等式与不等式的性质（复习讲义）-2027年高考数学一轮复习解析版

A知•识•解•构<

A知识点1等式的基本性质

1.对称性：若a=b,则b二a；

2.传递性：若=1)且6=(:,则a=c；

3.可加性：若@=忙则a+c=b+c；

4.可乘性：若a=b,则ac二be：若a=b且c#),则a上二b—。

cc

自主检测|(2026•陕西西安中学•模拟)已知cosa+2sin/?=1,且a,/?G(0,^),则M=2cosa—cos2/?的取

值范围是()

A.(0,1)B.(-pl)C.(-1,1)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】将M换成只含夕的方程，然后对这个未知数进行取值范围的讨论即可.

【详解】由题意可得COSQ=1-2sin/?,cosa>0,

可得0<sin/?Vg,M=2—4sin/7—cos2/7,

即M=14-2s\n2p—4sin/?=2(sin0-l)2—1,

将OVsinSv^代入，可得一三VM<1.

22

A知识点2不等式的基本性质

性质名称具体内容注意事项

对称性a〉bob<a双向等价

传递性a>b,b>c=>a>c单向推导

可加性a>b=a+c>b+c双向等价，移项的依据

同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d单向，可■推广到n个同向不等式

可乘性a>b,c>0=>ac>bc乘负数不等号方向—

a>b,c<0nac<bc

同向同正可乘性a>b>0,c>d>()=❖ac>bd必须同时满足“同向〃和"正数〃

乘方性a>bX)n〃”〉b"(n£N,n22)仅对_____成立

开方性a>b>0=UZ>46(n£N,n22)仅对_____成立

自主检测|（多选题）若a>0,匕>0,a+b=4,则（）

A.吁牌。B.：+如1

C.Va+Vb<2V2D.12<a2+3b2<48

【答案】BC

【分析】根据题意，利用基本不等戈可得判定A不正确，B正确,C正确；由Q=4-b,化简得到a2+3b2=

4（6—1）2+12,结合二次函数的性质，可判定D不正确.

【详解】对于A,因为a>0,b>0,4=a+b>2\[ab,所以abW4,

当且仅当a=b=2时取等号，即。工、所以Q-^WO,所以A不正确；

bb

对干B,因为5+£=1*+》（。+》）=；（2+5+》二：（2+2后）二匕

当且仅当。=匕=2时取等号，所以B正确；

对于C,因为学工产岸!=鱼，所以依+近42vL

当且仅当a=b=2时取等号，所以C正确：

对于D,因为Q>0,b>0,且a=4-b,所以Q2+3Z?2=（4-6）2+3力2=4（6-1）2+12,

又因为0vbv4,可得1244（6-+12<48,所以D不正确.

A知识点3比较大小的常用方法

a-b>0u>a>b;

1.作差法（通用）：a-b=0u>a=b；

4一力<0=4V仇

—>1od>b—=\<=>a=b—<!<=>a<b

2.作商法（适用于同号两数）：若a,b>0,则〃；〃;b

3.中间量法：找0、1等中间量，通过传递性比较大小。

自主检测设。=2。3><0.32,d=0.3O3x22,C=203X22,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】A

【详解】a=2O3x0.32,C=203X22,

因为2。3>0,且0.32<22,

所以2°3X0.32<203X22,即avc,

b=0.3°3x22,因为22>0,"函数y=”3在（o,+8）上单调递增,0.3V2,

所以0.3°3v2°汽BlttO.303x22<20-3X22,即bVc,

a_203一。.32

=2T,7x0.317=0.1517,

~b~0.303X22

因为0<0.15<l,1.7>0,所以0.1517<1,

因为a>0,b>0,所以？V1,即aVb,

b

因此a<b<c.

A知识点4不等式的常用结论

1.倒数法则：a>b,ab>0=。b.

b<b+m

2.分数性质：若a>b>0,m>0,则〃〃+加（真分数性质）；

3.绝对值不等式：||a|-|b||^|a±b|W|a|+|b|<.

