2026年高考数学一轮复习 单元检测卷（七）立体几何与空间向量（学生版+解析）

单元检测卷（七）空间向量与立体几何

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（24-25高三下•浙江衢州•期中）已知圆锥的底面周长为2兀，测面积为4兀，则该圆锥的体积为（）

*o6r2-c在”

A・------兀B.17CC•—ITD•-----Ji

3333

2.（24-25高三上•湖南永州•期末）在三棱锥S-48C中，V48C是正三角形，历》，记二面角S-/8-C,

S-8C-4的平面角分别为。，fi,tan（z=2tan^,tan^SBD=—,则cos/S8/=（）

6

36R5#指9"

A,------D・------U・U・-------

1414214

3.如图，矩形ADFE,矩形CDFG,正方形48co两两垂直，且=2,若线段DE上存在点P使得

GPLBP,则边CG长度的最小值为（

C.2D.

4.（24-25高三下•海南•阶段练习）如图1,是洛阳博物珍藏的西周兽面纹方鼎，其主体部分近似于如图2

的棱台48C'。-44G底面为长方形，力8=28C=40cm,A{B,=2B,CX=32cm,棱台

力灰?。-44GA的高为24cm.则棱台的体积是（）

D.15616cm3

5.（24-25•河南焦作二模）在直三棱柱，45。-,4百£中，AB-AC-2,AB±AC,若该棱柱外按球的表面积

为12兀，则侧面84。。绕直线48旋转一周所得到的旋转体的体积为（）

A.127tB.167：C.20nD.24兀

6.（24・25高三下•广东惠州•阶段练习）已知平面四边形力5c。中，AB=^2AC=2CD=4,N/BC=45。,

/BCD=135°,若平面四边形/14CD绕CO旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（）

7.（24-25高一下•浙江绍兴•期中）已知四棱锥S-48C。的所有顶点都在球。的球面匕SQ1平面力8C。,

底面力8CQ是等腰梯形，4B//CD且满足=2ND=2DC=2,Z4DC=120\SC=J^，则球。的体积是

（）

2o「

A.-71B.丝士乃C.8近乃D.8乃

33

8.（24-25高三下•浙江宁波•阶段练习）如图，一个体积为1的四面体/8CO靠在•个足够大的正方体容器

中（厚度小计），点力在底面上，现向该止方体缓慢注水，已知液面经过〃时的高度分别为力,2队3/?,

每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（）

二、多选题：本大题共3小题，4小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得。分.

9.（24-25高二上•福建三明•阶段练习）如图，在四棱锥。-48CQ中，底面力8CQ为平行四边形,

NDAB=（,AB=2AD=2PD,PD上底面/BCD,则（）

B.86*_1平面。5。.

C.异面直线与PC所成角的余弦值为正

5

D.m与平面力灰力所成角为T

10.（24-25•福建莆田•三模）如图.在边长为4的正方体力8。。-4出。。/中，E,尸分别是棱片G，G。/的

中点，尸是正方形小8/G。/内的动点，则下列结论正确的是（）

A.若。P||平面CER则点夕的轨迹长度为2返

D.若*P=J万，则点尸的轨迹长度为2兀

C.若，则直线力尸与平面CE/所成角的正弦值的最小值是亚

17

D.若P是棱小8/的中点，则三棱锥尸-CE/7的外接球的表面积是4E

11.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）如图甲，边长为2的正方形48C。中，E,“分别是44,8c的

中点，将V力。E,YCDF,尸分别沿。E,DF,即折起，使力，B,C三点重合于点。（如图乙）,

则下列结论正确的是（）

A.PD1EF

B.平面尸。尸，平面灯定

C.平面PEE与平面夹角的余弦值为立

3

D.三棱锥P-£7加的外接球半径是必

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（23-24高三上•河北秦皇岛•开学考试）在三棱锥尸-48C中，AB1BC,点P在底面的投影。为V/i8c

的外心，若48=4,BC=3,P0=5,则三棱锥产一月4C的外接球的表面积为.

