.根据三角形中位线定理得到

相似比=4，△AdG的面积=pL]=1,Z\A及C2的面积=，总结规律，根

24⑷

据规律解答即可.

【详解】解：..•点A、用、G分别为等边VABC的边AC,BC,人/的中点,

;.BC=LAC,^C,=-BC,.\Bl=-AB,

22

/X^C^ABCt相似比=g,

V48c的面积为1,

riYi

罔G的面积=-=1,

12J4

同理，的面积二（；），

则乙4纥c〃的面积=（：）

故选：c.

7.如图，已知二次函数y=cix2^bx+c{a,b,c是常数）的图象关于直线x=T对称，则下列五个结

论：®abc>0；②2a-/?=0；③9a—3〃+cvO；④〃（"P-l）+b（m+l）W0（〃?为任意实数）；⑤

3a+c<0,其中结论正确的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的

关键;

由图象可知：〃<0,。〉0,根据对称轴及〃与力的符号关系可得hvO,则可判断①②，由对称轴是直线

x=-\,且与X轴交点到对称轴距离大于1,小于2,当后一3时，），<。可判断③；由当工二一1时，函数

有最大值，可判断④；由x=l及一==-1,可判断⑤.

2a

【详解】解：•.•抛物线开口往下.

«<0>

抛物线与），轴交于正半轴，

c>0,

抛物线的对称轴为工=-1,

・,.3=2。<0,

/.abc>0,故①正确.

•・・分=2〃即24—人=0,故②正确.

••,抛物线的对称轴为直线尸—1,且x=l时，函数值小于零，

..・抛物线与x轴交点到对称轴距离大于1,小于2,

••.当x=-3时，函数值小于零，

即9a—3人+。<（）,故③正确.

•・•抛物线的对称轴为直线行-1,且开口向下，

「•当％=—1时，函数值最大，

...当x=m时，y=am2+bm+c,

当户一1时，y=a-b+c,

则am2+bm+c<a-b+c，

am2-a+bm+b<0»

所以〃（机之-1）+〃（阴+1）WO,故④正确.

由函数图象可知，

当工=1时，函数值小于零，

则〃+/?+<:<0，

vb=2a,

所以3a+c<0,故⑤正确.

综上所述：正确的有①@@④@,

故选：D.

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD〃x轴，反

比例函数)，-K供>0,)->())的图象经过矩形对角线的交点E,若点A(2,0),D(0,4),则k的值为

x

()

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B(x,4)利用矩形的性质得出E为BD中

点，NDAB=90。，根据线段中点坐标公式得出E(jx,4).由勾股定理得出AD?+AB2=RD2,列巴方程22+42+

(x-2)2+42=乂2,求出x,得到E点坐标，代入y=人,利用待定系数法求出k.

X

【详解】解：・.・BD〃x轴，D(0,4),

・・・B、D两点纵坐标相同，都为4,

，可设B(x,4).

•・•矩形ABCD的对角线的交点为E,.

，E为BD中点，ZDAB=90°.

AE(；x,4)

VZDAB=90°,

.\AD2+AB2=BD2,

VA(2,0),D(0,4),B(x,4),

.•.22+42+(x-2)2+43,解得x=10,

AE(5,4).

又「反比例函数y=—(k>0,x>0)的图象经过点E,

x

.・.k=5X4=20：故选B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知

识，求出E点坐标是解题的关键.

第二部分非选择题（9〜20题）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.若单项式Vyi与1）,的差仍是单项式，贝打〃的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了同类项的定义求参数，理解同类项的定义列式求解是关键.

单项式的差仍是单项式，可得两个单项式是同类项，即字母相同，相同字母的指数也相同，贝！=

由此即可求解.

【详解】解：单项式fyg与Yy的差仍是单项式，

:.m-\=\,

解得，机=2,

故答案为：2.

10.数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具.比如在学习化学式时，甲烷化学式为CH」

乙烷化学式为C2H6,丙烷化学式为CW-按此规律，当碳原子的数目为〃（〃为正整数）时，氢原子的

数目是.

【答案】（2〃+2）##（2+2〃）

【解析】

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察发现出规律成为解题的关键.

经观察可以发现：烷烧中氢原子数是碳原子的2倍加上2,据此规律即可解答.

【详解】解：碳原子个数为1时，氢原子数为lx2+2=4个，

碳原子个数为2时，氢原子数为2x2+2=6个，

碳原子个数为3时，氢原子数为3x2+2=8个，

・・・・・・,

以此类推，可知，碳原子个数为〃时，氢原子数为（2〃+2）个.

故答案为：（2〃+2）.

11.如图，在平面直角坐标系中，ZAC>Z?=90°»/OW=30°,点A是函数y=—(x)O)图象上的点,

点8是函数y=：(x>0)图象上的一点，则Z的值为.