自主检测（2026・山东济宁•模拟）（多选题）已知a,b,c为实数，则（）

A.若42>儿2,则Q>bB.若a>b,ab丰0,则！<△

ab

C.若a>b>c>0,则比>2D.若a>0,b>0»a+b=1,则二十:24

a+caab

【答案】ACD

【分析】可根据不等式的性质判断A,可通过举反例来判断该选项B是否止确，通过作差法判断C,可通

过对上+［进行变形，然后利用基本不等式判断D.

ab

【详解】选项A：已知川2>儿2,则>0,则Q>b,所以选项A正确；

选项B：当a=l,b=-1时，满足a>b,ab=1x(-1)=­1=#0,

此时二=1/二一1,显然二>；,所以选项B错误；

abab

'牛TfiC、+c_b_a(b+c)-b(a+c)_ab+ac-ab-bc_c(a-b)

°人"a+caa(a+c)a(a+c)a(a+c)’

因为a>b>c>0,所以a-Z?>0,a+c>0,

所以平V>0,即丝£一2>0,—选项C正确；

a(a+c)a+caa+ca

选项D:已知Q+b=l,Q>0,b>0,将上+2变形为：-4--=(a+b)=14--+-+1=2+

abab\ab/ab

ba

根据基本不等式，因为Q>0,b>0,所以2>05>0，

ab

则^+1-2历1=2(当且仅当沁,即a=>=£时，等号成立)；

所以11=2+-+7>2+2=4,即-+i>4,所以选项D正确.

a+babab

A题•型•破•译•

A题型1不等式性质的正误判断

例（2026•湖南株洲四中•学考模拟二）若实数a,b满足a>"则（）

A.Q+1>b+1B.Q+1<b+1C.3dV3bD.a-b<0

【答案】A

【详解】已知实数Q,b满足Q>b,则a+l>b+l,故A正确，B错误；

•：a>b,

：.a-b>0,故3（a-b）>0,即3Q>3b,故C,D错误.

例1月（2026.四川绵阳南III中学实验学校.高考冲刺）已知〃/（=/?,且0VVhV1,则（）

A.a2>b2B.->7C.-^―>D.cosa<cosb

aba+1b+1

【答案】c

【分析】对于AB,利用不等式的性质可判断，对于C,使用作差法即可判断，对于D,结合余弦函数的单

调性和奇偶性即可判断.

【详解】对于A,因为0V|a|VbVl,所以|a12Vb2,即a2Vb故A错误；

对千B,当aw(-1,0)时,i<0,1>0,此时；V：,故B错误;

对干J-----j_=(匕+1)/+1)=_b-a_

」'a+1fe+1(a+l)(ft+l)(a+l)(b+l)

因为b>|a|,所以b>a,即b-a>0,又因为a>-l,b>0,所以(a+l)(b+1)>0,

因此・一出>°'即故C正确;

对「D,余弦函数y=cos》在（0,1）上单调递减，所以cos|a|>cosb,

乂因为函数为偶函数，所以cos|a|=cosa>cosb,故D错误.

方法技巧不等式性质的快速判断

1、特殊值法：代入0、1、-1等特殊值排除错误选项；

2、性质法：严格依据8条基本性质判断变形的等价性；

3、函数法：将不等式转化为函数单调性问题。

易与昔分析忽略前提条件

1、忽略可乘性中"c的符号,，对不等号方向的影响；

2、忽略乘方、开方性质中，力>0”的前提；

3、混淆同向可加性与同向可乘性的条件。

【变式训练皿］（25-26高三下•江苏G4・4月联考）已知实数Q>0,b>0,贝I」“Q+b<1”是“ab<的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【详解】Q时，

1>+b1>a+b>2y/ab,1>4ab,ab<4

又ab<：时,取Q=100,b=此时Q+b>l,

所以a>0,b>0,则“a+b<1”是“ah<的充分不必要条件.

【变式训练1-2］（多选题）（2026•芜湖安师大附中•适应性检测）若非零实数a,b满足小+/=4,则下列

结论一定成立的是（）

A.—+7—1B.tz+b<2^2C.cib<2D.3a+4b<10

ab

【答案】BCD

【分析】应用特殊值法判断A,由基本不等式判断B、C,应用柯西不等式判断D.

