广东深圳市某中学等校2025-2026学年第二学期高一第二阶段质量监测数学试卷（含答案）

广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第二阶段

质量监测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z=3-4i•的模长是（）

A.5B.6C.7D.8

2.已知平面向量役=（6,-4）,石=（1/+1）,若五1瓦则4=（）

A.-|C.gD|

3.在△力BC中，角4的对边分别为Q”,C.若Q=5,b=6,cosB

A.7B.yC.8D.9

4.已知正四棱锥的底面边长为侧棱长为5,则它的体积为（）

A.18B.21C.24D.27

5.已知I,m,n是空间中三条不同的直线，a是空间中某平面，下列命题正确的是（）

A.若，1m,m//n,则/1nB.若1〃a,mil,则m1a

C.若11m,mln,则[〃几D.若l〃m,jnca,则〃/a

6.如图，已知校长为2的正方体4中，二面角以一BC-D的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.已知向量五与方的夹角为也同=2,历|=1,则向量3与方上的投影向量为（）

A.bB.yJlbC.aD.

8.在平行四边形ABG?中，AB=2,AD=6,ABAD=6,动点P左边BC上，则两•方的取值范围是（）

A.[-6,-2]B.[-2,10]C.[-2,6]D.[-6,10]

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z=U，则下列结论中错误的是（）

乙II

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A.z的实部为一1B.z的虚部为T

C.\z\=2D.z的共辗复数为1+i

10.如图所示，在正方体480-4.81%。［中，M,N分别为棱Ci%,QC的中点，则以下四个结论正确的是

A.直线力M与eg是异面直线B.直线MN与是共面直线

C.百线8N与MB】是•异面直线D.真线MN与3N的夹角为90。

11.在△4BC中，内角力，B,C的对边分别为。，/?,c,a=73,且2c-b=2acos8,则下列结论正确的是

-7T

AB6A8C外接圆的面积为万

A..4=76

C.△4BC面积的最大值为攀D.△4BC周长的最大值为3c

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量落石的夹角为60。，且同=|同=1,则怔+同=.

13.已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2,侧面积是则该圆台的体积为.

14.如图，在四棱锥P-力BCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，P41平面48CD.若P4=a,则直线P8

与平面PCD所成的角的大小为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

在△48C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且Mbc="+c?—a?.

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(1)求角4的大小；

(2)若a=277,B=鼻求从

16.(本小题15分)

(1)已知方=(4,2),求与近垂直的单位向量的坐标.

(2)已知向量五二(1,0),石二(1,1),当2为何值时，五十/IE与五垂直？

(3)已知同=3,历|=4,且五与万不共线.当〃为何值时，向量H+4与互一无互相垂直？

17.(本小题15分)

己知小与是两个单位向量，其夹角为60。，方=2讥+逑，方=-3药+2司.

(1)求同，同;

(2)求W与石的夹角.

18.(本小题17分)

如图，P为圆锥顶点，。为底团圆心，4B,C均在底面圆周上，且△4BC为等边三角形.

(1)求证：平面P04_L平而P8C：

(2)若圆锥的底面半径为r=2,高为九=2/2,求点A到平面P8C的距离.

(3)在(2)的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由.

19.(本小题17分)

如图，在直三棱柱48。-481G中，AB=8,AC=6/B4C=90。，。是8C边的中点，24。力=45。.

(1)求直三棱柱481cl的体积；

(2)求证：41c〃面4%。.

(3)一只小虫从点4沿直三棱柱表面爬到点D,求小虫爬行的最短距离.

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参考答案

\.A

2.B

3.0

4.C

54

6.B

IB

8.。

9.ABC

1(UC

11BCD

12.73

I3T

展

15.解：(1)由余弦定理，cos4=二竽,

AG(0,TT),

力=

4

(2)由正弦定理，言二焉

由第(1)问,4=(

,asmB2/2xsinj2x^2x^-rx

•••b=—si—n/l-=——si-nJjT^-=-苧=2V3.

