北师八年级数学上册-第1章 勾股定理（单元重点综合测试）

第1章勾股定理（单元重点综合测试）

一、单选题

1.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.3,4,4B.5,6.7C.近，6，石D.5,12,13

2.直角三角形的两直角边长分别为3和4,则它的最长边的长度为（）

A.5B.4C.5或近D.5或4

3.如图所示，在数轴上点A所表示的数为m则。的值为（）

A-1U

A.一石B.1-5/5C.一1一蓬D.-3

4.如图，在八«。中，RC=3,AC=4,AA=5,点/）是AC的中点，连接W）,贝ijAQ的长为（）

A.V13B.2石C.3D.4

5.如图，在边长为1的小正方形网格中，尸为上任一点，户公-尸片的值为（）

D

6.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅

b

C.D.

7.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.

若正方形A、B、C、O的边长分别是3、4、1、3,则最大的正方形E的面积是（）

C.26D.35

8.如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15。的方向上，该轮船又从A处向正东方向行

驶20海里到达B处，测的灯塔。在北偏西60。的方向上，则轮船在8处时与灯塔。之间的距离

（即8C的长）为（）

A.406海里B.（206+10）海里

C.40海里D.（1。6+1。）海里

9.如图，有一个圆柱，底面圆的直径48=3,高BC=12cm,P为8C的中点，一只蚂蚁从

A点出发沿着圆柱的表面爬到，点的最短距离为（）

C

P

AB

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

10.如图，已知N8=NC=ND=NE=90。，且AB=C£>=3,BC=4,DE-EF-2.则A,尸两

点间的距离是()

A.14B.6+KC.8+V2D.10

二、填空题

11.已知：乂8C中，ZC=90°,48=历，BC=V27.求ABC的周长.

12.在RtZXABC中，ZC=90°,AB=3®,贝UAO+BC、.

13.已知三角形ABC的三条边长小儿c满足44而|+(c-9)2,则ZkABC的

面积为.

14.的三边为〃、氏c,若满足则=90°：若满足则/A是

角；若满足则ZB是_______角.

15.如图，在正方形网格中，若每个小方格的边长都为1,则.ABC的面积为.

A

16.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母4所代表的正方形的面积为

17.如图，佳佳在玩耍时，用四个完全一样的小直角三角板按如图撰放，恰好放在一个大直

角三角形内，大直角三角形的两条直角边分别为4和6,则图中四个小三角形的周长之和为

6

4

18.如图，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC=4cm,〃C=3cm,将斜边"翻折，使点U

落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为4）,则CE的长为.

三、解答题

19.如图，在用ABC中，ZC=90°,4C=9cm,BC=12cm,CO_LA8于。.

求：（1）斜边A8的长;

（2）高。。的长.

20.如图，AB=ACfCD±AB,BE上AC,垂足分别为。，E.

(1)求证：ABE^ACD；

(2)若AE=6,CO=8,求8。的长.

21.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10

尺（A3=10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是A8的中点），它高出水面1尺（MP=1

尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN=8N）.水

的深度PN与这根芦苇MN的长度分别是多少？

田

22.某中学有一块四边形的空地4ACQ,如图所示,学校计划在空地上种植草皮，经测量？490?,

A8=3m,BC=4m,CD=l2m,AD=13m.若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资

金买草皮？

23.如图，ZAC/?=90°,ZZ?AC=30%AC=26,BC=2,把,"C沿A3折叠，点C折叠到点。,

A。的延长线与射线CB交于点E.

A

(1)求AE的长;

(2)求一羽石的面积.

24.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为

顶点分别按下列要求画三角形.

(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3,2拒，6;

(3)在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4.

-----i-----T

I।।II

।III।

।II।।

IIIII

IIIII

I--十—I--h—I

u.-u.—i-------u...J

图3

25.一架云梯长25in,如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙71n.

⑴这个梯子的顶端A距地面有多高？

（2〕如果梯子的顶端下滑了4m,那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?

26.观察、思考与验证.

（1）如图1是其中一条完全平方公式的几何解释，请你写出这个公式.

