《简单的轴对称图形》同步练习题-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《5.2简单的轴对称图形》

自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知△ABC中，AB<BC,用尺规作图的

方法在BC上取一点P,使得PA+PB=BC.下面四个同学的做法,其中正确的是（）

一人,小c.

…冷c

2.如图，OP平分N力OB,PC1。力于点C,点。在。8上.若OD=6,△POO面积为9,则PC的

长为（）

BDa

可

A.2B.6C.3D.9

3.如图，在△48C中，点。在BC上，AB=AC=CD,BD=AD，则2C的大小为（）

A

BDC

A.30°B.32°C.36°D.45°

4.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（）

BD\/EC

A.AD=BDB.Z.CAE=Z.CC.DM=END.C^ADE—BC

5.如图，在△48C中，AB=AC,乙4=40。，点。，P分别是图中所作直线和射线与AB,CD

的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）

A.AD=CDB.乙ABP=LCBPC.Z,BPC=115°D.Z.PBC=Z/1

6.如图，在△力8c中，OE垂直平分力8.若BD=6,CD=3,则4C的长是（）

7.如图，在△A8C中BC边的垂直平分线EF交NABC的平分线8D于凡若乙BAC=50。,

LACF=46°,那么4BFE的度数是（）

C.62°D.65°

8.如图，在△ABC中，DE是边4?的垂直平分线，连接CD,BF平分乙ABC交CD于点、F,已

矢fUA=30°,/-ABC=100°,贝此8/C的度数为（）

C.120°D.130°

二、填空题（满分24分）

9.如图,在Rt△48C中，93=90°,4。是〃的平分线，且BD=3cm,则点。到AC边的

距离是______

10.如图，点0在直线I上，点4在直线矽卜.若直线I上有一点P使得△力P。为等腰三角形，则

满足条件的点P位置有一个.

OP

11.如图是一风筝的骨架图，力C是3。的垂直平分线，E为垂足.若48=2,四边形力8。。的

周长为14,则C。的长度为.

12.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且CD=CE,若4ADE=20。，则

4c的度数为.

13.如图，已知的周氏是18cm,和乙4cB的角平分线交于点0,OD18C于点D,

若OD=3cm,则4力BC的面积是cm2.

A

14.如图，在△48。中，边力B的垂直平分线”分别交边BC、A8于点E、F，过点4作;101BC

于点。，且。为线段CE的中点，若Zi/IBC的周长为26,AF=5,贝屈。的长为.

A

Xh

BE^DC

15.如图，ABCD,PB和PC分别平分N48C和NOCB,AD过点P,且与48垂直，若4。=

8cm,BC=10cm,则四边形A8CZ）的面积是cm2.

16.为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便

张庄A和李庄B的群众出行到河岸a.张庄A和李庄8位于一条河流的同一侧，河的两岸是平

行的直线，经测量,张庄.4和李庄8到河岸外的距离分别为AC=1000m,BD=2000m,且

CD=3000m,如图所示.现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头

的路程之和最短，则这座桥应建造在C,D之间距离。m处.（河岸边上的点到河对岸

的距离都相等）

B

A

cl___。b

二二二二二二二二二河

a

三、解答题（满分72分）

17.（9分）如图，已知锐角△48C（4B>4C）,请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点O,

使08=。。且点。到AC、BC的距离相等.（保留作图痕迹，不写画法）

18.（9分）如图，在△力BC中，力B=力。,4018C于点。，E是4c上一点，连接DE,已知

DE=AE.求证：DEWAB.

19.（10分）如图，在△48c中，£"垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,过点4作力。1BC,

垂足为。，口8。=。£,连接力从

⑵若CO=8,AC=10,求△ABC的局长.

20.（10分）已知回84c的平分线与8c的垂直平分线OG相交于点。，。国48,。/词AC,

垂足分别为E、F,

（1）连接CD、BD,求正：LCDFmBDE-,

（2）若AE=5,AC=3,求BE的长.

21.（10分）如图，在△ABC中，DM.EN分别垂直平分和BC,交AB于M、N两点，DM与

EN相交于点F.

⑴若^CMN的周长为18cm,求力8的长；

⑵若，力C8=120°,求/MCN的度数.