【详解】［tla=b=-或时，满足a?+=%此时A错，

由a?+炉=423■上L=（a+b）±工8,有a+当且仅当a=b=V7时取等号，B对，

由/+/j2=4工2ab=abW2,当且仅当a=b=±近时取等号，C对，

由（3。+4万）24（32+42）32+»）=100,贝归。+钻工10,当且仅当4a=3儿即。=，匕=?时取等号,

D对.

【变式训练1-3］（多选题）（2026・河南名校•模拟）下列说法正确的是（）

A.若:>彳，则aVbB.若a*>b\［B，则a>b

C.若aVbvO,D.若一2VaV3,1<b<2,则-4Va-bv2

ab

【答案】BD

【分析】对于选项A,可根据已知不等式判断c的取值情况，再结合不等式性质判断a与b的大小关系；

对于选项B,可根据不等式两边同时平方的性质判断。与人的大小关系；

对十选项C,nJ通过作差法比较a-2与力-［的大小；

对干选项D,可根据不等式的性质求出a-b的取值范围.

【详解】选项A,已知《>二，因为c2N0,当C=0时，-=y=0,不满足三>二，所以CHO,则

ababab

C2>0.

不等式三>［两边同时除以c2,不等号方向不变，可得二>：.

abab

当a>O,bVO时，满足二>3但此时a>b,所以选项A错误.

ab

选项B,已知a>/a>by/b,因为aJH和b\［b都有意义，所以QNO,bNO.

不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得（a病2>侬啊,即a3>b\

因为函数y=/在眼上单调递增，所以由标>b3可得a>b,选项B正确。

选项C，（a-^）-（b-；）=a-b+1-^=a-d+^=（a-b）（l+^）,

因为Q<b<0,所以Q-b<0,ab>0,则14-->0,

ab

所以（a—b）（1+4）+0,即Q-十vb选项C错误.

选项D,已知lvb<2,不等式两边同时乘以一1,不等号方句改变，可得一2〈一8<-1,

又因为-2va<3,根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变，

可得一2+(-2)<Q+(-b)<34-(-1),即-4<a-b<2,选项D正确.

【变式训练1-4](多选题)(2026•黔西南顶兴中学•二模)已妇实数a,b满足6=1>则()

A..a>bB.-a<-b

C.(Q—匕)(a+b-2)<0D.2a-2h>3-a-3-b

【答案】ABD

【分析】首先根据条件判断Q>bN1,再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小.

【详解】由条件可知，。一1>匕一120,则故A正确；

-a<7b»故B正确：

a—b>0»a+Z?—2>0»所以(a—b)(a+b—2)>0,故C错误：

设=为增函数一减函数=增函数，所以/(外为增函数，

因为Q>b,所以f(a)>/(b),即2。一3一。>2°—3一》，即2。一2b>3一。一3一万，故D正确.

【变式训练1-51(多选题)已知a>0,b>0,则下列说法正确的是()

A.若a>b,c<0,贝Uac>beB.若a>b,7n>0,则f

C.若3a+b=2,则工+5的最小值为4+2V5D.若a+b=2,则行+C的最大值为2

ab

【答案】BD

【分析】利用不等式的性质判断A,利用作差法判断B,根据基本不等式求最值后判断CD.

【详解】对于A,因为Q>b,cV0,由不等式的性质可得acv加，故A错误；

74•工.«aim(ab)m

对'BD，厂再；=嬴7浦

因为a>b>0,m>0,故a-b>0,b+m>0,故b(b+m)>。,

故产，故B正确；

bb+m

对于仁"；手'(2+：)7(4+竽+2"2+8，

当且仅当b=V3-l,a=l-4时等号成立，故*，的最小值为2+V3.

3ab

2

对「D.(Va+\fb)=a+b+2\ftab=2+2y[fab<2+a+b=4.

故、0+VFW2,当且仅当Q=l,b=1时等号成立，

故6+伤的最大值为2,故D成立.

