高中数学必修第一册教案：直线与圆的位置关系

2.5.1直线与圆的位置关系教学设计

课题直线与圆的位置关系单元第二单元学科数学年级高二

教材在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方

分析程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系。下面我们类比用方程研究两条直线位

置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计箕研究直线与圆的位置关系。

本节课，引导学生根据初中学习图形与几何的经验，研究直线和圆的位置关系.

1数学抽象：直线与圆的位置关系；

教学2逻辑推理：判断直线与圆的位置关系；

目标3数学运算：根据直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系；

与4数学建模：能用直线与圆的位置关系解决一些简单的问题；

核心5直观想象：直线与圆的位置关系；

素养6数据分析：从“直线与圆的位置关系”（形）到“直线与圆的位置关系”的判断（数），

再到例题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性.

重点利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系：用坐标法解决几何问题

难点利用直线与圆的方程解决简单问题：理解代数法、几何法的关系，灵活运用多种方式表达、

判断直线与圆位置关系.

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课

通过古诗等具体

^大

情景引入的情景，激发学

H道

牛.兴趣，帮助学

和

离

修生回顾初中几何

偏

工中己学的直线与

圆的位置关系.

“大漠孤烟直，长河落日圆”出自唐代诗人三维

的《使至塞上》，它描述了黄昏日落时分塞外特有的

景象.

如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条

直线，观察下面三幅太阳落山的图片.

观察图形，整

理二种位置美

系的图形表

©00

示、定义、几

（地平线）何表示.

问题1：

图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？

提示：⑴相离，（2）相切，（3）相交.

问题2：

结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置

提出问题，激发

关系，直线与圆有儿种位置关系？

兴趣，

提示：3种，分别是相交、相切、相离.

复习直线与圆的

问题3：

如何判断直线与圆的位置关系？位置关系.

提示:可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系.

讲授新课

我们知道，直线与圆有三种位置关系：通过直线与圆

（1）直线与圆相交，有两个公共点；公共点的个

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；数，判定直线

（3）直线与圆相离，没有公共点.与圆的位置关

系.

思考

在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？

根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们

之间的位置关系？

提示：复习初中判断直

直线4x+&+C=0与圆（1一0）2+。，一》）2=/

线与圆的位置关

的位置关系的判断

系的方法，引导

位置关系相交相切相离

学生将直观几何

公共点人数鹿个二个

进行定量表达，

几

设圆心到直线的距离

何提出本节课的研

痴+的+C'|d<rd=rd>r

法d山2+炉究内容，利用直

判

•

定线与圆的方程，

由

方代

px4-«j+C=0,通过定量计算，

法数l（LQ）2+（yi）2=r2

J>0J=0d<0判断直线与圆的

法

消元得到一元二次方

•*位置关系，使学

程的判别式1

生体会这种研究

思路的逻辑，能

下面，我们通过具体例子进行研究

够在教师的引导

例1已知直线I:3x+y-6=0和

下自主研究。

圆心为C的圆炉+y2-2y-4=0,判断直线/

与圆C的位置关系：如果相交，求直线/被圆C所

截得的弦长.

分析：

通过例题，帮助

思路1：将判断直线/与圆C的位置关系转化

学生进一步学习

为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有

两种基本方法，

几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的

判断直线与圆的

坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.

位置关系，发展

思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，

学生数学运算、

判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股

数学抽象和数学

定理求得弦长.

建模的核心素养

解法1（代数法）

联立直线/与圆的方程，得

3x+y-6=0

消去y,得入2一3%+2=0,

解得xL=2,xz=1.

所以，直线/与圆C相交，有两个公共点.

把4=2,x2=1分别代入方程①，

得yi=0,y2=3.

所以，直线(与圆C的两个交点是A(2,0),

B(I,3).

因此|AB|=J(1-2尸+(3-0)2=V10.

解法2(几何法)

圆C的方程％2+y2-2y-4=0可化为

x2+(y-l)2=5,因此圆心C的坐标为(0,I),

半径为遥，圆心C(0,I)到直线/的距离

所以，直线/与圆C相交，有两个公共点.

如图

由垂径定理，得

|AB|=2yjr2-d2=VlO.

通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系

中，要判断直线I:Ax+By+C=0与圆C：

(x-a)2+(y-6)2=r2的位置关系，可以联立

它们的方程，通过判定方程组

'Ax+By+C=0

(x-a)2+(y-b)2=r2

的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数.进而

判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组

解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.

我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半

径r,从而求得圆心到直线的距离d,通过比较d

与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，

则可利用勾股定理求得弦长.

思考

与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与

圆的位置关系有叶么优点？例1中两种解法的差异

是什么？

提示：

1采用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准

确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离.

