2026年立体几何大题练习（高一数学下册期末质检）

立体几何大题练习(高一下学期期末质检精选)

一、解答题

1.如图1，设半圆的直径为4，点8、C三等分半圆，点M、N分别是。8、0C的中点,

将此半圆以。4为母线卷成一个圆锥(如图2).在图2中完成下列各题：

(2)求四面体WCWN的体积；

(3)求三棱锥M-ABC与三棱锥N-ABC公共部分的体积.

2.如图，。是圆锥的顶点，。是底面圆心，力8是底面直径，且48=2.

(1)若直线以与圆锥底面的所成角为三，求圆锥的侧面积；

(2)已知。是母线口的中点，点C、。在底面圆周上，且弧4C的长为CD//AB.设点"

在线段0c上，证明：直线〃平面尸8D

3.如图，在三棱锥。-48C中，△/出C为等边三角形，E为力C的中点，4c_LQ8,且

AC=DB=2DE=2.

(1)证明：。七_1_平面力8。；

(2)若厂为线段。8上的动点，当△力人?的面积最小时，求C/与平面力所成角的正弦值.

试卷第1页，共11页

4.如图，在二棱柱/3C—4dG中，441，平面/出C,AB=BC=AC=AAlf。是8c'的中

⑴求证:力田〃平面力G。；

(2)求证：平面力CQ_L平面8CG4；

⑶求直线AC与平面4G。所成角的正弦值.

5.如图，在四棱锥48CQ中，底面ABCD为平行四边形，4PCD为等边三角形，平面PAC1

(1)若平面214c平面尸CO=/,求证：IHCD；

⑵求证：产41平面PC。；

(3)求四棱锥P-的体积.

6.如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均

为1cm,正三棱台的下底面边长为2cm,且正三棱台的底为1cm,现有一盒这种零件共重

650百g(不包含盒子的质量)，取铁的密度为7£g/cml

(1)试问该盒中有多少个这样的零件？

(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少cnf的材料?

试卷第2页，共11页

7.如图，正四棱锥0/1〃C。的底面积为3,。'为正方形的中心.

3

(I)若正四楂锥尸-.48CO的高为,求它的表面积.

⑵若正四棱锥尸-"8佗外接球的表面积为8兀，求正四棱锥P-/18CQ的体积.

8.如图，△H8C中，AC=BC=—AB,四边形力砥。是正方形，平面力BE。J_平面"C,若

2

(1)求证：G尸//平面48C；

(2)求证：平面ECO_L平面XCQ.

9.如图，在四棱锥尸-48CO中，底面48CO是菱形，尸4_L平面力8C。，E,尸分别为PC,

(2)若21=44=/1。=2,求点力到平面E8C的距离：

(3)直线力。上是否存在一点M,使得P,/,E,b四点共面?若存在，求桨的值；若不

AD

存在，说明埋由.

试卷第3页，共11页

10.如图，正方体力8c。―44GR中，石,尸分别为/121'4的中点.

(1)证明：EF〃平面/1BCD；

(2)求异面直线EF与8G所成角的大小.

11.如图，已知等腰梯形"CQ中，AD//BC,AB=4D=gBC=2,E是6c的中点,

2

AEcBD=M,将△历IE沿着力E翻折成遇花，使8眼_1平面力ECO.

(1)求证：CO_L平面々OM；

(2)求片E与平面用河。所成的角；

(3)在线段8c上是否存在点P,使得M9〃平面8/。，若存在，求出算的值；若不存在，

说明理由.

12.如图，在四棱锥尸-川况7)中，〃。_1平面/加CQ,底面48C。是平行四边形，PAICD,

AD=\,CD=4.

(1)证明：力。_1平面尸。。；

(2)若尸0=3,求直线/M与平面尸5。所成角的正弦值.

试卷第4页，共11页

13.已知四棱锥P的底面是梯形，/M_L平面/4CD,BC//AD.AB=-Jz»

⑴求点力到平面P8C的距离：

(2)求平面鹤与平面P4C的夹角的大小.

14.如图，/也为半球M的直径，C为标上一点，尸为半球面上一点，且力C1PC.

(1)证明：P81PC；

(2)若力。=4必=2,PB=&,求直线PC与平面218所成的角的正弦值.