【答案】-2

【解析】

【分析［作轴于M，作8NJ.)，轴于N,根据反比例函数的几何意义得到S4.=gx6=3,

Iqr

s.办■"二不闲，证明4人MOSAON8,得到2@丝=—=3,从而得到关于左的方程，再结合图象即

2S.ONB'OB)

可得出火的值.

【详解】解：如图，作AM_Ly轴于知，作8V_L)，轴于N,

6k

•・•点A是函数y=-（x>（））图象上的一点，点5是函数），=一（%>0）图象上的一点,

-VX

,•S.八。“=不x6=3,SONB=-1^|»

*：AM_Ly轴，BN_Ly轴，

・•・/AMO=ZONB=90°,NM4O+ZAOM=90°，

■:408=90。，

・・・Z/VQB+ZAQM=90。，

，/MAO=NNOR.

:・-AMgjONB，

.』二/、3,

SQNBI°切

—|Z:|=—x3=1,

2113

解得攵=±2,

•.•函数）,二人">0）的图象经过第四象限，

A

/.攵=—2.

12.如图，在V48C中，Z/WC=90°,A8=8C,£CJ_8C,垂足为垂足为尸.若AB=1,

ZEBC=30°,则的面积为.

【分析】过点尸分别作FM_LBC,“V_LAA,垂足为M,M连接4M，则NFMC=90。，先根据平

行线间的距离处处相等得出KV=BM,继而得出5*尸=5A.,通过3()。直角三角形的性质得出

BM=BC-CM=—，即可求解.

4

【详解】解：过点尸分别作15c7W_L45,垂足为M,N,连接AM，则NFMC=90。，

：./ABC=4FMC,

/.AB〃FM，

♦：FN1AB,ZABC=90°

・•・FN=BM,

•:SMF=；ABFN，SABM=；AB.BM，

乙乙

••SABF=ABM，

,:CF[BE,垂足为尸，AB=\=BC,ZEBC=30°.

・•・ZBFC=90°,ZBCF=60°,CF=-BC=-,

22

・•・4CFM=90°-/BCF=30°，

：,CM=-CF=-

24t

：,BM=BC-CM=-,

4

133

AS4fiF=SAftW=-xlx-=-.

13.把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或

图③所示的正方形.若矩形纸片的长为〃?，宽为〃，四边形EFG”的面积等于四边形ABC7)面积的2

【解析】

【分析】首先表示出四边形同6H的面枳和四边形ABC。面积，然后根据题意得到

2/2、zx2

〃/十二~=2+,整理得到46?-8〃〃?+//=0，4(—1-8—+1=0，设乂=，，得到

414Jn

4/一劭+1=0,然后解方程求解即可.

/n\2

【详解】解：根据题意得，四边形E/G”的面积=加2+

、n

四边形ABCD面积二m——=m"-nmH-----

2j4

■:四边形EFGH的面枳等于四边形4AC。面积的2倍

2I

r.nr+—=2m2-mn+—

4I4J

整理得，4m2-Smn+n2=0

♦/'〃丫。1八

..4--8--+1=0

n

,in

设rt一=，，

n

A4r2-8r+l=0

解得七之二叵或七上史（舍去）

22

.m2+G

,•-zz------

〃2

故答案为：212叵.

2

【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14.计算：

⑴㈠心,J+即回

y+1

【答案】（1）4；（2）—

y

【解析】

【小问1详解】

解:（T广"+卜；+|2|-79

=1+4+2-3

=4；

【小间2详解】

1），一1)，2—1

_y__2zl

y-iy-b(y+l)(y-l)

y-y+l(y+l)(y-l)

1()'+i)(yj)

y-i)‘

15.为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测

试，每人投篮4次，投中一次计1分.测试结束后，随机抽取〃名学生的成绩作为样本，将收集的数据整

理并绘制成如下的统计图表.

测试成绩频数分布表

成绩/分4321

频数2()10m6

测试或绩域影统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次抽取的学生人数。的值为，扇形统计图中〃的值为;

（2）该校九年级学生共有3000人，若九年级学生都参加测试，估计得分超过3分的学生人数有多少人？

【答案】（1）40,50

（2）2250A

【解析】

【分析】本题考杳了频数分布表与扇形统计图的综合应用，用样本估计总体.

（1）计算本次抽取的学生人数通过得分成绩在3的频数除以所占百分比可得出，计算扇形统计图中〃的值

利用成绩分数在4的频数除以总人数再乘100%可得到结果；

（2）先计算本次抽取的人数中得分超过3分的频数.再计算其频率,最终用九年级总人数乘以频率即可得

到结果.

【小问1详解】

解：由成绩分数在3的频数与所占百分比可知：a=W=40,

25%

•・•成绩分数在4的频数为20,

20

.・.«=—x100%=50%.