22.（12分）如图①，在ZM凤:中，48AC.的平分线与N48C的平分线交于点O,过点。作

OD14B于点。（8D>4。），求证：BC-AC=BD-AD.

【尝试探究】在图①中，过点。作。EJ.8C于点E,。尸J.4c于点F,连接0C.因为284c的

平分线与人18c的平分线交于点O,所以。。==.所以C。是乙4c8的平分线......

请同学们补充后面的解答过程.

【类比延伸】如图②，在四边形/BC。中，各角的平分线交于点0,试判断48、BC、CD、

力。间的数量关系，并加以证明.

23.（12分）【数学知识】等腰三角形的"三线合一〃性质非常重要.如图①，在△48C中，

AB=AC,4D是中线，若NC=58。，则的度数为；

【数学应用】如图②，在△48C和△AEF中，AB=AC,AE=AF,AD.AG分别为△ABC和

△力E尸的中线，15/-BAF=110°,/.CAE=24°,求乙£MG的度数：

【拓展】如图③，在△48。和△48E中，48=AC,AB=AE,zl。、4F分别为△ABC和△ABE

的中线，4D与BE交于点0,若24。尸二69。，贝叱&4E的度数为.

参考答案

1.A

【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般

是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题E的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.利用P4+P8=BC得到

PA=PC,利用线段垂直平分线定理的逆定理，作AC的垂直平分线即可.

【详解】解：：PA+PB=BC,

而PC+PB=BC,

PA=PC,

・•・点P为4c的垂直平分线与BC的交点.

故选：A.

2.C

【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式.过点P作PE108于E,根据三角形

面积公式求出PE的长，再根据角平分线的性质可得PC=PE,从而得出答案.

【详解】解：如图，过点P作PE。8于上，

1

-x6xPE=9

PE=3

•••分4力。8,PC10.4,PE1OB

pc=PE=3.

3.C

【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理以及外角定理，解题的关键是掌

握以上性质.

根据等边对等角得出相等的角，根据三角形的外角定理得出角之间的关系，最后利用三角形

内角和定理进行求解即可.

【详解】解：^AB=AC=CD,

0Z.5=zC=4BAD,

^LCDA=Z.B+乙BAD=24C,

团B。=AD,

^Z-CAD=Z.CDA=2zC»

0ZF+ZC+28/10+zC/ID=180°,

05zC=180°,

解得NC=36°,

故选：C.

4.C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解图示是关键，根据线段垂直平分线的性质，

等功对等角求解即可.

【详解】解：根据题意，DM是线段718的垂直平分线，EN是线段｛。的垂直平分线，

13AD=BD,AE=CE,

^CAE=ZC,故A,B选项正确，不符合题意；

DM与EN不一定相等，故C选项错误，符合题意；

回金ADE=%。+DE+AE=BD+DE+CE=BC,

国D选项正确，不符合题意；

故选：C.

5.D

【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、&再根据等腰三角形的性质和

三角形的内角定理判断C、D.

【详解】解：根据图中尺规作图可知，4C的垂直平分线交AB于。，BP平分MBC,

团AD=CD,乙ABP=QCBP；选项A、6正确：

团乙4=40°,

团财6=0/1=40%

团乙4=40°,AB=AC,

的48c=MCB=70°,

^ABP=乙CBP=35°H4A,选项。错误；

乙BCP=Z.ACB-Z-ACD=700-40°=3U0,

^BPC=180°-^CBP-^BCP=115°,选项C正确;

故选：。

【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，

熟练掌握相关的知以是解题的关键

6.C

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两

端点的距离相等.由线段垂直平分线的性质推出4D=BD=6,即可求出4c的长.

【详解】解：团DE垂直平分48

^AD=BD=6,

^AC=AD+CD=6+3=9.

故选：C.

7.C

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由线段

垂直平分线的性质得到8F=CF,EF1BC,贝I」4F8C=4/C8,^BEF=90°,由角平分线

的定义得到=乙FBC,再由三角形内角和定理求出土98c的度数即可得到答案.

