高中数学必修第2册第六章 综合测试A卷（解析版）

第六章平面向量及其应用综合测试卷A卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求。

1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()

①任一向量与它的相反向量都不相等；

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量：

③平行且模相等的两个向量是相等向量；

④若则同工网;

⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B【详解】

解：零向量与它的相反向量相等，①错；

由相等向量的定义知，②正确；

两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；

a，b,可能两个向量模相等而方向不同，④错；

两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终

点不一定相同，⑤错.

所以正确的命题的个数为1,

故选：B.

2.已知向量入B满足同=2,忖=3,不5=一3,则()

A.5B.7C.V13D.M

【答案】D【详解】

解：因为同=2,忖=3,小石=_3，，

所以B_同=\la2+b2-2ah=/4+9+6=.

故选：D.

3.在&ABC中，角4,3,中所对的边分别为a,b,c,B=30。"sin4=1,则。=(）

A.yB.1C.2D.4

【答案】C【详解】

由正弦定理，得」4=一勺，所以。=当1=一*=2

sinAsinHsinBsin30

故选：C

4.在平行四边形ABC。4」，衣=(1,2),丽=(3,4),则A氏八万=()

A.-5B.-4C.-3D.-2

【答案】A【详解】

vAC=A13+ADfBD=AD-ASf

AC=AB+2ABAD+AD♦=~AD-lABAD^AD，

：.~AC-BD=4/^/m=l2+22-（32+42）=-20,

AB-AD--5»

故选：A

A+c

5.在△ABC中，NA,DB,NC的对边分别为。，b,c,cos2-=——,则△ABC的形

22c

状一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B【详解】

e“b+c々-,、|1+cosAsinB+sinCsinB1...,sinB

因为cos-；=F—,所以一--=所Cr以cosA=「；

22c22sinC2sinC2sinC

即cosAsinC=sin8=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,所以sinA8sC=0,因为

sinA工0,

所以cosC=0,因为Ce（O,;r）,所以。=],即aABC是直角三角形.

故选：B

6.点M在边长为2的正三角形A8C内（包括边界），）W>£CM=lcA+/lCBaeR）,

则C4•丽的取值范围是（）

-3'

A.[-U]B.10,1]C.0,-D.[0.21

【答案】B【详解】

因为点M是正三角形44C内的一点（包括边界），所以由

CA=G4（CM-Cfi）=cX^CA+2CT-CB^=^C<+（2-1）CX-CB=2AG[0,1]

.故选：B.

7.已知O是“IBC内一点，满足从小二:卜尸+3区。，贝IJS“SC：SM8C=（）

A.3:1B.1:3C.2:1D.1:2

【答案】A【解析】

【详解】

而=[而+[觉]=2而+1前=2而+1（恁一通）」（通+祕），

312J3333、，3、）

所以。是△ABC的重心,所以S&ABC:SA08c=3：1.

故选：A.

8.如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导汉族劳

动人民农事活动的重要依据，它由“圭〃和“表〃两个部件组成，圭是南北方向水平放置测

定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上

的影长来确定节令.己知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为。邛,

测得表影长之差为/,那么表高为（）

/tanatanft/(tan/?-tana)/lanfitanaI(tana-tan0)

B.D.

,tana-tanptan夕tana'tanp-tanatanatanp

【答案】C【详解】

如图，设表高=

4「I

在48中，由正弦定理有市卡

/•sina

所以AC=

sin(/7-a)

在直角三角形ABC中,—=sin^,

AC

.cls\nas\nP.sin«sinp

g|Jx=ACs\np=-----------------=/--------------------------------------

sin(1—a)sinpcosa-cospsina

_//tanptana

]1tan/一lana.

tanatan[i

a

BD

故选：C

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得。分。

9.下列说法正确的有（）

A.若,b//c，则a〃cB.若，=5,b=c，贝Ua=c

C.若％ib，则2与万的方向相同或相反D.若丽、前共线，则A、B、C三点共

线

【答案】BD

【详解】

对于A选项，若五=。，入"均为非零向量，则二//力，次/"成立，但京R不一定成立，A

错；

对于B选项，若二=B,坂=c，则a=c，R对：

对于c选项，若丐=6,则各的方向任意，c错；

对于D选项，若而、就共线且A3、BC共点B,则A、B、。三点共线，D对.

故选：BD.

