动量定理、动量守恒定律（3大考点+6大题型）原卷版-2026年高考物理培优讲义

动量定理.动量守恒定律(3大考点+6大题型)

:目录

I

I

i第一部分考情精析锁定靶心高效备考

:

I

i第二部分重难考点深解深度溯源扫清盲区

I

I

j【考点01】动量、冲量、动量定理

I

:【考点02】动量守恒定律

I【考点03】碰撞、反冲和爆炸

I

I

;第三部分解题思维优化典例精析+方法提炼+变式巩固

I

I

!【题型or动量定理在力学中的应用

I

【题型02］动量守恒定律的应用

I1

1【题型03】碰撞问题

【题型04】爆炸与反冲

I

］【题型05】动量定理在电学中的应用

【题型06］动量守恒定律在电学中的应用

I

NO.1

考情精折

主战场转移：主要考查动量、冲量的理解及动量定理、动量守恒定律的应用。考查

动量守恒定律时常与能量守恒、功能关系进行综合。要求体会用守恒定律分析物理

核心考向聚焦问题的方法，体会自然界的和谐与统一C

核心价值：核心价值在于培养物理思维，掌握分析方法，提升解决复杂动量问题及

临界极值'可题的科学推理与实践能力。

关键能力；受力分析能力：准确识别物侬受力，合理分解与合成力，构建清晰受力

模型。方向表达能力：动量、冲量、动量定理、动量守恒定律均有方向性，一维时

可规定正方向，用正负号表示方向。动量守恒的判断能力：选取合适的系统，看外

关键能力与思维瓶颈

力矢量和是否为()，是否可略。临界极值判断力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准

分析极值条件

培优瓶颈：尖子生的主要失分点并非“不懂”，而在于：面对新情境时，无法快速、

1/25

准确地将实际问题进行转化。不会表达方向：一维时，没有规定合适的正方向。不

会判断动量是否守恒：没有选择合适的研究对象或者没有搞清楚外力矢量和是否可

以忽略。临界极值分析难：难以准确界定临界状态，对极值出现的条件和原因分析

不清。没有掌握各种运动的特点：如碰撞的三个特点。

预测：2026年高考中，相互作用及运动的情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，

强化创新迁移、图像信息分析考查。

命题前瞻与备考策略

策略：深愣高考压轴题命题逻辑，强化高端思维训练，提升创新题型蟀答能力，规

范答题步骤，精准分配答题时间，注重跨模块知识综合运用。

匚--------N0.2

重难考点深解

隆藕❿1动量、冲量、动量定理

一、动量和冲量

i.动量

(1)定义：物体的质量和速度的乘枳.

(2)表达式：p=mv.

(3)方向：与的方向相同.

2.动量的变化

(1)动量是矢量，动量的变化量也是—量，其方向与速度的改变量△。的方向.

(2)动量的变化量Ap,一般用末动量p'减去初动量〃进行矢量运算，也称为动量的增量.即Ap=6—p.

3.冲量

(1)定义：力与力的作用时间的乘枳叫作力的冲量.

(2)公式：I=Fbt.

(3)单位：N-s.

(4)方向：冲量是量，其方向与力的方向相同.

4.动量与动能的比较

动量动能

物理意义描述机械运动状态的物理量

1

定义式p=mv项=丁。2

标矢性矢量标量

变化因素合外力的冲量合外力所做的功

2/25

〃一

大小关系p=y/2mEkE=—

k2m

变化量bp=FtA£k=F/

(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系

联系(2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发

生变化时动能不一定发生变化

5.冲量的计算方法

公式法/=广加，此方法仅适用于求恒力的冲量，无需考虑物体的运动状态

/一，图像与/轴围成的面积表示冲量，此法既可以计算恒力的冲量，也可以

图像法

计算变力的冲量

若方向不变的变力大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力产

平均

F\+尸2

值法在某段时间t内的冲量/=------1

2

动量

根据物体动量的变化量，由/=△〃求冲量，多用于求变力的冲量

定理法

二、动量定理的理解和应用

1.内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量.

2.公式：Ft=mv'—〃㈤或/=p'—p.

3.对动量定理的理解

(1)动量定埋中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是力的冲量，口J以是各力冲量

的和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和.

(2)H=p'一〃是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同.式中m是物体所受的合外力的冲量.

(3)H=p'一〃除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的

原因.

