沪教版（上海）九年级数学复习：等腰三角形分类讨论

九年级专题复习四等腰三角形分类讨论

知识梳理，

等腰三角形的分类讨论题多见于初三各级各类模拟考试甚至中考的压轴题中，由于这类

题目都与图形运动有关,需要学生具有-定的想象、分析和运算能力，而这正是学生最缺乏的.

理清这类题目的解题思路和解题策略将会是在中考中获得高分的重要祛码.等腰三角形分类

讨论的解题思路粗分有两种，第一种是用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边，后

用三条线段依次相等建立方程后求解;第二种是分别作出三种等腰三角形条件下的图形、利用

等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解.

下面就常见的题型进行分析、归纳.

【典型例题】

［例1］如图，在RQABC中，ZC=90",sinB=机,AC=4;D是BC的延长线上的一个动

点，ZEDA=ZB,AE//BC.

E

(1)找出图中的相似三角形，并加以证明；1

⑵设CD=x,AE=y,求y关于x的函数解析式，并写出函//

数的定义域；/「

(3)当4ADE为等腰三角形时，求AE的长.3cD

I思路分析］

(I)用含有x或者y的代数式来表示等腰三角形的三条边长AD,DE,AE三条线段依次相等

建立方程后求解，显然AE和DE边都不方便用含有x或者y的代数式表示.

(2)分别作出三种等腰三角形条件下图形,利用第(1)题中证明的aABDC〜AEDA将等腰的

条件转化到4ABD中进行求解，最后代人定义域检验.

解:

［例2］如图.已知直线1的解析式y=3r+6,直线I与x轴y轴分别交于点A.B,直线L经过B,C

两点，点C的坐标为(8,0).又知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线L上从点C向

点B移动.点P,Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度,设移动时间为t(s)(0<t<10).

(1)求直线L的解析式；

(2)当t为何值时，4PCQ是等腰三角形.

［思路分析］在直角坐标系中对等腰「角形进行讨论，依然遵循

两大基本思路此题中PC,QC两条边长都方便用含有I的代数

式表示，而PQ不易表示,将等腰三角形PQ=QC和PC=PQ两

种情况，通过添加底边上的高转化为直角三角形，再用锐角三角比和相似三角形的方法进行求

解则较易求得结果.

解:

［例3］如图,已知二次函数y=-x2+bx+c(c>0)的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的

左侧)，与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.

(1)求二次函数的解析式;.

(2)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形;如

果存在，求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

［思路分析］根据直线MB的解析式为y=-2x+6,设N点的坐标

为(x,—2x+6),因为C(0,3)和M(l,4)为已知点，所以△NMC的三

条边长NM.MC,NC均可表示出来，根据三边依次相等建立方程

后求解，最后带人定义域检验.

解:

［例4］如图,在梯形ABCD中，已知AB//CD,AD1DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在

直线为x轴,过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系。

(1)求NDAB的度数及A,D,C三点的坐标;

(2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.

(3)若P是抛物线的对称轴L上的点，当APDR为等腰三角形时,

求点F的坐标.

［思路分析］这乂是一题在直角坐标系中对等腰三角形进行讨论，本题可采用几何法求解,

当BD为等腰三角形的腰时，分别以B,D为圆心BD的长为半径画弧与对称轴的交点就是

所求的P点，再用勾股定理求出对应的线段长度就可求出点P的坐标了.当BD为等腰三角

形的底边时P点在BD的中垂线和对称轴的交点匕

解:

［例5］如图，在RtAABC中,NA=90°,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点点

P从点D出发沿DE方向2动，过点P作PQ1BC于Q.过点Q作QR//BA交AC于R,

当点Q与点C重合时，点P停止运动。设BQ=x,QR=y.

(1)求点D到BC的距离DH的长；

(2)求y关于x的函数关系式，写出自变量的取值范围;

(3)是否存在点P,使4PQR为等腰三角形.若存在，请写

出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.