10.已知向量"=（T2）,6=（7，。），则下列选项正确的有（）

A.k+6>5=4B.c.卜一同二两可D.+口一勾

【答案】AB【详解】

向量力=（一3,2）,万=（一1,0）.

对于A：R+万>5=（-4,2卜（一1，。）=4+0=4,故A成立；

对于B："肪=(0,2).因为(a-丽府e(-0)+=,所以他-3到16.故B成立；

对于C：因为,/=|(-22)|=20,而&|5卜&,所以卜-6卜闺印故C不成立;

对于D：4+行=(7,2),汗一5=(-2,2).因为(7)又2=2、12),对于力+5与q—6不平行.故D

不成立.

故选：AB.

11.已知。，E分别是AMC的边8C,AB的中点，且AO,CE交于点O,则下列结论

一定成立的是()

A.|词=|词二|网B.OA+OB+OC=6

一1一2——1—2—

C.CO=-CA+-CDD.BO=-I3A+-BD

3333

【答案】BCD【详解】

由题知，点。是41BC的重心.如图，连接80.

对于A,当且仅当“质?是等边三角形时，“8C的重心与外心重合，此时满足

|OA|=|OB|=|OC|,故A不一定成立；

对于B,因为E为边48的中点，且。。=20口

所以西+加+反=2波+双=诙一S=0，故B成立；

对于C,CO=CA+/1O=CA+-AD=CA+-(CD-CA)=-CA4--CD,故C成立；

对于D,B6=BA^A6=RA+^Ar)=RA^^Br)-BA^=-BA^^Br),故D成立.

故选：BCD.

12.下列结论正确的是：）

A.在中，若A>B,则sinA>sin4

B.在锐角三角形ABC中，不等式6+°2-/>0恒成立

C.在AABC中,若acosB-b8sA=c,则AABC是直角三角形

D.在.ABC中，若〃=3,A=60°,三角形面积S=3#,则三角形的外接圆半径为半

【答案】ABC【详解】

对于A,在△A8C中，由A>8=a>〃，利用正弦定理得2RsinA>2Rsin8=>sinA>sin8,

故A正确.

对于B,由锐角三角形知0<4<£,则cosA=/+/一叽0,:.b2+c2-a2>0,故B正

22bc

确.

对于C,由acosB—〃cosA=c,利用正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sinC,即

sin（A+8）=sin（A-A）,故A+8+A-8=4，即4=],则△ABC是直角三角形，故C正

确.

对于D,S=，加sinA='x3xcx立=3石，解得c=4,利用余弦定理知

222

a2=b2+c2-2/?ccosA=9-F16-2X3X4X^=13,所以a=Vi3,又因为

-^-=Vl3xA=Z^=2/?,R=画,故D错误.

sin60V333

故选：ABC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量Z,坂满足忖=3,归一N=5,〃4=1,则,卜.

【答案】3&【详解】

:*4=5

a-i=«~+5-2a-5=9+1^|-2=25

.•..=3日

故答案为：3五.

14.设AABC的内角ABC所对边的长分别为4也C.若b+c=%,则物如a=维如覆则

角C二.

【答案】c=—【详解】

3

•.*3sinJ=5sin8由正弦定理，所以3。=”,即a=5b；

3

■

因为b+c=2a,所以c=-a,

3

c7+方.—L1「门、|广

cosC=--------------=一一，所以C=—.

lab23

15.如图，在矩形A8CD中，AB=®BC=3,BEA.AC,垂足为E,则石。=.

【答案】亭

【详解】

由45=石，8C=3,可知N84C=6()

从而AE=正,NCAO=30,

2

由"WACO*

16.在边长为2的正三角形A8C中，。是BC的中点，屏=2瓯，CE交AD于F.①若

~BF=xBC+yBA,则x+y=;@BFDE=

37

【答案】

515

【详解】

如图，过E作EM//AO交友?于M,

11?

由血=2丽，得EM=；A。，BM=：BD,MD=[BD

3314

乂。是8c的中点，得QC=gMC,:.FD=-EM,故m=《A。，即AF=gA。,

uuo

uinn44/Uiwuir、A(Iuiinuir\2皿皿4uir

所以=一人O=-(B°一刖)=一-BC-BA\=-BC——BA

555(2)55

mmuirlumiIuir?ltt®3

所以4尸二郎+4/，=3胡+《8。，故x+)'=g

uiwuirIRK1uir1mn

naiuu

由已知得6A=8C=2,<5C3A>=6(r

muUIWILUX?uiuAfIuiriumA]UlT2ILUK：IUU*UUD

所以8FDE=-BA+-BC--BA——BC\=—BA一一BC+—BAI3C

55)U2J15530

=—x4——x4+—x4x—=——

15530215

a7

故答案为：->--

J1J

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。

17.设向量G=(-l,2),c=(4,-5).

