整式的乘除法（数学竞赛题汇编）七年级全国（解析版）

专题07整式的乘除法

全国各地竞赛真题试题汇编■

1.（2024八年级•山东・竞赛）在277,尹5544,633这四个数中，最大的数是（）

A.277B.产c,544D.633

【答案】C

【分析】本题考查了慕的乘方，熟练掌握幕的乘方的逆用是解题的关键；把原数的指数变相同，再比较大

小即可.

71144411113331111

【详解】•••2"=（2）=128〕捽=（35）11=243",5=（5）=625,6=（6）=216,128<

216<243<625,

•••12811<21611<24311〈625”,

》<633O55<544,

最大的数是5气

故选：C.

2.（2023七年级下•广东揭阳•竞赛）已知a=/5,b=533/=*2,那么>c,d从小到大的顺

序是（）

A.a<b<c<dB.a<b<d<c

C.b<a<c<dD.a<d<b<c

【答案】D

【分析】本题考查了哥的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握哥的乘方的运算是关键.

根据幕的乘方的逆运算得到。=255=（25）11=32Tb=/=（夕）11=87",C=533=⑸"=12511,

d=622=⑹"=36]再根据指数相同，底数越大，值越大即可求解.

555nn44411]133J111122

【详解】解：a=2=（2）=32,b=S=（3）=81tc=5=（5）=125,d=6=

（63"=36",

：.3211<3611<8111<125”,

..a<d<b<c,

故选：D.

3.（2024八年级•广东深圳•竞赛）已知关于x的多项式”x）除以（X—7）余1,f（x）除以（X-2）余4,

则/（x）除以仕2-3x+2）的余式为（）

A.4B.3C.x-7D.3x-2E.2x-3

【答案】D

【分析】木题主要考查了多项式除以多项式，

1/11

先确定r(x)的表达式，再结合余式的表达式，根据多项式除法的余式性质求解.

【详解】解：设=(X-l)a(x)+Lf(x)=(x-2；b(x)+4,

则/⑺=If(2)=4.

设f(X)=仅2-3x+2)q(x)+p(x),由题意可知p(x)为一次多项式，设余式为p(x)=QX+b,则

f(x)=(x2-3x+2)q(x)+ax+b=(x-l)(x-2)q(x)+ax+b,

则有/Y7)=a+b=7,f(2)=2a-kb=4,

即

\2a-f-b=4

解得［：=3

lb=-2

所以余式是3x-2.

故选：D.

4.(2023九年级上•湖南邵阳•竞赛)定义运算★为:若於=N(其中:a>0,a7,以下同)，则3rN=b.如

2s=8,则2*8=3.设“★m=x,4★〃=y,则=()

A.xyB,x+yC.x-yD.\x-y\

【答案】B

【分析】本题考查了新定义，同底数基的乘法.

根据题意得到“x=m,av=〃，进而得到mn=qx+y,根据定义可知=x+y

【详解】解：•.•若a》=N(其中：a>0,a#7,以下同)，则a*N=b.设。★m=x,“★”=，，

.,.dx=m,ay=n,

:.mn=Q•“y="x+y,

・若a=N(其中：a>0,a丰1,以下同)，则a*N=b,

.”★(mn)=x+y

故选：B.

5.(25-26九年级上•陕西西安•自主招生)已知ax'+bx+C>0的解集为一7vx<5,写出〃、氏c满

足的条件.

【答案】a<。且b=-4a,c=-5a

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转为解关于工的一元二次方

程，把ax2+bx+c>。理解为二次函数的函数值大于0,利用交点式表示抛物线解析式为v=a(x+

7)卜一5)且。<0,即可求解.

【详解】解：〈“xZ+bx+c>。的解集为-1<x<5,

.,.二次函数y=ax2/bx的开口向下，抛物线与x轴的交点坐标为(一7,0,(50),

2/11

:.y=a(x+7)(x-5)且a<0,即y=ax?-4ax-5a,

:.b=-4a,c=-5a,

故答案为：a<。且b=_4a,c=-5a.

6.（2024七年级下•河南郑州•竞赛）已知（x2+mx+n）（x2-5x+3）的乘积中不含x3项与/项，贝悯*

n=.

【答案】27

【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到x3项

与和X2项的所有系数，令其为“求出m和〃的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并

同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为0.