13.（24-25高二上•湖北•阶段练习）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱"S-A/CQ,底面力8c。是

正方形，CG=3,CQ=3,且NCC8=/GCO=6（r,则向量近的模长为.

D

14.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）已知正方体/必。。-44GA的棱长为1,正方形4MCQ内部有一

片区域/,£是8々的中点，尸是CG的中点，若对于区域/内的任意一点P,总存在线段跖上一点。，

使得PQ//平面AD。,则区域I的面积最大值是.

四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）如图1,在V/8C中，N8=90：D、E两点分别在48、4C上,

AnApt_

使三造=DE=BD=2.现将V44C沿DE折起得到四棱锥A-BCED，在图2中力C=后•

DBEC

图1图2

⑴求证：力。1平面8CEO；

（2）求平面ACE与平面ACD所成角的余弦值.

16.（25-26高三上•重庆•阶段练习）如图所示，在四棱柱”CQ-44GA中，菱形"CD与菱形DCCB的

边长均为2,且平面44C。工平面QCGA，ND£C=NDCB=60。，ED、=EG,/为棱C£上的动点.

⑴若平面4环。平面/阴％=/,求证：EFUh

⑵在棱CG上是否存在点尸，使得平面4所与平面力4c。所成的角的正切值为也？若存在，请找出点尸的

2

位置；若不存在，请说明理由.

17.（24-25,宁夏石嘴山•三模）如图，圆柱中，是底面圆。2上的一条直径，尸，。分别是底面。2,Q

圆周上的一点，PQ〃。心AB=2PQ=2,且点尸不与48两点重合.

（1）证明：平面力尸Q_L平面4夕。；

⑵若二面角4--P为60°，求直线BQ与平面POQ所成角的正弦值.

18.（24-25高三下•云南昭通•期中汝I图甲，正方形ABCD的边长为2,M是月8的中点，连接DM,将4ADM

沿直线0M翻折，使得平面力。历，平面8CDW（如图乙），连接48,AC,N是棱4C的中点.

（1）证明：〃N〃平面力DW；

⑵求平面与平面4）。所成角的正弦值.

19.（24-25高三下•全国•开学考试）如图，在四楂锥〃-彳8c。中，底面48CQ为矩形，AB=2,BC=4,

PA=PB=6.

p

(1)若平面产月8，平面ABCD,求PC与平面ABC。所成角的正弦值;

⑵若平面PBC与平面ABCD的夹角为三，求尸C的长.

单元检测卷（七）空间向量与立体几何

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：本大题共8小题，母小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（24-25高三下•浙江衢州•期中）已知圆锥的底面周长为2兀，划面积为4%则该圆锥的体积为（）

A.B.1兀C.-7CD.—n

3333

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体枳的有关计算

【分析】设圆锥的底面半径为「，母线为/,则由题意可得2兀「厂二_27c，求出乙/，从而川求出高力，进而可

nrl=47t

求出圆锥的体积

2nr=2TC[r=1

【详解】设圆锥的底面半径为〃，母线为/，贝IJ/人，解得，「

7C/7=4兀/=4

则该圆锥的高/?=巧干=而，

故该圆锥的体积为j“”=叵，

33

故选：A.

2.（24-25高三上•湖南永州•期末）在三棱锥S-"C中，V"。是正三角形，而二；反，记二面角S-"-C,

S-5C-力的平面角分别为。，fl,tana=2tan/7,tanZSBD=—,则cosNS历1=（）

6

A35/6R5指「瓜n976

1414214

【答案】B

【难度】0.4

【知识点】余弦定理解三角形、求二面角

【分析】设V48C的边长为3,得到4。=1,借助余弦定理，求出80,ian43。，再通过作辅助线，找出

二面角。，〃的平面角，再结合已知条件tana=2tan6以及tanNS8O=且，利用三角函数的相关知识求解

6

cosZ.SBA.