⑴求卜+2了卜⑵若Ca+w，A,xzeR,求4+〃的值;

iwI*r

⑶若/W=a+〃，BC=a-2b>CD=4a-2b,求证：A,C,。三点共线.

【答案】(1)1⑵2(3)证明见解析

⑴£+2/；=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),|«+2^|=A/T+0=1；

⑵

(4,-5)=2(-L2)+A(L-1),所以:<，解得：=[，所以义+〃=2；

[22-//=-5[〃=3

(3)

UllUUtilUUUI1111iLL.、,__LL.、I▲「一

AC=AB+BC=a+b+a-2b=2a-b^所以CO=4r/—2〃=2AC，nT以4，C，D二

点共线.

18.在△八A。』」，内角4R,C的对边分别为〃，h,r,已知csin=0.

(1)求角C；

(2)若3a=5b,且△ABC的面积为156，求aABC的周长.

【答案】(1)。=,(2)30

⑴解：由正弦定理得sinCsin3+J5sin3cosc=0>

因为8w（O,;r）,sin3H0,

所以sinC+GcosC=0,BPtanC=-V5>

因为Ce（O,乃），

所以C=等.

⑵

解：由（1）得sinC=cosC=——,

所以S=—«Z?sinC-ab-15>/3，所以ab—60,

24

X3a=6b,解得a=10,Z?=6,

由余弦定理可得c2=a2+b~-2abcosC=100+36+60=196,所以。=14,

所以的周长为a+Z?+c=10+6+14=30.

19.在①（&〃c）cosA=acosC,②sin（"十C）=&l+2sin?y,③&acosC=&

c,这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.

在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.

⑴求角A的大小；

（2）若。=2,且^ABC的面积为2,求b+c.

【答案】（l）j2）b+c=2+2上

⑴选①;（V2Z?-cjcosA=acosC

x/2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sin

2

£

AG(0,")，.二A7

选②:sin(8+C)=x/2-1+2sin2y，.」sinA=拒-cosA

sin(—+A)=1

4

A£(0,万)A=一

选③:42acosC=>/2b-c

V2sinAcosC=V2sinB-sinC=&sin(A+C)-sinC

…cos4=——

2

.「A£(0,乃)A=—

(2)

,/S=g/?csinA=2,；.be=4五

乂;cr=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA

(b+c)2=a2+2bc+2力cos4=4+8\/2+8

..(b+c)2=12+8&即b+c=2+20

20.已知平行四边形A8C£＞中，EC=2DE，定=2而，FG=2GE.

⑴用而表示AC;

⑵若国=6,西=3公，NE4D=45。，如图建立直角坐标系，求至和市的坐标.

【答案】(1)AG=§A8+§A。⑵GB=K，—幻，DF=(4,-2)

(1)AE=AD+^AB,

AF=\-AD+AB,乂布=2G后，所以45—祈=2(荏—布)

__2—1__5—7__

所以AG=-AE+-A*=<A8+-A。

3399

⑵

过点。作48的垂线交48于点次，如图，

于是在RtZXA。。中，由/84£>=45。可知，AD'=3

根据题意得各点坐标:4(0，。)，8(6,0),C(9,3),0(3,3),E(5,3),根7,1),

—5—7—57(17

AG=-AB+-AD=-(6,0)+-(3,3)=—

XXXX\/

(171\

所以G

[J3)

law-----(17___

所以A3=(6,0),AG=[w，]J，DF=(4,-2),

GB=AB-AG=(-,--

21.如图，测量河对岸的塔高A8,可以选取与塔底8在同一水平面内的两个测量基点

。和O.现测得/8。=45。,/8。。=6（）。,8=18）米，在点。测得塔顶A的仰角为60。,

⑴求△6CO的面积;

（2）求塔高A8.

【答案】（1）2500（3-扬平方米：（2）150（通-伪米.

