2026年高考数学一轮复习讲义正弦定理和余弦定理的应用（知识+试题+5类考点）

第05讲正弦定理和余弦定理的应用

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................2

第三部分：高频考点一遍过........................................................................2

高频考点一：测量距离问题...................................................................2

高频考点二：测量高度问题...................................................................4

高频考点三：测量角度问题...................................................................6

高频考点四：求平面几何问题.................................................................8

高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题.................................................10

第一部分：基础知识

1、基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应

根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.

2、仰角与俯角

在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，

目标视线在水平视线下方的叫做佛角

3、方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角。的范围是

04"360.

4、方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）。，

例：（1）北偏东a：（2）南偏西a：

5、坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（夕为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即

/=—=tan6^.

h

I

第二部分：高考真题回顾

1.（2024•上海•高考真题）已知点3在点C正北方向，点。在点C的正东方向，6C=8,存在点A满足

/BAC=16.5。,/。4c=37°,则NBCA=（精确到0.1度）

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：测量距离问题

典型例题

例题1.（24-25高一下•四川成都・期末）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在两

点进行测量，4，用M.N在同一个铅垂平面内，在A点测得M在A的南偏东15。的方向上，N在A的南偏

东60。的方向上，在8点测得M在8的南偏西45。的方向上，N在8的南偏东30。的方向上，且AB=2km,

则MN=（）

C.史瓦mD.巫km

33

例题2.（24-25高一下•辽宁丹东•阶段练习）甲、乙骑自行车同时从A地出发，甲沿北偏东54.5。方向做匀

速直线运动，去往B地，乙沿南偏东50。方向做匀速直线运动，去往C地，甲、乙同时达到目的地，甲的速

度是乙的速度的两倍，且3地与C地相距10km,则A地与3地相距km.（参考数据:取cos75.5°=0.25）

例题3.（2025高三•全国•专题练习）在一个很大的湖边（可视湖岸为直线）停着一只小船，由于缆绳突然

断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15。角，速度为2.5km/h,同时岸上一人从同一地点开始追小船，已

知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h,问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小

船能被追上的最大速度是多少？

精练高频考点

1.（2025•湖北荆州•模拟预测）如图，A8,C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶夕的仰角

分别为a/,九计划沿直线AC开通隧道设ADEAIC的长度分别为为了测出隧道DE的长度，

2.（24-25高一下•四川内江・期中）在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达。岛完成任务.已知军

舰位于6市的南偏西25。方向上的A处，且在C岛的北偏西58。方向上，〃市在C岛的北偏西28。方向上，

且距离C岛248km,此时，我方军舰沿着4c方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大

约为h.（参考数据：6*1.73,sin53。。：，cos530«1）

JJ

3.（24-25高一下•甘肃白银・期中）如图，某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在

小艇出发时，轮船位于港口。北偏西30。方向且与该港口相距20nmiIe的A处，并以15nmiIe/'h的航行速

度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以5>/7nmile/h的航行速度匀速行驶，经过小与轮船相遇,

则/的最小值为

高频考点二：测量高度问题

典型例题

例题1.（24-25高一下•广东东莞•期末）如图，欲测量河对岸的塔高AA时，选与塔底8在同一水平面内的

两个观测点。与。，在C及两观测点处测得塔顶A的仰角分别为30。,45。，并测得/皿=120。,CD=30m,

则塔高AB为（）

C.30>/2mD.30m

例题2.（24-25高一下•湖北武汉•期中）享有“天下江山第一楼〃美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之

巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度M/V,在黄鹤楼

的正东方向找到一座建筑物AB,高约为26m,在地面上点C处（8,C,N三点共线）测得建筑物顶部A,

黄鹤楼顶部加的仰角分别为30。和45。，在A处测得楼顶部M的仰角为15。，则黄鹤楼的高度约为（）

D.54m

例题3.（2025•上海奉贤•二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影.某数学

建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：

点8、点C、点。作为测量基点.设大厦的最高点为A,在点8处测得点A的仰角为4440=8=71.5,在

点C处测得点A的仰角为乙4co=44,又测得8C=221米，NBOC=119,（见图）.现作出以下几个假

设：

①直线A。垂直于平面0BC；

②平面08C到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计；

③其它次要因素等忽略不计.根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约米.（结果保留整数）

A

精练高频考点

1.（24-25高一下•安徽蚌埠•期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度在

地面上选择一个观测点C,在C处测得A处的无人机和该建筑的最高点M的仰角分别为30二4人无人机距

地面的高度A4为20米，且在A处无人机测得点例的仰角为15',点C,N在同一条直线上，则该建筑

的高度MN（单位：米）为（）

A.206B.25N/3C.与GD.40

2.（24-25高三下•贵州贵阳•阶段练习）贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔.如图，某人准备测

量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为mn的大楼CD,在大楼

顶部。处测得双子塔顶部的仰角为〃，底部A的俯角为夕，则双子塔的高度为（）

/zsin(a+/?)2/?sin(a+/?)