15.如图，在四棱锥P-48C。中，底面48CQ是菱形.

(1)若点E是产力的中点，证明：PB〃平面｛CE；

(2)若％=PD=/1D,/BAD=120、且平面1平面，48CQ,求二面角P-力C—O的正弦

值.

试卷第5页，共11页

16.如图，在四棱维P/BCD中,平面

PAD,PA=AD=DC=24B=4,PD=26,M是PC的中点.

⑴证明：面产

(2)证明：平面平面PCD；

(3)求三棱锥M-PAB的体积.

17.如图I,四边形/5C。是边长为2的正方形，将Y/IC。沿/C折叠，使点。到达点E的位

置(如图2),且EB=瓜

图1图2

(I)求证：ACYEB；

(2)求二面角E--8的大小.

18.如图，在三棱柱48c中，力4，平面力8。，△力8c是等边三角形，D,E,b分

别是棱4G，AC,4C的中点.

(1)证明：4。〃平面C£F；

(2)若244=3,44=3,求三棱锥4—&。后的体积.

试卷第6页，共11页

19.如图，在四棱锥夕中，底面力为菱形，且NO49=60。，AC,3。交于点N,

为等腰直角三角形，21=。。，点”为棱PC的中点.

(1)证明：MV〃平面/)力。；

⑵若平面P/1D，平面力BCD,求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.

20.如图，在梯形/8C。中，BCHAD,BCA.CD,BC=2,AD=3,CZ)=&，点E满足

DE=2EA^把△力BE沿8E折起到△〃“，使得小=将，其中RM,N分别为。£，PD,PC

的中点.

(1)证明：BFA.PC；

(2)求三棱锥P-BMN的体积.

21.如图，48是OO的直径，以垂直于OO所在的平面，。是圆周上不同于48的一点,

E,产分别是线段尸8,尸。的中点，AB=10,PC=12,ZAPC=300.

(1)求证：BC〃平面/反；

(2)求点P到平面力)的距离.

试卷第7页，共11页

22.如图，。/和都垂直于平面"是04上一点，且C8=4,//=2,为等腰

直角三角形，且。是斜边/仍的中点，CE与平面力跖所成的用为45'.

(I)证明：m上平面OCE；

(2)求二面角歹-EC-O的平面角的正切值；

(3)若点P是平面ADE内一点，且。C1。尸，设点P到平面ABE的距离为4,P4=d2，求4+%

的最小值.

23.如图，圆锥PO的体积>=与，点4,4,C,。都在底面圆周匕且4408=0,ABLCD,

(1)求圆锥PO的侧面积；

(2)求直线CE与平面PCO所成角的余弦值.

24.如图，在直三棱柱川?。-44G中，ACIBC,8C=CG,点。是力。的中点.

⑴求证：/4〃平面BCQ,

(2)若三棱柱力AC-44G的体积为6,求四面体4c田。的体积.

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25.如图，在四棱锥S/BCD中,SC_L〃C,底面45。为矩形，/。=3,OC=4,SD=2庭，

(1)证明：平面5月。_1_平面48C。；

(2)求四棱锥S-48C£)的表面积.

26.如图，在直三棱柱中，ABLAC.AC=AA..求证：BC.1A{C.

27.如图，在四棱锥尸-力3c。中，底面48CQ是菱形，/员40=120。,

AB=2,ACC\BD=O.PO1底面ABCD，点E在棱PD上.

(2)若OP=2,点E为尸力的中点，求二面角P-ZC-E的余弦值.

28.如图，已知三棱台48C—44G的体积为逋，平面平面8CC4，△力5C是以

12

B为直角顶点的等腰直角三角形，且力8=2/4=24用=2BB、.

(1)证明；8C_L平面用4；

试卷第9页，共11页

⑵求点8到面/CG4的距离;

(3)在线段CG上是否存在点尸，使得二面角/-钻-。的大小为?，若存在，求出CF的长,

6

若不存在，请说明理由.

29.如图，在四棱锥中，底面/18CQ是边长为1的正方形，S4=35=2,E、尸分

别是SC、8。的中点.

(1)求证：£F//平血S/4：

(2)若二面知的大小为

(i)求S/1与8。所成角的余弦值；

(ii)求直线SQ与平面力BC。所成角的大小.