⑴在△8COH」，因/8四=45。,/3。。=60。,0)=100,则NC3£>=75。,

sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos450sin30。=—x—+x—="+近

'/22224

imx/3

BCCD100xsin60

由正弦定理得:,BC=50（3夜-遍）,

sinZ.BDCsinZ.CBDsin75瓜+叵

4

则S.BCD=；CD.BCsin/BCD=；x100x50(3衣-瓜)乂sin45=2500(3-G),

所以△SCO的面积是2500（3-百）平方米.

⑵

依题意，A6L平面8C。，而8Cu平面BCD,则有/g_LBC,

A8

在RtZ^ABC中，48C=9(),NAC8=60°,由tan4C5=「得:

BC

AB=50(3/一厢tan60=50(3应-向x石=150(G-@,

所以塔高是150(6-6米.

1G

22.在四边形A8CO中，已知8C=CO=二A8=l,ABBC=-\,ZBCD=—.

23

⑴求四边形46CQ的面积：(2)求sin2)的值.

【答案】(1)苧；(2)等.

(1)V^C=1,A8=2,

:.ABBC=-2x\xcos^ABC=-\，可得cos48。=耳，

•・•ZABCe(0,琦,则ZABC=y,

AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC=3,

/.AC=6

rr2〃

/.BC2+AC2=AB\故ZACBJ,又ZBCD=」,

23

ZACD=-,故sin44cO=L

62

••・四边形ABC。的面积

s=S△.AWBC+SZ.XAACCD"=2-AC-BC-^2-ACCDsinZACD=—2+—4=—4.

(2)?hAAC。中，AD2=AC2+DC2-2ACDCcoszS4CD=l,

：.AD=\,sinD—sinZ4CD=—

AD2

第六章综合训练

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量£1=(2』),1):。,-2),若a〃b,则a+b=()

A.(-2,-l)B.(2,l)

C.(3,-l)D.(-3,l)

2.在△ABC中，若4:60。,8。二4百乂。二4或,则角B的大小为()

A.30。B.450

C.I35°D.45°或135°

3.Q023山东滨州期末］如图/为平行四边形A8CO对角线8。上一点4交于点

O^BF=；前，若刀=xAB+y而，贝I」xy=()

3

A.

4.已知△ABC的内角A.8C所对的边分别为4力心且(〃+与2七2=4,。=120。,则△A8C的面积

为()

A.yB.苧C.V3D.2V3

5.已知通二(2,3),彳？=(3,。,|前|=1,则荏•瓦=()

A.-3B.-2C.2D.3

6.设D为△A8C所在平面内一点，丽二2而，则()

A.而通+/

33

11..'Q……T

B.AD=2-AB+-2AC

CAD=^AB+^AC

D^AD=1AB-^AC

22

7.不解三角形，下列问题中有两组解的是()

A.«=2,Z?=3,B=105°B.n=2,/?=3,B=35°

C.a=2，=3/=90°D.a=36=2,8=35。

8.在菱形ABCD中,/48。=120。,4。=2/3,而+g方=0,方？=2而，若宿•前二29,贝U

A-()

A-iB5熊醛

二、选择题:在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.

9.已知向量a=(l,-2),|b|二4|a|,a〃b,则b可能是()

A.(4,-8)B.(8,4)

C.(-4,-8)D.(-4,8)

10.已知向量a=(l闺,b=(2-&,-3)厕下列说法正确的是()

A.若后3,则｛a,b｝可以是这个平面内所有向量的一个基底

B.若|a-b|=|a+b|,则k=g

C.若a2>b2,Mk>3

D.若&刍则a与b的夹角是锐角

11.已知△A8C的内角A,B,C所对的边分别为〃力6下列四个说法中正确的是()

A・若焉=高=则△MC一定是等边三角形

B.若acosA=bcos8,则△ABC一定是等腰三角形

C.若bcosC+ccos8=b,则△A8C一定是等腰三角形

D.若/+启。2>().则△A8。一定是锐角三角形

12.[2023云南曲靖会泽模拟]在平面直角坐标系xOy中，定义变换E将点A(x,)，)变为点

Aiix+)j-y),下列说法正确的是()

A.若A8〃CD,则ArBrZ/CrDr

B.若AB_LC£),则ATBT-LCTDI

C.若|A8|=1,则|A力丁|二1

D.若NAO8=60。,贝IJ/人川小产60。

三、填空题

13.[2023安徽滁州琅郡月考]已知爪-1,1)12(2,3),若冗7=-3讯,则点P的坐标

为.

14.设一条河的两岸互相平行，河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向4V6m/s

的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为m/s.