【详解】解：0EF垂直平分BC,

团BF=CF,EF1BC,

国上FBC=£FCB,^BEF=90°,

团8户平分乙ABC,

^Z-ABF=乙FBC,

mZ.BAC=50°,Z-ACF=46°,乙BAC+Z-ABF+乙FBC+乙FCB+匕ACF=180°,

0Z/4BF+乙FBC+乙FCB=84°,

^FBC=LABF=Z-FCB=28°,

包乙B"E=180"-乙FBE-乙BEF=62、

故选：C.

8.B

【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三

角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得=44=30。，由三角形外角性质得

Z-BAF=60°,由角平分线定义得/DBF=^ABC=50°,由三角形外角性质得±8FC=110°.

【详解】解：团DE是边4。的垂直平分线,

0CD=AD,

^/.ACD=Z.A,

团4A=30°,

团乙力CD=30°,

团乙BDC=44+Z.ACD=30°+30°=60°

团B/7平分乙4BC交CD于点F,/-ABC=100%

^DBF=^ABC=50°,

2

0Z^FC=乙BDF+DBF=60°+50°=110°.

故选：B.

9.3

【分析】本题考查了角平分线的性侦定理，解题关键是掌提上述知识点并能运用求解•.

根据角平分线的性质定理求解..

【详解】解：团在Rtzx/IBC中，Z.B=90°,/W是乙4的平分线，80=3cm,

团点。到4。的距离为80的长，即3cm,

故答案为：3.

10.4

【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰

三角形的点.

根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解.

【详解】解：△/P。为等腰三角形，

①以。为圆心，。4长为半径画弧，与直线/交于点P1、P2,

止匕时。/=OP1=。2，A/lPiO^nA4P2。为等腰三角形，

②以A为圆心，。4长为半径画弧，与直线2交于点P3，

此时。力=0P3,△AP3O为等腰三角形，

③作。4的垂直平分线，与直线，交于点

此时02=力舔，△4P4。为等腰三角形，

即满足条件的点P位置有4个，

故答案为：4.

【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得4B==2,BC=DC,

再结合题意求解即可.

【详解】解：是80的垂直平分线，

0/1F=AD=2,BC=DC,

团四边形4BCD的周长为14,

团

BC=DC=—2=5,

故答案为：5.

12.40。/40度

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质

可得AD_L8C,进而求得乙CDE=70。，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：^AB=AC,40是BC边上的中线,

团力。1BC

BZ.ADE=20°,

0ZCDE=900-Z.ADE=90°-20°=70°

0CD=CE,

0ZCFD=Z.CDE=70°

0ZC=180°-Z-CDE-CED=180°-70°-70°=40°

故答案为：40°.

13.27

【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周

长来求面积.先利用角平分线的性质得到。点到各边的电离相等，再将三角形分成3个三

角形，将它们的面积相加即可.

【详解】解：过点。作。EJ.A8于点E,过点O作0FJL4C于点F,连接04如图所示：

A

E

BDC

回点。为乙4BC与乙4cB的平分线的交点，且。。1BC,

团OE=0D=OF,

团00=3cm,△ABC的周长是18cm,

团Sf8c=S&B0C+S^AOB+S^AOC

=lAB-0E+lAC-0F^BC.0D

=^AB+AC+BC)-0D

1

=-x18x3

L

—27(cm2)；

故答案为:27.

14.8

【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质.本

题先求出AC+BC=16»再得出AC=AE后即可求解.

【讲解】解：连接4E，"48。的周长为26,

•••E尸垂直平分48,AF=5,

AB=2AF=10,EA=EB,

•••AC+BC=16,

・・・。为线段CE的中点，

•••CD=DE,

vAD1BC,

•••AC=AE,

•••AC=EB,

AC+DC=EB+DE=+AC)=8,

:.BD=8.

故答案为：8.

15.40

【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌樨相关

知识点是解题的关键.

作PE1BC于点、E,根据力8||CD,AD1AB,得至4P=乙CDP=90°,根据8P平分N4BC,

CP平分40C8得到4P=PE=PO=4,AABP三△EBP,ADCP三△ECP,即可得到答案.

