函数模型及其应用-2027年高考数学一轮复习讲义（解析版）

2.12函数模型及其应用

11知识清单

1.三种函数模型的增长差异

y=ax(a>\)y=logar(a>l)y=Lr(k>0)

在(0,+8)上的增减性增函数增函数增函数

随X增大逐渐近随工增大逐渐近似与X轴平

图象的变化趋势保持固定增长速度

似与y轴平行行

y=ovm>l)：随着无的增大，y增长速度越来越快，会远远大于)，=丘(攵>0)

增长速度

的增长速度，y=logd(〃>l)的增长速度越来越慢

增长结果存在一个X0,当x>xo时，有0V>kx>logd

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix)=ax-\-b(a,b为常数,aWO)

二次函数模型fix)=ar-\-bx~\~c(a,b,c为常数,o#0)

指数函数模型b,c为常数,〃>0且1,力关0)

对数函数模型«x)=blogd+c(a,/?,c为常数,a>0且aW1,斤0)

寤函数模型/U)=aP+b(a,b,n为常数,aWO)

考点一利用二次函数模型解决实际问题

考点二分段函数模型的应用

考点三分式型函数模型的应用

考点四指数函数模型的应用

考点五对数函数模型的应用

考点六幕函数模型的应用

考点七建立函数模型解决实际问题

考点

考点一二次函数模型的应用

1.(25-26高二下•上海•期中)某公园有一•块如图所示的区域。4c3,该场地由线段04、OB、AC及曲线段BC围

成.经测量，408=90。，04=08=100米，曲线8C是以08为对称轴的抛物线的一部分，点C到04、08的距

离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDk,其中点。在曲线段雨?上，点E,F分别在线段04,上，

且该游乐场最短边长不低「30米.设=x米，游乐场的面积为S平方米.

(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段4c的方程；

⑵求面积S关于x的函数解析式S=/(x),并计算面积S的最大值(结果精确到Q01).

【答案】(l)y=-0.02.r+100(0KxW50)

x(-0.02x-+100),30<A<50

⑵/")=<)：2721.66.

x(-x+100),50<x<70

【分析】(1)以0为坐标原点，0A,0B所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可;

(2)分别求出。在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得

到面积最大值.

【详解】(1)以。为坐标原点，。4、0B所在直线分别为x轴、)，轴,

建立平面直角坐标系.如图所示，则4100,0),0(50,50),8(0,100).

设曲线段BC所在抛物线的方程为y=^2+b(a<0).

2/35

由题意可知，点8（0,100）和C（5O,5O）在此抛物线上,

故。=-0.02,人=100

所以曲线段3C的方程为：尸-0.02f+KX）（O<x<50）

（2）由题意，线段AC的方程为y=-x+100（50WxW100）.

当点。在曲线段8c上时，5=x(-O.02x2+100)(30<x<50).

当点D在线段ACL时，S=A(-A+100)(50<A<70).

%(-0.02.r+100),30<x<50

所以〃x)=«

x(-x+100),50<x<70

当30«x<50时，//(X)=-0.06X2+100,令-0.()6/+100=0,

由50#一苧（舍去）.

伴$=二一，/=

当竽华,50时，r(x)<0.

时,小）>0；当xe

因此当户辿时,Q100(X)76Hn/,，^

S=/方一=---是极大值,也是最大值

3

当50Vx£70时，/(X)=-(X-5O)2+25(X)

当x=50时，S="50）=2500是最大值，

因为50<xW70,所以无最大值，

所以当犬=迎生时，S取得最大值，最大值为侬巫*2721.66.

39

2.（25-26高一上•上海奉贤•期末）某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安

装•圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m,各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如

下图）.

过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示.根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何

一个点更池中心的水平距离与其所处口勺高度之间是对应的.建立如右下图所示的直角坐标系.则池中心。与汇合点

H之间的距离OH=m.

64

【答案】

【分析】由题意设出二次函数的顶点式，代入八8）=。即可求解.

