一元二次不等式与其它不等式解法（讲义）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）练习卷

第5讲一元二次不等式与其它不等式解法•讲义

一、考情分析.........................................1

二、知识清单.....................................................................2

1.一元二次不等式..........................................................2

2.分式不等式..............................................................3

3.绝对值不等式............................................................3

4.不等式解集的相关结论.....................................................3

三、方法总结....................................................4

考点1：一元二次不等式的解法...............................................4

考点2：一元二次不等式解集与系数的关系....................................4

考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题..................................5

考点4：一元二次方程根的分布...............................................5

考点5：其他类型不等式的解法..............................................5

四、典题精练.....................................................................6

考点1：一元二次不等式的解法...............................................6

考点2：一元二次不等式解集与系数的关系....................................6

考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题..................................6

考点4：一元二次方程根的分布...............................................7

考点5：其他类型不等式的解法..............................................8

一、考情分析

1.考查频次与题型

题号与题型分值考查内容

间接考查（在解析几何题中联立直线与椭圆方程，利用判

2026第18题解答题约4分

别式构建一元二次不等式求解参数范围）

间接考查（在解析几何题中联立直线与抛物线方程，利用

2025第10题多选题约2分

判别式构建二次不等式确保交点存在）

间接考查（在导数题中解一元二次不等式确定导函数的符

2024第10题多选题约3分

号及原函数的单调区间）

近三年全国一卷中，一元二次不等式均未作为独立试题直接考查，而是作为底层运算

工具，在导数、解析几何等解答题或多选题的步骤中间接考查.

2.命题角度与特色

核心考点：一元二次不等式的解法、判别式的应用.

考查形式：客观事实表明，一元二次不等式主要深度融入导数与解析几何模块的解答

过程中.

试题特点：在导数题中，常需解形如/'（x）=Qx2+b%+c>0的不等式以划分单调区

间；在解析几何题中，处理直线与圆锥曲线相交问题时，常需利用△>（）解含参二次不等

式，以确定直线斜率或截距的取值范围.

3,备考策略

・侧重工具化训练：在复习导数、解析几何等综合模块时，同步强化解一元二次不等

式的速度与准确率，确保在综合题的中间步骤不失分.

・强化含参讨论：针对解析几何与导数中常出现的含参一元二次不等式，熟练掌握分

类讨论的标准（如二次项系数正负、判别式符号、两根大小比较）.

•夯实常规解法；熟练结合二次函数图象的数形结合思想，做到快速准确求解.

二、知识清单

1.一元二次不等式

一元二次不等式Q/+必+c>0®。0）,其中△=4-4QC,、1，%2是方程。一+

bx+c=0（a=0）的两个根，且<x2.

（1）当a>0时，二次函数图象开口向上.

①若△>0,解集为｛%IX>不或％<与｝.

②若△=0,解集为｛xGR且xH-%

③若△<（）,解集为R.

（2）当QV0时，二次函数图象开口向下.

①若A>0,解集为｛%|/V%<%21.

②若AMO,解集为。.

【易错提醒】解含参一元二次不等式时，务必优先讨论二次项系数是否为零.若二次项系

数含有参数，需分等于零、大于零、小于零三种情况进行分类讨论，切忌直接套用判别式.

2.分式不等式

(1)黑>°of(%)g(%)>°

(2)缁<o=r(x),g。)VO

(3)作0O山誉)NO

g(%)(g(x)ho

(4)伴°。山誓MO

g@)kgWh0

【防坑警示】解分式不等式时，严禁直接去分母，必须先移项通分，转化为一边为零的形

式，再等价转化为整式不等式求解，同时务必保证分母不为零.

3.绝对值不等式

(1)l/(x)l>\9W\«[/(x)]2>[^(x)]2

(2)|/(x)|>g(x)(g[x]>0)<=>/(%)>g(%)或/⑶<一9(%)；

l/WI<9。)(9。)>0)Q-g(x)</(x)<g(x)x

(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解.

4.不等式解集的相关结论

(1)已知关于x的不等式a/+人工+c>0的解集为(6,八)(其中nm>0),解关于x

的不等式c/+bx+a>0.

由Q/+b%+。>0的解集为得：Q(,2+始+c>o的解集为或》即关于

工的不等式*+5％+。>0的解集为(；,').

己知关于x的不等式a%2+bx+c>。的解集为(6,九)，解关于％的不等式c/+以+

a<0.

由a/+bx+c>0的解集为得：Q(》2+必+。工。的解集为(一8,曰u

g,+8),即关于x的不等式c/+bx+aW0的解集为(一8,*U。，+8).

(2)已知关于x的不等式a/+匕X+。>o的解集为(机，几)(其中九>血>0),解关

于％的不等式c7—bx+a>0.

由Q/+bx+c>0的解集为(犯九)，得：Q(>2—b：+c>0的解集为(-5,—即

关于％的不等式c/一力％+Q>o的解集为

（3）已知关于X的不等式。7+6:+^^^的解集为⑺^n），解关于X的不等式。2一

bx4-a<0.