2利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求

出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方

程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的

一元二次方程组解的个数，进一步判断两者的位置

关系.

3当直线所过定点在圆内时，直线与圆恒相交.

例2过点P(2,1)作圆O：/+y2=1的切线

/,求切线/的方程.

分析：如图

学生结合例题，

通过思考，容易

发现，本章我们

容易知道，点P(2,1)位于圆0：x2+y2=l在坐标系中建立

外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们了直线方程、圆

设切线方程为广1二©片2)4为斜率，由直线与圆相的方程，并通过

切可求出女的值.它们的方程研究

解法1与直线、圆有关

设切线/的斜率为k,则切线I方程为y-\=k{x-的几何问题.通过

2),即kx-y+1-2A=0.坐标系，将几何

由圆心(0,0)到切线/的距离等于圆的导径元素，用坐标、方

1，得程表示，将几何

“一2川

一,=1,问题转化为代数

VFTT

问题，再通过代

解得k=o或;.

数方法研究几何

因此，所求切线I的方程为尸1,或4.v-3y-5=0.

图形的性质.

解法2

设切线/的斜至为k,则切线I方程为y-\=k(x-2).

因为直线/与圆相切，所以方程组

厂二华二刀只有一组解

(+y=1

消元，得

+l)x2+(2k-4k2)x+4k*-4k

=0.①

因为方程①只有一个解，所以

△=4k2(1-2k)2-16k(/+1)也-1)=0,

解得上=0或：.

J

所以，所求切线/的方程为)=1.或4%-3y-5=0.

拓展：

1.过圆上一点(x。，泗)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率A,再由垂直关系

得切线的斜率为一，由点斜式可得切线方程.如果

斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y

=70或X—XQ.

2.过圆外一点(x。，川)的切线方程的求法

设切线方程为y—yo=A(x—xo),由圆心到直线

的距离等于半径建立方程，可求得A,也就得切线

方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应

为x=xo,因为在上面解法中不包括斜率不存在的

情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立

方程组的方法求解.

3圆的切线方程常用结论

（1）过圆d+y2=M上一点「（勺必）的圆的

切线方程为x（）x+yoy=r?.

（2）过圆（％-a）2+（y-b）2=N上一点

P（%o7o）的圆的切线方程为

2

（凡-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r

（3）过圆/Iy2=M外一点”（如了0）作圆的

两条切线，则切点所在直线方程为

2

XQX+yoy=r.

例3如图（1）

（1）

图（1）是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱

跨度AB=20m.拱高OP=4m,建造时每间隔4m

需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到

0.01m）.

分析：建立如图（2）所示直角坐标系，要得到支

柱的高度，只需求出点02的纵坐标.

（2）

解：建立如图（2）所示的直角坐标系，使线段AB

所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上.

由题意，点P，B的坐标分别为(0,4),(10,0).

设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方

程是

x2+(y-b)2=r2

下面确定b和r的值.

因为P,B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,

4),(10,0)都满足方程x2+(y-旷=产.于是,

得到方程组

(02+(4-b)2=r2

I10z+(0-b)2=r2

解得

b=-10.5,r2=14.52

所以，圆的方程是

无2+(y+10.5)2=14.52.

把Pz的横坐标X=2代入园的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52.

即

y+10.5=V14.52-(-2)2

(P2的纵坐标y>0,平方根取正值).

所以

y=J14.52-(一2/-10.5«14.36-10.5

=3.86(m).

答：支柱42P2的高度约为3.86m.

思考

如果不建立平面直角坐标系，你能解决这人问

题吗？由此比较综合法和坐标法的特点.

例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小

岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知

小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中

心正北30km处.如果轮船沿育线返港,那么它是否

会有触礁危险？

分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口

的方位和距离.如图.

根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出

暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线

的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而

确定轮船是否有触礁危险.

解：

以小岛的中心为原O,东西方向为l轴，建立

如图所示的直角坐标系.

为了运算的简便，我们取10km为单位长度，

则港口所在位置的坐标为（0,3）,轮船所处的位置

的坐标为（4,0）.

这样，受暗18影响的圆形区域的边缘所对应的

圆的方程为

/+y2=4

轮船航线所在直线/的方程为

xy

二+:=1

43

即3x+4y-12=（）

联立直线/与圆O的方程，得

(3x+4y-12=0

(x2+y2=4

消去y,得

25X2-72X+80=0.

由A=(-727-4X25X80<0

可知方程无解.

所以直线/与圆0相离，轮船沿直线返港大会

有触礁危险.

思考

你还能用其他方法解决上述问题吗？

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表

示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转

化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题：

最后解释代数运算:结果的几何含义，得到几何问题

的结论.

这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步

曲”：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标

和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，

把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结

论.