（2）如图2所示，aABCmCDE,々="=90。，且A,C,O在同一直线上.则ZACE=

图2

（3）伽菲尔德（1881年任美国第2（）届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发

表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程.

27.如图①在二A8C中，NBAC=90。，AB=ACf点。和点E均在边4c上，且NZME=45。.

（1）如图②把448。绕点A顺时针旋转90。至.5CG,可使A/3与AC重合，连接EG,求证:

/\DAE^/\GAE

（2）试猜想B。、DE,比应满足的数量关系，并写出推理过程.

图①图②

28.如图①己知A4CA和△"£：中，ZACB=NDCE-AC=BCfDC=EC,按照图①的位

置摆放，直角顶点C重合.

(1)写出4)与踮的关系；

(2)如图②，点A、。、七在同一直线上时，若CD=G，BE=3,求A3长为

(3)如图③，若NCBD=45。,AC=6fBD=3,求无的长.

第1章勾股定理（单元重点综合测试）

答案全解全析

一、单选题

1.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.3,4,4B.5,6.7C.0,柩,百D.5,12,13

【答案】D

【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可.

222

【解析】A、3+4^4,不是勾股数，该选项不符合题意；

B、52+62^72,不是勾股数，该选项不符合题意；

C、72,G，行不是正整数，不是勾股数，该选项不符合题意；

D、52+122=132,且5,12,13均为正整数，是勾股数，该选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查勾股数的定义（能够成为直角三角形三个边长的正整数叫做勾股数）,

牢记勾股数的定义是解题的关键.

2.直角三角形的两直角边长分别为3和4,则它的最长边的长度为（）

A.5B.4C.5或/D.5或4

【答案】A

【分析】根据勾股定理进行计算即可.

【解析】解：由题意得：斜边为：73^=5，

此时最长边为5.

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

3.如图所示，在数轴上点A所表示的数为d则。的值为（）

A=40

A.一石B.1-V5C.D.-3

【答案】C

【分析】利用勾股定理求出BC.进而结合数轴可得答案.

【解析】解：根据题意可得：BC=y12r+V3

AB=BC=&

・••点A表示的数为石+1）=-百T,

故选C.

A。〃

【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出8c长是解题关键.

4.如图，在工8c中，8c=3,AC=4fA8=5,点。是AC的中点，连接8。，则8。的长为（）

A.屈B.26C.3D.4

【答案】A

【分析】先证明NC=90。，再利用勾股定理可得3D=，CQ2+4c2=在万=后,从而可得答案.

【解析】解：VBC=3fAC=4,AB=5f

:.AC2+BC2=32+42=25=AB2,

ZC=90°,

•.•点。是4c的中点，

:.AD=CD=2t

•*-BD=ylCD1+BC1=x/4+9=V13»

故选A

【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆

定理是解本题的关键.

5.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点,92-融2的值为（）

D

【答案】D

【分析】先根据勾股定理用PC，8c表示出〃用尸C,AC表示出FA?,再把AC=2,8C=4

代入进行计算即可.

【解析】解：,・・,，PBC与△PAC是直角三角形，AC=2,8c=4,

:.PB2=PC2+BC2=PC2+16,

2222

PA=PC+AC=PC+4f

PB2-PA2=(PC2+16)-(PC24-4)=12,

故选D.

【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和

一定等于斜边长的平方是解题的关键.

6.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅

图中不能证明勾股定理的是(

【答案】D

【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和

等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A,

利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和

为边正方形面积推导勾股定理可判断B.

利用以a与（aib）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为

边正方形面积推导勾股定理可判断C,

利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D.

【解析】解:A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积

和等于上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，故+整理得：

/+从=。2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为

边正方形面积，故4x；"+c2=m+〃）2,整理得：a2+b2=c2f即能证明勾股定理.，故本选项

不符合题意；

C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为

边正方形面积，4x《a（a+A）+/=c2,整理得：片+从=°2,即能证明勾股定理，故本选项不

符合题意；

D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2"+/+〃=e+3？，根据图形证明完全平方公式，

不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完

全平方公公式是关键.