30.如图，在四棱锥尸-/lBC。中，底面48CO为正方形，PQ_L底面48CO,M为线段PC的

中点，PD=AD=\,N为线段8C上的动点.

(1)证明：MD1PN；

(2)当N为线段8C的中点时，求三棱锥彳-MN。的体积.

试卷第10页，共11页

31.如图，在校长为2的正方体力48c自中，M为棱的中点，P为楂4R的中电,

平面DAMN与平面C8/。将该正方体截成三个多面体，其中M。分别在棱BC,DD上

(1)求证：平面MV£>4〃平面C8/Q：

(2)求异面直线。。与MN所成角的余弦值.

32.如图，在三棱锥匕中，△勿4为等边三角形，且4C=8C=2,O,M,D

分别为AV,4c的中点，BM,PO交于点F.

⑴证明：48_L平面-0C；

(2)在线段8M上是否存在一点£,使OE〃平面V0C2若存在，请指出点七的位置；若不存在,

请说明理由.

33.如图，在直角梯形/8CO中，ABLAD,A。〃BC,4B=4D=gBC=2,沿对角线6。

2

将AABD折至“'BD的位置，记二面角A'-BD-C的平面角为0.

(1)当<9=90。时，求证：平面HCO1平面44。；

(2)若E为5c的中点,当夕=120。时，求二面角H-OE-8的正切值.

试卷第II页，共11页

参考答案

I.（»4

娱

【分析】（1）先求出圆锥的底面圆半径，再利用正弦定理求出8C,进而可得出答案；

（2）根据仁心二;匕依=；喂由求解即可；

（3）连接4N,CM交于点P,连接OP并延长OP交8c于点E,由此得到三棱锥〃-月8C与

三棱锥N-/18C公共部分即为三棱锥P-4"C,由题得=则心的弓心.而，得解•

【详解】（1）在图2中，设圆锥的底面圆半径为小贝Ij2w=；x2x2兀，解得『=1.

因为在图1中，点8、C三等分半圆，

所以在图2中，点8、。为圆锥的底面圆周的三等分点，则△NBC为等边三角形,

所以"1l=2'♦=2,所以8C=0.

sin600

又因为点M、N分别是08、。。的中点，

所以A/N=18C=立.

22

（2）因为S"8C=!'\/ix/x"■=与层’圆锥的岛〃=42,-f=△，

224

所以/ABC=JXs.BCXA=—X3Mx\[i=—,

U-ADL3A.*fDC344

所以=:匕〜e=了-3=3.=去，

3

即四面体ACMN的体积为7.

16

（3）连接8N,CM交于点P,连接OQ并延长OP交8c于点£,

则三棱锥M-ABC与三棱锥N-ABC公共部分即为三棱锥P-ABC.

因为点〃、N分别是08、0c的中点，

答案第1页，共36页

所以月为的中点，且后二;OE,

所以匕fBC

所以三棱锥历-ABC与三棱锥N-ABC公共部分的体积为J.

4

2.（l）2n

（2）证明见解析

【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.

（2）证明平面。。。〃平面P8D,然后根据面面平行的性质可得.

【详解】（1）由题知，NPAB.,即轴截面△48。是等边三角形，故PA=4B=2,

底面周长为27rxi=2兀，则侧面积为：；x2x2?r=2几；

（2）由题知力。=。。,力。=。8,则根据中位线性质，Q0〃PB,

又QO（Z平面PRO.巧?「平面的。,则。0//平面的加

由于病=；,底面圆半径是1,则N40C=W，又CD〃AB,则NOCO=f,

333

又OC=OD,则AOCO为等边三角形，则CO=I,

于是CD//BO且CD=OB,则四边形08/5。是平行四边形，故OC〃BD、

又OC<Z平面必。，8Qu平面外。，故。C//平面P4O.

又OCClOQ=O,OC,OQu平面QOC,

根据面面平行的判定，于是平面。。。〃平面尸8。，

又Me。。，则。Mu平面。OC,则QA///平面尸8Q

3.（1）证明见解析

⑵竽

【分析】（1）利用勾股定理逆定理判断结合/C_LOE,利用线面垂直的判定定理

证明线面垂直.