【详解】解：=（x2+mx-An）（x2-5x+3]

=x4-5x3+3x2+mx3-5mx2+3mx-f-nx2-5nx+3n

=x4+-5）x3+（3-5m+n）x2+（3m-5n）x+3n,

又•••结果中不含一项与x2项，

:.rn-5=0,3-5m+n=0,

/.m=5,n=22,

:.m+n=27,

故答案为：27.

7.（2024七年级下•湖南长沙•竞赛）若27。是100又99x98又…x3x2x7的因数，则〃最大可以

取.

【答案】16

【分析】本题主要考查了积的乘方，一元一次不等式组的应用.根据积的乘方可得2初夕\

再根据27^是lOOx99x98x-x5x2x7的因数，分别求出JOOx99x98x-x3x2x7有闪数2,3,

5的个数，可得到关于〃的不等式组，即可求解.

【详解】解：,•・270=2x外x5,

：.27Cf}=（2x?x5）"=2nx3"x5rl

,/1002=50,100+4=25,1008=12-4,700+16=6.…4,70"32=3・4,700+64=

7-••…36,

：.100x99x98x…x3x2x7有因数2的个数为：50+25+12+6+3+1=97,

M0+3=33,••…1,100+9="•••…1,100+27=3-••…19,100+81=7……19,

100x99x98xx3x2x7有因数3的个数为：33+11+3+1=48,

,.700+5=20,700+25=4,

：.100x99x98x-xJx2x7有因数5的个数为：20+4=24,

3/11

n<97

3n<48,

n<24

:.n<16,

・•・〃最大可以取16.

故答案为：16.

8.（2023七年级♦山东•竞赛）二项式（X-7）7的展开式为。7*7/。6*6+。5*5+--+。2*2+。7*+。0,

求奇次项系数之和.

【答案】64

【分析】本题考查了多项式乘法规律的问题，有理数的乘方计算，将X=7,x=-7代入，再将两式相减

即可求出结果

【详解】解：当X=7,可得+…=

当X=-1,可得-----a7=（-l-7）7=（一37=-726@,

则①一②可求得奇次项系数之和为=128、

*,•。］+。3+。5+。7=728+2=64,

9.（2023七年级下•浙江宁波•竞赛）如图，长方形ABCO中，AB=x（6vx<9）,AD=y（6<y<9）,

放人一个边长为6的正方形AEFG和两个边长都为3的正方形CH/J及正方形。KMN,ShS2,S3

分别表示对应阴影部分的面积.

/KGD

N

H

BJC

（1）NH=KG=BJ=；（结果用含x或v的代数式表示）

（2）若Sz=S3,求长方形ABCO的周长.

【答案】（1口―6,9—y,y-3

（2）30

【分析】（7）根据题意和图形列出代数式即可；

（2）由Sz=S3可得（9—x）（9—y）=（x-6）（y—6）,即得x=75,进而即可求解;

本题考查了列代数式，多项式乘以多项式的应用，正确识图是解题的关键.

【详解】（1）解：由题意得，NH=CD-DN-CH=x-3-3=x-6,

4/11

KG=AG+DK.—AD=6+3—y=9—y,

BJ=BC-CJ=y-3,

故答案为：x-6,9-y,y-3；

⑵解：•.•S2=S3，

.•・(9-x)(9-y)=(x-6)(v-6),

整理得，x+y=75,

长方形ABCD的周长=2(x+y)=30.

10.(2024九年级下•湖南长沙•竞赛)一般地，n个相同的因数a相乘Qxaxax...xa记为a。，如3x3x

s

3x3x3=3=243,此时5叫做以3为底243的对数，记为：(Iogs243(即\og3243=5,一般地，若

an=b(a>。目.a*1,b>0),则“叫做以a为底b的对数，记为log.b(即log.b=n).如，=76则4

叫做以2为底76的对数,记为：log276(Bpiog276=4)

⑴计算下歹1J各对数的值：logjP=_；log/7=_；\og3729=_；

⑵观察(1)中三数9、87、729之间满足怎样的关系式？。3。，的387和之间又满足怎样的关系

式？

(3)由(2),你能猜想关于对数计算的一个一般性的结论吗？

⑷根据塞的运算法则：anam以及对数的含义说明上述结论

【答案】⑴2,4,6

(2)Px81=729,log5P+\og38J=\og3729

(3)logrtmlogfln=\ogamn

(4)见解析

【分析】(1)主要掌握哥的运算是关键，利用夕=9、，=8,和灸=729,即可得出结论；

(2)结合题意结合哥的乘法法则，利用题中对数的定义得到log?。=2、Iogj87=4和Iog3729=6,代入2+

4=6等式，即可得出结论；

(3)将⑵中等式替换为字母表示，设3为a,9为m和87为n,即可整理得到一般规律为log°m+log0n=

\og(lmn.