【详解】设的边长为3,则月。=1,

在4ABD+,由余弦定理得BD2=AB1+力。?一248•JDcosA

32+l2-2x3xlxl=7,则

BA2+BD2-AD232+(V7)2-l25>/7

cosZ.ABD=

2ABBD2x3xV7-14

则sinNABD=«-cos?NABD=普,tanNABD=去,

如图，作SO_L面力8C,于£,OE14C于产，

q。sc

侧Z.SEO=a,Z.SFO=/?,tana=——，tanp=——，

OEOF

乂lana=2lan〃，所以。尸=2OE,

OEOF

sinNOBE=-----,sinZ.OBF=——，所以sinNOB"=2sinNOBE,

OBOB

TTTT

结合NOBE+NOB尸=],得NOBF\-NOBE,

根据三角函数的两角差公式可得sinNOBF=sin(y-NOBE)

=sin—cosNOBE-cos—sinNOBE,

33

所以sinZ.OBF--cosZ.OBE--sinZ.OBE，

22

己知sinNOBF=2sin4OBE,则—cosZOBE--sin/OBE=2sin/OBE，

22

将上式移项可得走cosNOBE=2sinZ^f+-sin/OBE=-sinAOBE,

222

W®tanAOBE=—=tanZABD,所以O，B,。三点共线，

5

由tan2SBD=走得cos2SBD=噌，

66

BFC/?RFV65576

cosZ.SBA=—------------=cosZ.SBD-cosZ.PBA=—X——=

SBSBOB布2a14

故选:B.

【点睛】关键点点睛：本题关键点作出辅助线，找出二面角。，夕的平面角，由tana=2tan£,得到

£

OF=2OE,进而得到sin/Q"=2sin/O4E.再结合差角公式，齐次化处理求出tanNO8E=e.最后将

5

cos/SBA转化为cos/S6O-cosNP历L综合性较强，属于难题.

3.如图，矩形ADFE,矩形CDFG,正方形A8C。两两垂直，且相=2,若线段。£上存在点P使得

C.2D.2百

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】求空间中两点间的距离

【详解】以DA,DC,DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示:

设CG=o,Ax,0,z),则==三，卬z=f.

2a2

乂8(220),G(0,2,a),

所以丽=(x_2,_2,^J,不=(左一2<^_“

PBPG=x(x-2)+4+—(—-a=0.

显然工工0且xw2.

16

所以/=-4

2x-x2

因为xw(0,2),所以2x—/£(01]

所以当=/取得最小值12.

所以。的最小值为2jL

故选D.

点睛：集合问题代数化是空间向量法解决问题的一般思路，通过向量将几何关系建立代数式，例如两直线

垂直时即可转为向量的数量积为0,利用向量的坐标表示即可.

4.（24-25高三下•海南•阶段练习）如图1,是洛阳博物珍藏的西周兽面纹方鼎，其主体部分近似于如图2

的棱台力灰片GR，底面48co为长方形，［8=28C=40cm,44=24£=32cm,棱台

力的高为24cm.则棱台的体积是（）

图1图2

A.6216cm3B.9216cm-C.12216cm3D.15616cm3

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】台体体积的有关计算

【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式直接计算得解.

【详解】由棱台的体积公式得：^f.=1（40x20+>/40x20x32xl6+32x16）x24=15616.

故选：D

5.（24・25•河南焦作•二模）在直三棱柱/AC-44G中，AB=AC=2,AB1AC,若该棱柱外接球的表面积

为12兀，则侧面44G。绕直线48旋转一周所得到的旋转体的体积为（）

A.12兀B.16几C.20兀D.24兀

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】由外接球表面积得到球的半径，进而求得CG=2,即可求解.

【详解】因直三棱柱444G中，AB=AC=2,AB1AC,

则两个底面三角形的外接圆圆心分别为4C，HC的中点«，口，

如图所示，5C=5,C,=2>72.

