2026年高考数学一轮复习讲义任意角和弧度制及三角函数的概念（知识+12类考点+1类典型易错）

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高频考点一遍过.......................................................................4

高频考点一：确定己知角所在象限.............................................................4

高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围..............................................5

高频考点三：确定〃倍角(分角)所在象限....................................................5

高频考点四；区域角.........................................................................6

高频考点五：终边相同的角...................................................................8

高频考点六：角度制与弧制度的相互转化......................................................8

高频考点七：弧长公式有关的计算.............................................................9

高频考点八：扇形面积有关计算..............................................................10

高频考点九：单位圆法与三角函数............................................................11

高频考点十：终边上任意点法与三角函数.....................................................12

高频考点十一：三角函数线..................................................................12

高频考点十二：解三角不等式................................................................13

第三部分：典型易错题型........................................................................14

第一部分：基础知识

1、角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

③终边相同的角：

终边与角a相同的角可写成尸=a+h360(AEZ).

2、弧度制的定义和公式

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|。|=,，/是以角。作为圆心

r

角时所对圆弧的长，，•为半径.

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值,与所取的厂的大小无关，仅与角的大小有关.

r

④弧度与角度的换算：360=2^rad；180=兀rad.

若一个角的弧度数为。，角度数为〃，则a，zd=(——),n=n-^-rad.

乃180

3、任意角的三角函数

3.1.单位圆定义法：

任意角的三角函数定义：设。是一个任意角，角a的终边与单位圆交于点P(x,y),那么

(1)点尸的纵坐标叫角。的正弦函数，记作sina=y；

(2)点P的横坐标叫角a的余弦函数，记作cosa=x：

(3)点P的纵坐标与横坐标之比叫角a的正切函数，记作tana=2(xwO).它们都是以角为自变量,

x

以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.

3.2.终边上任意点法：

设是角a终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为广(厂＞0)那么:

sin«=—；costz=—；tancr=—(XNO)

rrx

角a0兀7171715万7t

~6~3~n~2

127

sina0R-母V2在1

42224

cosa1限夜3显_1_0

42224

tana061百不存在

5"

4、扇形的弧长及面积公式

(1)弧长公式

在半径为，•的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角大小为贝i」|a|二，变形可得此公式称为弧长

公式，其中。的单位是弧度.

（2）扇形面积公式S=g〃=5lal，

（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

升yk川

++一+一十

----O-------x►----O-------x►----O-------xA

———++—

sinacosatana

（2）角度制与弧度制可利用180=乃加”进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不

可混淆.

角度制030456090120150180

弧度制071冗245471

7~2V

（3）象限角:

象限角果拿口A区间

第一象限角

{a12k兀<a<2攵)+工，k£Z}Qk九,2k兀+—),keZ

22

第二象限角

{a12k兀+y<«<2k兀+7t,kGZ}Qk兀+巴，2k冗+兀）、kwZ

2

第三象限角3T

{a12k兀+兀<a<2%万+多次eZ}(2k兀+7i,2k兀+—),keZ

2

第四象限角

{a12k/r+-^<a<2左乃+2万次£Z]Qk兀+半，2k兀+2兀),keZ

（4）轴线角

角a终边所在位置角度制弧度制

角。终边在x轴非负半轴{a|a=360k,keZ}{a\a=2k7r,kGZ)

角。终边在x轴非正半轴{a\a=360k+180,ZwZ}{a|a=2&4+eZ]

角a终边在y轴非负半轴{a|a=360Z+90/eZ}71

{a\a=2k7r+—,kGZ}

角a终边在＞轴非正半轴{a|a=360A:+270,keZ}{a\a=2ATT+多，&GZ]

角a终边在x轴上{a|a=180k,kGZ}{a\a=k/r，kwZ]

角a终边在y轴上{a\a=\S0A+90次eZ}加

{a\a=々4+万,攵eZ|

角。终边在坐标轴上{a|a=90k,kwZ){a\a=^-,keZ}

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：确定已知角所在象限

典型例题

例题1.若角a顶点在原点，始边在x的正半轴上，终边上一点『的坐标为卜吊亨.cos,）,则角。为（）

角

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象眼

例题2.-1250的终边在第象限.