（2）先根据A/IA'C的面枳最小，确定点尸的位置.，再确定C尸与平面48。所成的角，利用余

答案第2页，共36页

弦定理解三角形，求出线面角的余弦，再利用同角三角函数的基本关系，求线面角的正弦.

【详解】（1）因为E为力。中点，△4BC是等边三角形,所以8E14C,

又AC工DB,DBcBE=B,DB,3Eu平面。BE,

所以4C_L平面QBE,

又DEu平面DBE,所以1C_LZ)E,

已知力C=2,则/E=EC=1,

又08=2,DE=1,在等边△彳8c中，BE=6，所以产+（次产=2?,

由勾股定理逆定理。炉+班：2=。82,所以。E18E,

因为力。08七=£,AC,6£u平面力4C,所以J.平面力4。.

（2）如图：连接EF,

由（1）知4CL平面。8E，Mu平面所以力。1£尸，

所以S“M=g4Cx£/\所以当△力/C的面积最小时，EF最小，

在中，若E”最小，则EE_LO8,

止匕时匕竺=38=&，A卜=。卜=<AE、E卜,？=J1+-=—,

BD22V22

因为4C_LQ8,DB工EF.AC[}EF=E,/。，比u平面力产。，所以Q8L平面力/<,

又D8u平面/13D,所以平面4?。_L平面力产C,

过点C作C〃JL1尸，垂足为〃.

因为平面4?Qc平面/尸。=力/，所以C〃_L平面45。，

所以4FC（或其补角）是b与平面彳8。所成的角.

77.

4/72+。产2_/。2彳+彳_42

在A/1R7中，由余弦定理可得cos//尸C=

2xAExCF7

所以sin/LAFC=—

7

即CF与平面ABD所成角的正弦值为逑.

7

4.（1）证明见解析:

⑵证明见解析；

答案第3页，共36页

⑶手.

【分析】(I)连接4。交/1G于。，连接。。，则由三角形中位线定理可得再利用

线面平行的判定定理可得结论.

(2)由等边三角形的性质可得力加工AC,再由棱柱的性质结合已知可得34_L平面力8C,从

而得44_L/1。，由线面垂直的判定定理可得4。_L平面3CG耳，再利用面面垂直的判定定理

可得结论.

(3)过。作。从LCQ于£,连4£,则可得CE_L平面力G。，从而中得是AC与平面

4G。所成的角，然后在直角△C4E中求解即可.

【详解】(1)在三棱柱48C-481G中，连接力。交4G于。，连接0D,

则。是4c的中点，又。是8C的中点，ODI/A.B,

而48a平面4CQ,oou平面4G。，

所以45〃平面NCQ.

(2)由=8c=4C,。是8。的中点，得ADJ.BC,

由44_!,平面48C,得平面/6C,又/Qu平面1BC,则44_1,4。，

又64、8C是平面4。。山内的两条相交直线，因此4O_L平面8。。蜴，而力Ou平面力CQ,

所以平面力CQ_L平面8CC由

(3)在平面8CC4内过C作Cf_LG。于£;连4E,

由(2)知，平面力CQJL平面8CC4，平面力CQn平面8CC禺=qo,

则CE1平面AC.D,NCAE是jC与平面力G。所成的角，

答案第4页，共36页

在直角AGCO中，令CD;仅=4,«产2%则CQ=6,CE=CC］：D=%

LC|Z7y5

2a

在直角AaiE中，.CEMM，

sinZ.CAE==*■=——

AC2a5

所以直线与平面4G。所成角的正弦值为手.

5.(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶演

3

【分析】(1)根据题意，iE得C。//平面P/仍，再由线面平行的性质，即可证得〃/CQ.

(2)取PC的中点N,连接DV,证得DM,平面尸4C,得到DVJLQ4,再由利

用线面垂直的判定定理，艮］可证得PNJ.平面PCQ；

(2)由4_L平面PCD,得到在直角△尸力。中，求得产力=2石，结合

丫…==2'PCD，即可求解.

【详解】(1)证明：因为底面48CO为平行四边形，可得。//48,

因为48u平面产力8,且。a平面248,所以CO〃平面尸

又因为平面48c平面PC。:且COu平面尸CQ,所以///CO.