设棱柱的外接球的半径为A,圆心为。，

由4旅2=12兀，可得R=百，由对称性知，。为a,。2中点，

由图（苧J+（竿）=（苧）+2=3,解得C£=2.

因侧面56CC绕宜线8瓦旋转一周后得到的几何体是底面半径为2立，高为2的圆柱，

其体积为V=兀（2正产x2=16兀.

故选：B

6.（24-25高三下•广东惠州•阶段练习）已知平面四边形4?C。中，AB=QAC=2CD=4,乙18c=45°,

48=135。，若平面四边形/BCD绕CO旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为()

4071327c28几

A.—B.——D.87t

33

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积

【分析】根据题意分别求出边长并代入锥体和柱体的体积公式做差求出旋转体得体积.

【详解】

因为N/8C=45。，NBCD=135。,所以/18//CQ,

ABAC

在V/8C中,所以sinZACB=l,Z/iCB=90°,

sinZACB~sinZABC

所以48=45。，在“CO中，AD2=8+4-2x2x272x—=4,所以

2

222

AD=2yAD+DC=AC,ZADC=90°,

如图，作8V_LC。，所以平面四边形川城〃）是矩形，^BCM-45°,BC-25/2,BM-CM-2,

平面四边形48C。绕CO旋转一周得到一个几何体是圆柱去掉一个圆锥，

BM是圆锥的底面半径，CM是它的高，而N。和AB是圆柱的半径和母:线，

由己知8M=2,CM=2,48=4,4D=2,

所以PuTtxZ？xd—:兀X22X2=*7T

故选：A.

7.（24-25高一下•浙江绍兴•期中）已知四棱锥S-44C。的所有顶点都在球。的球面上，SOI平面"CQ,

底面/J8CQ是等腰梯形，ABUCDAB=2AD=2DC=2,ZJDC=120\SC=5则球。的体积是

（）

8X5

A.-nB.学乃C.8夜4D.8乃

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】由题意可得梯形力8CO的外接圆的圆心为44的中点N,据此计算可求外接球的体积.

【详解】因为AB〃CD,ZADC=120°,所以/8力。=60。，

在△48。中，由余弦定理可得出）=J/1Q2+〉82—2/Q・718-COSN8/0=JL

又,48=2/0=2,所以力/V+Q厅二/炉，所以/Z）_L4。，

所以△力8。的外心是48的中点N,连接NC,可得四边形力QCN是平行四边形,

所以NC=4O=1,从而N是梯形ABCD的外接圆的圆心，

过N作ON1平面ABCD,。为四棱锥S-ABCD的外接球的球心，

又因为SC=JL所以=二1=2,所以ON=1,

所以04=JiTT=&，所以球。的体积：兀。83=半兀.

故选：B

8.（24-25高三下•浙江宁波•阶段练习）如图，一个体积为1的四面体488靠在一个足够大的正方体容器

中（厚度不计），点4在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过&C,。时的高度分别为九2九3/7,

每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（）

【答案】C

【难度】0.4

【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行

【分析】取棱8。。中点U0,棱功的两个三等分点转化顶点与底面求解体积比,利用间接法

可求中间几何体体积.

【详解】由题意液面经过民C,。时的高度分别为力,2〃,3〃,

如图，分别取棱8"。中点C',8\棱。/的两个三等分点U/",

连接CC〃,C"C,CC',BB',B'B",B"B,BC",8"C,

则C〃CHBB",C〃C〃B"B',88"u平面BB'B",u平面BB'B”，

CVu平面CC'U,C"Cu平面CC'C",且。"。'0。"。=。〃,8"8r8夕=8”，

则平面平面CCCn,

由C,B"为棱DA的两个三等分点，可知点D到平面CC'C〃的距寓等于点A到平面BB'B”的距离,

也与C到平面BB'B"的距离相等，

即满足条件液面经过仇C，。时的高度分别为力,26,3/7,

即可得到我们需要的液面即平面BB'B"与平面CC'C”，

显然，三个几何体中表面积最大的为中间部分的几何体,

-V

-BB'A2

112

故中间几何体体积P=V_-v^,-=

CDBAoo3

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.