7.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.

若正方形A、B、C,。的边长分别是3、4、1、3,则最大的正方形£的面积是（）

【答案】D

【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可.

【解析】解：如图.

由勾股定理得，正方形F的面积-正方形A的面积十正方形B的面积=3?+4?=25,

同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形。的面积=「+32=10,

・・・正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=25+10=35,

故选：D.

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是①b,斜边长为c,

那么a2+b2=c2.

8.如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15。的方向上，该轮船乂从A处向止东方向行

驶2（）海里到达3处，测的灯塔C在北偏西60。的方向上，则轮船在8处时与灯塔。之间的距离

（即8C的长）为（）

A.406海里B.(20。+10)海里

C.4()海里D.(loG+10)海里

【答案】D

【分析】过A作4DS8C于。，解直角三角形求出C。和8。，即可解决问题.

【解析】解：过A作AO/BC于O,如图所示：

北

西东

在中，ZABD=30°,A8=20海里，

/.AD=^AB=\O（海里），BD=6AD=与AB=1（）6（海里）,

VZABC=30°,ZBAC=90°+15°=I05°,

；・ZC=180°-105°-30°=45°,

是等腰直角三角形，

工€7)=40=10海里，

.・.BC=BDICD=(1()V3।10)海里，

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形一方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键.

9.如图，有一个圆柱，底面圆的直径48=3,高3c=12cm,。为8c的中点，一只蚂蚁从

兀

A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为()

＜一＞C

P

/.一一、

力k%

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【答案】B

【分析】把圆柱的侧面展开，连接人尸，利用勾股定理即可得出”的长，即蚂蚁从A点爬到产

点的最短距离.

【解析】解：如图：展开后线段相的长度是圆柱中半圆河的周长，

c

AB

圆柱底面直径3。〃、高BC=12。明尸为8C的中点,

兀

BP=6cm,

...AB=1x/rx更=8（7〃，

27T

在4440中，AP=yjAB?+PB?=旧+6?=l（Xc〃z），

蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10。〃，

故选：B.

【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾

股定理求解是解答此题的关键.

1().如图，己知N4=NC=NO=NE=90。，且八4=8=3,BC=4,DE=EF=2f则A,尸两

点间的距离是()

\7i>

A.14B.6+&C.8+V2D.10

【答案】D

【分析】过点/作FG_L48交AB的延长线于点G,根据题意求出AG、FG,根据勾股定理

计算，得到答案.

【解析】解：过点尸作尸G_LA8交A8的延长线于点G,

则4G=AB+CQ+E尸=8,FG=BC+DE=6t

由勾股定理得，AF=VAG2+FG2=10,

故选D.

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是m4斜边长为c,

那么6?2+Z?2=C2.

二、填空题

11.已知：乂8C中，ZC=90°,48=历，BC=V27.求ABC的周长.

【答案】12G

【分析】利用勾股定理求出4C=46,即可得到.ABC的周长.

【解析】解：中，ZC=90°,4B=V75=5>/3,8C=百=36.

由勾股定理可得，AC=\IAB2-BC2=475-27=4右，

；・的周长为A8+BC+AC=5x/5+3百+4x/5=12石，

故答案为：126

【点睛】此题考查了勾股定理，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的

关键.

12.在RtZXABC中，ZC=90°,AB=3叵,贝ijAC'+BC?：.

【答案】18

【分析】根据勾股定理求得人。2+8。2=人夕=18,代入式子即可求解.

【解析】解：如图所示，

•・•在RtZ\A8c中，ZC=90°,AB=3五,

AC2+BC2=AB-=（3>/2）2=18,

故答案为；18.

【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.

13.己知三角形ABC的三条边长匿b,。满足而4+"i-唬|+(c-后产，则△A8C的

面积为一.

【答案】4H.

a-4>0

【分析】根据二次根式有意义条件可得%",求出〃=4,利用个负数性质求出

4-«>0

b=2垃,c=2限,利用勾股定理逆定理判定AABC的形状，利用面积公式求即可.