A，cosasin,，BB,sin2/?

+

C/zsin(amD2/?sin(a+Q)m

•sinacos"sin2a

3.（多选）（24-25高一下•重庆沙坪坝•期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜

利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现某兴趣小组准备对解放碑的高度

进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，5为解放碑的基座（8在A的正下方，即

AB1BC,AB1BD）,在纪念碑所在广场内（与B在同一水平面内）选取C。两点，测得CO的长为用.兴

趣小组成员利用测角仪可测得的角有44C8、ZACD、/BCD、ZADC.ZADB、NBDC,若已知

〃hNACB、/BCD,则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度A8的是（）

A.NADBB.NBDCC.ZADCD.ZACD

高频考点三：测量角度问题

典型例题

例题1.（24-25高三上•天津北辰•期中）在某测量中，设点A在点8的南偏东3427,则点8在点人的（）

A.北偏西3427'B.北偏东5533，

C.北偏西5532，D.南偏西5533

例题2.（23-24高一下•河南信阳・期中）如图所示，某旅游景区的6,。景点相距2km,测得观光塔A。的

塔底。在景点8的北偏东45。，在景点。的北偏西60。方向上，在景点8处测得塔顶A的仰角为45。，现有游

客甲从景点3沿直线去往景点C,则沿途中观察塔顶A的最大仰角的正切值为.（塔顶大小和游客身

高忽略不计）

A

例题3.（23-24高二上•四川成都•阶段练习）如图，某人在垂直于水平地面A3C的墙面前的点A处进行射

击训练，已知点A到墙面的距离为,某目标点尸沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点产，

jr

需计算由点A观察点P的仰角e的大小AB=6cm,AC=1Ocm,NBCM=§,则tan。的最大值是.（仰角。

k为直线AP与平J面ABC所成的角）

精练高频考点

1.（23-24高三上・山东泰安•阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.

某人在点A处测得楼顶的仰角为45。，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45。，

沿该方向再行走60米到点。处，测得仰角为。.则sin〃=（）

A"B.3C.-2D.

2.（23-24高三上•广东广州•阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45。方

向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东75。方向前进，若侦察艇以

每小时14公里的速度，沿北偏东45。+。方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察

3.（23-24高三上•四川广安•阶段练习）如图所示，在地面上有一旗杆OP,测得它的高度10m,在地面上

取一基线ABA4=20m,在A处测得尸点的仰角NOAP=30。，在8处测得尸点的仰角NOA尸=45。，贝!J

B

高频考点四：求平面几何问题

典型例题

例题1.（2025•辽宁抚顺•模拟预测）如图，在四边形A3CO中，ZAD^=ZDC4=45°,ZBZX7=30°,

ZBG4=15,AB=5下,则C。的长为（）

C.10>/3D.10百

12

例题2.（2025•山东•模拟预测）在四边形ABCD中，4夕=BC+AC-ACBCf丘AB=&BC，八。=3+后,

（1）求VA8C的周长

⑵求四边形/WC"的面积.

精练高频考点

、-9yrJr

（2415高一下•广东清远•期中）如图,在平面四边形"8中，WC*,皿如

CD=4ABt贝!|lanNCAO=.

2.（2025•黑龙江齐齐哈尔•二模）如图：四边形中，对角线AC与8。交于点O,已知乙400=60,

AC=3,BD=6,且AO=AC

⑴求80的长；

(2)若7sin|2ZOCB-力=877cos/ODA-15,求cosNODA的值.

3.（24・25高三下•宁夏石嘴山•阶段练习）如图，P是边长为2的正三角形VA3C所在平面上一点（点A、

R、C、尸逆时针排列），且满足CP=CA,记NC4P=6.

（2）用夕表示曰的长度；

⑶求尸A8的面积S的取值范围.

高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题

典型例题

例题1.(2025高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=sin(x-£|,若先将其图象向右平移2个单位长度,

再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的果纵坐标不变，得到函数晨月的图象.

