第13章《三角形》单元复习卷（含详解）2025-2026学年人教版八年级数学上册

第13章《三角形》单元复习卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，CD,CE,CF分别是△4BC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）

A.AB=2BFB.ZACE=iZACB

2

C.AE=BED.CD1BE

2.在下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（）

A.力=90、/B.ZA-ZB=ZC

C.4:/B:/C=1:2:3D.NA=2/B=3NC

3.如图，△ABC的面积为36,AB=4?=8,点〃为8。边上一点，过点〃分别作DE1AB于

E,DF1AC^A,若OF=2DE,则DE长为（）

4.如图，。是△A8C的三条角平分线的交点，连接。力，OB,OC,若△OAB,△。＜C,△OBC

的面积分别为Si，S2,S3,则下列关系正确的是（）

A.SI+S2=S?B.S]+S2>S3

C.Si+5,2VS3D.Si+S2=2S3

5.已知a,b是等腰三角形的两边长，且a,6满足|。一2|+（2a+3b-13）2=0,则此等腰

三角形的周长为（）

A.8B.6或8C.7D.7或8

6.如图，已知长方形纸片48CD,点E,F在40边上，点G,H在BC边上,分别沿EG,FH折叠,

使点。和点A都落在点M处，若a+/?=118。，则4MF的度数为（)

A.56°B.58°C.60°D.62°

7.如图，在△4BC中，ZB=25°,NT=40。，P是边BC上一点，若△ABP为直角三角形，则

/PAC的度数为（）

A.25°B.35°C.25。或50。D.25。或35。

8.在中，AC=7,EC边上的中线40把分成周长差为5的两个三角形，贝!的

长为（）

A.2B.19C.2或19D.2或12

9.如图，△48C中，AC=DC=4,4。是N5/C的角平分线，且40JLBO于〃，/为4c的中点,

则图中两个阴影部分面积之差的最大值（）

D.8

10.如图，NABC=NACB,BD,CD,40分别平分△4BC的内角NZBC,外角/4CF,外角

ZEAC,以下结论：®AD//BC；®ZACB=2^ADB；®^BDC=^BAC；④24DB+

ZCDB=90°；⑤/4OC+4BO=135。.其中正确的结论有（）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.如图，五角星的顶点分别是从B,C,D,E,那么，4+ZB+4+4+4=

12.如图，三角形纸片4BC中，4=65。,NB=75。，将NC沿DE翻折，使点C落在△ABC

外的点C处.若Nl=20。，则N2的度数为.

13.已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a—b+c|+|a—b—c|=.

14.用一根长13cm的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：cm）分别为整数a、b、

c,且a>b>c,则a最大可取.

15.下图是可调躺椅示意图（数据如图），4E与80的交点为C,且4,NB,々保持不变.为

了舒适，需调整ND的大小，使/EFO=110。，则图中/D应（填“增加”或“减

少”）度.

30°

20°

三、解答题（8小题共75分）

16.在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1,的三个顶点都在格点上.

（1；画出4B边上的高CO和中线CE；

⑵画出4c边上的高BF,并直接写出B尸的长（提示：4C的长等

于5）.

17.在△4BC中，4+/B=/C,NB=2.

（。求4,NB,/C的度数；

⑵△4BC按边分类，属于三角形，△ABC按角分类，属于三角形.

18.如图，在△4BC中，40是高，AE,BF是角平分线，它们相交

于点。，4=70。.

(1：若=60。，求4ME的度数;

⑵求NZOB的度数.

19.【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”.例如，三边为

6,8,10的三角形是“好运三角形”.

(1)【概念运用】在△4BC中，AB=2tBC=4,若为“好运三角形”，求/C的长；

(2；【变式运用】已知△ABC的周长为16,AC=4t若的长为偶数，试判断是否为

“好运三角形

20.如图①，平分/B4C,4E_LBC,NB=35。，NC=650.