精练高频考点

1.2025角的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.-80的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（多选）若a=105'+"80yeZ）,则角a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围

典型例题

例题1.已知a为第二象限角，则。-?为（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

例题2.已知角。为第一象限角，则角乃所在的象限为（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

精练高频考点

1.若〃是第二象限角，贝490。-a是（)

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.若夕是第四象限角，则知是第（)象限角

A.B.C.D.四

3.已知。为第四象限角，则g+“为（)

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

高频考点三：确定〃倍角（分角）所在象限

典型例题

例题1.（24-25高一上•宁夏固原•期末）若々是第三象限角，则多是（）

A.第一或第二象限角B.第一或第三象限角

C.第二或第四象限角D.第三或第四象限角

例题2.（多选）（24-25高一下,陕西渭南•期中）已知角a的终边在第四象限，则言的终边可能在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

精练高频考点

1.（2025高二下•湖南郴州•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.第一象限角一定是锐角B.若。是钝角，则券是第一象限角

C.大于90。的角一定是钝角D.若a是锐角，则2a是第二象限角

2.（多选）（24-25高三下•全国・单元测试）已知二是第三象限角，贝IJ2。不可能是第几象限角（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.（2025高三下•全国•专题练习）如果。是第三象限的角，角楙终边所在的位置是

高频考点四：区域角

典型例题

例题1.（25-26高一上•全国•课后作业）已知角。的终边在图中阴影部分内，则角。的取值范围是（）

A.{(z|300<a<75°210°<<285°)

B.{al-750vaM30°或105°va0210。}

C.{a\k-36()°+30°<a<A:-36()°+1()5°,keZ}

D.{a\k-180o+30°<<k•180°+105°,；;eZ)

例题2.(24-25高三下•全国•阶段练习)如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合.

⑴终边落在射线08上；

（2）终边落在直线OA上；

⑶终边落在阴影区域内（含边界）.

精练高频考点

1.（25-26高一上•全国•课后作业）如图所示，终边在阴影部分（含边界）的角的集合为（）

、

A.a\k7r+—^a<k7r+—,keZ-B.12k7r+—<a<2k7r+—fkwZ

._,7〃■__—i冗,-f.7T_7T.3不.一兀

a|2k^--<a<2k/r--,keZ-D.s«|—<y--,

2.（2<5-26高三上•全国•阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（）

A.问-45。4a4120。}

B.{«|120°<«<315°}

C.{a\k-3600-45°<«<A:-3600+120°,AwZ}

D.{a\A:-360°+120°<a-360°+315°,keZ}

3.（24-25高三上•海南海口•阶段练习）若角。的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角。的取

值范围是（）

（2n7兀、

D.2lai+—.2/ai+—（Z:eZ）

高频考点五：终边相同的角

典型例题

例题1.（24-25高一下•广西钦州•期末）下列与20角终边相同的角为（）

A.320B.380C.400D.-310

例题2.（多选）（24-25高三下,全国•周测）下列各式正确的是（）

771,一971

A.-2100=------B.405°=—

64

23兀477T

C.335。=D.705°=——

~V212

精练高频考点

1.（25-26高一上•全国•课后作业）下列与30。角终边相同的角是（）

A.600°B.60°C.330。D.750°

2.（24-25高一下•海南海口•期中）下列各角中，与2025。角终边相同的是（）

A.225°B.-225°C.45°D.-45°

3.（多选）（24・25高一下•湖南长沙•期末）与405。角终边相同的角是（）.

A.-45°+h36（）°,AcZB.405°+h36（）°,2€Z

C.45°+h360',A€ZD.45"+hl80°,&cZ

高频考点六：角度制与弧制度的相互转化

典型例题

例题1.（多选）（25-26高一上•全国•课后作业）下列转化结果正确的是（）

A.67。30'化成弧度是二B.-等化成角度是5）0。

83

C.-150。化成弧度是-亨D.3化成角度是25。

612

例题2.（2025高三•全国•专题练习）将下列各弧度化成角度.