【详解】解：过点P作PEIBC于点E,

团48EP=Z.CEP=90°,

团401AB,AB||CD,

团N84P=Z.CDP=90°,

13BP平分乙48C,CP平分ZDCB,

(SAP=PE,PE=DP,

回力P=PE=PD=-AD=-x8=4cm,

22

圆BP=BP,

0AEBP

回SAE8P=S4A8P>

同理可得：AECP三2DCP,

S^ECP=S&DCP，

团四边形的面积=B2

4BCD2SABCP=2x(C•PE=10x4=40cm,

故答案为：40.

16.1000

【分析】此题主要考查了最短路线问题，作8点关于直线6的对称点夕，连接/B'交b于点P,

此时户点到A与8的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角二角形是解

决本题的解题关键.

【详解】解：作B点关于直线b的对称点8',连接48'交直线6于点P,

B

d'夕I。b

二士二士二二之二河

I、、I

―S--VS~a

I________A

MB':.BP=B'P,

・•.AP+BP=AP+B'P>AB，,此时P点到A与B的距离和最小,

过B'作所MilCD,延长AC与比M交于点M,

:.B'M=CD,

vAC=1000m,BD=2000m,且CO=3000m»

:.AM=1000m+2000m=3000m=MB',

•••Z-CAP=45°,

•••AC=CP,

・•.P点与C点的距离是1000m,

故答案为：1000.

17.见详解

【分析】作线段BD的垂直平分线与NACB的角平分线的交点即可.

【详解】解：DB=DC,则点。在线段8C的垂直平分线上，

点。到力C、8c的距离相等，则点0在〃CB的角平分线上，

回点。即为所求点的位置.

18.证明见解析

【分析】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理.关键是利用等腰三角形的性质找

到相等的内错角，进而证明两直线平行.先根据等腰三角形“三线合一〃的性质，由=

且4D18C推出=ZC4D；再由DE=4E,利用"等边对等角“得到=N4DE；通

过等量代换得到=最后依据“内错角相等，两直线平行"证明DEII4B.

【详解】证明：^AB=AC,AD1BC,

^LBAD=Z-CAD,

WE=AE,

^Z-CAD=Z.ADE：

^Z.BAD=匕ADE；

WEIIAB.

19.⑴见解析

(2)26

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

点的距离相等.

(1)根据线段垂直平分线的性质得到AE=EC,AE=AB,进而证明/1B=EC；

(2)根据题意求出/18+BD=8,再根据三角形周长公式计算，得到答案.

【详解】(1)证明：•••EF垂直平分AC,

AE=EC,

vAD1BC,BD=DE,

:.小。垂直平分8E,

AE=AB,

:.AB=EC；

(2)解：•••AB=EC,BD=DE,

AB+BD=DE+EC=CD=8,

4BC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=8+8+10=26.

20.(1)证明见解析；(2)2.

【分析】(1)连CD、BD,如图，根据角平行线的性质定理得到DE=DF,根据线段垂直平分

线的性质得CD=BD,则可利用"HL"证明RtACDFBRtABDE：

(2)先证明RtAADFHRtAADE得到AE=AF,再由RtACDFORtABDE得出BE=CF,进而解答即

可.

【详解】证明：(1)如图，连接CD、BD,

c

团AD分团BAE,DE0AB,DF0AC,

0DE=DF,

又回DG垂直平分BC,

0CD=BD,

在RtglCDF和RtEBDE中

哦:器

0Rt0CDF0Rt0BDE(HL),

(2)在RtHADF和Rt0ADE中

小吗

lDF=DE

0Rt0ADF0Rt21ADE(HL),

团AE=AF,

0Rt0CDF(3Rt0BDE,

0BE=CF,

0CF=AF-AC=5-3=2,

0BE=2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质

证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.在应用

全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.也考查了角平分线的性质.

21.(l)18cm

(2)60°

【分析】此题考杳了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的

性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用.

(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得4M=CM,BN=CN,然后

求出ACMN的周长=4B,据此可得答案；

(2)根据三角形的内角和定理列式求出〃+乙8,根据等边对等角可得〃=〃CM,LB=

乙BCN,再计算即可得解.

【详解】(1)解：勖M、EN分别垂直平分AC和BC,

团4M=CM,BN=CN,

0ACMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,

(?)△CMN的周长为18cm,

团48=18cm；

(2)解：回乙4cB=120°：

回乙A+=180°-120°=60°,

团4M=CM,BN=CN,

=/.ACM,Z,B