(2)证明：取0C的中点M,连接ON,

因为△PC。为等边三角形，所以DNJ.PC,

又平面21c_L平面PC。，且平面"CD平面尸CO=PC,加Nu平面PCQ,

所以DV2平面P4C,又因为Hu平面尸4C,所以DN工P4,

因为21_LCZ),且。NnCD=。，DN,CDu平面PCD,所以尸彳_L平面PCO.

(3)因为尸/i_L平面尸CD,且尸Ou平面PC。，所以「力1尸。，

在直角△尸/。中，由力。=6,尸。=。。=4,可得PA=1AD2-PD?=2石，

又由等边△PCO的边长为4,可得S/。=x4?=，

所以四棱锥的体

答案第5页，共36页

枳:-BCD=2%功=2匕_°=2XgS.e•4=2X346X26=.

JJJ

6.（1）100个

⑵（300+1256+75M»m2

【分析】（1）求出正三棱柱和正三棱台的体积，得到零件的质量和盒中零件数；

（2）作出辅助线，求出零件的表面积，得到答案.

【详解】（1）设等边三角形的边长为。，则由三角形面积公式可得该三角形面积为

—a2sin60°=—a2»

24

故正三棱柱的体积匕=

144

正三棱台的体积匕=：xlx，x『+，x2?+\陷,

3I44V4412

*x7.8=^^g,

所以该零件的质量为

所以该盒中共有零件65。万•苧=1。。个.

（2）如图，设。，A分别为三棱台所在棱的中点，O,。分别为三棱台上、下底面的中心,

连接。。1，OD,DD、,OR.

因为AD=lxsin60°=—cm»所以,x立'=3xm,

2326

同理可得OQ-上3乂2-巫cm.

323

所以。A=J*+(QQ_OQ)2=等cm,

所以三棱台的侧面积为l（l+2）x空、3=巫小/,

2''64

所以一个零件的表面积为巫•+且x「+立＞22+1x1x3=3+久§+3回cn?.

4444

因为(3+5阮3屈］x100=300+125e+75病,

4

答案第6页，共36页

所以共需涂（300+125后+75M》m2的材料.

7.（D9

⑵正或还

22

【分析】（I）过点O'作O'F_LCO交。。于点少，由勾股定理求得。尸，进而求得表面积;

（2）由题，正四棱锥外接球的球心。在尸O'上，由外接球的表面积为跳，可求得外接球的

R=&,利用球的截面性质求出棱锥高力的值，再根据体积公式求解即可.

【详解】（1）由题意知?0」平面48CQ,过点O'作。7rle。交CO于点尸，连结尸E

则点尸为CO的中点，所以比_LCQ,

因为底面积为3,可得40=6，则0户=走

2

3

因为四棱锥的高为5,所以好

（2）设外接球半径为火，由外接球表面积S=4兀肥=8兀，可得&二拒.

因为底面积%=3,设底面正方形边长为",

则/=3，a=6底面正方形对角线长80=及“=迷,

所以底面正方形外接圆半街=些=渔.

22

由题，正四棱锥外接球的球心O在尸O'上,

设球心。到底面距离为〃，由&2=/+/,可得d=JF=3=j2-3=也，

V22

当顶点P与球心0在底面48。。异侧时，正四棱锥的高分=/?-4=0-孝=乎;

当顶点P与球心O在底面/8CO同侧时，正四棱锥的高〃=/e+4=及+立=速

22

根据正四楂锥体积公式P=；SM，当心孝时,x/2_V2

V=—x3x

32~2

当心逑时，展工3、逑=逑.

2322

答案第7页，共36页

8.(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)连接力E,利用线面平行的判定推理即得.

(2)由己知可得8C1/C,利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得8C_L平而NCQ,

再利用面面垂直的判定推理即得.

【详解】(1)连接力£,由少是正方形力8£。对角线8。的中点，得“是4?的中点，

而G是CK的中点，则G产/74C,又力Cu平面力8C,平面45C,

所以6^//平面力8C.

ER----------------

C

(2)由/。=8。=受力8,得力。2+以丁二力夕，则5c14C,

2

由平面_L平面力4C,平面力8EOCI平面力=AD1AB,XOu平面48Z">,

得力。_L平面48C,而BCu平面ABC,则4CJ.4。，又力

力C,/lQu平面力C。，因此8CJL平面力。力，又BCu平面BCD,

所以平面8coi平面ACD.