⑴求函数g(x)在Ogj上的值域；

22

(2)在VA4C中，角A及。的对边分别为〃也c,若从-2cgW+B+c=af且4=5，求

例题2.(2025•四川达州•模拟预测)已知函数/%)=sin拶(cos竽-sin号］+；,其中3«0,1),若将〃工)

的图象向左平移1个单位，得到函数的图象，且g(x)是偶函数.

⑴求“X)的解析式及单调递减区间；

(2)在VA8C中，角A用C所对的边分别为已知f(A)=堂且asiM=V5,若。是8C的中点，求AO

2

的最大值.

精练高频考点

1.(24-25高三上•河北廊坊•期末)已知/(X)=2x/5sinxco£i+(sin.t+cosx)(sinx-cosx),将函数/(x)的图象

向右平移7个单位长度可得到gG)的图象.

0

⑴求函数g(X)的解析式；

(2)设锐角VA3。的内角A5C所对的边分别为。也。，若双与=1,且8=4,求VA3c面积的最大值.

2.(2025•全国•二模)设xeR,函数A%)=cos(s+Q)gv0)的最小正周期为兀，且/(力图

象向左平移?后得到的函数为偶函数.

0

⑴求/(行解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数/(X)在［0,对上的图象;

(2)在锐角VA4c中，〃也(•分别是角A/*C的对边，若"W求"8)的值域.

cosBcosC

3.(2024•山西吕梁•二模)已知/(x)=singly>0),其图象相邻对称轴间的距离为］若将其图象向左

平移技个单位得到函数y=g(x)的图象.

(1)求函数y=g(M的解析式；

⑵在钝角VABC中，内角A8,C的对边分别是a也c,若/佟匀，求当+J的取值范围.

126JbcosA

第05讲正弦定理和余弦定理的应用

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................2

第三部分：高频考点一遍过........................................................................2

高频考点一：测量距离问题...................................................................2

高频考点二：测量高度问题...................................................................4

高频考点三：测量角度问题...................................................................6

高频考点四：求平面几何问题.................................................................8

高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题.................................................10

第一部分；基础知识

1、基线

在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应

根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.

2、仰角与俯角

在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，

目标视线在水平视线下方的叫做佛角

3、方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角。的范围是

0（"360.

4、方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）。，

例：（1）北偏东a：（2）南偏西a：

北［北f

5、坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（8为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即

.h

i=—=tan6.

/

第二部分：高考真题回顾

1.（2024•上海•高考真题）已知点3在点C正北方向，点。在点C的正东方向，6C=8,存在点A满足

/BAC=16.5。,/。4c=37°,则NBCA=（精确到0.1度）

【答案】7.8°

【分析】设N3C4=。，在△DC4和V8CA中分别利用正弦定理得到我=.。晨

sinDsinZ.CAD

CACB

S6.5）二嬴k两式相除即可得到答案.

【详解】设NAC人=6,N4CD=90,

在△OC4中，由正弦定理得1=.二24心，

sinDsinZ.CAD

__________CA__________CD

即sin180-（90-6+37.0）］sin37.0'

CACD

即sin（90-<9+37.0）-sin37.0①

CACB

在VBC4中，由正弦定理得

sinBsinZ.CAB

________CA________=CBCA_CB

即sin[180-仅+16.5)]sin16.5，即sin(1+16.5厂sin16.5'②

②ZBsin(90-0+37.0)sin37.0

因为CO=C8,---------------------------------=------------

①sin(6^+16.5)sin16.5

利用计算器即可得6。7.8,

故答案为：7.8.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：测量距离问题

典型例题

例题1.（24-25高一下•四川成都.期末）如图，为了测量两山顶”，N间的距离，飞机沿水平方向在4月两

点进行测量，ARM.N在同一个铅垂平面内，在A点测得M在A的南偏东15。的方向上，N在A的南偏

东60。的方向上，在3点测得M在8的南偏西45。的方向上，N在B的南偏东30。的方向上，且AB=2km,

则WN=（）

C.组mD.巫km

33

【答案】C

【分析】依据图形求得角度乙4加8=6（）,44%4=120,然后利用正弦定理得到4M,4V,最后使用余弦定理

计算即可.

【详解】由题可知：NB4N=30,NM48=75人=45,N/18V=120,NM/VV=45,

所以ZAMB=6（『,NANB=90°,

所以在-4V8中，BN=AB=2,AN=dBN?+AB?-28V%8cosAABN=2M,

夫AA/nr+iAM2\/6

在_AMB中，---------=---------=AM=-------

sinZAMBsinNMBA3

在..AMN中，MN2=AM2+AN2-2AM-ANcos/MAN=—=>MN=.