(4)[t!A=p'一p,得尸=匕，=”,即物体所受的合外力等于物体动量的变化率.

tt

(5)当物体运动包含多个不同过程时，可分段应用动量定理求解，也口J以全过程应用动量定理.

(6)当物体的动量变化量一定时，力的作用时间加越短，力少就越大，力的作用时间加越长，力少就越小。

(7)当作用力尸一定时，力的作用时间△/越长，动量变化量"越大，力的作用时间△/越短，动量变化量

△〃越小。如在恒力作用下运动的小车，时间越长，小车的速度越大，动量变化量越大。

三、应用动量定理处理“流体模型”的冲击力问题

研究流体类：液体流、气体流等，通常已知密度p

对象微粒类：电子流、光子流、半埃等，通常给出单体体积内粒子数〃

3/25

①构建“柱状”模型：沿流速。的方向选取一段小柱体，其横截面积

为S

小柱体的体枳N=oSA/

分析

②微元小柱体质量〃7=pA/=poSA/

步骤

研究小柱体粒子数N=ni)SZ

小柱体动量p=mv=pv2S^t

③列出方程,应用动量定理研究

◊考点02

一、动量守恒定律的理解和基本应用

1.内容

如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为o,这个系统的总动量保持不变.

2.表达式

(T)P=P'或m1+川2。2=叫。1'+而2。2'.系统相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量.

(2)Am=-A〃，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向.

3.适用条件

(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零.

(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力.

(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量—

4.动量守恒定律的五个特性：

矢量性动量守恒定律的表达式为矢量方程，解题应选取统一的正方向

相对性各物体的速度必须是相对同一参考系的速度(一般是相对于地面)

动量是一个瞬时量，表达式中的0、〃、…应是系统中各物体在相互作用前

同时性同一时刻的动量，〃/、…应是系统中各物体在相互作用后同一时刻

的动量

系统性研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统

动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，还适用于接近光速运动

普适性

的微观粒子组成的系统

二、验证动量守恒定律

1.不变的实验原理

两个物体发生碰撞，测量出两个物体的质量以及碰撞前后两个物体的速度。

2.通用的数据处理方法

4/25

1

计算碰撞之前的总动量/川0+加2为和碰撞之后的总动量m\V\'-\-m2V20

3.共同的注意事项

(1)碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。

(2)选质量较大的小球作为入射小球，即/〃入＞〃?俄研

4.一致的误差分析思路

(1)主要来源于质量%、/〃2的测量。

(2)小球落点的确定。

(3)小球水平位移的测量。

三、“滑块一弹簧”模型

1.模型图示

.

=

线熟

〃乃〃，〃〃〃〃〃〃〉〃,/〃,

水平地面光滑平行且光滑的水平杆

2.模型特点

(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒.

(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.

(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞,

两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能).

(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞).

四、“滑块一斜(曲)面”模型

1.模型图示

接触面光滑

2.模型特点

(1)上升到最大高度：〃，与M具有共同水平速度。共，此时机的竖直速度%=0.系统水平方向动量守恒，mV。

=共：系统机械能守恒，=共2+〃?g/?,其中力为滑块上升的最大高度，不一定等于

弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为机的重力势能).

_11

(2)返回最低点：与M分离点.水平方向动量守恒，mvo=inv+Mv2x系统机械能守恒，-，皿0』-〃必2+

]22

；必必2(相当于完成了弹性碰撞).

5/25

五、子弹打木块模型

1.模型图示

，九o-M]:『：-

水平地面光滑

2.模型特点

(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒.

(2)系统的机械能有损失.

3.两种情景

(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)

动量守恒：〃700=(〃，+

能量守恒：Q=Ffs=鼻6帚-gA/+〃?湖

(2)子弹穿透木块

动量守恒：〃?劭=〃劭+“。2

能量守恒：。=Ffd——mv^—(―A/722T"一'mV\2)

22-2

六、滑块一木板模型

1.模型图示

以J圾〃“J

水平地面光滑

2.模型特点

(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能.

(2)方滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大.

3.求解方法

(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；

(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；

(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律。=斗、或Q=E的一£木，研究对象为个系统.

◊考点03碰撞、反冲和爆炸

一、碰撞问题

1.特点

6/25

在碰撞现象中，•般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒.