9.(1)见解析

⑵零

(3)1

【分析】(I)根据线面垂直即可求证线线垂直，

(2)根据等体积法，结合棱钺的体积公式即可求解，

(3)根据线线平行可得线面平行，进而根据中位线，由线线平行的传递性即可求解.

【详解】(1)连接4c4。相交于。，由于底面48C。是菱形，所以4C/8。，

又产/_L平面力8C。，Q3u平面48CZ),所以产力_1,。4,

PACAC=A,PA,ACu平面P4C,所以8加工平面PAC,

PCu平面4C,所以801PC

(2)由题意可知：点力到平面的距离即为点力到平面尸8c的距离，

答案第8页，共36页

设点A到平面EBC的距离为h,

由于尸4=48=4C=2,FT1.平面ABCD,所以PB=PC7PA?+4B?=26,

所以1丽=*.业。净）=$2也可-F=瓦

SAzAlROLC=—2BCABsin60=2-x2x2x

2a2JT

V=

VA-PBC~Vp-.4Bc。，PAnh=

=5sAp8,y“a

（3）取P。中点为N,连接4V,延长04,使得D4=4W,连接PM,

由于瓦N均为中点，所以EN//CD,且EN=；CD,

乂AF=；AB,AB//CD,AB=CD,所以EN"AF,且EN=AF,

故四边形4V£尸为平行四边形，取ANI/EF,

由于力是MQ的中点，N是尸。中点，所以力N//PM,

因此£“〃PM,所以四点共面，故桨=1

AD

（2）i

【分析】（1）连接力C,证明"7/4C,再根据线面平行的判定定理即可得证;

（2）先说明NCA或其补角即为异面直线痔与8G所成角，进而可得出答案.

【详解】（1）连接4C,

因为民尸分别为4VC4的中点，所以EF//AC,

又力Cu平面力8CQ,石产0平面片8c。，

所以即〃平面48c。；

（2）因为,C=GC且4C//CQ,

答案第9页，共36页

所以四边形4BCR是平行四边形，所以,

又EF/IAC,

所以ACAD,或其补角即为导面直线EF与BG所成角平面角,

1T

因为力C=4"=CA，所以"

即异面直线EF与8a所成角的大小为1.

⑵30

（3）存在，此时P点是线段4。的中点且算=；

o}CZ

【分析】（1）首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明力£_L平面片加。，再证明

4E〃C。即可证出结论；

（2）根据（1）中线面垂直的结论并结合线面角的概念找出所求角，再结合已知条件即可求解;

（3）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，

即可求解.

【详解】（1）如图，在梯形48CZ）中，连接OE,因为E是BC的中点，

所以45=又因为AD"BE,且4D=BE,

2

故四边形/出EQ是菱形，从而AE工BD,

所以△8/IE沿着力E翻折成△B明石后，片财_1.平面4七6力，因为。Wu平面力ECQ,

则有4£_L4MM£1。历,又及McD"平面々DW,

所以力EJ.平面4。河，

由题意，易知力O〃C£MO=C£,所以四边形力ECQ是平行四边形，故花〃C。，

所以8_L平面B}DM.

答案第10页，共36页

（2）因为力£_1,平面纬必。，所以线段片E在平面片内的射影为线段3眼,

所以与平面片”。所成的角为,

由已知条件，可知48=%£=8,AB=AD=BE=LBC=2,

2

所以△8/E是正三角形，圻以4M平分/48E，所以/E4M=30°,

所以8遂与平面与河。所成的角为30二

（3）假设线段8c上存在点P,使得A/P//平面8/。，

过点P作PQ〃C。交片。于。，连接"八力。，如图所示：

所以1M〃CZ）〃？。，所以尸四点共面，

又因为，“尸〃平面3/。，所以M尸〃力。，

所以四边形AMPQ为平行四边形，

所以尸。=4必=；8,所以。是4c的中点，

故在线段4C上存在点P,使得知尸〃平面8/。，且黑=1.

£>|CZ

12.（1）证明见详解;

⑵也

25

【分析】（I）由线线垂直正线面垂直即PO_LZQ,4D_LQC即可证明结论;

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.