(4)设log0m=x,logfln=y,利用得乘枳的运算“底数不变指数相加”得到mn=。"匕在利

用对数转化，即可得出结论log“m+logj=logamn.

【详解】(D解：•••由题意可知,

3x3=赞=9,3x3x3x3=8=87,

3x3x…x3=赞=729,

•••bg5P=2,\og38J=4,\og3729=6.

5/11

故答案为2,4,6.

(2)••・由(1)可知，

3x3=乎=9,3x3x3x3=8=87,3x3x…x3=S6=729、

一6个

9x81=729,

,-2+4=6,log59=2,Iogj81=4,\og3729=6,

•••bg59+\og387=\og3729.

(3)一般规律：

log,7m+lognn=\ogamn.

(4)•••设log/nx,logfln=y,

二可得：ax=m,ay=n,

♦••由靠乘积运算可知：mn=axa'J=ax+y,

•••x+y=log“mn,即1。9&血-/-\ogan=\ogamn.

今全国联赛真题试题汇编「

1.（2023八年级•全国•竞赛）7俨=27。=3则[a"2々的值为（）

A.71B,7.1C.7.2D.72

【答案】C

【分析】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握同底数希乘除法及基的乘方知识是解决本题的关键.

利用同底数塞乘除法及塞的乘方知识，对原式变形7的寸粉-7=（7万）%（7刃2・70,代入70n=2,7〃=

3即可求解.

【详解】解：「叱=2,18=3,

.【酒+2n-1=103mx7滔+7。=（7叫,X（⑺+70=7X彳+10=7.2,

故选：C.

2.（2023九年级•全国•竞赛）若x=；x2和+]小吟y=jx2歹+小+7,则x与y的大小关系是

0

A.x>yB.x<yC,x=yD,无法确定

【答案】B

6/11

【分析】本题考查塞的乘方，利用求差法与配方法比较代数式的大小.

设歹=£,贝I」25m=(52)m=(^)2=t2,将x,y用含t的式子表示，再通过计算y-X,利用配方法将其

化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较工和y的大小，即可解答.

【详解】解：设r=t,

••・25nl=(52)m=(5mF.2,

.•.X=gx25m+'x驴+'=/+/+彳y=步+t+1.

•••y-x=t2-jt+g=(t-，+,>0、

.,.y-x>0,即x<y.

故选B.

3.(2024七年级•全国•竞赛)若n为不等式〃2。。>63。。的解，则n的最小正整数的值是________.

【答案】15

【分析】本题考查了事的乘方的逆运用，先把=630°==2761°°且茁0°>630°,结合

“取正整数，即可作答.

2002100300100

【详解】解：:n=(n),6=(6-0=2762°且M。。>63oo

:.n2>216,

152=225,142=796,

又：225>216>196,

「.A的最小正整数的值是15.

故答案为；15.

4.(2023七年级•全国•竞赛)若(7炉。及+于)“一(7岳°/9一为2=7。?，则八=.

【答案】2021

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、同底数器相乘等知识点，将等式左边化成以10为底数的需

成为解题的关键.

运用完全平方公式、乘法运算律、同底数得相乘将，将等式左边化成以10为底数的辕，然后再观察即可解

答.

【详解】解：(1O2019+52)2-{1O2019-52)2=10、

(102叫+2xIO2019x52^(5^)2-[(JO2019)2-2x1O2019xS2-t-[52)2]=1(P

(IO2019)2-k2xIO2019x52(5^\2-(IO2019)2+2xTO2019'/.52-(52)2=ICT

4xIO2019xg=70

4xIO2019x25=ICT

4x25xJO2079=ICT

7/11

700xio2019=icr

IO2xIO2019=70

lO^021=1CP

n=2021.