［思路分析］ZXPQR中的PR边很难表示成含有字母的代数式，因此当PR二PQ和PR=QR

时需分别画出两个等腰三角形，解等腰三角形的问题通常是化归成解直角三角形的问题，所

以作出等腰三角形底边上的高，两个全等的直角三角形与4ABC相似,利用相似比或锐角三

角比求解.

解：

【练习题】

3

1.如图，点A是NMON(记为a)的边ON上一点，且QA=10,cosa二—力是0人上的一个

动点(与O,A不重合)，过P作PDJ_OM,D为垂足，以PA为边作正方形PABC(在NMON

内部)，设OD的长为x,PA的长为y.

(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

(2)当x为何值时,ZXPCD为等腰三角形.

2.已知:如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,DC1BC,P是边AB上一动点，PE1

CD,垂足为点E,PM1AB,交边CD于点M,AD=I,AB=5,CD=4.

⑴求证:NPME=NB;

⑵设A、P两点的距离为x,EM二y.求y关于r的丽数解析式，并写出它的定义域;

(3)联结PD.当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时，求AP的长.

3.如图.已知在AABC中，ZA=45°,AB=7,tanB=}.动点P,D分别在射线AB,AC

上，且NDPA二NACB,设AP=x,APCD的面积为y.

(I)求AABC的面积；

(2)如图,当动点P、D分别在边AB,AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定

义域；

(3)如果4PCD是以PD为腰的等腰三角形,求线段AP的长.

4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点E是边CD上任意一点(点E与点C,D不重

合)，过点A作AF±AE,交边CB的延长线于点F,联结EF,交边AB于点G,设DE=x,BF=y.

(1)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(2)如果AD二BF,求证:4AEF〜ADEA;

(3)当点E在边CD上移动时，4AEG能否成为等腰三角形?如果能，请直接写出线段DE

的长;如果不能,请说明理由.

5.已知，在直角坐标平面中,0为坐标原点，二次函数y=-x2+(k-l)x+4的图像与y轴交

于点A,与x轴的负半轴交于点B,且NABO的余切值为

(1)求点A与点B的坐标；

(2)求此二次函数的解析式;•

(3)如果点P在x轴上，且AABP是等腰三角形，求点P的坐标

6.如图，E是正方形ABCD的边AD.上的动点,F是边BC延长线上的一点，且BF=EF,

AB=12,i^AE=x,BF=y.

(1)当△BEF是等边三角形时，求BF的长；

(2)求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)把AABE沿着直线BE翻折，点A落在点A，处，试探索：△ABF能否为等腰三角形?

如果能，请求出AE的长;如果不能，请说明理由.

7.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AE=1,BE=2,点F在边BC的延长线上,

且CF=BC；P是边BC上的动点(与点B不重合)，PQ_LEF,垂足为0,并交边AD于点Q；

QH_LBC,垂足为H.

⑴求证:ZXQPH~AFEB;

(2)设BP=x,EQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

⑶试探索4PEQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,请求出x的值;如果不可能，请说明

理由..

8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BCE是AB的中点，过点E作EF//BC,交CD

于点F,AB=4,BC=6；ZB=60°.

(1)求点£到8(2的距离；

(2)点P为线段EF,上的一个动点，过P作PM_LEF交BC于点M,过M作MN〃AB交

折线ADC于点N,联结PN,设EP=x.

①当点N在线段AD上时(如图(b)),APMN的形状是否发生改变?若不变.求出△PMN

的周长;若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时(如图(c)),是否存在点P，使APIVIN为等腰三角形?若存在，请

求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.

9.已知：团ABCD中，对角线AC_LAB,AB=15,AC=20,点P为射线BC上一动点，

AP_LPM(点M与点B分别在直线AP的两侧)，且NPAM二NCAD,联结MD.

(1)当点M在团ABCD内时，如图1,设BP=x,AP=y,求y关于工的的数关系式，并写出

函数的定义域；

(2)请在图2中画出符合题意的示意图，并探究图中是否存在与aAMD相似的三角形，若

存在，请写出并证明;若不存在，请说明理由；

(3)当AAMD为等腰三角形时，求BP的长.

10.如图，在直角梯形ABCD中,AD〃BC,NC=90°,BC=12,AD=18,