【解析】解：・・・g,E都是二次根式,

«-4>0

**(4-«>0

解得4<t?<4

a=4

.\|/?->/8|+(C->/24)2=0,|Z>->/8|>0,(c-V24)2>0,

.\/?-^=0,c-V24=0,

b=2y/2,c=2瓜

,.•/+从=16+8=24陞2

：.^ABC为直角三角形，

ScABcJab，"也=4垃.

22

故答案为4&.

【点睛】本题考查二次根式有意义条件，解不等式组，非负数性质，勾股定理逆定理，熟知

二次根式有意义条件，非负数性质，勾股定理逆定理是解题关键.

14.以的三边为a、b、c,若满足从=/+°2,则=90°；若满足则/鸟是

角；若满足力?</+/,则是_角.

【答案】NB钝锐

【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足则这个三角形是直角三角

形，进行求解即可.

【解析】解:若//=〃2+/,则/8=90。：若〃则/B是钝角：若〃,则/B

是锐用，

故答案为：/B,钝，锐.

【点睛】木题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练

掌握相关知识进行求解.

15.如图，在正方形网格中，若每个小方格的边长都为1,则一48c的面积为.

【答案】13

【分析】根据网格的特点和勾股定理求得力根据勾股定理的逆定理判定A8C为直角

三角形，进而根据直角三角形的面积公式求解.

【解析】AC2=22+32=13,AB-=62+42=52,BC=82+12=65,

2

：.AC+AB-=BC-AC=A、AB=^=2M,

・•・为直角三角形，

.•.S5c」ACA8」xgx2a=13.

故答案为：13.

【点睛】本题考查了网格与勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键.

16.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母4所代表的正方形的面积为.

【答案】64

【分析】根据勾股定理求解即可.

【解析】解：如图，字母A代表的正方形的面积=/=d=289-225=64,

故答案为：64.

【点睛】本题考查了勾股定理，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键.

17.如图，佳佳在玩耍时，用四个完全一样的小直角三角板按如图摆放，恰好放在一个大直

角三角形内，大直角三角形的两条直角边分别为4和6,则图中四个小三角形的周长之和为

【答案】10+2而

【分析】根据勾股定理和平移知识解答.

【解析】由勾股定理得“^=2而，由平移的性质得到：图中四个小三角形的周长之和为

大直角三角形的周长二10+2万.

故答案为：10+2屈.

【点睛】考查了勾股定理.，生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图

形的形状和大小.

18.如图，有一块直角三角形纸片，NC=90。，AC=4cm,8C=3cm,将斜边A8翻折，使点8

落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为A。，则CE的长为.

【答案】1cm

【分析】勾股定理求出"的长.折叠得到*=利用CE=4石-AC即可得解.

【解析】解；vZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,

:.AB=dAC?+BC2=5cm，

・・•翻折，

:.AE=AB=5cm,

:.CE=AE-AC=1cm；

故答案为：1cm.

【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题.熟练掌握折叠的性质，是解题的关键.

三、解答题

19.如图，在心A3C中，ZC=90°,4C=9cm,BC=12cm,C0J.A3于。.

求：(1)斜边AB的长；

(2)高的长.

【答案】(1)15cm；(2)ycm

【分析】(1)利用勾股定理计算出A3的长即可；

(2)根据三角形的面积公式计算出的长即可.

【解析】解：(1)在RL.A8C中，ZC=90°,AC=9,BC=12,

.\AB=j92+122=15cm；

(2)v-xACxBC=-xCDxAB

22f

-x9xl2=-x15xCD,

22

解得CD=g.

故高CD的长为£cm.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理:

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

20.如图，AB=ACfCD±ABfBElACf垂足分别为。，E.

A

⑴求证：ABE^.ACD；

(2］若AE=6,CD=8,求的长.

【答案】(1)见解析

(2iBD=4

【分析】(1)利用“AAS”可记明.ABEgACO；

(2)先利用全等三角形的性质得到4。=4七=6,再利用勾股定理计算出4C,从所得至IJAB的

长，然后计算A4-AO即可.