【变式训练1-6•变载体】(多选题)(2026•河北雄安新区•预测)已知4个正数a,b,c,d成等比数列(公

比qH1),则()

A.ad>beB.d.-b>c-a

C.a2+d2>2bcD.若a41,be=4,则a+d的最小值为5

【答案】BCD

【详解】对A：由等比数列性质可得ad=%，故A错误；

对B：d—b=aq3—aq=aq(q2—1),c—a=aq2—a=a(q2—1),

则(d-b)—(c-a)=aq(q2-1)-a(q2-1)=a(q2-l)(q-1)=a(q-1)2(Q+1),

由qH1•且各项为正数,则(q-l)2>0,Q>0,则(d-b)-(c-a)>0,

即d—b>c—a,故B正确.

对C：由则aRd,贝ij(a-=a?+医-2ad>0,

故G?+d2>2ad=2bc,故C正魂；

对D：由ad=be,则Q+d=Q+"=Q+±,

aa

由对勾函数性质可得y=Q+£在(0,1］上单调递减，

故a+d=a+±Zl+±二5,故D正确.

a1

【变式训练1-7•变考法】(多选题)已知实数a,b,cH0,且黑目,喏1成等差数列，则下列说法正确的

ib\c\\ac\Zb\a\

是()

A.2b2<a2+c2B.a2<h2<c2

C.b2>\ac\D.a2b2+b2c2>2a2c2

【答案】ACD

【分析】利用等差数列性质，取特殊值，以及均值不等式逐项分析即可.

【详解】对于A,设％=|a|,y=\b\,z=|c|,

因为黑，告，端1成等差数列，所以黑+唔岑=2x9p

2b\c\|ac|2b\a\2b\c\2b\a\|ac|

两边同乘2bxz可得：—x2bxz+把芸x2bxz=2x—x2bxz,

2bz2bxxz

即4?+2%z+z?=(%+z)2=也即(Q|+匕|)2=(2|b|)2,可得b?=,

WG2+c2—2b2=a2+c2—0°?」)-=j(|a|2—2|a||c|+|c|2)=^(|a|—|c|)2>0

故2b24a2+c2,即A正确；

对于B,若取|a|=3,|c|=l,代入禺+需F=2x告，可得5+富二?，

2b\c\2b\a\\ac\2b2bx33

62=4.此时不满足a2<b2,故R错误：

2

对于C,由A项分析，得〃=*空之誓包=|ac|,当且仅当⑷=|c|时取等，故C正确；

22222

对于D,因为炉>|ac|,所以a2b2+b2c2=b(a+c)>|ac|(a+c)>2\ac\'\ac\=2a2c2,

当且仅当〃=c2时等号成立，故D正确.

题型2比较大小

例2』(2026•辽宁名校联盟•模拟；已知实数％y,z满足则()

A.(x-y)(y-z)<0B.xz>yz

C.-<-D.—<—

xyx-zy-z

【答案】D

【详解】实数x,y,z满足x>y>z,

x-y>0,y-z>0,(%-y)(y-z)>0,A项错误；

x>y,但是z正负不确定，B项错误；

x>y,但是％y正负不确定，C项错误；

%-z>y—z>0,所以」—<—♦D项I上确.

/x-zy-z

例22【新考法】](2026・天津河东•二模)“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的•款明星科

技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：

方案甲：第一次提价m%，第二次提价九%;方案乙：第一次提价九%,第二次提价m%;

方案丙：第一次和第二次均提价(等)％;

方案丁：第一次提价(2m+2")％，第二次降价(租+2%；

其中0vn<mv50,则四个方案中提价最多的方案为()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【详解】设商品原价为a(Q>0),

对于甲：最终价格为研1+m%)(l+n%)=Q(1+霭+就)：

对于乙：最终价格为Q(1+n%)(l+771%)=a(l+党+就);

所以甲、乙方案结果相同，

对于丙：最终价格为矶1+(哼i)%F=a[l+嘿+黑暮]:

I\2，」L10040000J

由均值不等式，喘白唔=黑二箴⑺")，所以方案内的最终价格高于甲、乙，

对FJ：最终价格为：Q[1+(2m+2n)%][l—(in+n)%]=a(l+—~；；)；：一),该式存在负项，所以明

显小于其他方案的结果,

综上，提价最多的是方案丙.