【详解】由题意得y轴右侧图象为二次函数的一部分，顶点为（3,4）,

可设二次函数顶点式f（x）=。（工一3『+4,

449

且/（8）=25〃+4=0,解得。=一石，则八％）=_石（工一3）~+4,

64

则M=/（o）=有.

3.（25-26高一上•山西忻州•期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部

用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润P,乙产

10^/^d4-45（10<<7<27）,

品的利润。与研发投入。（单位：万元）分别满足尸=8000=6/+35（10<«<90）,设甲产品

--+130（27<«<90）,

a+\

的投入为x（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）.

⑴求。X）的表达式；

（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？

10x/x^I-x+180,10^x<27

【答案】⑴=（800

---x+265,27<x<90

x+\

（2）甲投入27.3万元,乙投入72.7万元时，利润最大是209.4万元

【分析】（I）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；

（2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可.

【详解】（1）甲产品的投入为x（单位：万元），则乙产品的投入为100-工（单位：万元），

则乙产品的利润Q=（1（X）-幻+35=135-x

当10KXW27时，P=\（）4^\+45,

当27X9。时，人一黑+13。，

8(X)

所以〃”=一+130+(135-x)=---x+265,

x+l

10VTd-x+180J0^x<27

综上所述，/（A）=-

---x+265,27<x<90

x+1

4/35

(2)当10WXW27时，令/=则re[3,而[x=r+b

则/(XI=./(r)=10r-(r+l)+180=-r+10r+179,

当，=5时，函数有最大值，

即当x=26时，函数“X)有最大值/(26)=I0XV5H—26+180=204.

当27cxV90时,

y(x)=---X+265=-f—+x+11+266<-2J^4x+l)+266=266-4072»209.4,

A*+1I+1)Y4+1

当且仅当空■=X+1,即x=20夜一1。27.3

x+1

因为204<209.4.

所以当甲投入27.3万元，乙投入72.7万元时，才能使总利润最大，最大利润是209.4万元.

4.(25-26高一上•宁夏银川•期末)2025年12月29口，中国向国际电信联盟(ITU)一次性提交20.3万颗低轨卫星

频轨资源申请，2026年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力”智

神星一号"、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来

首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定

X2+I0X,0<X<50

成本400万元，每生产X百台高级设备需要另投成本了万元，且y=1835400_»_

-----xH------------1683,50KxK100

2x

,xcN.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台.

(1)求企业获得年利润M(万元)关于年产量工(百台)的函数关系式；

(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.

-X2+80^-400,0<X<50

【答案】(l)M(x)=35400,-YGN

--x---------+1283.50<x<100

2x

(2)年产量40H台时利润最大，最大利润为1200万元.

【分析】(1)根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系；

(2)分0Wxv50和504五4100两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较可得最大

值.

【详解】(1)每百台高级设备售价为90万元，年产量%(百台)时销售收入为90x万元，

总成本为400+y万元，年利润M[x}=90x-(400+.y)万元.

22

当0Wx<50时，MM=90x-(400+y)=9()x-(400+x+1Ox)=_x+80x-400;

当50KXK100时，A/(x)=90x-(400-y)=90.r-(400+—,r+^^-1683)=--x-^^+1283.

2x2x

-X2+80X-400,0<X<50

所以年利润M3)=35400，xeN.

—二x—^_^+1283,504E00

2x

(2)由(1)当0Vxv50时,M(x)=-x2+80x-400=-(x-40)2+1200,

故当x=40c[0,50）（百台）时，A/UU=1200（万元），

当50«xW100时，M（x）=--x--+1283=-（-x+—）+1283

2x2x

H5400

+1283=-2x90+1283=1103

当且仅当91=士即x=60（百台）时，等号成立，此时M（X）2=U03（万元），

2x

因为1200>1103,所以年产量40百台时利润最大，最大利润为1200万元.

考点二分段函数模型的应用

5.（2526高一下•广东深圳•期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小

镇经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料%（单位：千克）满足如下关系：

4(.?+3),0<x<2,

W70x肥料成本投入为10x元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计20x元.已知这

,2<x<5.