故答案为：2021.

5.（2024八年级•全国•竞赛）方程。+11）（X-12）=（x+10）（X-70的解为.

【答案】X=一32

【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握多项式乘以多项式的运算方法是解题的关键，利用多项式乘

以多项式把原方程化简、移项、合并同类项即可得到方程的解.

【详解】解：原方程可化为x2-x-132=x2-100,

移项，得：x2-x2-x=132-100,

合并同类项，得：-x=32,

：.x=-32,

故答案为：X=-32.

6.（2024七年级•全国•竞赛）式子x3521x*2的值的个位数是

【答案】2

【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到4°x7的个位数.

根据题意，分别找出7和3xN的个位数即可.

【详解】解：原式=（2x3x7）520x3x/nd4OxSx

•.•2,=2/=4/=8/=16,25=32.....

•••外的个位数是每四个数一个循环,即2、4、8、6、2……,

•：520+4=130

・•.252。的末位数是6；

：3x72=3x49=147

•••6x7=42

.*Ox7的个位数为2

故答案为：2.

7.（2023七年级•全国•竞赛）计算：g"%x费募

【答案】亮

【分析】本题主要考查了积的乘方和同底数塞的除法等运算法则，解题的关键是利用15=3x5,35=7x5

对原式进行变形，然后提取公因式并约分.

719g802000,Q2000^建000

【详解】原式=X尸。00+产练产

8/11

7199832000x(7-A52000)

J7丽x72000x(]+52000)

乎000

^

y2000

^

=7

9

=^

8.(2023七年级上・全国•竞赛)计算或解方程

(1)[(-丁+(-*76"]+[(-3-3]

(2)(-7。。产外(_〃725)2。2。X卜丁、(_/⑼x(_3皿

⑶

【答案】⑴Y

(2)8

(3)X=U

【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，塞的乘方的逆用，解一元一次方程，掌握相关运算法则是

解题关键.

(1)先计算乘方和括号内运算，再计算乘除法，最后计算加减法即可；

(2)逆用箱的乘方简便计算即可；

(3)先去中括号，再移项合并化简求解即可.

【详解】⑴解：76+42]+[(一1)-3]

(2)解：I。。y2Q(“72切2。2。X(_芋2'X(-30%(-守助

=(»产，"HPHT+余，

=(-7加7)x卜翡卜翡卜昏x(一£)「,(_，

=(一产x(-H

=(-7)x(一3

=8；

(3)解：/_沿_/卜_割=/k一(

9/11

33(3\3(3\

X~4X，方I，=方卜

；x=0.

解得x=0.

9.(2023八年级•全国•竞赛)若x=[x2叉”y=§x2尹+8+7,请比较x与y的大小.

【答案】xvy

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用求差法与配方法比较代数式的大小是解题关键.

设。=夕[则2歹=空尸将x,»用含。的式子表示，再通过计算v-x,利用配方法将其化为完

全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答.

m

【详解】解：设a=歹，则25=(小尸=a2

x==x2夕”+建S'、+：=；Q2+法+：y=1x25m+S"+1=之/+0+i

224224,22

,y-X=(*2+Q+〃一"彳9

'.a2-ja+：=(a-^)2+左>0,

:.y-x>0,即x<y.

10.(2024八年级•全国•竞赛)已知a、b、c为有理数，旦多项式x3+ax2/bx+c能够被X2/2X—3

整除.

⑴求3a+c的值；

(2)若a、b、c均为整数，且cNd>0,试比较a、b、c的大小

【答案】⑴6

(2)c>a>b

【分析】本题考查了整式的乘法，求一元一次不等式组的整数解；

(1)设x3+ax2+bx+c的另一个因式为x-m,根据整式的乘法进行计算,根据系数相等得出。=2-m,

c=3m,即可求解；

(2)由(1)得c=6-3a,根据c三a>0,得出0va三?根据a为整数，即可得出a=J,c=3,b=-5,

即可求解.

【详解】(1)解：设x3+QX2+bx+c的另一个因式为x-m,

则-/-ax2+bx+c=(x2+2x-3](x-m)

=x3+(2-m)x2-(3+2m)x+3m,

：.a=2-m,c=3m,

：.3a+c=6.

(2)