【解析】(1)证明：CDIAR,RE\AC,

.•.ZA£8=ZADC=90。，

在一ABE和/CD中，

AAEB=ZADC

<£BAE=/CAD,

AB=AC

ABE^ACO(AAS)：

(2)解：ABE，ACD,

:.AD=AE=6f

在RtaACQ中，AC=y/AD2+CD2=>/62+82=10，

vA£?=AC=l(),

:.BD=AB-AD=U)-6=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质

证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

21.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10

尺(原=10尺)的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是"的中点)，它高出水面1尺(僧=1

尺).如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面(MN=8N).水

的深度PN与这根芦苇MN的长度分别是多少？

N

【答案】水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺

【分析】在中，根据勾股定理列出方程，求出PN的长，即可求解.

【解析】解：•・•AB=10,点P是A8的中点,

:.BP=5.

•;MP=LMP+PN=BN,

：.\+PN=BN.

在RtZiB/W中，根据勾股定理，

BN2=52+PN2.

：.(\+PN)2=52+PN2.

解得PN=12,

BN=1+PN=1+12=13.

答：水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺.

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

22.某中学有一块四边形的空地A8C，如图所示,学校计划在空地上种植草皮，经测量？B90?,

48=3m,BC=4m,CD=12m,AO=13m.若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资

金买草皮？

【答案】学校需要投入7200元买草皮

【分析】先利用勾股定理求出4C,再利用勾股定理的逆定理得出,4€7>9伊，最后利用三角

形的面积得出答案.

【解析】解；连接4C，

ZB=90°,A4=3m,8c=4m,CD=12m,

:.AC2=AB2+BC2=32+42=25,

AC=5m,

在.MC£＞中

AC2+CD2=25+144=169=132

XVAD2=13\

:.AC2+CD2=AD2

.-.ZACD=90o,

[AC。是直角三角形，

四边形A8CD的面积=gx3x4+gx5x12=6+30=36（i/）,

「•学校要投入资金为：200x36=7200（元）；

答；学校需要投入7200元买草皮.

【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出ACD是直角三角形是解

题关键.

23.如图，ZAC8=90。，N4AC=30。，AC=20RC=2,把d8C沿A8折叠，点C折叠至lj点。，

A。的延长线与射线C8交于点E.

（1）求AE的长；

（2）求..ABE的面积.

【答案】(1)4x/3;(2)4x/3

【分析】(1)首先由折叠的性质得出NZMB=NBAC=30。，进而利用直角三角形两锐角互余得

出ZAEC=30。，进而利用30。所对的直角边是斜边的一半即可求解；

(2)首先根据勾股定理得出EC的长度，进而求出所的长度，最后利用S△m,=；E4.AC求

解即可.

【解析】(1),・,把沿8B折叠，点C折叠到点。，

ZZ)/1B=ZBAC=3()0,

zmc=60°.

vZACB=90°,

.\ZAEC=90o-60o=30°.

•.•AC=25

/.AE=2AC=4x/3;

(2)AE=4x/5,AC=2G,/4CB=90°,

：.EC=y/AE2-AC2=6.

8c=2,

/.EB=4,

「♦SAAEB=3E8AC=3X4X26=4G.

【点睛】本题主要考查折叠与勾股定理，掌握折叠的性质及勾股定理的内容是关键.

24.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为

顶点分别按下列要求画三角形.

(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3,2g，石；

(3)在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4.

「■■

F--T---i---°F----r---r—i—T—

tillIIII11111

IlliIIII11111

.**

IlliIIII11111

IlliIIII11111

——一«»——

IlliIIII11111

IIII11111

卜__+一.十-_+__"

IlliIIII11111

IlliIIII11111

L---1---J1----U.-4.---U---U--4----1---4----」

图1图2图3

【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）见解析

【分析】（1）画一个三边分别为3,4,5的直角三角形即可；

（2）根据网格的特点以及勾股定理，分别找到边长分别为3.2&,&的线段，通过平移的方法

将三条线段首位相连即可；

（3）根据网格的特点画一个底为2高为4的钝角三角形即可；

【解析】（1）如图所示，

图I

AC=3,8C=4,A8=5,

则/WC即为所求三角形;

（2）如图所示,

图2

A8=3,AC=2&,BC=0

则/WC即为所求三角形;

（3）如图所示，

图3

△AfiC=-x2x4=4

2

则44c即为所求三角形；

【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理，根据勾股定理找到符合题意的线段是解题的关键.