2x+l

种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为V（单位：元）.

（1）写出单株利润y（单位：元）关于施用肥料x（单位：干克）的关系式.

（2）若施用肥料x（2<xW5）千克，当x取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

84(x2+3)-30A;0<A<2,

【答案】（1）丁=147O.r“,八

-------30x,2<x<5.

2x+l

（2）x=3t540元

【分析】（1）分0KxK2与x>2两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数;

（2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可.

【详解】（I）由题意可知，当04x42时，y=4x（/+3）x21-30x=84（f+3）-304；

70r|470r

当Ze"时，），=口>2「3。"罚-3。工,

84(X2+3)-30A-,0<X<2

综上，丁二1470x“,「

-------30x,2<x<5

2r+l

6/35

(2)当2Vx<5时,

147O.rc八芸j+15(2x+l)<750-2.745

y=------30x=750--^-x!5(2x+l)=540,

2x4-12x+lV7

735

当且仅当7―=15（2x+l,即x=3时取等号，

2x+\

所以当x=3时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元.

6.（2526高三下•安徽阜阳・月考）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售

出，若当天白天售不出，则当晚19:00后以每个30元价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完.

⑴若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，写出当天的利润），（单位：元）关于当天蛋糕需求量〃（单位：个，〃eND的

分段函数关系式：

（2）蛋糕店记录了100天生口蛋糕的口需求量（单位：个）整理得下表：

日需求量〃17181920212223

频数（天）10202014131310

日利润XyZaaaa

（i）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求x,y,z,。及这100天的日利润（单位：元）的平均数：

（ii）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概

率.

70〃-400,0<〃<20,〃wN*

【答案】（1）丁二・

1000,〃N20,〃eN*

（2）（i）x=790,y=860,z=930,4=1000；937；（ii）0.7

【分析】（1）分〃220和0<〃<20两种情况讨论，分别求出当天的利润厂与当天蛋糕需求量〃的函数关系式，即可

得解；

（2）⑴将〃=17,18,19,20代入（1）式，分别求出大，y,z,a的值，再求出H利润的平均数即可得解；（ii）禾I」润

不少于900元，即需求量不少于19个，再根据题意所给的频率计算即可得解.

【详解】（I）由题意知，每天做蛋糕的总成本为20x50=1000元.

若当天蛋糕需求量〃220,20个生日蛋糕白天全部售出，每个100元，

总收入为20?⑼2000元，当天的利涧为），=2000-1000=1000元；

若当天蛋糕需求运0<〃<20.白天售出〃个，每个100元，收入100〃元；

剩余20-〃个，每个30元，收入30（20-〃）元,

当天的利润为丁=100〃+3。(20-〃)-1000=70〃一400元,

所以当天的利润y与当天蛋糕需求量"的函数关系式为

_70/7-400.0</J<20,HGN*

一’1000,//>20,/?eN*

(2)(i)将〃=17,18,19,20分别代入(1)式,可得x=70x17—400=790,

y=70x18-400=860,z=70x19-4(X)=930,々=1000.

所以这100天的日利润的平均数为:

14+13+13+10

790x——+860x——+930x——+1000x=937

100100100100

(ii)当天利润不少于9()0元，即当日需求量不少于19个,

20+14+13+13+1070

=0.7

所以当天利润不少于900元的概率为"ioo-Too

7.(25-26高二下•山东枣庄•阶段检测)某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已

知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本/(“千元，当生产量小于20吨时,

/(X)=-X2+49X-205,当生产量不小于20吨时，/(x)=-301nx+24x+5.该企业为了提高企业的诚信度，赢得

良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元.」知生产的物资能全部售出.