15.若向量a=(l』)与向量b=(l,x)的夹角为锐角，则x的取值范围是.

16.在四边形ABCD中方=沆=(1,1),高瓦5+高前=品苑则四边形ABCD的面积

为.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知a=(l,2),b=(-3,l).

⑴求a-2b;

⑵设a,b的夹角为〃，求cos0的值；

(3)若向量a+处与a-处互相垂直，求k的值.

18.设向量a,b满足|a|=|b|=l,且|3a-2bl=夕.

(1)求a与b的夹角；

⑵求|2a+3bl.

19.AABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,/?,c,asinAsinB+hcos2A=\[2a.

⑴求务

⑵若/=〃+75,尸,求B.

20.[2023山西朔州怀仁月考]已知AABC中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且

S+c)2=〃+(2+孚)6c.

(1)求sinA的值；

(2)如图为AB上的一点，且AD=2BD,若NBCD=2NACD,B为锐角，求cosZ5CD,sinB

的值.

ADB

21.在△然《中，内角48c对应的三边分别为〃力c且满足cV/cosB-^bf=a2-b2.

⑴求角A；

⑵若a=V5,求b+c的取值范围.

22.要将一件重要物品从某港口0用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船

位于港口。北偏西30。且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿

正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时

与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短，则小艇航行速度的大小应为多少？

⑵假设小艇的最高航行速度只能达到3()海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航

行速度的大小)，使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.

参考答案

第六章综合训练

1.A1a〃b,/.2x(-2)-x=0,Ax=-4.

Aa+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).

2.B由正弦定理，得隼=当,则而8=黑丝=粤臀=4.因为8。>4。,所以4>股

sin/lsinBBC4v32

而4=600,所以8=450.

3.C因为r为平行四边形A8CQ对角线8。上一点/C8O交于点。，丽=；丽，所以

丽=:丽=：乂［丽=:而=：(而一而)，所以而=而+而=而+：(而一

44,888

AB)=^AB+：40,因为AhxAB+yAO,所以x=:,y=J,所以孙三义&=三.

oooooo64

4.C将c2=a2+b2-2abcosC与(。+/，)242=4联立，解得出?=4,故S△八sc=%/，sinC=x/3.

5.C•・•荷=(2,3)J?=(3j),

：.BC=AC-AB

A\BC\=J12+(B3)2=I,解得/=3,

即近二(1,0).则布•正二(2,3>(l,0)=2xl+3x0=2.故选C.

6.B9：BC=2CD.

：.AC-AB=2(AD-AC),：.AD=-^AB+料C.

•・•由已知可知彳瓦枇不共线，

・・・彳§,而前边的系数唯一确定.故选B.

7.D选项A中,a<b,B为钝角，只有一组解；

选项B中,为锐角，只有一组解；

选项C中为直角，无解；

选项D中,a>/»asinB,B为锐角，有两组解.故选D.

8.D建立如图所示的平面直角坐标系，设N(xj),因为AC=2yf3,ZAI3C=120。,所以130=1.

因为的+"而=0,所以加7=g而，即M是8c的中点,

所以A(-V5,0),M9,£D(0,-l),C(V3,0),

所以丽二(苧,P,况=(乃,1)=.而=A(x,y+1),由题意知用0.

故所以府」、¥+百,；)所以宿.前=乎(¥

1,+g+<<；J=29,即

X4XAZA/A

2=29,即2三故选D.

9.AD当b=-4a时,b=(-4,8);

当b=4a时,b=(4,-8).

10.BC当a与b不共线，即-3x1火2-k)加时,

解得上3且后-1,选项A错误；

若|a-b|=|a+b|,则aJ_b,所以1・(2次)+(-3"=0,解得可,选项B正确；

若a2Ab2,有1+公>(20+9,解得%>3,选项C正确；

当k=-T时,a与b平行,夹角不是锐角，选项D错误.

故选BC.