16.解：(1)设与五垂直的单位向量为N=(%y).

则优卷二解得｛：7《：¥

所以z=俗-孚)樨=(-圣半)・

(2)因为五=(1,0),b=(1,1),所以N+高=(。+44),

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因为彼+a了与a垂直，所以@+4）•元=o,

所以（1+尢，）・（1,0）=0,即1+4=0,所以『=一1.

（3）2+比与五-序互相垂直的充要条件是0+无）♦0-无）=0,

BPG2—k?片=o.

一2

7=32=9,b=42=16,所以9-16M=（）.

解得八士1也就是说，当仁±*1寸，方+癌与H—无互相垂直.

17.解：（1）因为瓦，瓦是两个单位向量，其夹角为60。，

则瓦1=1，同=1，国电二；，

又回2=（2瓦+回2=4|可2+4叶苗+I可2=7,

所以网=/7,

2

同理问=（一3药+2a尸=9同2-12理•瓦+4底口=7,

所以的=/7；

（2）由题得，有不=（2西+石）•（-3万+2初=-6|可E+可.瓦+2|可产=-Z,

设W与石的夹角为仇

___7

则cos昨M=W

因为。£[0,河，所以6=,,

则向量苍与石的夹角为号.

18.解：（1）证明：延长40,交BC于点M,

由，ABC为等边三角形，得。是A/16C的中心,

则4018C,易知PO1平面ABC,

因为BCu平面力BC,所以P018C,

又P0n40=。，PO,4。＜2平面产。力，

所以8C工平面P04,

又BCu平面P8C,所以平面P04，平面P8C.

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R

A

C

(2)连接PM,作力〃_LPM于〃，由(1)知8CJ■平面POA,

因为？IHu平面POA,所以8CJ.AH,

因为BCnPM=M,BC,PMu平面P8C,

所以力H_L平面P8C,

故4到平面PBC的距离为A”的长.

QI

易知4M=S40=3,MO=^AO=1,

又PO=272,所以PM=VPO24-MO2=3,

所以PM=AM,

又乙4M，=xPM0,所以Rt-AM”三RnPM。，

故=P0=2/2,

所以点4到平面P8C的距离为2/2.

(3)存在外接球，设球心为Q,由对称性可知球心在直线尸。上，

由球心定义可知Q是直线P。和线段中垂线交点，下面为截面示意图:

设球半径为R，在直角三角形。4Q中，由勾股定理知辟=(九一〃7+八,

则乃=(2/2-R)2+4,解得R=等，

所以球表面积S=4TTR2=187r.

19.解：（1）在直三棱柱力BC-451cl中，由乙公。4=45。，得A4i=4C=6,

由4B=8,4C=6,4B4c=90。，得BC=10,S.ABC=^AB-AC=24,

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所以直三棱柱/BC-Ai/G的体积V==144.

(2)连接=E,连接OE,

由矩形48B14,得E是4iB的中点，而。是8C边的中点，

则。E〃&C，又&C不在平面4当。上，DEc平面力4。，

所以4C〃平面力为0.

(3)当小虫从点4沿A4声£爬到点。,把矩形8CC1%与A&B1C1置于同一平面内,如图,

连接公。，过&作BC于尸，交81g于点。，

由BC〃/G，得4iO_LBG，郁/噌©=招％年=葛+6=卷,

。的=41cle0SN&C1B1=力£•俱=孕，则DF=CD-0Cl=5-^-=l，

22

因此为0=y/AXF+DF=:，542+72=1<2965；

当小虫从点为沿正方形力。。遇1爬到点。，

把正方形4CC遇1与△ABC置于同一平面内,

或把正方形/ICCMi与矩形8。。1当置于同一平面内，如图，

在左图中，取48中点G,连DG,显然8,共线,

则DG//A&DG=\AC=3,DG1AB,

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2222

而&G=AAr+4G=10,因此=yjA]G+DG=V10+3=/109,