33

例题2.（24-25高一下•辽宁丹东•阶段练习）甲、乙骑自行车同时从A地出发，甲沿北偏东54.5。方向做匀

速直线运动，去往B地，乙沿南偏东50。方向做匀速直线运动，去往C地，甲、乙同时达到目的地，甲的速

度是乙的速度的两倍，且3地与C地相距10km,则A地与3地相距km.（参考数据:取cos75.5°=0.25）

【答案】10

【分析】画出示意图，由余弦定理即可求解.

【详解】

由题意可设AB=2/H,AC=in,ZBAC=75.5",BC=\0,

由余弦定理可得：BC2=100=4/+加2_2X2mxmx0.25=4〃/,

解得〃?=5,所以AB=10.

故答案为：10.

例题3.（2025高三•全国•专题练习）在一个很大的湖边（可视湖岸为直线）停着一只小船，由于缆绳突然

断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15。角，速度为2.5km/h,同时岸上一人从同一地点开始追小船，已

知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h,问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小

船能被追上的最大速度是多少？

【答案】此人能追上小船，小船能被追上的最大速度为2在km/h.

【分析】设岸边停放小船处为4,此人在岸边跑到3点后下水，在C处追上小船，人追上船所用时间为/,

人在岸上跑的时间为七（OvKvl）,则人在水中游的时间为（1-〃"，则人、船运动的路线构成一个三角形,

由余弦定理可得12犬-[2（#+0）u-8次+--4=0,要使此关于々的方程在（0,1）内有实数解，解得

2<v<242»从而即可得答案.

【详解】如图，设小船的速度为vkm/h,追上小船所用的时间为人在岸上跑的时间为依（0<女<1）.

在VA8C中，AC=W,A8=4灯，BC=2(\-k)tt

由余弦定理得13C2=AB2+AC?一24A.AC.cosl5°,

V2+V6

cosl50=cos(60°-45°)=cos600cos450+sin600sin45°=

4

4（">"=16k2t2+舟2・2x4灯•灯"；忘

即12犬-[2（#+&卜-8]&+/-4=0.

设f（女）=12二一[2（而+夜,一8女+/+4.

易知"1）=12-12（后+0卜一8卜/-4=1一（6+夜）]2+8-45/5>0

⑴若/（0）&0,则必存在为4（）/），使得/（%）=（）.

此时，/（0）=V2-4<0,解得三2.

（2）若/（0）>0,要使/任）在弧1）内有解，

A=^2（V6+V2）V-8^-4X12（V2-4）>0,

则J

2（V6+V2）v-8

-e（OJ）.

2x12

北2（6+夜）或小2VL

解得

x/6-^<v<4（V6-V2）.

Afc2<v<2>/2•

综上，当i，V2夜时，人可以追上船.

因此，船速为2.5km/h时，能追上小船，小船能被人追上的最大速度是2&km/h.

精练高频考点

1.（2025•湖北荆州•模拟预测）如图，A及。为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶夕的仰角

分别为以四九计划沿直线AC开通隧道OE,设AQ悌IC的长度分别为〃也c.为了测出隧道DE的长度，

还需直接测出（）的值.

C.〃和cD.”也c三者

【答案】D

【分析】在△P8C中用已知条件和正弦定理表示PB的长，再在V4BC中用正弦定理表示44的长最后即可

表示OE的长，即可知道为了测出隧道OE的长度，还需直接测出哪些值.

【详解】在APBC中/BPC=0—y,

PBBCc”c.

由正弦定理有：丽=而去=画汨斤所以叫画沟V”.

在NABC中sinZAPB=sin(?r-«-/?)=sin(«+/?),

PB_A3_A8

由正弦定理有:

sinasin/APBsin(«+P)

sin(a+Z7)c.sin(a+〃)sinysin(a+Z?)

所以•—=--sin/----------------=c-----7----------------

sinasin(y9-7)sinasin(^-/)sina

因为QE=A8-AQ_BE=c-“in7su】（a+/，）_/_1,

sin（£-y）sina

所以为了测出隧道OE的长度，还需直接测出a/，c三者的值.