⑴写出总利润g(x)(千元)关于生产量x(吨)的函数解析式(注：总利润:总收入一流动成本-固定成本)；

(2)当生产量为多少时•，总利润最小？此时总利润是多少？(参考数据：ln2(b3.0)

X2-24X+200,10<X<20

【答案】(l)g(x)=«

301nx+x-10,x^20

(2)生产量为12吨时，总利润最小为56千元

【分析】(1)根据给定的函数关系式，及利润的计算公式即可求解，

(2)根据二次函数、对数函数的单调性求最小值，比较大小即可求解.

-X2+49X-205,10<X<20

【详解】(1)由已知可得乂g(x)=25x—/(.r)—5,

-301n.r+24JV+5,x>20

当10,20)时，g(x)=25x-+49x-205)-5=f_24x+200,

当xw[20,+oo)时，^(x)=25x-(-301iu+24x4-5)-5=30Iar+x-10,

X2-24X+200,10<X<20

故g(%)=<

301nr+x-10,x>20

(2)当xw[10,20)时,g(x)=f-24x+200=3-12)2+56,g(x)而°=g(12)=56.

当x«20,田)时，g(x)=301nx+x-10,易知函数单调递增,

8/35

故以幻.=^(20)=301n20+20-10=301n20+10«l00.0.

因为56<100.0,所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利涧为56千元.

8.(2026・安徽淮北•一模)某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为5()元，当天以每个100元售出，若当

天白天也不出，则当晚19:00后以30元/个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部告完.

(I)若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，写出当天的利润)，(单位：元)关于当天蛋糕需求量〃(单位：个，〃wN.)的分

段函数关系式；

(2)蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)整理得下表：

日需求

171819202i2223

量n

频数(

10202014131310

天)

日利润XyZaaaa

(i)假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求工，V,z,〃及这100天的日利润(单位：元)的平均数；

(ii)若蛋糕店•天制作20个生H蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于90。元的概

率.

1000,n>20

【答案】(I)y=〈

70n-400,n<20

(2)(i)x=790,y=860,z=930,0=1000,平均数937；(ii)0.7

【分析】(1)根据已知得出分段函数解析式；

(2)(i)应用频率计算求解平均数：(ii)应用已知频率计算求解.

【详解】(1)当日需求量〃N20时,利润y=1000；

当Id需求量〃v20时，利润^=100/2+30(20-/7)-1000=70/2-400；

1000,n>20

「•利润，关于当天需求量〃的函数解析式尸7。-O''"

(2)(1)由(1)得x=790,y=860,z=930,a=1000.

这100天的日利润的平均数为:

-^(790x10+860x20+930x20+1000x50)=937,

(ii)当天的利润不少于-900元，当且仅当日需求量不少于19个,

故当天为利润不少「900元的概率为P=1-七?=0.7

100

考点三分式型函数模型的应用

9.（24-25高二下•江苏常州・月考）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的

底面是正方形，且水池最大储水量为6皿：已知水池底面的造价为600元/n?，侧面的造价为400元/n?.（注：衔

接处材料损耗忽略不计）

⑴把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长工（单位：m）的函数；

⑵若xw[l,r]（/>1的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边K?

【答案】（1）水池的造价S=600f+幽，其中工>0（单位：元）

x

（2）1</<2时，当水池底面的边长为An时，水池的总造价最低.

122时，当水池底面的边长为2m时，水池的总造价最低.

【分析】（1）根据已知确定底面积、侧面积，进而写出水池的造价，注意自变量的范围；

（2）利用导数求函数的最值，并确定对应自变量即可.

624

【详解】（I）由题意，得水池的底面积为侧面积为4xxr=一（单位：O,

XXm

所以水池的造价S=6001+陋，其中x>0（单位：元）；

x

（2）对函数5（3）=600丁+陋求导，得50）=1200.-刍1,

令S'（M=0,解得x=2,

由S'（x）<。，解得xv2,故S（x）在区间（0,2）上单调递减,

由解得x>2,故S（x）在区间（2,+e）上单调递增，

所以，l<f<2时，S"）取得最小值S（f）=600尸十竿元,

■2时，S（x）取得最小值S（2）=7200元,

因此，1</<2时，当水池底面的边长为rm时，水池的总造价最低.