课堂练习

1若直线4x—3j+«=0与圆x2+j2=100有如下关

系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数〃的

取值范围.

解：

法一：(代数法)

4T—3v+/z=0,

由方程组,.；_消去y,

遇=1i0nf0t,

得25炉+8城+。2-900=0.

J=(8a)2-4X25(a2-900)=-36a24-9000D.

①当直线和圆相交时，J>0,

即一36d+90000>0,-50<«<50;

②当直线和圆相切时，/=0,

即a=50或a=-50;

③当直线和圆相离时，J<0,

即GV—50或“>50.

法二：(几何法)

圆/+)，2=100的圆心为(0,0),半径,=10,

则圆心到直线的距离d=^=9

①当直线和圆相交时，dvr,

即%<10,-50<n<50;

②当直线和圆相切时，d=r,

即卷=10,。=50或〃=—50;

③当直线和圆相离时，d>rf

BP^>10,。<一50或。>50.

2已知点P(遮+1,2-V2),M(3,l),

圆C：(%-I)2+(y-2)2=4

(1)过点P的圆C的切线方程；

(2)过点M的圆C的切线方程，并求出切线

长.

解：由题意得圆心C(1,2)半径r=2.

(1)V(V2+1-I)2+(2-V2-2)2=4

・・・点P在圆C上.

P,2-41-24

又kpc=限一］=1

・・・切线的斜率k=一3=1

kpc

・・・过点P的圆C的切线方程是

y-(2-V2)=x-(V2+1)

即x-y+1-2V2=0

(2)V(3-1)2+(1-2产=5>4

，点M在圆C外部.

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为m3,

即x-3=0.

又点C(L2)到直线x-3=0的距离d=3-l=2=r,

即此时满足题意，所以直线尸3是圆的切线方

程.

当切线的斜率存在时，设切线方程为y―gk(x・3),

即kx-y+l-3k=0,

则圆心C到切线的距离

\k-2+l-3k\

d=-------,------=r=2

解得k

4

・・・切线方程为y-1=^(x-3)

即3x-4y-5=0

综上可得，过点M的圆C的切线方程x-3=0

或3x-4y-5=0

V\MC\=、/(3-I)2+(1—2/=逐

・・・过点M的圆C的切线长为

yj\MC\2+r2=V5-4=1

3已知圆的方程为3+产=8,圆内有一点P(—1,2),

AB为过点P且倾斜角为a的弦.

(1)当a=135°时，求A3的长；

(2)当弦A5被点尸平分时，写出直线A3的方

程.

解：

(1)法一：(几何法)

如图所示，过点。作OC_L/UL

由已知条件得直线的斜率为A=tan135°=-

1,

・，・直线AB的方程为y—2=—(x+1),

即x+y-1=0.

，・•圆心为(0,0),/.|OC|='^'=^2~*

•>=20；.lBCT=yJ8一窗』唔

r.|4B|=2|«C|=V30.

法二：(代数法)

当。=135°时，直线AB的方程为7一2=一。

+1),即丁=-x+l,代入d+Vug,

得2*2—2%—7=0.

/.XI4-X2=1,©X2=­

:.\AB\=yj14-Zc2|xi—xi|

=*\/(1+l)[(n4-X2)2-4xixzl=^30-

(2)如图，当弦AB被点尸平分时，

•e•A：4«=2，

・,・直线A3的方程为y-2=/x+l),

即x-2y+5=0.

拓展

求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法：如图①，直线/与圆。交于A,B

两点，设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为L4BI,

则有(喇2+解一/2,即|4困一24户一解.

①

(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方

程联立，设直线与圆的两交点分别是4(X!,JD，

B(X2,yi),则\AB\=yj(xi—xz)2+G'I—yi)2=

41+依恒一工2|=11+*,1—72](直线l的斜率k

存在).

^(X2,>AJS/

②

4已知圆C：x2+y2-4x=0,/是过点P(3,0)

的直线，则()

A./与C相交B./与C相切

C./与C相离D.以上三个选项均有可能

解析：

x2+y2-4x=O是以(2,0)为圆心，以2为半

径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离

d=V(3-l)2+(0-0)2=l<2

点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么画直线，

总与圆相交，故选A

答案：A

5已知动直线/:mx-y-m=0与

0M：/+丫2-4%-2y+1=0交于A、B两

点，当1将。M分成两部分的面积之差最大时，则

1的方程为_________.

分析：求出动直线，所过的定点C的坐标，判断点

C在。M内；由/将。M分成两部分的面积之差

最大时，弦AB的长度最小，弦心距最大，求日直

线/的斜率，写出/的方程即可.

解：

动直线/：可化为，〃(x-l)-y=O,

令解得