⑴求NU4E的度数;

(2)如图②，若把“AE1BC”变成“点尸在D4的延长线上，FE1BC”,NB=a,NC=0(Q<0),

请用％夕的代数式表示/DFE.

21.(1)如图1,过△4BC的顶点4作直线MN〃BC,求证：ZB+/C+NBAC=180。；

(2)已知△4BC内部两条射发PB、PC交于点、P,

①如图2,若/P=150。，则NPBC+4。8=_度(直接写出答案即可)；

②如图3,若4=130。，PB、PC分别平分4BC、NACB,求4的度数；

(3)如图4,在四边形ABC。中，ZABD.NZCD的角豆分线交于点E,N%,NE和之间

有什么数量关系？说明理由.

22.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角

形”.例如，三个内角分别为120。，40°,20。的三角形是“灵动三角形”；M

三个内角分别为80。，75°,25。的三角形也是“灵动三角形”等等.如图，ZMON=60°,在

射浅。M上找一点儿过点A作AB1OM于点4交。N于点B,以A为端点作射线AD.交线段。8

于点C规定（0。V/CMC<90。）

⑴△力。B____（填“是”或“不是”）灵动三角形；

⑵若NU4C=70。，贝必4"（填"是”或“不是”）灵动三角形；

⑶当△4BC为“灵动三角形”时，求4MC的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）.

23.某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他

的研究过程如下：

图1

【原问呈现】

C）如图1,△ABC中，4BC=50。，ZACB=80°,BP平分/48C,CP平分/4CB,则

ZP=

【问题推广】

（2）如图1,△4BC中，若Z4=。，BP平分NABC,CP平分4CB,求NP的度数;

(3)如图2,△ABC中，NB4C的角平分线与△4BC的外角4BM的角平分线交于点P,过点

B作BHJ.AP于点H,若N%CB=80。，求/PB〃的度数;

（4）如图3,△ABC中，BD,CO分别平分4BC、NACB,M、N、Q分别在OB、DC、BC

的延长线上，BE、CE分别平分/MBC、/BCN,BF、CE分别平分4BC、NECQ.若/尸二九。,

请直接写出N%的度数（结果用含九的代数式表示）.

参考答案

一、选择题

1.c

【详解】解：・・・CD,CE,CF分别是△4BC的高、角平分线、中线,

:,AB=2BF,NACE=*ACB,CD工BE,故A,B,D正确;

无法证明AE=BE,故C错误.

故选：C.

2.D

【详解】若4=90。一/B,贝IJ/4+=90°,

能确定△ABC是直角三角形，故A不符合题意；

若一/B=NC,则24=180°,

・・.N%=90。，能确定△4BC是直角三角形，故B不符合题意；

若与:/C=1:2:3,则4=180°x：=90。，

6

能确定△4BC是直角三角形，故C不符合题意；

若44=2NB=3/C,

由三角形内角和定理4+/B+4=180。，

可得4+g/4+g/4=180。，解得4=甯r90。，

「.△ABC是不是直角三角形，故D不符合题意.

故选：D.

3.B

【详解】解：连接40,

\,DEE9OF_LAC于月

^ABC=S&8D+S/XDBC=“B-DE+^AC-DF,

•「△ABC的面积为36,AB=AC=8,DF=2DE,

.•，x8DE+1x8-2DE=36,

22

：,DE=3.

4.B

解：过点。作。El48,OFIBCtODLAC.如图所示,

•・•点。是△ABC的三条角平分线的交点，

：.OE=OF=OD,

•,5△480=•°&S^ACO=•00，Swco=QBC,°F，

•・FB+AC>BC,

:,S]+S2>S3,

故选：B.

5.D

【详解】解：・..|a-2|+(2a+3Zrl3)2=0,

*'a-2=0

12a+3b—13=0

Q=2

解军

6=3

当a为底时，三角形的三边长为2,3,3,则周长为8；

当方为底时，三角形的三边长为2,2,3,则周长为7.