方法技巧比较大小的解题策略

I,指数对数式：优先找中间量0或1,再结合函数单调性；

2.同结构代数式：作差法变形为因式乘积形式判号：

3.同号幕形式：作商法与1比较大小；

4.复杂形式：构造函数，利用导数判断单调性。

易错分析方法选择不当

1.作商法比较大小时忽略分母符号；

2.构造函数时定义域判断错误；

3.指数函数与对数函数单调性混淆。

【变式训练2-1•变载体】（2026・长沙铁-中•模拟）甲和乙有相同的两台燃油车,甲每次加油都是加200元,

乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（xwy）,两次加油后，

请问谁的加油方式单价低？（）

A.乙B.不能确定C.一样D.甲

【答案】D

【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可.

【详解】甲两次总花费200+200=400元，甲两次总加油量您+%=200•力升，

xyxy

因此甲的平均单价盯I=4%=竽.

中200ix-y^r+y

设油箱容积为，升，即乙每次加油量为V升，则乙两次总花费Vx+Vy=VQ+y）元，乙两次总加油量V+V=

2V升，

因此乙的平均单价%乙=与罗=

乙2V2

-_-_x+y_2xy_（x+y）2-4xy_（-一.产

乙甲一2x+y~2（x+y）-2（x+y）-

因为xHy,所以（％-y）2>0,因此土乙一文甲>0,即土甲v土乙.

【变式训练22］（2026,河北部分高中•一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为〃高分别为心，后，且

该圜锥与圆柱的表面积相等，若h1+/i2=",则圆锥的体积匕与圆柱的体枳匕的大小关系为（）

A.匕〉/B.匕=匕C.<V2D.不确定

【答案】C

【详解】因圆锥与圆柱的表面积加等，则有nr2+打尸2nN+2.h2,

整理得般=4/+初电，因八1二针一九2，

2

代人化简得3岐+12rh2-16r=0

解得：h=2（q-3）二代入九］=4r一九2，可得九1=2（9-尸）匚,

2•5J

因片——xTIT?xh［9%=nr?X%2，

3

2（9-VTQr._

则五=也=/三=2<四=1,

（）

V23h22V21-3r66

故/<V2.

【变式训练2-3】已知5,>31°,#°>7’.设Q=log47,b=21og72+log73»c=log925,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【来源】广东省广州市天河区2025届高三综合测试(二)数学试题

【详解】由题意可得b=log712,c=log35,

因为57>310,410>77,所以两边取对数整理可得log35>—,log,？〈与，所以Q<C

又G=log7=臀>1,b=log12=>1,7=1.2,

84In47In7bI。n41nl2

且Yin41nl2V叱"®"=生竺〈生巴=1117,即In41nl2<(ln7)2,

所以E>1，a>b,所以bVQVc.

b

故选：D.

【变式训练2-4】(2026•西宁大通二中•仿真模拟)(多选题)下列不等式中成立的是()

A.若a>b>0,则QC2>加2B.若。>匕>0,则>/j2

C.若a<b<0,贝1及2<。匕<匕2D.若a<b<0,贝畤〈工

【答案】BD

【详解】对于A：当c=0时，ac2=be2,故A错误；

对于B：因为a>b>0,则|a|>网>0,故得M>炉，故B正确；

对于C：若取Q=—3,b=—2,满足QVb<0,

因G?=9,ab=6,b2=4,显然不满足a?<帅V炉，故C错误；

对于D：由aVbV0,得ab>0且b-a>0,

因工—；=匕？>0,可得：<工，故D正确.

ababba

【变式训练2-5】(2026•江西重点中学协作体•第二次联考)(多选题)已知a>b>0,cV0,则下列不等

式成立的是()

A.B.->—C.ac>bcD.(a+-)(-+c)<0

abaa-c\c)\a)

【答案】AD

【分析】利用不等式的性质即可判断AC,利用作差法即可判断B,利用基本不等式即可判断D.