年2时，当水池底面的边长为2m时，水池的总造价最低.

10.（25-26高三・上海•二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广

场，其中两个相同的矩形A8CD和耳C”构成的十字形区域总面积为200m2.中心正方形MNPQ区域将安装国产太

阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元/nf；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价

为105元/nf；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元/nf.设总造价为W（单位：元），

AD=x（单位：m）.

10/35

⑴设。。长为y（单位：m）,用X表示y，并求出工的取值范围;

（2）人/）1（又何值时可使总造价最低，并求出最低造价.

【答案】⑴尸史-彳，0<x<10x/2

x4

（2）710,59000元

【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据x>0，）>0求出范围：

（2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出.

【详解】（1）因为十字形区域总面积为ZOOnf,所以4.口+/=200,解得）,=丑二t=竺一二.

4xx4

因为x>0,y>0,所以y=200r>0,解得0cx<10人.

4x

所以N=三一0<x<10\/2•

（2）中心正方形MNPQ面积为造价为叱=210（以、=2100X2；

四个矩形的总面积为§2=4盯=4X（?-：）=200-Y,

22

造价为叱=105XS2=105（200-x）=21000-105x；

四个三角形的总面积为S3=4x，），2=2（丝-'、5000sx2

———50+—,

2Ix4,x28

造价为吗=40XS3=40（^^-50+—|=200000-20004-5x2；

\x8x

总造价为W-叱+W,十吗一2100.V2+21000-105x2+二A——2000+51

x

2（）（）（X）（）

=2000.r+4-19000,

x

又2000x2+200f0Q22小2000.展迎学=2x20000=40000,

当且仅当2000/=半巴，即X=M时取等号,

X'

所以WN40000+19000=59000,当x=Ji6时取等号.

故当AD的长为J万时，总造价最低，为59000元.

II.（25-26高一上•云南楚雄•期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（0<xvl0）万元，则

该材料的销售量可增加〃=半吨，每吨的销售价格为2-21万元，另外生产〃吨该材料还需要投入其他成本f万

x+2Ip）4

元.

（1）求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式;

（2）当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元？

49v

【答案】⑴尸xe（OJO）

（2）当％=5时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元

【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式；

（2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值.

【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得，

又因为〃=14弋x，

x+2

714K49.r/、

所以"屋Q—57=.—5r（0c<l。）；

（2）

由⑴知产许7一$一出+2）7-5=21.5-|57r（x+2）］

因为xe（0,10）,所以x+2e（2,12）,

所以也+（》+2）22、/々.&+'=14,当且仅当鸟=1+2,即x=5时，等号成立，

x+2'7Vx+2''x+2

所以）京=21.5—14=7.5,

所以当X=5时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元.

12.（25-26高一上.湖南梆州.期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前

沿技术创新''的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套

的AI算法服务包.通过市场分析,全年需投入固定成本260万元（含研发、服务器部署等）,每生产1千个算法服务包，

IOx2+1OOx,0<xW40,

需另投入成本R（x）万元，且R（x）=10000/八已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内

601X+------7260,x>40.

x

生产的服务包当年能全部销佻完.

⑴试写出2026年利润£（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式；

（2）当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

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-1Ox2+5OOx-260,0<xW40,

【答案】⑴“切一・”八八10000，八

7000—x--------,.v>40.

x

（2）答案见解析

【分析】（1）根据利润、成木、售价之间的关系进行求解即可;

（2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可.

【详解】（I）由题意可知：

L(x)=xl000x0.6-7?(.r)-260=600.v-/?(x)-260.

