《总体百分数的估计》教案

第九章统计

9.2.2总体百分数的估计

一、教学目标

1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.

2.掌握求一组数据的百分位的基本步骤：

3.通过对总体百分数的估计的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.理解百分位数的概念及其简单应用

2.求样本数据的第p百分位数.

三、教学过程：

（1）创设情景

阅读课本，完成下列填空，

一般地，一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有

的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.

（2）新知探究

问题1:计算一组n个数据的第p百分位数有哪些具体步骤？

学生回答,教师点拨并（提出本节课所学内容）

（3）新知建构

第p百分位数的定义

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据

小于或等于这个值，且至少有（1UU-P）%的数据大于或等于这个值.

计算第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算，=〃xp%.

第3步，若，不是整数，而大于，的比邻整数为，则第〃百分位数为第J项数据；

若/是整数，则第p百分位数为第项与第（计1）项数据的工均数.

（4）数学运用

例1.现有甲、乙两组数据如下表所示.

序

1234567891011121314151617181920

号

甲

1222233355668891010121313

组

乙

0000I123456677101414141415

组

试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数.

【解析】因为数据个数为20,而且20x25%=5,20x75%=15.

因此，甲组数的25%分位数为胃3=三二=2.5；

甲组数的75%分位数为吟2=2尸=95

乙组数的25%分位数为至#=牛=1，乙组的75%分位数为吟出=气0=12.

变式训练1：某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通

开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（）

A.12.25%B.16.25%C.11.25%D.9.25%

【答案】B

【解析】由图2知，水、电支出占水、电、交通支1的比例为2（）。+-=0,

200+450+15016

由图1知，水、电、交通支出占学校一个学期总开支的比例为（，

13113

因此，该学期的水电费开支占总开支的百分比为千＞==玄=16.25%,故选：Bo

16580

变式训练2:从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）

如下:

7.9,9.0,898.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.

⑴分别求出这组数据的第25,75,95百分位数.

（2）请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量.

⑶若用第25,50.95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,

依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

【解析】（1）将所有数据从小到大排列，得

7.8,7.9,8.0,8.3,84,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,

因为共有12个数据，所以12x25%=3/2x75%=9/2x95%=11.4,

QA_|_QQ

则第25百分位数是\=&15,

第75百分位数是随言=8.75,

第95百分位数是第12个数据为9.9.

(2)因为共有12个数据，所以12xl5%=L8,则第15百分位数是第2个数据为79

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为787.9.

(3)由⑴可知样本数据的第25百分位数是8.15g,第5()百分位数为8.5g,第95百分位

数是9.9,所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于3.5g

的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为

特优品.

例2,有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[12.5,15.5),6；[15.5,18.5),16；[18.5,21.5),18；[21.5,24.5),22；[24.5,27.5),20；[27.5,30.5),

10；[30.5,33.5],8.

(1)列出样本的频率分布表(含累计频率).

(2)画出频率分布直方图.

⑶根据频率分布表的累计频率估计样本的90%分位数.

【解析】(1)样本的频率分布表如下：

分组频数频率累计频率

[12.5,15.5)60.060.06

[15.5,18.5)160.160.22

[18.5,21.5)180.180.40

[21.5,24.5)220.220.62

[24.5,27.5)200.200.82

127.5,30.5)100.1()0.92

[30.5,33.5]8().081.0()

合计1001.00

⑵频率分布直方图如图所示.

频率/组用

0.08

0.06

0.04

0.02

O

(3)由频率分布表的累计频率知，小于30.5的数据所占的比例为92%,所以90%分位数

一定在区间［27.5,30.5)内，由27.5+3X*，二黑=29.9,可以估计样本的90%分位数为29.9.

U.vZ—U.oZ

变式训练：已知一组数据：125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124/25』27/26,则这

组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是()

A.125128B.124128

C.125129D.125128.5

【答案】D

【解析】把这15个数据按从小到大排序，可得

121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128,129,129,130,由25%x15=3.75,80%xl5=

12,可知数据的第25百分位数为第4项数据为125,第80口分位数为第12项与第13项数

1

据的平均数，即底(128+129)=128.5.

例3:某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为

三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过

400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/T•瓦时收费.

(I)求某户居民用电费用M单位：元)关于月用电最*单位：千瓦时)的函数解析式.

(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计

分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过

260元的占80%,求〃，。的值.

(3)根据⑵中求得的数据々=0.0015,6=0.0020.计算用电量的75%分位数.

100200300400500600月用电量/千瓦时

【解析】⑴当09W200时，y=0.5x；

当200〈烂400时，y=0.5x200+0.8x(x-200)=0.8x-60：

当x>400时，>'=0.5x200-1-0.8x200+1.0x(.r-400)=x-140.

0.5x,0<r<200,

所以y与A-之间的函数解析式为y=<0.8A-60,2004吐400,

,x-140,A>400.

(2)由(I)可知，当)，=260时，x=400,即用电量不超过400千瓦时的占80%,

niw|X|MF2xia^4«M3X|M=eii

iKNki

・不・・❶九

用电量不超过400千瓦时的占80%,

所以75%分位数为m在［300.400)内，

所以0.6+(m-300)x0.002=0.75,

解得〃?=375千瓦时，

即用电量的75%分位数为375千瓦时.

(3)设75%分位数为m,因为用电量低于30千瓦时的所占比例为(0.001+0.002+0.003)x100

=60%,

变式训练：山东省教育厅为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了

[125,130)60.06

[130,135120.02

合计1001

(I)求样本数据的第60,80百分位数.

(2)估计2019年高考考生的数学成绩的90%分位数.

【答案】(1)第60百分位数为110,第80百分位数约为119.4.