40

故答案为：40,50.

【小问2详解】

解：在本次抽取的学生中，得分超过3分的频数为：20+10=30,

・••得分超过3分的频率为：也型=0.75,

40

・•・在九年级学生中，得分超过3分的人数约有：3000x0.75=2250（人）.

16.某零件的剖面示意图如图所示，AB〃C£>〃"£,点”,G在线段〃£」一，且四边形COG尸是正方形，

AH上HE，垂足为点”,N8CD=126o,NE=68°,A8=3C=C£>=10cm,求〃£的长.（结果精确到

1cm，参考数据：sin54°«0.81,cos54°«0.59,tan54°«1.38

sin68°x0.93,cos68°x0.37,tan680工2.48)

【答案】1的长为30cm

【解析】

【分析】本题主要考查解直角三角形，过点8作6产_1_鹿于点儿延长OC交。?于点Q,得。Q_L62,

证明四边形尸产是矩形，得HP=AB=10,求出CQ*5.9cm,解直角三角形OEG得

GE工4.（）cm,从而可求出HE

【详解】解：过点B作BP_L，石于点P，延长。。交力P于点Q，如图，

VAB//HE,AHrHE,

：.AH±AB,

:・AA=/H=/BPH,

，四边形A30”是矩形，

:.HP=AB=l()cm；

•：CD//HE,

:.DQ//HE,

・•.4CQB=/CQP=NQPF=90°,

•・•四边形。CW是正方形，

・•.DG=CD=FG=\0cm,/CFP=4CFG=/DGF=4DGE=90°,

・•・四边形CQ*7是矩形，

・•.PF=QC；

•・•ZBCD=126°,

・•・ZBCQ=180°-/BCD=18()。-126°=54°,

在RlZ\6CQ中，6C=10cui,

•・•cosZBC2=—*

BC

:.QC=BC-cos/BCQ=lOxcos54°»5.9cm,

在RtADGE中，DG=10cm,NOEG=68°,

VtanZDEG=—,

GE

DG1010

・•・GE《4.0cm,

tanZDEGtan68°748

・•・尸产+FG+GE=10+5.9+10+4.0=29.9。30cm

17.如图，点。在以48为直径的半圆。上，连接AC3C,过点C作半圆。的切线，交A8的延长线于

点D,在AC上取点E，使EC=8C，连接4E，交AC于点立

(1)求证：BETCD；

2

(2)若sinO=§,3。=1,求半圆O的半径及石尸的长.

【答案】(1)

解：连接OC,则：OA=OC,

・•・^OAC=ZOCA,

•・•过点C作半圆。的切线，交A3的延长线于点。，

:.OC.LCD,

・•.ZBCD+NOCB=90。，

•・•AB为直径,

・•・ZACB=90°,

・•・/OGA+N0C8=90。，

・•・40cA=/BCD,

・•・/CAB=/BCD,

,:EC=BC，

・•・/CAE=NCAB=/BCD，

•・•/CAB=NEBC,

・•・/EBC=/BCD,

・•・BEIICD；

E

【解析】

【分析】（I）连接。C,切线得到OC_LCO,等边对等角得到NQ4C=NOC4,圆周角定理得到

AEBC=ZG4O,ZACB=90°,同角的余角得到NOC4=N6CO,等量代换得到NC6£=N3C。，即

可得证;

（2）连接AE，设半圆O的半径为广，解直角三角形OCD,求出半径的长，进行求出AB的长，平行得到

ZABE=/D,解直角三角形43E，求出AE，8E的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面枳比等于

Appp

底边比，得到一=—,进行求解即可.

ABBF

【小问1详解】

略

【小问2详解】

设半圆。的半径为「，则OC=Q4=r,

•・•80=1，

:.0D=r+1>

,:OCX.CD,

・・.si3型=上二

0Dr+l3

・・・r=2,即：半圆。的半径为2；

・•・，45=2〃=4,

连接AE，贝I：NA悌=90°,

•・•BE\\CD,

・•・sinZA5E=sinD=—=—=-

AB43

・・・哈

:・BE=hB?-AE?=手

,:EC=BC，

・•・/EAF=NBAF，

，AF平分石，

・•・F到AE,AB的距离相等，都等于EF的长,

SWA",EFEF

Si^-ABEFBF

2

EFAE2

••—-,

BFAB3

EF2

•*•—,

BE5

..2_8石

・・EF=—BE=-------

515

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知

识点，是解题的关键.

18“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来.”某书店计划在4月23

日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务：

如何设计采购方案

素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购

素材一

进数量及售价如下:

甲乙总费用（元）

甲乙

购进数量（木）34288

购进数量（本）Xy

购进数量（本）52270

售价（元体）385()

问题解决

任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价.