故选：D.

6.A

解：\AD||BC.

；・/DEG=a,NAFH=8,

：./DEG+ZAFH=a+0=118°,

由折叠得：/DEM=2/DEG,NAFM=2/AFH,

/DEM+ZAFM=2x118°=236°,

・•・/FEM+NEFM=360°-236°=124°,

在aEFM中，

ZEMF=180°-(/FEM+/EFM)=180°-124°=56°,

故选：A

7.C

•.•△4/?尸为直角三角形，

/BAP=90。或/4P8=90°,

①若NU4P=90。，

VZB=25°,4=40。，

・•.ZBAC=180°-NB—NC=180°-25°-40°=115°,

/PAC=ZBAC-ZBAP=115°-90°=25°.

②若4PB=90°,

丁/C=40°,

•••ZPAC=ZAPB-ZC=90°-40°=50°.

综合所述，/P4C=25。或50。.

故选：C

8.D

解：rAO是△4BC的中线，

：.BD=CD,

依题意，当48>4。时，如图所示:

•「BC边上的中线40把△/BC分成周长差为5的两个三角形,

：.AB+BD+AD-(AC+CO+AO)=-4c=5,

：.AC=7,

：.AB=54-7=12；

当；IB<AC时，如图所示：

•「BC边上的中线40把△ABC分成周长差为5的两个三角形,

，AC+BD+AD-Q4B+CD+AD)=AC-AB=5t

：.AC=7,

：.AB=7-5=2；

综上：AB的长为2或12,

故选：D

9.D

解；延长80交延长线4C于点，.设40交BE于点0,

,：AD1BD,

：.ZADB=ZADH=90°,

ZBAD=90°,/H+/HAD=90。,

VZBAD=ZHAD（角平分线的定义），

A^ABD=NH,

：.AB=AH,

,：AD1BH,

：.BD=DH,

•:DC=CA,

・•・^CDA=/SO,

•?^CAD+N”=90°,NCDA+NCDH=90°,

/CDH=NH,

ACD=CH=ACf

•「E为4c的中点，

：.AE=EC,

♦.SAABE=>S^CDH=7s△A6H，

・"△。皿-S^AOE=S.D8-SfBE=S〉ADH一•^△CDHSAACD，

'：AC=DC=4t

・••当OC_LHC时，△AC。的面积最大，最大面积为gxx4=8,

，图中两个阴影部分面积之差的最大值为8,

故选：D.

10.c

解：①・.FO平分/E4C,

：.ZEAC=2ZEAD.

VZEAC=ZABC+ZACB9ZABC=ZACB,

：.ZEAC=2^ABCy

ZEAD=/ABC,

:.AD〃BC,故结论①正确；

@'：AD//BCy

：./ADB=NDBC,

•：BD平分ZABC,^ABC=^ACB,

:./ABC=/ACB=2/DBC=2/ADB,故结论②正确;

③ICO平分4CF,

Z./ACD=NDCF,

:/DCF+ZACD+NACB=180°,

：,2^DCF+ZACB=180°,

/BDC+NDBC=NDCF,

：,2NBDC+2NDBC+ZACB=180°,

：,2NBDC+ZABC+ZACB=180°,

,?ZBAC+ZABC+NACB=180°,

:・/BAC=2NBDC,

:・/BDC=g/BAC,故结论③正确；

④；BO平分4BC,

/ABD=/DBC,

\*AD//BC,

；./ADB=NDBC,ZADC=NDCF,

:・/ABD=NADB,

CD平分4CF,

/.ZACF=2NDCF,

/ADB+ZCDB=ZADC=NDCF,

180°=ZACD+/DCF+ZACB=2/DCF+ZACB,

：.2ZDCF+NABC=2/DCF+2/ABD=180°,

：,/DCF+ZABD=90°,

，/ADB+NCDB+ZADB=90°,

：.ZZABD+NCDB=90°,

AZABD=4S°-^CDB1故结论④正确；

⑤由④得，CCF+4BO=90。，

'：AD//BC,

/ADC=NDCF,

：.ZADC+ZABD=90°,故结论⑤不正确；

・•・正确的结论有4个.