当0<xW40时，

L(x)=600x-(10x2+l00x)-260=-1Ox2+500x-260；

当x>40时，

£(x)=600.V—(60Lr+^22_726()'-260=7(X)0-x-,

所以2026年利润L(万元)关于年产量工(千个)的函数解析式:

-IOx2+500%-260,0<x<40,

3)｛皿、>00004、

7000—x--------,x>40.

x

(2)当0<xK40时，

L(X)=-10X2+500X-260=-I0(X-25)24-5990,

当x=25时，函数“X）有最大值5990；

当x>40时，

L(x)=70(X)-X-^52=70(X)-Lr+

<7(X)0-12

当且仅当/=峻时取等号，即有〃“47000-2=7000-2x100=6800,

X

所以当x=100时，函数”力有最大值函00,

综上所述：

2026年产量为100千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为6800万元.

考点四指数函数模型的应用

13.（25-26高二下•湖南郴州•期中）我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强〃（单位：kPa）

随高度〃（单位：km）的变化满足指数衰减规律：P=P°e…，其中％为海平面处的大气压强，%为常量.已知在

高度为50km处，大气压强为海平面处的;，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的：，则当前高度约

~O

为（）

A.150kmB.100kmC.175kmD.125km

【答案】A

【详解】当/?=50时.,〃=：%，则［〃。=〃。©-50,得女=嚼・

由=纳，得4=l^=］n8x兽=150.

8k1112

14.（2026•宁夏银川•三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间）'（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满

足：），=*+〃（其中“，〃为常数）.若该蔬菜在贮藏温度x为9℃的环境下保鲜时间），为261小时，在23℃的环境下

保鲜时间为29小时.若该蔬菜运输总物流时间为87小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的1.2倍,

则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度x的最大整数数值为.（参考数据：M3。1.099,M29。3.367,

In104.4^4.648）

【答案】14

【分析】把/与）'的值直接代入y=得到关于。、〃的方程组，解出参数〃的值；根据保鲜的实际要求列出不等

式1.287x1.2;对其两边取自然对数转化为不等式，结合。的值即可解出x的取值范围，并从中确定》的最大数

值.

【详解】已知保鲜时间了与贮藏温度工的关系为），=1*（〃，方为常数）.

当x=9时，。=261,代入得261=e9小①,

当x=23时，），=29,代入得29=e23*②，

将①+②化简可得9=e-+。）,即9=e',4a,解得Q=一手,

由运输要求y>87x1.2=104.4,即产。>104.4,

又因261=e。"J所以e2）=穿之业=o.4,

e'261

即a（x-9）21n0.4,WIn0.4=ln104.4-ln261,

其中ln261=In（9x29）=21n3+ln29«2x1.099+3.367=5.565,

所以］n0.4工4.648-5.565=-0.917,

代入•=一竽可得一早（％-9）2-0.917,因此工一9工彳器*5.84,

解得X<14.84.

所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为14℃.

15.（2026•四川成都•模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一•处大型青铜铸造作坊.利用

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碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间，（单位：年）的衰变规律满足

N=N°（；）疝（乂表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量

约是原来的专至:，据此推测青铜布币生产的时期距今约（）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）？（参

考数据：log23nl.6)

A.1880年B.2580年C.3550年D.4150年

【答案】B

【分析】根据题意得正flV7303

MEN。匕解不等式得2292金工2865,再结合区间的中点进行估计，近似到

2

十年即可求解.

即也产"

【详解】根据题意,

2一⑴~4

所以晦孝(1^5730a1t

-log4d

所以0.44——<0.5,BP2292<r<2865,

5730

所以区诃的中点为二92；2865=257&5,近似到十年为2580年.

16.（2026.江苏.三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量Q。）（单位：拷贝数/升）与时间，（小

时）的关系为Q（，）=2/2'皿/I,其中我＞1,&为初始病毒载量，则病毒载量在，=小时达到峰值，之后病

毒载量每经过1小时衰减为原来的4倍，当低于装时不具传染性，则从，=。起，该病毒具有传染性的总时长为

_____小时.

【答案】432

【分析】分类讨论/的范围得出。⑺的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论，的范围，结合指

数函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长.