精练高频考点

1.（25・26高一上•全国•课后作业）把-漕化成角度是（）

A.-480°B.-420°C.-440°D.-5000

2.（多选）（24-25高三上•云南昭通•阶段练习）下列转化结果正确的是（）

A.150化成弧度是目B.720化成弧度是-勺

63

C.化成角度是45D.J化成角度是30"

46

3.（24-25高三下•全国•周测）若角。的终边在直线），=不上，则角2用弧度制可表示为

高频考点七：弧长公式有关的计算

典型例题

例题1.（24-25高一下•辽宁抚顺•期中）已知扇形的半径为6,圆心角为20。，则该扇形的弧长为（）

n2兀

A.-B.-C.60D.120

33

例题2.（24-25高一下•上海宝山•期中）已知圆心角为三的扇形面积等于3%，则该扇形的弧长为—.

精练高频考点

1.（24-25高三下•四川雅安•阶段练习）已知甲同学手表的分针长2cm,把快了12分钟的该手表校准后，

该手表的分针尖端所走过的弧长为（）

87r4兀2兀兀

A.——cmB.—cmC.—cmD.—cm

5555

2.（24-25高一下•上海嘉定•期末）已知扇形的弧所对的圆心角为且半径为6cm,则该扇形的弧长为.

3.（25-26高一上,全国•课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.当大轮转动一

周时，小轮转动的角度是弧度；若大轮的转速为l80「/min（转/分），小轮的半径为10cm,则

小轮圆周上一点第1s转过的弧长是cm.

高频考点八：扇形面积有关计算

典型例题

例题1.（2026高三•全国•专题练习）一扇形周长为20cm,则当扇形的圆心角。为多少弧度时，这个扇形

的面积最大？

例题2.（24-25高三上•河北保定•阶段练习）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为方.求这个

圆心角所对的弧长及扇形的面积.

（2）已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多

少？

精练高频考点

1.（24-25高三上•安徽合肥•阶段练习）已知扇形的圆心角为夕，所在圆的半径为匚

（1）若a=60。，r=3,求扇形的弧长；

（2）若扇形的周长为16,当“为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.

2.（2024高三•全国•专题练习）己知扇形的圆心角是半径是「，弧长为/.

（1）若。=100。,r=2,求扇形的面积；

⑵若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.

3.（24-25高一下•河南南阳•期中）已知某扇形的周长是8.

⑴当该扇形的面积最大时，求其圆心角。的大小；

（2）在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积,（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形.）

高频考点九：单位圆法与三角函数

典型例题

例题1.（23-24高三•全国•阶段练习）设。＜0,角。的终边与圆f+丁=।的交点为。（_3小4々），那么

sina+2cosa=()

212

A.——B.——C.D.

5555

例题2.（24-25高一上•广东广州•期末）已知角〃的终边与单位圆的交点为［，-f）

,则sin(7c+a)=

精练高频考点

1.（24-25高三上•福建龙岩•阶段练习）已知角。顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位

圆交于点尸［■!，［）,则sina-iana=（）

3211829

A.77B.—C.——D.——

15151515

2.（23-24高三上•安徽•期中）已知夕（sindcos。）是角-1的终边上一点，则tan6=（）

A.-75B.一立C.BD.

33

高频考点十：终边上任意点法与三角函数

典型例题

例题1.（多选）（24・25高二下•江苏常州•期末）已知点（2,），）在角。的终边上，且sina=-则（）

A.y=lB.cosa=.

C.8s+a卜*D.ian（,+a）=2

例题2.（2025•甘肃白银•二模）已知角。的顶点与坐标原点重合，始边与八轴非负半轴重合，终边经过点

（4,-3）,则tan（g+a=.