(2)数学成绩的90%分位数为124.1.

【解析】从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,

前七组的频率之和为0.60+0/2=0.72,

前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,

前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92.

(1)由前六组的频率之和为0.60,得样木数据的第6。白分位数为110,样木数据的第80

080—072

百分位数一定在第八组”15,120)内，由115+5X.父，尸119.4,估计样本数据的第80百

分位数约为119.4.

(2)由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,知90%分位数一定在第九

组［120/25)内，由12O+5X黑二黑=124.1,估计2019年高考考生的数学成绩的90%分

位数为124.1.

四、小结：

第p百分位数的定义：

计算第P百分位数的步骤：

A级必备知识基础练

L［探究点一］某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数

的成绩分布为：[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4

人;[100,110),8人;[110,120),12人;[120,130),5人;[130,140),6

人;[140,150),2人则分数在[100,130)中的频数以及频率分别

为()

A.25,0.56B.20,0.56

C.25,0.50D.13,0.29

2.［探究点一（角度2）］为了了解某学校学生的身体发育情况,

抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出

样本的频率分布直方图如图所示,根据此图，估计该校2000

名高中男生中体重不小于70.5kg的人数为（）

频率/组距

S

07

O.06

OS.05

04

O.03

O.02

Q01

0|————————————I-----------

炉靖取声@5心5曲@3花护术曲体重/kg

A.300B.360C.420D.450

3.［探究点三］已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）:

甲组27,28,39,40,机,50;

乙组:24几34,43,48,52.

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,

何

则:等于（)

A"B."

7

C.aD；

4.［探究点一（角度1）］为了帮助班上的两名贫困生解决经济困

难,班上的20名同学捐出了自己的零花钱.他们捐款数（单位:

元)如

下:19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,2

0.班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图,以表彰

他们的爱心.制图时先计算最大值与最小值的差

是,若取组距为2,则应分成组;若第一

组的起点定为18.5,则在［26.5,28.5）内的频数为.

5.［探究点一（角度2）］统计某校1000名学生的数学测试成绩,

得到样本的频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及

格，不低于80分为优秀，则估计及格人数是;优秀

率是.

B级关键能力提升练

6.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一

倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,

统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得

到如下扇形统计图：

建设前经济收入构成比例

种植收入

建设后经济收入构成比例

则下面结论不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入略有增加

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入不变

D.新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降

7.（多选题）［探究点三］已知100个数据的第75百分位数是9.3,

则下列说法不正确的是（）

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据

C把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76

个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第

74个数据的平均数

8.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收

集并整理了2020年1月至2022年12月期间月接待游客量（单

位:万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动

性更小，变化比较平稳

9.已知30个数据的第60百分位数是82这30个数据从小到

大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是

10.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统

计后得到频率分布直方图（如图）,但是年龄组为［25,30）的数据

不慎丢失，则依据此图可得：

O.08

OS.07

06

OS.05

04

OS.03

02

O.01

（1）［25,30）年龄组对应小矩形的图度为;

⑵由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数约为

岁.

1L某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2022年11

月11日的网购金额，所得数据如下表:

网购金额（单位:千元）人数频率

[O.D160.08

[1,2)240.12

12.3)VP

13,4)Vq

(4,5)160.08

15,6]140.07

合计2001.00

已知网购金额小于3千元与不小于3千元的人数比恰为3：

2.

（1）试确定x,y,p,q的值，并补全频率分布直方图（如图）；

⑵估计网购金额的第25百分位数（结果精确到0.001）.

C级学科素养创新练

12.首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行

了新高考适应性考试，在联考结束后,根据联考成绩，考生可了

解自己的学习情况,作出升学规划，决定是否参加强基计划.在

本次适应性考试中,某学校为了解高三学生的联考情况，随机

抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本,并按照分数段

[50,70）,[70,90）,[90,110）,[110,130）,[130,150]分组，绘制了如图

所示的频率分布直方图.

频率/组距

(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分

为90分及以上的学生所占比例)；

⑵估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数.

参考答案

1.A由题意知该班总人数为2+6+4+8+12+5+6+2=45,其中成绩在［100,130)的人数为

25

8+12+5=25,故分数在［100,130)中的频数为25,频率为45R.56.

2.B由题中频率分布直方图，得这100名高中男生体重不小于70.5kg的频率是

(0.04+0.035+0.015)x2=0.18,所以估计该校2000名高中男生中体重不小于70.5kg的频率

是0.18,则估计该校2000名高中男生中体重不小于70.5kg的人数为2000x0.18=360.

3080

3.A因为1叫＜6=1.8,'叫6=4.8,所以第30百分位数为〃=28,第80百分位数为〃X48,所以

m4812

7=2S=7

11

4.1165由题意知,极差为30-19=11;因为组距为2,2=5.5不是整数,所以取6组;捐款

数落在［26.5,28.5)内的有27,27,28,28,27共5个,因此频数为5.

5.80020%及格率是1-(0.005+0.015)x10=0.8,所以估计及格人数是1000x0.8=800,优

秀率是(0.01+0.0l)x10=0.2=20%.

6.C因为该地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，不妨设建设前的

经济收入为/%则建设后的经济收入为2〃?，

A选项，从扇形统计图中可以看到，新农村建设后，种植收入比建设前增加

2〃?x37%-帆x60%=/〃xl4%,故A正确；

B选项,新农村建设后，其他收入比建设前增加2/小＜5%./小＜4%=加＜6%＞〃/4%,即增加了一

倍以上，故B正确；

C选项，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所

以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，故C错误；

D选项,新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重由建设前的60%降为37%,故D正

确.

故选C.