【详解】当出4时,此时"4|="4,

代入原函数指数部分：，+4攵一々/一4|=，+4&—&。-4）=，+4攵-内+4攵=（1一攵"+8左，

所以，Q（，）=Q）・2（IA8。

已知我＞1,则一＜0,

所以当年4时，指数（1-左），+8攵是关J」的减函数,

因此在［4.+力）上单调递减，

当/<4时，此时1-4|=4-，代入原函数指数部分:

t+4k-k\t-4\=t+4k-k(4-t)=t+4k-4k+kt=(<\+k)t,

所以，Q（，）=Q/2（”

同理得Q（f）在（0,4）上单调递增,

综合以上两种情况，Q⑺在1<4时单调递增，在年4时单调递减，

因此，病毒载量在，=4时达到峰值.

在d4时，Q（/）=Q），ii,

根据题意，对于任意d4,有：℃1）=会（小

代入表达式：邛0啰…，

整理得，*1）"取+修=2（T”血T,（1一女）/+82+1—2=（1-&»+8&-1=左=5，

所以创。=2・「弓1，

病毒具有传染性的条件是Q⑺之罢，即Q/2”吁I>%,

1616

整理得，r+io>-|/-4|,

3

当年4时，不等式变为：r+10>-（/-4）=>/<32,

结合前提fN4,得到44Y32；

3R

当【<4时，不等式变为：r+10^-（4-/）=>^--,

结合前提，<4,得到T.6W4,

综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为［1.6,32］,

题F要求计算从f=0起的传染时长，即时间区间［0,32］的长度，

故总时长为32-0=32小时.

考点五对数函数模型的应用

17.（2026•北京石景山•二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为/

的声音对应的等级为LdB,则有L=l（）lg油.已知某品牌第记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB,如

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果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（）

（参考数据：lg2ao.301）

A.49dBB.46dBC.26dBD.13dB

【答案】A

【分析】设原强度4、新强度"=3,代入分贝公式拆分对数，利用己知4=52dB和lg2Po.301计算,得结果48.99dB.

【详解】设原来的噪音强度为4,对应的等级A.=52dB.

改善后的噪音强度为，2=：小对应的等级为4.

根据公式L=101g/，代入。得：52=101g，五.

计算％『年会=10电2=联涡一电2卜。哈丁晔.

将101g磊=52,lg2=0.301代入：

352-10x0.301=52-3.01=48.99，49.

18.（2026•山东德州•模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数A与训练数据量工（单

位：GB）的关系式为A=hl.5竽，其中左为常数•当训练数据量为e'GB时，模型的准确率提升倍数为225当准确

率提升倍数A达到135时，模型在识别狂杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量

约为（）（参考数据：ln2»0.7Jn3^1.1,lnl0«2.3）

A.1。48GBB.1051GBC.D.1057GB

【答案】D

【分析】根据题设条件，将（e4,22.5）代入关系式a=hl.5与可求出攵的值，再利用对数的运算即可求解.

【详解】当.ye4时，A=kI52=2.25^=22.5，即％=10.

当A=135时，io*］$彳=135，即13.5=1广，

则Ini3.5-叵Ini.5,即hir—21nl3.5.

2lnl.5

因为Inl3.5=ln227=In27-ln2=31n3-hi2充3x1.1-0.7=26,Inl.5=ln3-ln2会0.4,

2

所以］M~胃子=13.令x=10",则］m=n|n10«23n,

所以也会昙*5.7,则％*105.7.

19.（25-26高一下•江西景德镇•月考）我们都处于有声世界之中.音量的单位是分贝（dB）,对于一个强度为/的声

波，音晟的计算公式是〃=10但了，这里常数/。是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度/是

10dB时声音强度/,的（）

A.2倍B.4倍C.10倍D.100倍

【答案】D

【详解】若"=30,则l（）lg：=30,则lg/=3+lg/°,

若〃=10,则10吆；=10,则lg/'=l+lg/。，

则lg/-lg/'=lg，=2,得"=1（）2=皿，

故30dB时的声音强度/是10dB时声音强度/’的100倍.

20.（25-26高一上•河南郑州•期末）大西洋鞋鱼每年都要逆