2026年高考数学一轮复习讲义：立体几何中的截面、交线问题（附答案）

§7.9立体几何中的截面、交线问题

【重点解读】“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、

面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇

形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

题型一作截面

例1如图，在正方体向G2中，〃是A山।的中点，N在棱CG上，且CN=2NG.作出过点Q,

M,N的平面截正方体A3CQ-48G。所得的截面，写出作法.

思维升华作截面的几种方法

⑴直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线

的过程.

⑵延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的

平行线找到几何体与截面的交线.

跟踪训练1在正方体AACD-A/CQi中，E,F,G分别为BC,CD,的中点，作出过点E,F.

G的平面截正方体的截面.

题型二截面图形的形状判断

例2已知正方体ABCD-AiBGR中，点E是线段BBl上靠近囱的三等分点，点尸是线段SG上靠

近D,的三等分点，则平面AE/截正方体ABCD-A^iCiDi形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形

C五边形D.六边形

思维升华判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状

和位置.

跟踪训练2如图，正三棱柱A8C-A7TC的所有棱长都相等，P为线段的中点，。为侧面内

的一点（包括边界,异于点P）,过点4,P,。作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（)

A.五边形B.四边形

C等腰三角形D.宜角三角形

题型三截面图形的周长或面积

例3（2024.呼和浩特模拟）已知正方体A8CO-A而G"的棱长为4,M为棱。C的中点，N为侧面4G

的中心，过点例的平面a垂直

于DN,则平面a截正方体ABCD-AiBiCiD,所得的截面面积为（）

A.4（舟加B.2V3C.5V3D.4V6

思维升华几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得

以解决.

跟踪训练3如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点P是6c的重心，过点尸将木块锯开,

并使得截面平行于A力和4C,则截面的面积为（）

A.lB.2C.3D.4

答案精析

例1解方法一如图所示，五边形。QMW即为所求截面.

H

作法如下：连接DN并延长交D.C的延长线于点E,

连接WE交&G于点/，延长EM交。Mi的延长线于点”，

连接DH交AAi于点Q,

连接QM、FN,

则五边形QQMFN即为所求截面.

方法二连接DN,过点M作ON的平行线交A4于。点，连接OQ,过N作。。的平行线交81c于/点，

连接MF,

则五边形OQMQV即为所求截面.

跟踪训练1解如图，过点G作E厂的平行线交8用于点J,过点J作尸G的平行线交A8于点/,

过点，作EF的平行线交4"于点H,易知点J,I,”都在截面EFG内，

且都是其所在棱的中点，从而所得截面是正六边形EFGHIJ.

例2C［如图，设AB=6,分别延长AE，人出।交于点G,此时BQ=3,

连接FG交81G于点H,连接EH,

设平面与平面OCGQi的交线为/,贝iJF£/,

因为平面AA/Mi〃平面OCG",平面4£7丫1平面ABR^AE,平面4七“平面OCG。尸/,

所以1//AE,设/nD|D=Z,

则FI//AE,

此时,故/Di=^,连接AI,

所以五边形A/F//E为所求截面图形」

跟踪训练2A［对于B,当PQ的延长线与线段方C（除端点外）相交于点尸时，延长尸。交CC的延长线

于点。，

图1

连接AD交A'C'于点E,连接环，如图1,

此时过点4,P，。作正三棱柱的截面为四边形AP”£：（当。在线段（除端点外）上时，截面也为四边形），

故截面的形状可能是B;

对于A,当尸。的延长线与线段CC或8C（除8点外）相交（或点Q在线段CC或8c（除8点外）上）时，截面

为三角形，

结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故截面的形状不可能是A；

对于C,取CC的中点为Q,连接PQ,AQ,如图2,又尸为线段的中点，

B

图2

所以AP=A。,所以△4PQ为等腰三角形，故截面的形状可能是C；

对于D,取8C的中点为。，连接A。，PQ,如图3,

图3

因为三棱柱A8C-ABC为正三棱柱，所以AQ_LBC,

又88」平面ABC,AQu平面ABC,所以BB'_LAQ,

又BCnBB'=B,BC,BB'u平面BBC'C,所以AQ_L平面BB'C'C,

又P0u平面BB'C'C,

所以AQJ_PQ,所以为直角三角形，故截面的形状可能是D.]

例3D[如图所示，取8C,CG的中点E,F,分别连接NE,NF,DE,DF,AD[,,AM,

在正方形A8CQ中，因为M,E分别为DC,8c的中点，

可得△AOMs/xocE,

所以NZMM=NCDE,

ZAMD=ZCED,

因为乙4。〃=90。，

所以NAMO+NCQE=NAMO+NOAM=90。，

所以/OPM=90。，即AMIDE,

又因为E,N分别为BC,8G的中点，

所以NE〃CG,

因为CG_L平面A8CQ,

AMu平面ABC。,

所以CG_LAM,所以AMLNE,

又因为DECNE=E且DE,NEu平面DNE,

所以AM_L平面DNE,

因为DNu平面DNE,

所以,

同理可证DiMLDN,

又因为AMCIGM=M且AM,

OiMu平面AOiM,

所以DN_L平面ARM,

即平面a截正方体ABCO-A&G"的截面为.

由正方体ABCQ-48GQ的棱长为4,

在Rt^ADDi中，可得AQ尸J/D2+。。苫="42+42=4企,

在RtAADM中，可得AM=y/AD2+DM2=\/42+22=2V§,

在RtADDiM中，可得D\M=y/DD^+DM2=V42+22=2^5,

所以截面的面积为S=1X4V2XJ(2通尸-(2V2)2=4V6J

跟踪训练3B|由题意可知，点P是△A8C的重心，过点P作EF〃BC,

分别交A8,AC于点E,尸，作"G〃A。交CO于点G,

设平面EFG与BD交于点H,连接HG,EH,由于8成平面EFG,Eru平面EFG,故8c〃平面EFG,

因为FG//AD,AZX平面EFG,/Gu平面EFG,所以AD〃平面EFG,

即四边形E/G”即为所求截面，

由于BC〃平面EFG,平面石尸GCI平面BCD=HG,8Cu平面BCD,

故BC//HG//EF,同理FG//EH,

故四边形EFG”为平行四边形，

设M为BC的中点，连接AM,DM,

则AMLBC,DMLBC,AM,OMu平面ADM,AMC