任务二：①写出）关于R的关系式；

②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利卬元，请

直接写出利润卬的最大值为元.

4

【答案】任务一：甲类图书每本进价为36元，乙类图书每本进价为45元；任务二：①y=-MX+10°；

②380

【解析】

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是

解题的关键.

任务一：设甲类图书每本的进价是〃元，乙类图书每本的进价是人元,

，根据“购进3本甲类图书和4本乙类图书共需288元；购进5本甲类图书和2本乙类图书共需270元.”

列出方程组，即可求解；

任务二：①根据“用4500元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解：②设书店所获利润为卬

元，根据题意，列出卬关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解.

【详解】解：任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是〃元，

3。+4〃=288

根据题意得:

15。+2b=270

。二36

解得：一

〃=45

答：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元;

任务二：①根据题意得：36x+45y=45OO,

4

・・・了关于工的关系式为)，二一不工+100；

②设书店所获利润为W元，

根据题意得：卬=(38—36)x+(50—45)y

-2A+5x^—―人十100

=-2x+50()

V-2<0,

随X的增大而减小，

•・•甲类图书的购进数量不少于60本,

x>60,

・•・当x=60时，卬有最大值.最大值为-2*60+500=380.

・•・最大利润为380元.

19.综合与实践

小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，V4BC中，NAC8=90°,C4=C8,.COE中,

ZDCE=90°,ZE=30°,AB=CE=\2cm.

（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB,DE交于点F,求NAFD的度数和

线段AO的长.（结果保留根号）

【探索发现】

（2）在图①的基础匕保持.C7）石不动，把V4BC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在

选DE上（如图②）.

①求线段AO的长；（结果保留根号）

②判断A3与OE的位置关系，井说明理由.

【答案】（1）ZAFD=\5°,AO=（6&-46）cm；（2）①AQ=（6+2G）cm：②ABLDE，理由

见解析

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是

解题关键.

⑴先根据等腰三角形的性质可得/B4C=NA3C=45。，再求出NCDE=60。，然后根据三角形的外角

性质即可得NA£D=15。；最后杈据解直角三角形可得AC,CQ的长，根据线段的和差即可得;

（2）①过点。作CG_LZ）E,垂足为G,先解直角三角形可得CG,E>G的长，再利用勾股定理可得4G的

K,然后根据线段的和差即可得;

②根据等腰二角形的性质可■得NC4G=NACG=45。，则可得NDAB=90。由此即可得.

【详解】解：⑴・・・VA3C中，ZACB=90°,C4=CB,

・•・ABAC=ZABC=45°,

•・・..C£>E中，/DCE=90。,NE=30。，

・•・ZCDE=60%

・•・/AFD=NCDE-ZA=60°-45°=15°：

在RtA/\BC中，AC=ABsin/ABC=12x#=672(cm)，

在RtZXCDE中，C£)=CEtanE=12x¥=4g(cm)，

・•.AO=4C-CD=(6G4@cm.

(2)①如图，过点。作CGJ_OE,垂足为G,

・・•ACDG中，ZCGD=90°,ZCDE=60°,CD=46m,

/.DG=CDcosZCDE=25/3cm,CG=CD-sinZCDE=6cm.

•.•△CG4中，ZCGA=90°,CA=6>/2cm,CG=6cm.

・•・AG=sjAC2-CG2=6cm，

/.AD=AG+DG=(6+2\/3jcm.

②AB±DE，理由如下：

，:在RtsCGA中，NCGA=90°,AG=CG=6cm,

・•・ZC4G=ZACG=45°,

又•「ABAC=45°,

・•・ADAB=ZCAG+ABAC=450+45°=90°,

AABIDE.

20.综合与探究

如图（〃），抛物线），=o?+法与工轴交于点A（_6,0）,直线AB经过点4,与>轴交于点3,与抛物线交

于点《唱

（2）如图（b）,过点C作8_Lx轴，垂足为。，P是线段AC_L方抛物线_£的一个动点，连接。尸，交

CD于点E，过点。作PGJ_x轴，垂足为G,PG交线段A。于点尸，连接£G.

①设点P的横坐标为〃?，当〃?为何值时，△GDE的面积取得最大值？并求出这个最大值.

②已知M为x轴上的一点，N为平面直角坐标系内的一点，当以点E，F,N,M为顶点的四边形为正

方形时，求点N的坐标.

【答案】（1）y=~x2-3x

725（8、（95、

（2）①当〃?二一；时，AGDE1面积的最大值为主；②点N的坐标为（一1,0）或一彳,0或一1,彳

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解析式；

（2）①证明‘EO”二POG,得匹二",将OG=—m，PG=--nr-3m,DG=—加一1代入，

PGOG2

1\（