故选：D

2.（24-25高一下•四川内江•期中）在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军

舰位于3市的南偏西25。方向上的A处，且在。岛的北偏西58。方向上，3市在。岛的北偏西28。方向上，

且距离C岛248km,此时，我方军舰沿着4c方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大

约为h.(参考数据：6*1.73,sin53°«1,cos53°«1)

JJ

【答案】4

【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解.

【详解】设我方军舰大约需要工小时到达。岛，则AC=50x,

依题意，ZABC=28+25=53,ZACB=58-28=30,BC=248km,

在VA3c中，sinZ.BAC=sin(53+30)=sin53cos30+cos53sin30

4x1.73+3

业=0.992,

52521010

BCAC21=迎

由正弦定理得解得x=4,

sinZBACsinZABC0.9920.8

所以我方军舰大约需要4小时到达。岛.

故答案为：4

3.（24-25高一下•甘肃白银•期中）如图，某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在

小艇出发时，轮船位于港口0北偏西30。方向且与该港口相距20nmiIe的A处，并以15nmiIe/h的航行速

度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以5bnmile/h的航行速度匀速行驶，经过后与轮船相遇,

则/的最小值为.

【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可.

【详解】如图，假设小艇与轮船在点4相遇,

AB=15/nmile,OB=55/7/nmile.

由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OA-ABco^OAB,得/一6/+8=0,

解得，=2或4.故，的最小值为2.

故答案为：2

高频考点二：测量高度问题

典型例题

例题1.（24-25高一下•广东东莞•期末）如图，欲测量河对岸的塔高48时，选与塔底8在同一水平面内的

两个观测点C与。，在C。两观测点处测得塔顶A的仰角分别为30。,45°,并测得NBDC=120°,CD=30m,

则塔高A8为（）

A

C.3()72mD.30m

【答案】D

【分析】由余弦定理求解.

【详解】设48=力，由4。8=30。,4。3=45。得8。=6力,8/）="，

又N8DC=120。，CD=30,由余弦定理得8c?=OC?十一？。^.OBCOSNBDC,

BP3/i2=900+A2-2x30/?cos120°,即得力=30(负值舍去),

故选：D.

例题2.（24-25高一下•湖北武汉•期中）享有“天下江山第一楼〃美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之

巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度MN,在黄鹤楼

的正东方向找到一座建筑物A8,高约为26m,在地面上点。处（8,C,N三点共线）测得建筑物顶部A,

黄鹤楼顶部M的仰角分别为30。和45。，在A处测得楼顶部M的仰角为15。，则黄鹤楼的高度约为（）

D.54m

【分析】先在VA8C中求出AC,然后在中利用正弦定理求出MC,最后在..MNC中利用锐角三角

函数的定义可求得结果.

【详解】由题意得N4C3=30°,AABC=90°,/MCN=45。,NMNC=90°,AMAC=300+15°=45°,AB=26t

在VA8C中，ZACA=3()o,NABC=90。，A3=26,贝！］AC=2A8=52,

在..AMC中，/MCA=1800-ZMQV-Z4C5=180°-45°-30°=105°,

贝ljNAMC=180°—ZACM—NM4C=180。-105。-45。=30°,

MC52MC_r

由正弦定理得--------=--------,而二嬴后'得MC=52日

sinAAMCsinNM4C

在..MNC中，^MCN=45°,ZMNC=90°,则NMCN=45。,NMNC=90。,

所以MN=MCsinZMCN=52&x—=52.

2

故选：C

例题3.（2025•上海奉贤•二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影.某数学

建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：

点B、点C、点。作为测量基点.设大厦的最高点为A,在点3处测得点A的仰角为NA8O=，=7L5,在

点C处测得点A的仰角为N4CO=44,又测得AC=221米，Z^OC=119,（见图）.现作出以下几个假

设：

①直线AO垂直于平面OBC；

②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计；

③其它次要因素等忽略不计.根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约米.（结果保留整数）

A

【答案】180

【分析】在以及△ACO中，根据三角形正弦定理用高度〃表示BO,CO,在.ACO中，由余弦定理

列出等式，解出〃即可.

hBO

【详解】设高度为/，，在aABO中，根据正弦定理有；sin71.5=sin（90-715），即-⑶118.54-0.33介，

hCO

在dACO中，根据正弦定理有：^^~=sin（90-44），即CO=tan46人1.04〃，

由余弦定理可知：

BC2=BO2+CO2-2BOCOcos（119）=O.332/22+1.042/r-2x0.33/1x1.04/?x（-0.48）

=O.ll/r+l.O8/z2+0.3312«1.5/Z2=22『,

解得：〃。180.