精练高频考点

1.（24-25高二上•云南保山•期末）已知角。的终边落在射线），=2x（xN0）上，则2sin%-cos%二（）

3-7门7n3

A.•—B.—C.—D.—

5555

2.（2025高二•全国•专题练习）已知角。的终边经过点「（-12«5可（。/0）,则2sina+cosa的值为.

3.（2025・河北保定•一模）设。是第二象限角，P（x,l）为其终边上一点，且cosa=；x,贝ljtana=

高频考点十一：三角函数线

典型例题

例题1.（2025高三•全国•专题练习）设。=$由］,b=1，c=tang,比较“，〃一的大小.

例题2.（24-25高三下•全国•课堂例题）利用三角函数线比较：。=sin?.2兀271>,।一।

,Z?=cos—,c=tan万的大

精练高频考点

1.(24-25高一上•江苏•期末)已知4=/?=cosi,c=5sin1,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

2.（2025高三•全国•专题练习）利用单位圆中的三角函数线写出符合下列条件的角a的取值集合.

(l)cosa=_g

(2)cosa="-.

2

97r

3.⑵-25高三下,全国•课堂例题）作出一丁的正弦线、余弦线和正切线.

高频考点十二：解三角不等式

典型例题

例题1.（24-25高三下•陕西榆林•阶段练习）在（0,24）内，则满足不等式sinx-cosx<0的x取值集合

是.

例题2.（23-24高三•全国•随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角a的集合.

(l)costz=-—:

2

(2)sina<i.

精练高频考点

1.（2025高三•全国•专题练习）求函数〃力川峭自叫伍加川的定义域.

2.（24-25高三•全国•阶段练习）解不等式cos2x«正.

2

3.（23-24高三上•全国•阶段练习）求tana?G的角夕的取值范围.

第三部分：典型易错题型

易错点一：忽略了角的旋转方向导致角的正负出错

1.（24-25高一下•天津•期中）将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是.

2.（24-25高一下•上海•期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是.

3.（24-25高三下•上海•阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要1.5小时，则在本场考试中，钟表的时针转

过的弧度数为.

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高频考点一遍过.......................................................................4

高频考点一：确定已知角所在象限.............................................................4

高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围..............................................5

高频考点三：确定〃倍角(分角)所在象限....................................................5

高频考点四：区域角.........................................................................6

高频考点五：终边相同的角...................................................................8

高频考点六：角度制与弧制度的相互转化......................................................8

高频考点七：弧长公式有关的计算.............................................................9

高频考点八：扇形面积有关计算..............................................................10

高频考点九：单位圆法与三角函数............................................................11

高频考点十：终边上任意点法与三角函数.....................................................12

高频考点十一：三角函数线..................................................................12

高频考点十二：解三角不等式................................................................13

第三部分：典型易错题型........................................................................14

第一部分：基础知识

1、角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

③终边相同的角：

终边与角&相同的角可写成分=a+h360(AwZ).

2、弧度制的定义和公式

①1弧度的角：把K度等于半径K的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，/是以角。作为圆心

r

角时所对圆弧的长，，.为半径.

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值,与所取的「的大小无关，仅与角的大小有关.

r

④弧度与角度的换算：360=271rad；18()=朽rad.

若一个角的弧度数为。，角度数为〃，则a，zd=(——),n=n-^-rad.

乃180

3、任意角的三角函数

3.1.单位圆定义法：

任意角的三角函数定义：设。是一个任意角，角a的终边与单位圆交于点P(x,y),那么

(1)点尸的纵坐标叫角。的正弦函数，记作sina=y；

(2)点P的横坐标叫角a的余弦函数，记作cosa=x：

(3)点P的纵坐标与横坐标之比叫角a的正切函数，记作tana=2(xwO).它们都是以角为自变量,

x

以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.

3.2.终边上任意点法：

设是角a终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为广(厂＞0)那么:

sin«=—；costz=—；tancr=—(XNO)

rrx

角a0兀7171715万7t

~6~3~n~2

127

sina0R-母V2在1

42224

cosa1限夜3显_1_0

42224

tana061百不存在

5"

4、扇形的弧长及面积公式

(1)弧长公式

在半径为，•的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角大小为贝i」|a|二，变形可得此公式称为弧长

公式，其中。的单位是弧度.