故选：C.

二、填空题

11.180°

【详解】解：如图，

A

B

D

・「=4+4,2=C+与，NC+/I+—=180°,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°；

故答案为：180°.

12.100°

解：•・•4=65°,NB=75°,

.・./C=180°-65°-75°=40°,

由折叠的性质可知，NC=/C=40。，

・•・Z3=/I+4=60°,

.•・Z2=NC+N3=100°,

故答案是：100°.

13.2c

解：:a、b、c是三角形的三边长

根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

a+c>b,即Q—b+c>0；b+c>af即Q—b—c=a—(b+c)V0

•・•正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数

/.\a-b+c\=a-b+ct\a—b-c\=—(a-b-c)=-Q+b+c

则|a-b+c|+|Q—b-c|=(Q—b+c)+(-a+b+c)

=a-b+c-a+b+c

=2c

故答案为：2c.

14.6

解：.・•细铁丝的长度为13cm,即三角形的周长为13cm,

a>b>ct

・・・a是这个三角形最长的边，

由三角形三边的关系，得b+c>Q,而b+c=13-a,

「・13-Q>Q,

解潺，a<6.5,

n。为整数,

••a最大可取6.

故答案为：6.

15.减少10

解：・・Z+N户500+60°=110°,

・・.//吠180°-110°=70°,

：•4DCE-7y,

如图，连接次并延长，

:.乙DF后/肚4DC用20°+/DCF,

/EE后/E+/EC产300+/ECF,

:"EFA/DFM/EF"G+ZDCF+300+ZECF=50°+ZDCE=50°+70°=120°,

要使/夕*110。，则N夕刃减少了10。，

若只调整/〃的大小，

制/EF2/DF耻/EFg/屏/DCF+/E+/ECF=/N/E+4EC2/爪30°+70°=Z小100°,

因此应将N〃减少10度；

故答案为：①减少；②10.

M

三、解答题

16.(1)如图所示，高CO和中线CE即为所求;

(2)如图所示，4C边上的高B尸即为所求;

.,.|x55F=1x11X3

，BF=£33.

17.(1)解：在△4BC中，

4+/B+ZC=180°,

丁4+=NC,

J.2ZC=180°,

，4=90°,

：.ZA+ZB=90°,

'：/B=4,

・•・4==2x90。=45°；

2

(2)解：Vz^4=ZB=45°,

：,BC=ACt

「.△ABC按边分类，属于等腰三角形；

,//C=90°,

••.△ABC按角分类，属于直角三角形；

故答案为：等腰，直角.

18.(1)解：•••/O是高，4=70。,

•••ZDi4C=90°-70°=20°,

♦・♦ZABC=60°,

ZBAC=180°-NC-^ABC=180°-70°-60°=50°,

•.FE是NBAC的平分线，

ZEAC=|ZBAC=1x50°=25°,

•••ZDAE=ZEAC-ZDAC=25°-20°=5°；

(2)解：•••NC=70°,

•••ZABC+ZBAC=180°-70°=110°,

•・•HE、BF是角平分线，

:.ZB4E+4BF=g(4BC+ZBAQ=^x110°=55°,

・♦・/AOB=180°-(/B/E+ZABF)=125°.

19.(1)解：-BC-AB<AC<BC+ABt

.•・4-2<4。<4+2,即2<4CV6,

•・•△ABC为“好运三角形”，

・・・AC为偶数,

.'.AC=4；

(2)设=为偶数),则BC=12-x,

%+12-x>4,

%+4>12-%,

(12—%+4>%,

解得4<x<8,

x为偶数,

AB=x=6.