9.（24-25高二上•福建三明•阶段练习）如图，在四棱锥。-48C。中，底面48c。为平行四边形,

4DAB=gAB=2AD=2PD,PD上底面4BCD,则()

A.PALBD

B.8CJL平面尸80.

C.异面直线44与PC所成角的余弦值为正

5

D.依与平面44C。所成角为T

【答案】AB

【难度】0.65

【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、线面垂直证明线线垂直

【分析】利用勾股定理得到4。_L4。，再由PO_L平面力8c'。，得到结合线面垂直判定定理，

证得80,平面力尸。，即“J判定A正确：由力。//8C,得到8C18O,结合8cl尸。，即“J证得8cl平

面,4。。，可判定B正确：把异面直线48与PC所成角转化为CD与PC所成角，在宜角△?€¥）,可判定C

不正确；根据线面角的定义，得到力为总与平面力8c。所成角，在直角△尸8。中可判定D不正确.

【详解】根据题意，设尸£>=力。=1,则48=2,

对于A中，由余弦定理可得80=Jl+4-2xlx2cos?=石，

所以力。2+8。2=力炉，所以3J.8。，

因为PO_L平面力4。。，且8Ou平面49c。，可得

又由“。1月。=。且/!O,POu平面力/>。，所以80/平面力P。，

因为RIu平面4PO,所以H_LB。，所以A正确：

对于B中,由力。J.30,因为4D//BC,可得BC工BD,

又由产力平面N8。，且BCu平面/〃CO,可得BCJ.PD,

又由3DnPD=D且BD,PDu平面PBD,所以8C_L平面/PQ,所以B正确；

对于C中，由底面力8。为平行四边形，可得AB//CD,

所以异面直线48与尸C所成角，即为CQ与尸。所成角，设/PCQ,

在直角△PC。，可得PCNPD'CD。=6，所以COS/PC£>=B^=亭.

所以C不正确；

对于D中，因为尸。_L底面48。。，所以/P8。为PA与平面/18CQ所成角，

可得tan/PB£>=型=正，所以/05。=/,

BD36

即直线P8与平面48c。所成角为£,所以D不正确.

故选：AB.

10.（24-25•福建莆田•三模）如图.在边民为4的正方体488-4/8/。。中，E,尸分别是棱aG，G。/的

中力、，〃是正方形小8/。。/内的切点，则下列结论正确的是（）

A.若。P||平面CEG则点尸的轨迹长度为2&

B.若彳P=，万，则点P的轨迹长度为2兀

c.若彳尸=如，则直线力P与平面"/所成角的正弦值的最小值是亚

17

D.若P是棱小8/的中点，则三棱锥尸-CE/7的外接球的表面积是4E

【答案】ACD

【难度】0.65

【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面角的向量求法、立体几何中的轨迹问题

【分析】由面面平行的判定定理可得平面DWN〃平面底产，从而可得点P的轨迹是线段"N.即可判断

AB,建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断C,结合条件可得外接球的半径，即可判断D

【详解】

C

分别取棱4与，4。的中点M.M连樱DM.DN.MN.

易证MN//E/，DN//CE,

MNu、『面DMN,MNa'FiSiCE/"所以MV//平面CE/"

且DNu平面QMN,。％2平面（?£/,所以QN//平面CEF,

又MNAON=N,MN,DNu平面DMN,则平面DMN〃平面CEF,

因为。p//平面CE/"且尸是正方形48cA内的动点，

所以点尸的轨迹是线段例N.

因为44=44=4,所以4"=4N=2,因为NM/〃V=90。，所以MV=2&，

故A正确.