25.一架云梯长25m,如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端。离墙7m.

8CE

⑴这个梯子的顶端A距地面有多高？

⑵如果梯子的顶端下滑了4m,那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？

【答案】（1）这个梯子的顶端A距地面24m

⑵梯子的底部在水平方向滑动了8m

【分析】（1）根据题意得出乙钻。=90。，AC=25m,8C=7m,利用勾股定理求解即可；

（2）由题意得B/）=24-4=20m,DE=25m,再由勾股定理得出3£=而彦F57=15m，即可

求解.

【解析】（1）在凡A8C中，ZABC=90°,AC=25m,BC=7m,

***AB=dAC?-BC?=24m•

答；这个梯子的顶端A距地面24m.

（2）在他D8E中,Q=24-4=20m,DE=25m,

:.BE=\IDE2-BD2=15m，

,CE=BE-BC=15-7=8m.

答：如果梯子的顶端下滑了4m,那么梯子的底部在水平方向滑动了8m.

【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键.

26.观察、思考与验证.

（1）如图1是其中一条完全平方公式的几何解释，请你写出这个公式.

（2）如图2所示，ABCmCDE,々=0=90。，且8,C,。在同一直线上.则ZACE=

图2

（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发

表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程.

【答案】（1）（。+与2=/+%。+/；（2）90；（3）证明见解析

【分析】（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，

从而推出平方和公式；

（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；

（3）用面积分割法法证明勾股定理.：梯形ABOE的面积二三角形ABC的面积+三用形CDE

的面积+三角形4CE的面积.

【解析】（1）这个公式是完全平方公式：（。+32=/+2加+〃2；理由如下：

,大正方形的边长为。+人

・,•大正方形的面积=（。+匕）2,

又・・,大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积

=a2+b2+ab+ab=a2+lab+b2,

/.(a+b)2=a2+lab+b2.

故答案为：(。+〃)2=〃2+2"+/.

(2)•：“BC三&CDE,

：./BAC=/DCE,

■:z64CB+ZBAC=90°,

ZACB+ZDCE=90°f

：.ZACE=90°.

(3)VZfi=ZD=90°,

・•・"+/£>=180。，

:.ABIIDE,即四边形人用市是梯形，

.二四边形A8OE的面积=；("+〃)(〃+〃)=+人，

整理得：a2^b2=c2.

【点睛】本题考查了勾股定理和用面积法证明代数恒等式，用面积法证明代数恒等式是常用

的代数式变形，采用了数形结合的方式，直观易懂.

27.如图①在*A8C中，ZBAC=90°,AB=ACf点。和点E均在边8c上，且ND4E=45。.

(1)如图②把A4⑺绕点A顺时针旋转9()。至.ACG,可使A3与AC重合，连接KG,求证：

/\DAE^/\GAE

(2)试猜想B。、DE、笈应满足的数量关系，并写出推理过程.

图①图②

【答案】(1)见详解；(2)DE2=CE2-\-BD2,理由见详解

【分析】(1)由旋转可知,AAB。丝/\ACG.则AD=4G,可求/E4G=45。,则可证明△D4E

白△G4E(S4S)；

(2)Z\D4E四△G4E,则有8D=EG,再由旋转，BD=CG,/ACG=NB,可得/ECG=90。，

在RfZ\CEG中，EG2=EC2-\-CG2,可得。辰二^^+跳月

【解析】解：(1)由旋转可知，△ABOgZiACG,

：.AD=AG,NCAG=NBAD,

c

VZBAC=90°,ZDAE=45f

：.NEAG=NCA£+/CAG=/CA£+N8A。=90。-45。=45。,

在△D4E和△GAE中，

AD=AG

-ZDAE=ZEAG,

AE=AE

.,.△DAE^AGAE(SAS)；

(