【详解】（1）因为PZ）_L平面力4cO,AD.OCu平面力8C。，

所以尸O_L/O,PD1DC,

又PA【CD,PA、PQu平面以。，PA[}PD=P,所以CO_L平面P/W,

而4Ou平面P力。，所以CO_L4。，

答案第11页，共36页

DC、〃£>u平面DCcPD=D,所以49_L平面PCD；

由(1)知P。、DA.。。两两垂直，如图所示以。为中心建立空间直角坐标系，

则4(1,0,0)、"(1,4,0)、。(0,4,0)、尸(0,0,3),1=(1,0,-3)、丽=(1,4,-3)、定=(0,4,-3).

PBn=0x+4y-3z=0

设面P8C的一个法向量为3=(x,y,z),则有•一，即《

PCn=04y—3z=0

令y-3,贝Jiz=4,x=0,即〃=(0,3,4)

(2)60°

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算：

(2)法1：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；

法2：过4点作4H1PB,可求结合点/到平面尸BC的距离d=立，从而求出二面角

2

的大小.

【详解】(1)取力。中点E,连接EC,

则。七二%七=1,

-AE//BCRAE=BC,

答案第12页，共36页

二•四边形BCEA为平行四边形，

；.CE=AB=6,

又•••£7)=co=l,

由ED2+CD2=CE2可得CD40,

建上如图空间直角坐标系，

则4(2,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),P(2,0,l),

故万=(0,0/)，所=(1,-1/)，屈=(1,0,0)

设平面PBC的法向量为M=(x,y,z),

m•BP=(x,y,z)-(1,-1,1)=x-y+z=0

mCB=(x,y,z)-(1,0,0)=x=0

解得x=0,令y=l,则z=l,故/=(O1,l),

APm\|(0,0,l)(0,lJ)|^VI

点/到平面P8C的距离d=

xJ+1

(2)设平面APB的法向量为〃=(演,必,马),

zi-5P=(x1,y1,z1)-(l,-l,l)=x1-y1+z1=0

wJP=(x1,^I,z1)(0,0,l)=z1=0'

解得4=0,令*=1,则占=1,

可得G=(l,l,0),

门臼|(0,1"(1,1,0)|_1

同巾|2

易知平面网与平面PBC的夹角为锐角，

故平面物与平面尸8c的夹角为60。.

法2：过4点作力"_L产8,可求力，="""尸=巫,

PB3

由（1）可知点力到平面P8C的距离,/="，

2

设平面物与平面尸4c的夹角为0,00<6><90°,

/.cos"

答案第13页，共36页

故平面PBA与平面PBC的夹角为60°.

14.（1）见解析；

【分析】（1）由4c_L8C,XC_LPC可得力C_L平面P6C,进而可得4C_L/>8,又由于刃JLP8,

所以可得P8_L平面R4C,即可得PB_LPC；

（2）利用等体积法求得点C到平面PAB的距离为人=当，设直线PC与平面PAB所成的角为

6,则有sind=A，即可得答案.

【详解】（1）证明：因为力8为半球M的直径，C为港上一点，

所以<C_L4。，

又因为力C_L尸C,

BCnPC=C,

BC,PCu平面PBC,

所以4Cl平面P8C,

又因为P8u平面P8C,

所以4C_L/>B,

又因为尸为半球面上一点，

所以

PAC\AC=A,

044。匚平面产力。，

所以P8JL平面P/IC,

PCu平面P/C,

所以P3_LPC；

（2）解：因为三角形4JC为直角三角形，

AB=2AM=4,AC=2,

答案第14页，共36页

所以8c=26，

又因为q8=迷，平面尸4C,

所以尸C二几，

又因为三角形"8也是直角三角形，

所以P4=Ji6.

所以邑.“二；.力CPC=；x2x#=x^,

SaPAB=；.PA.PB=；xMxR=屈,

设点C到平面尸力片的距离为力，

则有^C-PAR=^B-PAC»

即也“力=沁祀回,

所以力=必殁=逅乎=亚，

S&PAB4^5

设直线PC与平面PAB所成的角为e,

2而

则.AhM.

PC瓜5

15.(1)证明见解析

⑵苧

【分析】(1)连接4。交力C于M,连接根据线面平行的判定定理即可证明结论：

(2)设。为力。的中点，连接尸。，证明尸。_L平面力4c。，从而作出二面角2-力。-0的平

面角，解直角三角形即可求得答案.