【详解】对于A：由a>b>0得0<三<]乂CV0,所以故A止确；

abab

对于B：一匚=。(<)=华4乂Q>匕>0,c<0,

aa-c3?a(a--c)a(a-c)

所以a-d>0,a-c>0,所以C(Q-b)<0,Q(Q-c)>0,

所以半二々<0,所以三，故B错误；

a(a-c)aa-c

对于C：由a>b>o,cvo,所以aC<b。，故C错误；

对干D：(a+》C+c)=2+ac+*=2—[(—ac)+&],

由a>O,c〈O,所以一ac>0,所以(-ac)+N2J(~ac)=2,

当一ac=」-,即ac=—1时，等号成立，

-ac

所以(a+;)(3+c)=2-[(-QC)+<2-2=0,故D正确.

【变式训练2-6](多选题)已知m>ri>0,则下列说法正确的是()

A.Inm>InnB.cosm<cosn

C.若c>0,贝1」〃北>"D.C)>C)

【答案】AC

【分析】选项A利用函数y=In%的单调性判断；选项B余弦函数不单调，举反例；选项C根据不等式的性

质确定；选项D利用函数)/=弓尸的单调性判断.

【详解】函数y=Inx在区间(0,+00)上单调递增，

因为m>n>0,所以lnm>lnn,选项A正确；

m=2IT,n=TT时，cosm>cosn.选项B错误；

若c>0,m>n>0,则me>nc,选项C正确；

函数y=弓尸在(-8,+8)上单调递减，所以<Q)\选项D错误.

【变式训练2-7•变考法】(2026•武汉武昌•五月供题)(多选题)已知随机事件48满足0<P(4)Vl,0<

P(B)Vl,记丁=P(A)P(B),S=P<U8),若A,B互斥，则()

A.PQ4B)HOB.S>2T

C.当S=：时，T的最大值为尚D.若T=：，则S=1

2164

【答案】BCD

【分析】应用概率的性质，结合事件互斥得5=。(4)+尸(3),再应用作差法比较S,27大小及基本不等式得

S2>47,进而依次判断各项的正误.

【详解】由概率的性质知S=P(AUB)=P(4)+P⑻-P(AB),

1tM，B互斥,则P(AB)=0,A错，故5=「(力)+「(8),

由S—27=P(A)+P⑻-2P(4)P⑻=P(4)[l-P(B)]+-P(A)],

而PC4)+P(8)<10P(4)<1-P(B)且P(B)<1-PQ4),

所以S-2Tz[户(A)K+[P(8)]2>0,则S>27,B对，

由0VP(4)<1,0<P(B)<1,则T=PG4)P(B)<"6"⑹)-=

44

当且仅当户Q4)=P(B)=9时取等号，则S2>47,

当S=%则=白当且仅当PG4)=P(B)=g时取等号，即T的最大值为jC对，

N416416

当7=二则$221,结合概率的性质知0VSW1,则S=l,D对.

4

题型3求代数式的取值范围

例3・1|(25-26高三下•安徽滁州来安中学•考前预测)已知正实数I,满足ln(2x)+Iny=x+2y-2,则X、-

yx=()

A.—4B.-2C.—2D.1

【答案】B

【分析】将条件ln(2x)+Iny=%4-2y-2等价转化为Inx+ln(2y)=%-1+2y-1,构造函数证明t-12

Int.从而Inx+ln(2y)W%-1+2y-1,求得取等号时的％,y,解出

【详解】由题意得，x>0,y>0,ln(2x)+Iny=ln(2xy)=Inx+ln(2y),

则皿2%)+Iny=%+2y-2等价于In%+ln(2y)=x-l+2y-l.

=则/(£)=号,则/(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/(t)N/(l)=0,BPt-1>lnt,当且仅当t=1时等号成立.

由t1>Int得久1>lnx>2y1>ln(2y),

Minx+ln(2y)<x—1+2y-1,

又In%+ln(2y)=x-l+2y-l,

所以x=l,2y=1即y=g,

则x'-yx=1--=-.