2.分类

动量是否守恒机械能是否守恒

弹性碰撞守恒守恒

非弹性碰撞守恒有损失

完全非弹性碰撞守恒损失最大

3.弹性碰撞的重要结论

以质量为〃?I、速度为6的小球与质量为牝的静止小球发生弹性碰撞为例，则有

ni\V\=m\V]'-\-ni2U2

111

3加162=3/川2+鼻加2%，2

m\~m22ml

联立解得：Vi'=―；---Vz=―；V\

"21十"12〃"十加2

讨论：①若四=加2，则。1'=0,。2'=。1(速度交换);

②若〃八>加2，则>0,②>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当〃？|》叱时，②45,②^2V]；

③若〃?]V〃[2，则0,<0，。2'>0(碰后两小球沿相反方向运动)；当/川《〃?2时，5,七一v2'^0.

4.静止物体被撞后的速度范围

物体彳与静止的物体8发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体8的速度最小，VB=

当发生弹性碰撞时，物体8速度最大，力=^jo.则碰后物体8的速度范围为：-^―

必十必十，mniA-rmB

2niA

---；---v().

，几4十〃

5.碰撞问题遵守的三条原则

(1)动量守恒:Pl+p2=Pl'+P2'.

(2)动能增加：氏]+为22瓦1'+&2’.

(3)速度要符合实际情况

①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有。言。而，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物

体同向运动，则应有J.

②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变.

二、爆炸、反冲运动

1.爆炸现象的三个规律

动量爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总

守恒动量守恒

7/25

动能在爆炸过程中，有其他形式的能量(如化学能)转化为机械能，所以系统的机械

增加能增加

位置爆炸的时间极短，因而作用过程中物体产生的位移很小，可以认为爆炸后各部

不变分仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动

2.反冲运动的三点说明

作用

反冲运动是系统内两物体之间的作用力和反作用力产生的效果

原理

动量反冲运动中系统不受外力或内力远大于外力，所以反冲运动遵循动量守

守恒恒定律

机械能反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能

增加增加

三、人船模型

1.模型图示

2.模型特点

(1)两物体满足动量守恒定律；〃地人一Mo船=。

(2)两物体的位移大小满足：〃?---M—=0,

tt

x人+x钳=£，

,Mm

得工人=4L,x^=L

M十〃？M十加

3.运动特点

(1)人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；

x人VKM

(2)人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即一=一=一.

XK翻；m

◊题型01动量定理在力学中的应用

8/25

典I例I精I析

典例工（2025年甘肃卷第14题）如图1所示，细杆两端固定，质量为，〃的物块穿在细杆上。初始时刻。物

块刚好能静止在细杆上。现以水平向左的力尸作用在物块上，尸随时间/的变化如图2所示.开始滑动瞬间

的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。细杆足够长，重力加速度为g,外30。。

（1）t=6s时产的大小，以及t在（）〜6s内F的冲量大小。

（2）/在0〜6s内.摩擦力/随时间f变化的关系式,并作出相应的尸f图像.

（3）尸6s时，物块的速度大小。

典例2|（2025年北京卷第19题）关于飞机的运动，研究下列问题。

（1）质量为，〃的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为x时速度为在此过程中，飞

机受到的平均阻力为了，求牵引力对飞机做的功％。

（2）飞机准备起K，在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置，飞机一旦超过

该位置就不能放弃起飞，否则将会冲出跑道。己知跑道的长度为心飞机加速时加速度大小为卬，减速时

最大加速度大小为《。求该位置距起点的距离"。

（3）无风时，飞机以速率〃水平向前匀速飞行，相当于气流以速率“相对飞机向后运动。气流掠过飞机机

翼，方向改变，沿机翼向后下方运动，如图所示。请建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖直向上的作

用力大小尸与〃的关系满足bocj,并确定。的值。

方I法I提I练

9/25

应甬薪蜜比锂丁音宪法看方二遗度:罚量:询基而芳氤…二孤祝…而仅短歪落冠而走云向「面定次弓

表示方向。

2、求变力冲量，常用动量定理。

3、对于匀变速直线运动中的动刀学问题，不涉及位移时，常用动量定理。

4、碰到流体类问题，最好选取•段极短的时间。

|变I式I巩I固

变式1|（2025•湖南省怀化市-二模）（多选）如图甲，某轻弹簧两端系着质量均为〃?的小球A、B。小球

A用细线悬挂于天花板上，系统处于静止状态。将细线烧断，并以此为计时起点，A、B两小球运动的a-t

图线如图乙所示（。为小球的加速度，，为时间），两图线对应纵轴最小值均为。=0.7s表示到。时间内

A的图线与横轴所围面积大小，当地重力加速度为g。下列说法正确的是（）

A.从0到4时刻，弹簧对A球的冲量为0

B.G时刻，弹簧弹性势能最大

C.弓时刻，A、B两小球的速度差最小

D.G时刻，B物体的速度大小为vB=2g/,-S

变式2|（2025•北京市大兴一中,一模）构建物理模型是一种研究物理问题的科学思维方法。

（I）如图甲所示，一个质量为（）.18kg的垒球，以25m/s的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，反向水平飞