【详解】(1)连接8力交力C于M,连接EN,

因为底面ABC。是菱形，所以M为4。的中点，

又点石是尸。的中点，故ME为ADPB的中位线,

答案第15页，共36页

WEM〃PB、而EWu平面平面/ICE,

故P4〃平面/CE；

(2)设。为力。的中点，连接P。，因为4=2。=力。，故POJ,1。,

因为平面产力。_1平面力8C0,且平面P4QC平面48co=40,

P0u平面R4D,所以P0_L平面48CO,而力Cu平面48C。，

故P0_L4C,

底面力8C'。是菱形，故力C/6O,作ON〃BD文AM于N,

则0NJ./C,月.N为4W的中点，

连接/W,因为P。0。、=0,尸0,。呼匚平面。。3，

故力C_L平面尸ON,PNu平面PON,

故.ACtPN,

则ZPNO即为二面角尸一4C—Q的平面角，

设尸力二尸。=/1。=2,则尸O=J5，

ZBAD=\20\则/"C=60°，贝i」OM=2xsin60'=G，

由于。为力。的中点，N为4W的中点，故。乂=1。河=正，则,

22

而P01平面力8C。，QNu平面48CO,故P010N,

则PN=>!PO-+ON2=—

2

.”vc_P0_巫2班

所以PN叵_5，

F

即二面角尸-4。-。的正弦值为辿.

5

16.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(I)取〃。中点N,连接MM/N,证8M〃4N即可；

(2)由P4=AD得/1N工PD,由48_L平面21。得48J.P。，所以P。_L平面力5V,从而得

证；

(3)MN〃AB,所以MN//平面PAB,根据匕〜哂=^N-PAB=尸求解.

【详解】(1)取。。中点N,连接MN,AN,

答案第16页，共36页

AB〃DC,AB=-DC,MN//DC=-DC,

22

:,A4N〃AB、MN=AB,

：.ABMN为平行四边形，则BM//AN,

•・•<z面PAD,u面PAD,，BM//面PAD.

（2）因为尸力=%。，所以力N_LP。，

由43_L平面P力。,POu平面4。，所以4

又由力20力8=4,且力N,/4u平面/8MV,所以尸。_平面/8MN,

又POu平面尸C。，所以平面平面PC。，即平面44,W_L平面PC0.

（3）由（1）可得MN//4B,且48u平面尸MM（Z平面48,所以MN〃平面P/8,

所以^M-PAB~匕Y-/M8=%-NAP，

因为48_L平面PAD,可得VB-NAP=1S：'4B,

又由AP=4,PN=五,ANA.PD,

2

所以AN=574—7=3、S»NAP=；x万x3=-^―»

所以｝乎x2=6,即三棱锥M-PAB的体积为手.

17.（1）证明见解析

崂

【分析】（1）通过线面垂直判定定理证明线面垂直进而证明线线垂直；

（2）通过（1）的证明得出二面角的平面角，在该平面角所在的三角形中运用余弦定理解该角

的余弦值即可解出二面角大小.

【详解】（1）在图1中连接8。交力。于O,则力。18。，

所以在图2中，EOLAC,BOlACf因为E，40为平面8OE中的两条相交直线，

所以力C_L平面BOE,乂BEu平面所以4C_L8£；

答案第17页，共36页

图1图2

（2）由（I）可知，/EOB为二面角七-力。-8的平面角，

在AEOB中，EO=BO=4i,EB=4^,

由余弦定理，得COS/EO4=2：—%=-；,因为/£。840,可，

所以NEO8=g,所以二面角£-彳。-8的大小为子.

JJ

18.（1）证明见解析

（2）*

32

【分析】（1）通过证明平面480〃平面GET"得到力。〃平面加的；

132,即三

（2）匕4。£=%-。依=，S^CCiD=-CC}QD=-t作EG_L8C于G,EG

2o4

棱锥E-CCQ的高为且，可求三棱锥力-CQE的体积.

4

【详解】（1）证明：连接5。，

♦：E,尸分别是棱4C,BC的中点，・・・EF〃4B,

丁E尸u平面C[E/，«平