/22

例30(2026・四川广安友谊中学•模拟)(多选题)已知F?两点的坐标分别为(-c,0),(c,0)(c>0),曲

线。上任意一点P(x,y)满足俨居|“PF2l=。2(。>0),则()

A.曲线C关于原点对称

B.|x|<y/a24-c2,\y\<

C.若Q>C,则曲线C与圆：为2+、2=3小有交点

D.若a=c,直线y与曲线C有3个交点，则k的取值范围为(一1,1)

【答案】ABD

【分析】根据条件得到曲线C的方程，根据方程的特征判断A,平方后结合不等式的性质和判别式为非负判

断B,结合B可判断C,联立直线方程和曲线C的方程后消元求解可判断D.

【详解】由题设有+c)?+y2.1(x一c)2+*=。2,此方程即为曲线。的方程.

对于A,设P关于原点的对称点为Q(-招-y),

则《(T+C)2+y2.q(-x_C)2+y2=_c)2+y2.J(/+d+y2=Q2,

故Q也在曲线C上，故曲线C关于原点对称，故A正确；

对于B,曲线C的方程可化为J/+/+-2cx-y/x2+y2+c2+2cx=a2,

整理得(％2+y2+c2Y-4c2/=Q4,故+y2+02)2=4c2无2+Q42(%2.1.02)2,

故力4—2。2%2+工。4,故一Q2$%2一4。2,故%2&c?+。2,

所以忱|wNF正

又一+2x2(y2—c2)+(y2+c2)2—a4=0,故A=4(y2—c2)2—4(y2+c2)2+4a4>0,

整理得a424y2c2,故故B正确；

对于C,若a>c,若曲线C与圆：/+y2=3Q2有交点，

则由(x2+y2+c2)2—4C2X2=a"可得(3。2+c2)2—4c2x2=a4,

故产=CM—2a=,了i>2cZ+二〉/+/,这与B中判断矛盾，

4c24c22

故C错误；

对于D,若0=C,则曲线方程为(/+y2+02)2一牝2%2=。4,

2

由『2+y2+Cy-4cV=c4可得(/+入2+均2_4-2=C3

整理得(1+k2)2x4+2(k2-l)c2x2=0,故X=0或%2=2：比二,

因为直线y=kx与曲线C有3个交点，故I-/〉。，故一ivk<L故D正确.

方法技巧求代数式范围的规范步骤

1.设所求代数式为已知代数式的线性组合，用待定系数法求系数；

2.利用同向不等式的可加性，分别求出各部分的范围；

3.合并得到最终范围，注意边界值的验证。

易错分析范围扩大问题

1.多次使用同向不等式相加，导致边界扩大：

2.忽略变量之间的相互制约关系：

3.端点值无法同时取到，错误包含端点。

【变式训练3-111多选题)已知不相等的实数a,藏足ab=a+b+3,则下面说法正确的是()

A.存在实数t使得a,8是方程/一垃+£+3=0的两根

B.若a,b>0,则ab的取值范围是(9,+8)

C.a+b的取值范围是(6,4-co)

D.―+二的取值范围是2+匿

【答案】ABD

【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别

分析各选项.

【详解】选项A：若a、b是方程%2-4+亡+3=0的两根，

由韦达定理得Q+b=£,ab=t4-3,代入题干ab=Q+b+3,

左边=t+3,右边=£+3,等式成立；又a中b,

则4=£2-4«+3)>0,即£>6或t<一2时存在这样的3A正确；

选项B：若Q,b>0,由基本不等式Q+匕2尻

代入Q匕=a+6+3得ab>2y[ab4-3,令m=Vab(rn>0),

则m?—2m—320,解得mZ3即ab29,当且仅当a=b=3时等号成立，

但aHb,故ab>9,即范围为(9,+8),B正确;

选项C：令$=。+6,贝Uab=s+3,则a、b是方程/一sx+s+3=0的两根，

判别式△=s2—4(.9+3)>0,解得s>6或s<—2.

即a+b的范围是(-8,-2)U(6,+8),并非仅(6,+8),C错误：

选项D：a2+b2=(a+b)2—2ab=s2-2(s4-3)=(s—I)2-7,

由s£(-8,-2)U(6,+8)：当s<-2时，(S-1)2>9,i!fta2+d2>2；

当s>6时,(s—1)2>25,故。2+力2>18,综上a2+J范围为Q,+8),D正确.