因为XP=J17,所以点尸的轨迹是以4为圆心，I为半径的;个圆，

则点尸的轨迹长度为（X2兀=],则B错误.

以.4为坐标原点，AB，AD>刀;的方向分别为X，y,2铀的正方向，

建立如图1所示的空间直角坐标系.

由题中数据可知/（0,0,0）,。（4,4,0）,仅4,2,4）,尸（2,4,4）/（85"疝仇4）,04"5则近=（°，—2,4）,

CF=（-2,0,4）,7P=（cos<9,sin/9,4）.

■」，,-[ii-CE=-2y+4z=0,_

设平面CEF的法MJR为〃=（x,y,z），则｛—,x=2得〃=（2,2,1）.

|w-CF=-2x+4z=0,

卜涧2近sinfe+0+4

设直线/尸与平面CE尸所成的角为a,则sinaJcosG万114J.

I\，/I同同35/17

因为owes巴，所以巴4。+三工型，所以正《疝]（夕

24442I4J

所以602近知][6+工]+4&2&+4,则sinaN-4==^^,故C正确.

4J3后17

。是极44的中点，贝U!尸石尸外接圆的圆心为正方形48cA的中心«,半径为2.

如图2,设OQ=x,则三棱锥尸-CEb的外接球的半径K满足店=（4-x『+（2&『=/+22,解得店=，，

从而三棱锥PCEF的外接球的表面积是4花出=41几，故D正确.

故选：ACD

11.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）如图甲，边长为2的正方形力取刀中，E,6分别是4c的

中点，将V43E,VCDF,ABEF分别沿DE,DF,打折起，使力，B,。三点重合于点尸（如图乙）,

则下列结论正确的是（）

AD

平面平面PQf

平面PEF与平面EFD夹角的余弦值为立

3

D.三棱锥P-EEZ)的外接球半径是迈

2

【答案】ABD

【难度】0.4

【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、证明面面垂直、面面角的向量求法

【分析】根据折叠前后的性质，根据线线垂直推出PO1平面0E尸，进而可得。。_1_£尸，判断选项A；根据

面亩垂直判定定理判定选项B：建立空间直角坐标系，求出平面私户与平面的法向量而，心可得求

出二面角的余弦值判断选项C；根据尸已尸£尸。互相垂直，三棱锥的外接球等价于以夕日。£户。为棱的长

方体的外接球，长方体的对角线即为外接球的直径，判断选项D.

【详解】折叠前：AD±AE,CDA.CF,/EBF=90’；

折叠后：A,B,C三点重合于点故PDLPE,PDLPF,PELPF.

乂E,尸分别是8c的中点，边长为2,故PE=PF=1,PD=2.

选项A：因为PDLPE,PD1PF,PEcPF=P,PE,PFu平面PEF,

所以「O_L平面庄户，又因为£/u平面尸

所以尸O_LE"，故A对.

选项B：因为PE工PD,PE工PF,PDcPF二平面PDF,

所以尸E_L平面尸。尸；又尸Eu平面尸OE,故平面POK_L平面PO/，故B对.

选项C：以尸为原点，尸石为x轴，尸尸为V轴，丹)为z轴，建立空间直角坐标系，则

£(1,0,0),尸(0,1,0),0(0,0,2).

丽=(-1,1,0),丽=(-1,0,2),设平面跖。的法向量为万=(x,y,z),则

n-EF=O(-x+y=O

nED=O\~x+2z=0令z=l,得万=（2,2/）.

平面.电厂是xQy平面，其法向用为玩=（0,0,1）.

所以二面角的余弦值：cos^=fej.=\=1,故c错.

|明向V22+22+l2-l3

选项D：因为尸O1M,PDA.PF,PEA.PF,所以三棱锥的外接球等价于以0为核的长方体的

外接球.

长方体的对角线长d=+|尸叶=Vl2+l2+22=V6,

故外接球半径火=4=逅，故口对.