故答案为：180

精练高频考点

1.（24-25高一下•安徽蚌埠•期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度MN,在

地面上选择一个观测点C,在。处测得A处的无人机和该建筑的最高点M的仰角分别为30',45',无人机距

地面的高度48为20米，且在A处无人机测得点M的仰角为15'，点笈，C,N在同一条直线上，则该建筑

的高度M/V（单位：米）为（）

M

A

B

A.20x/3B.2573C.我D.40

【答案】D

【分析】在RtZ\A8C中,求出AC,./MC中，由正弦定理求出MC,RIAJWVC中，求出MV.

【详解】在RtZXABC中,/AC8=30°,AB=20,则AC=248=40,

由图，可知NM4C=45°,ZMCA=180°-45°-30°=105°,

贝ljZCAM=180°-45°-105°=30".

ACMC40x—

在中，由正弦定理,得MC=—=40夜,

sinZ.AMCsin/.CAM

2

在"△MNC中，MN=MC-sin450=40>/2x—=40.

2

故选：D.

2.（24-25高三下•贵州贵阳•阶段练习）贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔.如图，某人准备测

量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为刀m的大楼CD,在大楼

顶部。处测得双子塔顶部3的仰角为。，底部A的俯角为夕，则双子塔的高度为（）

D

C近

A.-n(a+0m2/?sin((7+/?)

B.-----------------m

cos«sinpsin2/?

/zsin(a+/7)_2〃sin(a+/?)

C.D.

sinacos/?sin2a

【答案】A

【分析】分别在/、八。。与中用正弦定理,化简可得解.

【详解】由题意可得8=加，ZDAC=/3fNB/M=a+£,

则在“DC中'=黑'即4"=h

sinp'

在aAB。中，ZABD=--a

2t

ABAD

由正弦定理得/3=,即sin（a+/7）=.（兀—L

sinZADBsinZABDvy）Sin^--a

所以AB=4-sin（a+W）Jsin（a+A）

cosacosasinp

故选：A.

3.（多选）（24-25高一下•重庆沙坪坝•期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜

利的精神象征，是中国唯•座纪念中华民族抗口战争胜利的纪念碑.现某兴趣小组准备对解放碑的高度

进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，5为解放碑的基座（B在A的正下方，即

ABLBC.ABLBDy,在纪念碑所在广场内（与3在同一水平面内）选取C。两点，测得CD的长为机.兴

趣小组成员利用测角仪可测得的角有NACRZACD、/BCD、ZADC.ZADB./BDC,若已知

〃?、ZACB./BCD,则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度AB的是（）

A./ADBB.ZBDCC.ZADCD.ZACD

【答案】ABC

【分析】根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件即可.

【详解】由题意，因为八8_L8GA

且BCcBD=B.BCu平面BCD,BDu平面BCD,

所以A8_L平面BCD,

对于A,在ABC,A3。中，借助直角三角形用AB表示出BCB。，然后在△3C。中由余弦定理解三角形

求得A3,故A正确；

对于B,在△4CO中，根据，〃，/BCDNBOC,可利用正弦定理求得4C,再根据lanZACB求得48,故B正

确；

对于C,由N4C8,/BC。，借助直角三角形和余弦定理，用AA和C。表示出8C8RACAQ,然后结合

NA/X:在AC。中利用余弦定理列方程，解方程求得A8,故C正确；

对于D,根据〃7,ZAC3,N8C2乙4C。四个条件，无法通过解三角形求得A5,故D错误；

故选：ABC.

高频考点三：测量角度问题

典型例题

例题1.（24-25高三上•天津北辰•期中）在某测量中，设点A在点B的南偏东3427,则点8在点八的（）

A.北偏西3427'B.北偏东5533'

C.北偏西5532'D.南偏西5533'

【答案】A

【分析】根据方向角的概念判断即可

【详解】如下图所示：

因为点A在点B的南偏东3427S点B在点A的北偏西3427,

故选：A.

例题2.（23-24高一下•河南信阳・期中）如图所示，某旅游景区的8,C景点相距2km,测得观光塔A。的

塔底。在景点8的北偏东45。，在景点。的北偏西60。方向上，在景点5处测得塔顶A的仰角为45。，现有游

客甲从景点〃沿直线去往景点C,则沿途中观察塔顶A的最大仰角的正切值为.（塔顶大小和游客身

高忽略不计）

A

【答案】O

【分析】先用正弦定理解三角形得80,再利用求。上取最小值来求仰角正切值的最大