回，速度的大小为45m/s。若球棒与垒球的作用时间为0.002s,求球棒对垒球的平均作用力大小凡

甲

（2）我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其他星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略

不计。此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。设想有一质量为M的宇宙飞船，正以速度%在宇宙中

10/25

飞行。如图乙所示，飞船可视为横截面积为S的圆柱体。某时刻飞船监测到前面有•片尘埃云，已知尘埃

云分布均匀，密度为夕。

a、假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面，若不采取任何措施，飞船将不断减速。求飞船的速度由%

减小1%的过程中发生的位移大小X。

b、假设尘埃与匕船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用。为了保证飞船能以速度％匀速穿过尘

埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器。已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子,

形成向外发射的高速（远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力。喷射粒子过程中，飞船的加速

度很小，可视为惯性系。若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为〃?，加速电压为“元电荷为e。在

加速过程中飞行器质量的变化可忽略，求单位时间内射出的阳离子数N。

变式3|（2025•北京市海淀区-三模）一质量为m的小球从离地面上方高度为h处由静止释放，碰到地面

后又以碰地前的原速率匕竖直向上弹起，然后上升至离地面高度为g处时速度减为零，以上整个过程中小

球运动的速度随时间变化的关系如图所示。若小球在空中运动过程中受到的空气阻力与其运动速率成正比,

重力加速度大小为g,则下列说法中正确的是（）

A.在。〜％时间内，小球的平均速度小于5

B在0〜乙时间内,小球克服阻力做功为;加9

C.小球在0时间内重力的冲最小于在%〜L时间内重力的冲量

D.小球在0~4时间内阻力的冲量大小是%~1时间内阻力冲量大小的3倍

◊题型02动量守恒定律的应用

典I例I精I析

典例1（2025年山东卷第17题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、。分别

11/25

为轨道的两个端点且位于同•高度，〃处轨道的切线沿水平方向，。处轨道的切线沿竖直方向。小物块。、

方用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量〃z=；kg的小球自。点正上方〃=2m处自由下落，

无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中与。粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到b=15N

39

时，b解除锁定开始运动。已知a的质量〃4=1kg,〃的质量=1kg,方形物体的质量M=-kg,重

力加速度大小g=10m/s：弹簧的劲度系数％=50N/m,整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式

E=-kx2（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：

P9

（1）小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小斗、匕；

（2）弹簧弹性势能最大时，力的速度大小以及弹性势能的最大值Epm。

典例2|（2024年湖南卷第15题）如图,半径为〃的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为加A和〃旧的小

球A和B（〃以>〃3）o初始时小球A以初速度由沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小

球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。

（1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小;

（2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量

（3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍

（0<e<l），求第1次碰撞到第2〃+1次碰撞之间小球B通过的路程。

|方I法I提I练|

1、应用动量守恒定律，首先要选取合适的系统，使其外力矢量和为0或者可略。

2、一维问题列式时，注意选取合适的正方向。

12/25

变I式I巩I固

变式1|（2025•河南省五市-二模）（多选）如图（a）所示，前距较远的两物体A、B放在光滑水平面上,

物体B左端固定一轻弹簧并处于静止状态，物体A以速度%沿A、B连线向B物体运动。时，物体A

与轻弹簧接触（不粘连），此后的一段时间内，两物体的速度口与时间/的关系如图（b）所示。已知

时间内，物体B运动的距离为3%。，物体A的质量为机，运动过程中弹簧始终处于弹性限

度内，下列说法正确的是（）

一二

图⑶图（b）

A.物体B的质量为2〃？

B.物体A与轻弹簧分离时，速度为-g%

3

C.0~。时间内，物体A运动的至离为g%。

D.弹簧压缩最短时弹性势能为‘切片

变式2|（2025湖北省部分学校联考二模）如图所示，长木板C固定在水平地面上，物块A、B以相同大小

的初速度v=4m/s同时从C的左右两端开始相向运动，物块A的质量为叫二2kg,与C之间的动摩擦因数为

4=02物块B的质量为〃72=心8，与©之间的动摩擦因数为攸=0.4,A、B可视为质点，重力加速度大小

g=10m/s)求:

z////_//yy/yy/，/yy/yy_z_z/yyyyy/yyyyy_✓//yyyy/yy/yyyy/yy/yyyy/yy/_

（1）若A、B未相撞，长木板C的最小长度；

（2）若A、B能相撞且相撞后结合为一个整体，碰撞时间极短，A、B没有从长木板C上掉下，A、B碰后

运动位移的最大值是多少；

（3）若长木板C未固定且地面光滑，C的质量为〃[3=1kg，A、B没有发生碰撞，则A与C之间因摩擦产

生的热量是多少。

变式3|（2025•湖南省娄底市-二模）（多选）如图所示在光滑水平面上有两个小木块A和B,其质量

13/25

叫=2kg,%=4kg，它们中间用一根轻弹簧相连。一颗水平飞行的子弹质量为〃%=50g,初速度为

3

vo=5OOm/s,在极短的时间内肘穿两木块，子弹射穿A木块后子弹的速度变为原来的w，旦子弹射穿A

木块损失的动能是射穿B木块损失的动能的2倍，则（）

AB

///////////////////////////////////////////////////

A.子弹射穿A木块过程中系统损失的机械能为3975J

B.子弹打穿两个木块后的过程中弹簧最大的弹性势能为4.5J

C.弹簧再次恢复原长时A的速度为：m/s

25

D.弹簧再次恢复原长时B的速度为一m/s

3

◊题型03|

|典I例I精I析

典例1|（2025年江苏卷第14题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每

列有〃个。在两列钢球之间，一质量为〃7的玻璃球以初速度％向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的

碰撞均视为弹性碰撞.

,],玻璃球,?、

C…CCCCCC…C

（1）若钢球质量为阴，求最右侧的钢球最终运动的速度大小：

（2）若钢球质量为3m,求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小匕；

（3）若钢球质量为3〃7,求玻璃球经历2〃次碰撞后的动能Ek。

典亟（2025年海南卷第11题）足够长的传送带固定在竖直平面内，半径&=0.5m,圆心角0二53。的

圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A从圆弧顶点无初速度下

滑，在平台与B碰成一整体，B随后滑上传送带，已知〃?A=4kg,"%=lkg,A、B可视为质点，AB与

传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热。=2.5J,忽略轨道及立台的摩擦，

（1）A滑到圆弧最低点时受的支持力;

14/25

（2）A与B整个碰撞过程中损失的机械能；

（3）传送带的速度大小。

因「法「提「妹...........................................

1、碰撞过程，系统总动能不增多。

2、注意运动状态的合理性。

3、若为弹性碰撞，则系统机械能守恒。选择题时，要善于利用一些重要的结论。

4、若碰后共速，则为完全非弹性碰撞。

变I式I巩I固|

变式1|（2025•黑龙江省齐齐哈尔市•二模）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水

平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端,

••小球用不可伸长的轻质细线悬挂于。点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止

释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长

£=1.25m0小球质量加=0.20kg。物块、小车质量均为M=0.30kg。小车上的水平轨道长s=1.0m。

圆弧轨道半径R=0.15m0小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取lOm/s：

（I）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；

（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；

（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数〃的取值范

围。

变式2（2025•湖南省长沙市湖南师大附中-一模）（多选）在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬杆

上，穿着三个半径相同的刚性球A、B、C,如图所示。三球的质量分别为

〃U=1kg、〃?B=2kg、〃?c=6kg,初状态8、C球之间连着一根轻质弹簧并处于静止状态，B、C连线与

杆垂直并且弹簧刚好处于原长状态，A球以％=18m/s的速度向左运动，与同一杆上的B球碰撞后粘在一

起（作用时间极短），则下列判断，正确的是（）

15/25

A.A球与B球碰撞中损耗的机械能为108J

B.在以后的运动过程中，弹簧形变量最大时C球的速度最大

C.在以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为36J

D.在以后的运动过程中，B球的最小速度为2m/s

变式3|（2025・U•肃省白银市第八中学•二模）如图所示。周长为£=10m的圆环水平放置并固定，圆环

内有质量为〃2A=L0kg和〃％=3.0kg的小球A和Bo初始时小球A以初速度为=10m/s沿圆环切线方向

运动，与静止的小球B发生碰撞。恢复系数e能表征碰撞过程中能量的损失情况，恢复系数e等于碰撞后

两物体相对速度大小与碰撞前两物体相对速度大小之比，c=0时为完全非弹性碰撞，e=l时为弹性碰撞。

不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。

（1）当《=0时，求A和B碰撞过程的机械能损失：

（2）如果小球A和B第一次碰撞位置和第二次碰撞位置相同，求e的大小；

（3）如果0=1,小球A和8碰撞位置和速度将成周期性变化，求至少经过多长时间小球A和B碰撞位置

和速度恢更到第一次碰撞前的情况，求出该段时间内小球B的路程。

◊题型04

I典I例I精I相

典例1|（2023年湖南卷第15题）如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面匕凹槽内有一个半椭圆

形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为。和力，长轴水平，短轴竖言.质量为〃7的小球，初始时刻

从椭圆就道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固

定于地面的直角坐标系xQy,椭圆长轴位于X轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。

（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；

（2）在平面直角坐标系宜为中，求出小球运动的轨迹方程；

16/25

（3）若丝=一、，求小球下降。=2高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用〃、及g表示）。

ma-b2

|典例2|（2025•山西省太原市-一模）如图所示为三级火箭示意图，运载物的质量为/,每一级燃料的质

展均为〃?，燃料燃烧后喷出炽热高速气体。火箭从地面由静止发射，若不考虑空气阻力、重力的影响，燃

料外壳质量不计。求：

三级火％・

（1）假如火箭在点火加速阶段，尚未离开地面，在时间4内，相对于地面以速度%喷出质量为相。的气体，

火箭在此阶段获得的平均推力/的大小；

（2）假如一次性把三级燃料燃烧后瞬间全部喷出，喷出的气体相对对于地面的速度为匕，运载物可获得速

度丫2的大小；

（3）假如依次把每一级火箭的燃料燃烧后瞬间全部喷出，喷出的气体相对火箭的速度为乙运载物可获得

3m

速度的大小为匕。根据匕的表达式，若把燃料总质量3加分为〃份（〃为正整数），依次把——的燃料燃

n

烧后瞬间喷出，喷出的气体相对火箭的速度为叭若〃取到无穷大，则火箭最终可获得的理想最大速度匕，

为多大。

（已知：S,=+…一…队人为正的常数，〃为正整数,

17/25

当〃fco时，则S“=In1+—）

Ib）

括i法「盘「妹...................................

1、反冲运动中，有时需要转化参考系。

2、注意人船模型的条件：系统动量守恒且总动量为零。

3、人船模型列式时注意位移的方向，注意参考系统一为地面。

4、人船模型问题,最好画一下示意图,以正确确定距离之间的关系。

变I式I巩I固

变式1|（2025•山东省德州市-三模）如图甲所示，长木板C静止在光滑水平地面上，其右上端有固定的

挡板，可视为质点的小物体A和B紧靠在一起静止在长木板C上，小物体A和B之间夹有少量火药。某

时刻点燃火药，火药瞬间燃爆后A获得的速度大小为L若长木板C固定，A和B会同时停在C的最左端。

已知小物体A的质量为2帆，小物体B的质量为〃?，长木板C的质量为3〃?，A、C之间的动摩擦因数为

B、C之间的动摩擦因数为2为，重力加速度为g,不计火药的质量和燃爆时间，不计B和挡板的碰

撞时间，B和挡板碰撞时无机械能损失。

（1）若点燃火药释放的能量全部转化为A和B的机械能，求点燃火药释放的能量；

（2）求长木板C的长度；

（3）若长木板不固定，求整个过程A、C之间由于摩擦产生的内能和B、C之间由于摩擦产生的内能：

（4）若长木板不固定，将B碰撞挡板时作为时刻，自该时刻开始A的位移大小用再表示，B的位移大

小用工2表示，C的位移大小用巧表示，设y=2v［十%2十3入3，在图乙中画出y随时间，变化的图像，并标

v

明，=----时的y值。

40g

乙

D

（2025•江苏省淮阴中学•二模）如图所示，半径分别为R和1=-的两光滑圆轨道安置在同一竖

2

直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CO相连，在水平轨道CO上一轻弹簧被。、b两小球夹住，同