BC=12—6=6,

又•，•AC=4,

••・△ABC是“好运三角形”.

20.(1)解：•・・夕=35。，NC=65。，

ZBAC=180°-35°-65°=80°,

•••40平分/B4C,

:.ZBAD=ZCAD=40°,

・•・ZADE=+ZBAD=35°+40°=75°.

vAE1BC,

ZAEB=90°,

:.ZDAE=90°-ZADE=15°.

(2)解：•・•NB=a,/C=仇

・♦・/BAC=180。一”夕，

；4。邛分ZBAC.

ZBAD=ZCAD=90°-1(a+/?),

ZADE="B+ZBAD=a+90°-1(a+/?),

•••FE1BC,

/FEB=90°,

.・./DFE=90°-^ADE=1/一a).

21.(1)证明：•.•MN〃8C,

/B=ZMAB,NC=NNAC,

vZMAB+NNAC+ZBAC=180°,

・•・“B+ZC+4AC=180c.

(2)解：①・・・/P=150。，ZPBC+ZPCB+ZP=180°,

/PBC+/PCB=180°-/P=180°-150°=30°,

故答案为：30.

②•・•NP=130°,NPBC+/PCB+/P=180°,

:./PBC+NPCB=180°一/P=180°-130°=50°,

•:PB、PC分别平分4BC、ZACB,

：・/ABC=2NPBC,NACB=2NPCB,

•••/ABC+ZACB=2NPBC+2/PCB=100°,

则ZA=180°-(4BC+4CB)=180°-100°=80°.

(3)连接BC,如图：

•・./ABD、Z4CD的角平分线交于点E,

ZABE=ZDBE=|ZABDtZACE=ZDCE=|ZACD,

•・•/DBC+/DCB=180°-/D,

・•.ZABC+ZACB=ZDBC+NDCB+(/ABD+ZACD)=180°-4,

即180°-ND+(/ABD+ZACD)=180°-4,

整浬得：ZABD+ZACD=ZD-^4,

则4BC+ZECB=/DBC+ZDCB+ZACD)=180°-/E,

即180°-ZD--ZA)=180°-4,

整浬得：2NE=ZD+4

22.(1)解：9：AB1OM,

AZBAO=90°,

■:/MON=60°,

AZABO=30°,

,?/BAO=90°=3x30°=3N4BO.

•••△40B是灵动三角形，

故答案为：是.

(2)解：9：AB1OM,

AZBAO=90°,

丁/BAC=70°,

：.ZOAC=20°f

丁/MON=60°,

且/MON=60°=3x20°=34MC,

••.△AOC是灵动三角形，

故答案为：是.

解：

(3),：AB10My

：,ZBAO=90°,

•：/MON=60°,

AZABO=30°,

是灵动三角形，上瓦40=90。＞/3/。,

JZBAC^3ZABC,

当dCB=34BC时，ZACB=90°,

^OAC=90°一/MON=30°；

当4CB=3/B4C时，4BC=30。，

AZACB+NBAC=150°,

：AZBAC=150°,

ZBAC=37.5°,

・•・ZOAC=90°-ZBAC=52.5°；

当"BHC=3N为C8时，^ABC=30°,

・・・4CB+ZBAC=150°,

：AZACB=150°,

Z.ZACB=37.5°,

・・・/84C=112.5。，不符合题意，舍去，

当/48C=3N^4C时，Z4BC=30。，

・•・/BAC=10°,

:.^OAC=90°-ZBAC=80°；

综上所述，NU4c的度数为80。或30。或52.5。.

23.解：(1)•••BP平分NABC,CP平分4CB,4BC=50。，ZACB=80°,

ZPBC=^ZABC=2S\ZPCB=^ZACB=40°,

・♦•/P=180°-NPBC-/PCB=115°,

故答案为:115。；

(2)v4=6,

・•・/ABC+ZACB=180°-ZA=180°-0,

vBP平分4BC,CP平分/4CB,