【变式训练3-2•变考法】(25-26高三下•安徽A10联盟•阶段检测；已知函数/⑺=ln(2x+1)+ln(2x-1),

在点(i，f(i))(ieV)处作曲线y=/■(切的切线乙，其纵截距记为瓦，若£随/。)<£随仇+而对九6N♦恒成

立，则实数义的取值范围为.

【答案】由+8)

【分析】根据题意求出点(i,f(i))(i€N")处的切线方程，得到微距如再根据裂项相消法求出£隘[/(1)-4]

的表达式，最后解不等式的恒成立问题即可.

【详解】由题意得，/(x)=ln(4>:2-1),X>\

因为尸(x)=溪？故点(i/(i))(ieN*)处的切线方程为y-/(0=^(%-0，

则瓦=f⑴+后=含+«n(4iZ-l),所以f⑴一仇=怒=2+后，

则瑞山.⑴id=2n+高=2n+(六-W)=2n+1-

结合题意可得-bi]=2n+l-^<An.

所以4>2+^-显行=2+高(九€N*),可得2>土

4的取值范围为片+8).

【变式训练3-3•变载体】(2026.广东.华侨港澳台联考适应性(：))记八4。匚的内角4R,C的对边分别为

a,b,c,若a,沙，c•成公差为d(d>0)的等差数列，且b=l.

(1)求d的取值范围；

(2)求cos/1+cosB+cos。的取值范围.

【答案】⑴(0,J

(2)(词

【分析】(I)根据等差数列的定义可得｛:二:;，，结合三角形三边的大小关系建立不等式组，解之即可；

(2)根据余弦定埋可得cos力+cos8+cosC=32—W),结合(1)和不等式的基本性质计算即可求解.

【详解】(1)因为a,b,c成公差为d(d>0)的等差数列，b=l,

所叱SU，即｛二:二

e-c>a(l+l+d>l-d

由三角形三边的大小关系可得a+c>b,即l-d+l+dvl,又d>0,

\a+b>cVl-d+l>l+d

所以0VdV%即d的取值范围为(0,》.

⑵由余弦定理得3A=爷Q=y错也=或指

a2+c2-b2(l-d)2+(l+d)2-l2l+2d2

COSo,

2ac2(l+d)(l-d)2(l+d)(l-d)

_a2+b2-c2_(l-d)2+l2-(l+d)2_l-4d

COSC——二,

2ab2(l-d)2(l-d)

所以cosA+cosB+cost'=4---上任---+.="‘二=-(2----"),

2(i+d)2(l+d)(l-d)2(l-d)2-2dz2、l-d27

由(1)知ovdvgWiJ-<1-d2<1,得一：<--L-<-1,

243l-az

所以:<2一$<1,故cosA+cosB+cosC=|(2-合)£(1,|),

即cosA+cosB+cosC的取值范围为(1,4.

【变式训练3-4】△ABC的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知(c-2b)cos/l+竺当±二0.

2D

(1)若。=4,b+c=8,求△48C的面积；

(2)若角C为钝角，求三的取值范闱.

b

【答案】⑴46；

(2)(V3,+oo).

【分析】(1)利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得4=?，利用余弦定理可得尻=16,代入三角形面

«5

积公式求解即可.

(2)利用正弦定理得到三二杏，结合角。为钝角求解即可.

b2sinE

【详解】(1)

由余弦定理得"=cosC,原式“J化为(c-2b)coSi4+acosf=0,

2ab

由正弦定理得(sin。—2sinS)cos/l+sin/lcosC=0,

BPsinCcos/l+sinAcosC-2s\n8cosA=s\n(A+C)-2s\nBcosA=0,

又sin(A+C)=sin(TT-B)=sinB,所以sinB—2s\nBcosA=0,

又0VBVIT,所以sinB。0,所以1—2cosA=0,即cosA=g.

又0<AVm所以力=工.

3

由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=Q+c)2—2bc(l+coszl),

BP42=82-2bc解得be=16.

所以△A