22

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（23-24高三上•河北秦皇岛,开学考试）在三棱锥尸-4BC中，45_L8C,点P在底面的投影。为V4BC

的外心，若/4=4,BC=3,PO=5,则三棱锥尸-48。的外接球的表面积为.

【答案】—Ti

16

【难度】0.4

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】依题意可得RtZUAC的外心为斜辿4c的中点.且V4"0的外接圆的半径r=g4。=：.则三棱锥

尸-48c外接球的球心在尸。上，设球心为G,外接球的半径为K,连接力G,利用勾股定理求出A,再由

球的表面积公式计算可得.

【详解】因为川？=4,BC=3,ABLBC,所以＜。=必不=5,

所以R58C的外心为斜边"的中点，且V/吹的外接圆的半径「号数号’

因为PO_L平面ABC,所以三棱锥尸-48。外接球的球心在PO上,

设球心为G,外接球的半径为R,连接力G,则PG=G4=R,

所以(5-R)2+(£]2=R2,解得R=1,

所以三棱锥尸-48C的外接球的表面积S=4兀配=4兀x("]=—n.

k8)16

【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的

问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的

距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股

定理求得球的半径.

13.(24-25高二上•湖北•阶段练习)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱Z8CQ-48CA，底面48CQ是

正方形，CC,=3,Cr>=3,且zX；C8=NC£7)=6(),则向量而的模长为.

D

【答案】3邪

【难度】0.65

【知识点】求空间向量的数量枳、空间向量数量枳的应用、用空间基底表示向量

【分析】先把不用不、CD，瓦表示出来.接着利用完全平方公式展开近二得到

反万，+。手+2西•而+2石忑瓦再根据己知条件，算出各向量模长及向量间夹角余弦值，代入式子

求出示2的值.最后根据向曷模长与向最平方的关系，对丞2开方，得到汞的模长.

【详解】根据空间向量的线性表示“J达布=-西-丽-在，却可由模长公式求解.

22

故洞=^-CCi_CD_CB^=cc"+CD+CB+2CClCD+2CBCB+2CCiCS,

故南=32+32+32+2x3x3cos609+0+2x3x3cos60=45,

故|狗=际=3石，

故答案为：3不

14.（25-26高三上•湖北武汉•开学考试）已知正方体力3。。-48["的棱长为1,正方形44GA内部有一

片区域/,七是44的中点，尸是CG的中点，若对于区域/内的任意一点P，总存在线段七厂上一点Q，

使得P。//平面力。（，则区域/的面积最大值是.

3

【答案】7/0.75

【难度】0.65

【知识点】判断正方体的截面形状、空间位置关系的向量证明

【分析】首先建立空间直角坐标系并确立关键点坐标，然后根据线面平行推导代数条件，最后根据条件分

析边界直线并计算区域/的面积最大值.

【详解】以。为顶点，DA、DC、分别为x、户z轴建立空间直角坐标系，如图,

4(1,0,0),A(0,0,1),C(0,l,0),0.5),20,1,0.5),

线段EF满足P=1,N=0.5,XW[0』,

设P(/M，l)，0(/,1,0.5),/€[0,l],

设平Nl设RC的法向量为〃=(x,y,z),

^=(-1,0,1),就=(-1,1,0),

|位xG=ot-x+z=0_

I-----、7+k0,令z得y=Lz=i,则〃=(1”),

f/ICX/7=0

因为P。//平面/QC，

所以而13,尸。〃=(/一/)+(1-%)-0.5=0=/=%+此-0.5,

因为点。在线段稗上，所以0工与+%-0.541,0.5<XO+^O<1.5,所表示的范围为多边形G4QG”,

其中G(050』)CM5,"/(0,05D,面枳为"2‘白fj

3

所以区域/的面积最大值是「

3

故答案沏~

四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(25-26高三上•湖北武汉•开学考试)如图1,在V48C中，NB=90'，D、七两点分别在48、4C上,

40AF

使==。=OE=8。=2.现将"4沿DE折起得到四棱锥力一8CEO,在图2中4C=回.