时释放两小球，。球都恰好能通过各自圆轨道的最高点，已知〃球的质量为〃则（）

18/25

A.b球的质量啊,=

B.两小球与弹簧分离时，动能相等

C.。球到达圆心等高处时，对轨道压力为2/〃g

D.若"％=〃%=〃?，要求。、/）都能通过各自圆轨道的最高点，弹簧释放前至少应具有的弹性势能为

Ep=5mgR

变式3|（2025•江苏省苏州市八校联考•三模）观察发现青蛙竖直向上起跳，跳起的最大高度为一长木

板静止放置在光滑水平地面上，木板质量为一质量为用的青蛙静止蹲在长木板的左端。青蛙向右上方

第一次跳起，恰好落至长木板右端且立刻相对木板静止。青蛙继续向右上方第二次跳起，落到地面。青蛙

第三次从地面向右上方起跳并落地。三次向右上方跳跃过程都恰能使青蛀相对地面水平位移最大。木板的

厚度不计。已知每次起跳青蛙做功相同，起跳与着陆过程时间极短，青蛙可看作质点，忽略空气阻力，重

力加速度为g。求：

<///////////////////////////////

（1）每次青蛙起跳做的功力:

（2）青蛙第三次向右上方跳跃的水平距离X：

（3）若长木板的长度为青蛙第二次向右上方起跳的水平位移d（用木板长度L表示）；

（4）长木板的长度力与力的关系。

◊题型05

典I例I精I橱

典例1|（2025年安徽卷第15题）如图,平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间隹为心右端

连接阻值为R的定值电阻。水平导物上足够长的矩形区域MNP。存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大

小为瓦某装置从左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度均进入磁场，速度减为0

时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度均进入磁场，速度减为0时被锁定，

以此类推，直到发射第〃根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为〃7,电阻为凡长度恰好等于导轨

间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流

对原磁场的影响。

19/25

MN

R

求：

（1）第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率：

（2）第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量；

（3）从第1根导体棒进入磁场到第〃根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。

典例2|（2025・湖北省黄石市第二中学-二模）如图所示，平面直角坐标系xQv内，过原点的直线/与+x

轴的夹角为8=37。，将j轴右侧分成上下两个区域I和II。I区（含轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁

感应强度为瓦II区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为〃八电量为+4的带电粒

子P从。点沿+y方向以初速度W射出，带电粒子重力不计。（sin37°=0.6,cos370=0.8）

（1）若H区磁场方向垂直纸面向里，欲使粒子P不能到达x轴，求II区磁场的磁感应湖度夕应满足的条件；

（2）将H区磁场调成与I区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从。点沿+y方向以初速度均射出，

运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数h未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一

次沿一y方向的位置在直线/上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。

后「法「提「困.................................................................................:

1、注意动量定理的方向性。:

2、对于洛伦兹力作用下的曲线运动，应用动量定理时，要针对某个特定的方向。:

3、电磁感应问题中，动量定理往往要与电荷量进行综合。

变I式I巩I固

变式1|（2025年海南卷第12题）间距为£的金属导轨倾斜部分光滑,水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方

接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角夕二30。，处于•垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于

垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为8,两相同导体棒与水平导轨的动摩擦因数

〃=0.25,最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均〃?，接入电路中的电阻均为在，〃棒仅在水平导轨

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上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好、且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力

加速度为g。

（1）锁定水平导轨上的〃棒，闭合开关，棒静止在倾斜导轨上，求通过Qb棒的电流：断开开关，同

时解除〃棒的锁定，当棒下滑距离为/时，”/棒开始运动，求〃棒从解除锁定到开始运动过程中，cd

棒产生的焦耳热；

。）此后《力棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时夜）、cd棒的速度大小之差：

（3）棒中电流稳定之后继续下滑，从。6棒到达水平导轨开始计时，。时刻cd棒速度为零，加速度不

为零，此后某时刻，cd棒的加速度为零，速度不为零，求从4时刻到某时刻，ab、cd的路程之差。

变式2|（2025年甘肃卷第15题）已知在一磁感强度为8的磁场中存在一光滑双轨，左端接入电容C,两机

械臂1和机械臂2（可视为杆），质量均为，叫两机械臂接入磁场中的长度均为L电阻均为R。机械臂1

的初速度为%,机械臂2静止，两者不相撞。求：

XXXXXX

XX,hXXXX

机械臂1机械臂2

XXXXXX

XXXXXX

（1）初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向：

（2）在达到稳定前，两机械臂电流分别为乙和