由a/+bx+c>0的解集为（皿几），得：a（42一《+cw0的解集为（一8,-，u

[一，+8）,即关于x的不等式c/一.+Q工o的解集为（-8,-寺U[-；,+8）,以此类推.

（4）已知关于x的一元二次不等式a/+bx+c>0的解集为R,则一定满足

（5）己知关于％的一元二次不等式a/+"+c>o的解集为。，则一定满足｛屋:

（6）已知关于x的一元二次不等式a/+"+c<0的解集为R,则一定满足｛£：子.

（7）已知关于x的一元二次不等式。/+打+。<0的解集为。，则一定满足

【秒杀技巧】一元二次不等式的解集端点值即为对应一元二次方程的根，利用韦达定

理（根与系数的关系）可以快速实现不等式解集与系数之间的相互转化，从而避免复

杂的代数推导.

三、方法总结

考点1：一元二次不等式的解法

考法1：不含参一元二次不等式的求解

.求解由多个基本初等函数复合而成的函数定义域时，需列出使各部分均有意义的不

等式组.解一元二次不等式时，常利用因式分解法求出对应方程的根，再结合“大于取两

边，小于取中间”的原则写出解集.

考法2：含参一元二次不等式的求解

•解含参一元二次不等式的常规步骤为：一化（将二次项系数化为正数，或按正负分

类）、二判（计算判别式判断根的个数）、三求（求出对应方程的根）、四定（比较两根

大小，结合图象写出解集）.

考点2：一元二次不等式解集与系数的关系

考法1：利用解集求参数或解其他不等式

•已知不等式解集求参数时，常将解集端点作为方程的根，利用韦达定理建立参数间

的等量关系，从而实现降元或转化.

•根据不等式解集的形式（“取两边”还是“取中间”）可直接判断二次项系数的符

号.

考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题

考法1：二次不等式恒成立问题

•不等式恒成立问题常转化为二次函数图象与％轴的位置关系.对于a/+必+C>0恒

成立，需满足a=b=0,c>0或Q>(),△<0；对于ax?+取+cV0恒成立，需满足a=

b=0,c<0或Q<0,A<0.切忌漏掉二次项系数为零的讨论.

考法2：参变分离法解决恒成立或有解问题

・处理不等式恒成立或有解问题时，若参数易于分离，首选参变分离法.转化原则为：

aa

Q>/(%)恒成立<=>a>/(X)max；4/(%)恒成立<=>a</(%)min；之f(%)有解<=>a>

ZWmin；aWf(%)有解OaW/(%)max.

考法3：主元转换法解决恒成立问题

•当题目中出现“对任意参数［a/］恒成立”时，通常采用主元转换法，将参数视

为自变量，构造一次函数g(m)=4m+B.利用一次函数在闭区间上的单调性，只需满足

端点值9(a)和9(。)符合不等号方向即可.

考点4：一元二次方程根的分布

考法1：利用二次函数图象性质解决根的分布问题

・解决一元二次方程根的分布问题，核心是构造二次函数并画出草图.通常从四个维度

建立约束条件：①开口方向(二次项系数)；②判别式4(根的个数)；③对称轴位置；

④区间端点函数值的正负.

考点5：其他类型不等式的解法

考法1：分式不等式的求解

・解分式不等式的标准流程：移项、通分、化商为积.即编>0Qf(%)g(x)>0；

怒20O/(x)g(x)>。且g(x)W。.严禁在不等式两边同乘含有未知数且符号未知的式子.

考法2：绝对值不等式的求解

・处理形如/(4)</(B)的抽象函数不等式，核心是挖掘函数的奇偶性与单调性.若/(x)

为偶函数且在［0,+8)上单调递增，则/(4)4f(B)o|川4|B|Q炉工加，从而将函数

不等式转化为代数不等式.

•对于含有多个绝对值符号的不等式，常利用零点分段法去掉绝对值符号，分别在各

个区间内求解后取并集；或利用绝对值三角不等式求最值.

四、典题精练

考点1:一元二次不等式的解法

考法1:不含参一元二次不等式的求解

2

例1.函数f(x)=yj2x4-%-3+log3(3+2x-的定义域为

考法2：含参一元二次不等式的求解

例2,解下列关于％的不等式Q/+(Q+2)x4-1>0(a¥0).

考点2：一元二次不等式解集与系数的关系

考法1：利用解集求参数或解其他不等式

例3.己知关于%的不等式a/+2bx+4<。的解集为(m,3)，其中m<0,则=+：的最小

m4ab

值为

A.-2B.1C.2D.8

考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题

考法1：二次不等式恒成立问题

例4.(2026•百师联盟•一模)已知f(%)=a%?+以+c(a,瓦cWR),且f(x)V0的解集为

(0,2).

(