「A

"•A"C由ua何=而b=嬴c，

利用正弦定理可得已sinB_sinC

coszlcosBcosC'

即tanA=tan8=tanC,即X=B=C,

所以AABC是等边三角形,A正确;

由正弦定理可得sinAcosA=sin8cosB,

即sin2A=sin28,所以2A=28或2A+2B=7t,

△A8C是等腰三角形或直角三角形,B不正确;

由正弦定理可得sinBcosC+sinCeos8=sinB,

即sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB,

则8c是等腰三角形,C正确;

,.211.22

由余弦定理的推论可得C=为锐角不一定是锐角不正确.

cos2；ab,>0.C.D

12.ABD设A(x\ji),83J2),C(l3J3),O(X4，M，则

A1{X\+yi,X|-»),8/(X2+)，2K2->'2),C/(X3+)?,X3-)'3)Q7(X4+)，4Ml-)4).而

AB=(X2-xi,.V2-y!),CD=。4-月»4-)勺),设="7,为-口=〃足-月=〃田-4=q,则加=(p,⑼,CD=(q,〃),

对于A,因为人8〃CO,所以福||诙，所以np=mq,而

T+yi-x\-y\仙-冲-用+)")=(p+m,p-m)CD工总〃,伏〃)，所以

ATB=(X2yTT=(x4+)，4-3-)'3/4-)'4-+)2)=(g+

(〃+〃7)4〃)-(〃-〃?)(。+〃)=2/〃%2〃〃=。.所以4*7||CT",大点AT,BT,CT,DT是4个不同的点，

所以4力丁〃。/。7•，故A正确;对于B,因为ABLCD,所鼠3s•CD=W〃小?〃=0,而C闻•

。707，=(〃+"。(,+〃)+(〃-/〃)(4-〃)=2〃夕+2〃"?=0,且向量4T87与。707'均不是零向量，所以B正

确;对于C,因为|A8|=1,所以|A8F=〃z2+p2=l,而质力7/=(〃+〃?)2+(〃-m)2=2〃2+2〃尸=2,故C错

OAOB勺工2+'1当1

误;对于D,因为NAOB=60。,所以cos/AO8=

函函一所而一

而8SN4，。曲:瑞瑞

_(勺+%)(切+也+£1*”2少2)

J(xi+y1)2+(x1-y1)'J(X2+y2)2+(X2-，2)2

2x1x2+2y1y2

2网+y泳?上

二g,故D正确.

故选ABD.

13.W设尸(x,y),由1(・1,1)/2(2,3),罚=・3呢,得(/1»・1)=・3(2.,3吻可得

x+l=-3(2-x),y-l=-3(3-y),解得x=],y=4.所以点P的坐标为|,4\

14.10为了使航向垂直河岸，船头必须斜向河的上游，设船在静水中的速度为vi,方向斜

向河的上游，河水的速度为V2,方向平行于河岸，指向河的下游.

|V2|=2m/s.

船在静水中的速度与河水的速度的合速度v垂直于河岸，且|v|=4nm/s.

2222

则M[=/(v-v2)=y]v-2vv2+^2=1(4\/6)+2=10(m/s).

15.(-U)U(1,+QO)设向量a与向量b的夹角为"则cos:二%=「工^.

同向V2xVl+x2

因为夹角为锐角，所以Ovcos1抑(X—^=<1,

所以工>-1,且(1+x)2<2(1<r),

解得或X>1,

故4的取值范围是(-l/)U(l,+oo).

16.V3由而=沆=(1,1),可知四边形ABC。为平行四边形，且|而|二|反匚或，因为

■=BA+高近=彘j前,所以可知平行四边形ABCD的对角线BD平分NA8C,四边形

ABCD为菱形，其边长为&，且对角线BD长等于边长的8倍，即BD=V3x或=n.设对

角线80与AC交于点£则西二解了一俘)=去即CE号所以三语形BCD的面积为:x

后x噂=彖所以四边形ABCD的面积为2x学=V3.

17.解(1)a・2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).

ah_lx(-3)+2xl_V50

(2)cos0=-

同向Jl+(-3)2xj2M

(3)因为向量a+Ab与a-kb互相垂直,

所以(a+Ab>(a・幽=0,即a2-A:3b2=(),

因为a2=5,b2=IO,所以5-10好=0,解得依土条

18.解(1)设a与b的夹角为。.由巳知得(3a-2b>=7,即91al油2a-b+41bl2=7,

因此9+4-12cos。=7,于是cos夕=;，故。二三,即a与b的夹角为今

(2)|2a+3b|=J|2Q+3b/

二J41al2+12ab+91bl?=@+12^+9

=V19.

19.解(1)由正弦定理得,sinXsin8+sin8cos2A二或sinA,即sinB(siirA+cos2/\)=V2sinA.

故sinB=V2sin人所以=V2.

a

(1+物Q

(2)由余弦定理的推论和d二加+6标,得cosB=

2c

由⑴知〃2=2",故c2=（2+V3）a2.