DBEC

AA

（2）求平面ACE与平面ACD所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）巫

78

【难度】0.65

【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法

【分析】（1）证明出4DJLQE,ADLCD,再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点。为原点，DB.~DE>方的方向分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可

求得平面ACE与平面ACD所成角的余弦值；

ADAF

【详解】（1）在图1的VX8C中，—=—=DE=BD=2

DBECf

所以，DEHBC,且力。=4,BC=-DE=3,

2

因为/48c=90°,所以，^ADE=90,则DE工BD,

在△BCD中，/CBD=90°,80=2,BC=3,MCD=VBC2+BD2=V13，

在图2的A/CO中，力。=4，。。=g，AC=y/29,

^SLAD2+CD2=AC2，所以4Q_LCO,

因为/1O_LCO,AD1DE,CDC\DE=D,CD、OEu平面3CK。，

所以力。_L平面BCED.

（2）因为力£>_L平面BCEO,DEA.BD,

以点。为原点，丽、DE,刀的方向分别为X、V、z轴建立♦.如下图所示的空间直角坐标系，

则,4(0,0,4)、C(2,3,0)、D(0,0,0),E(0,2,0),就=(2,3,-4),荏=(0,2,-4),

ni-AC-2x,+3凹-4Z[=0

设平面力CE一个的法向量丽=（斗必,zJ,则

ni-AE=2必一4z1=0

取4=1,可得所=(—1,2,1),

设平面4CO的•个法向量为万=（租％*2），刀=（。,0,4）,岚=（2,3,0）,

n-DA=4Z=0/、

则_2，取乂=3,则万=（3,-2,0,

n-DC=2x2+3y2=0

设平面4CE与平面ACD所成角为0,

mAI--I忻,司77778

则c°s3cos…|=丽=70r

因此，平面ACE与平面月8所成角的余弦值为乜运.

78

16.（25-26高三上•重庆•阶段练习）如图所示，在四棱柱月AC。-4与G2中，菱形48CQ与菱形。CGA的

边长均为2,且平面48co工平面。CG4,ND。。=NDCB=60。，ER=EC],产为棱CG上的动点.

（1）若平面4EE。平面”用4=/,求证：EFUh

⑵在棱CG上是否存在点尸，使得平面4七厂与平面48CO所成的角的正切值为立？若存在，请找出点尸的

位置：若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵存在，且点尸在CG靠近G的三等分点上

【难度】0.65

【知识点】面面平行证明线线平行、空间平行的转化、面面角的向量求法、已知面面角求其他量

【分析】(1)借助面面平行的性原定理证明即可得；

(2)由题意可取。C中点。，则有80、D。、。。两两垂直，再以。为原点建立适当空间直角坐标系，求

出平面4M与平面力88法向量后结合空间向量夹角余弦公式计算即可得.

【详解】(1)在四棱柱48CO—44GA中，平面力84///平面。CGA，

由平面A}EFn平面/出44=/,平面4防n平面DCCQ\=EF,

则£//〃；

(2)存在，且点尸在CG靠近G的三等分点上，理由如下：

取DC中点。，连接OA、OB,

由N"QC=/〃GC=60°,DD、=2,OO=；x2=l,

由余弦定理得=/+22-2xlx2xg=G，

则RO?=。02+。02=4,所以40_LQC,

乂平面ABCD1平面DCCR,CD=平面WACQCl平面DCCR,D}Ou平面DCCR,

则D0_L平面48CO,又OBu平面488,故QQJ_OA,

由NQC6=60。，则O5=J12+22-2xlx2x；=6，

有8。2=区。2+。。2=4,则8O_LOC,

故80、。0、OC两两垂直，则可以。为原点建、'£如图所示空间直角坐标系，

则有0(0,0,0)、E(0,l词、4(在一1,6)、C(o,i,o),G(0,2,6),

则福=(-75,2,0),西