（2）扇形面积公式S=g〃=5lal，

（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

升yk川

++一+一十

----O-------x►----O-------x►----O-------xA

———++—

sinacosatana

（2）角度制与弧度制可利用180=乃加”进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不

可混淆.

角度制030456090120150180

弧度制071冗245471

7~2V

（3）象限角:

象限角果拿口A区间

第一象限角

{a12k兀<a<2攵)+工，k£Z}Qk九,2k兀+—),keZ

22

第二象限角

{a12k兀+y<«<2k兀+7t,kGZ}Qk兀+巴，2k冗+兀）、kwZ

2

第三象限角3T

{a12k兀+兀<a<2%万+多次eZ}(2k兀+7i,2k兀+—),keZ

2

第四象限角

{a12k/r+-^<a<2左乃+2万次£Z]Qk兀+半，2k兀+2兀),keZ

（4）轴线角

角a终边所在位置角度制弧度制

角。终边在x轴非负半轴{a|a=360k,keZ}{a\a=2k7r,kGZ)

角。终边在x轴非正半轴{a\a=360k+180,ZwZ}{a|a=2&4+eZ]

角a终边在y轴非负半轴{a|a=360Z+90/eZ}71

{a\a=2k7r+—,kGZ}

角终边在＞轴非正半轴

a{a|a=360A:+270,keZ}{a\a=2ATT+多，&GZ]

角a终边在x轴上{a|a=180k,kGZ}{a\a=k/r，kwZ]

角a终边在y轴上次加

{a\a=\S0A+90eZ}{a\a=々4+万,攵eZ|

角。终边在坐标轴上{a|a=90k,kwZ){a\a=^-,keZ}

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：确定已知角所在象限

典型例题

例题1.若角a顶点在原点，始边在x的正半轴上，终边上一点『的坐标为卜吊亨.cos,）,则角。为（）

角

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象眼

【答案】C

【分析】通过诱导公式化简即可

【详解】由诱导公式得：

sin"=sing+¥）=-sin（3=—3,8sN=cos[—二]=cosW=-l

33323\3J\3J2

所以尸（一直,__L）在第三象限，所以角a为第三象限角.

22

故选：C.

例题2・-1250的终边在第象限.

【答案】三

【分析】由终边相同的角的概念求出-1250.的终边相同的角为190,判断其所在的象限即可.

【详解】因为-1250,=-36()°x4+190°,所以-1250与190°终边相同，

故-1250的终边在第三象限.

故答案为：三

精练高频考点

1.2025角的终边在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】把2025变成。到360度内的角即可判断.

【详解】因为180<2025-360x5=225<270°,所以2025。角的终边在第三象限.

故选：C.

2.-80的终边在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】确定-80的范围，进而求出终边所在象限.

【详解】—90<-80<0,所以-80的终边在第四象限.

故选：D

3.(多选)若。=10S+hl8(r(kwZ),则角。的终边在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】BD

【分析】对A分奇数、偶数两种情况讨论，结合象限角的定义可得结果.

【详解】当々为偶数时，设k=2〃(〃wZ),则a=105'+公18(T=10S+〃-360'(〃wZ),

此时。与105角终边相同，为第二象限角；

当2为奇数时，设左=2〃+l(〃eZ),贝iJa=105'+Z18(T=285、+”・36(T(〃eZ),

时，。与285角终边相同，为第四象限角.

故选：BD.

高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围

典型例题

例题1.已知a为第二象限角，则弓为()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【解析】根据a的范围，求得a-辛的范围，即可得答案.

【详解】因为々为第二象限角，所以2br+]<a<2女乃+

所以2k冗-7T<a--<2k冗--,keZ,

22

所以a-号为第三象限角.

故选：C

例题2.已知角a为第一象限角，则角乃+。所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据角a的范围，求得斤的范围，即可求得答案.

【详解