解直角三角形拥抱型与12345型-初中数学模型与解题方法专练（解析版）

专题40解直角三角形拥抱型与12345型

一、单选题

1.如图是由边长相同的小正方形狙成的网格，A,B，P,。四点均在正方形网格的格点上，线段AB,PQ

।.正B.侦C.也D.典

5525

【答案】A

【详解】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接1Q,

可得/QMB=NP,

•・,FB'=容3=2丘,PQ=V2W=271O>Q=V^^=4&，

PBfl-bQB,2=PQ2,

・•・△QPB，是直角三角形，

.•.cos/QM8=cosNP=M=_?^=立.故选：A.

PQ2x/105

二、填空题

2.如图，在4x3的网格图中，点力、B、C,〃都在小正方形的顶点上，AB,相交于点R则tanZAPC的

值是.

【答案】3

【详解】连接4C，

/BC//AD

•・VCBP^NDAP

.CTCP1

'~AD~~PD~2

•・"，即叽3

CD3PC

**AC=CD=V12+12=V2»AD=2

*.AC2+CD2=AD2

•・ZAC力=90。

••在RtAAPC中，tanZAPC=^=^=3

1V--1V.z

故答案为：3.

3.如图，为了测量河对岸旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进20m到

达D处，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为45°,则旗杆AB的高度为（精确到0.1m,参考数据:

72=1.414,6=1.732）

【答案】27.3m

【详解】解：设AB二xm,

•・•在点C处测得顶端A的仰角为30°,

AC=2xm,贝！JBC=GX

•・•在D点测得旗杆顶端A的仰角为45°,设AB=BD=xm,

/.CD=BC-BD

；・（X/3-1）X=20.

解得：x=10（百+1）=27.3（米）.

故答案为27.3m.

4.如图，在矩形人88中，入3=6,BC=1O,将矩形八BCD沿折叠，点A落在4处，若EV的延长

线恰好过点C,则sinWE的值为

10

【详解】解：由折叠知，dE=AE,/I'ZM作6,N朋后90°,・•・伉90°.在RtA/3中，/0BC?-

=8,设A及x,则AE=x,・••止10-必CB=AOA田8+x.在RtACM中,根据勾股定理得：(10-x)2+36=

(8+幻2,.•.齐2,:.ARL在Rt△力跖中，根据勾股定理得：除J月发+A炉=2而,AsinZ/^—=—.

BE10

故答案为典.

1()

5.如图，在平面直角坐标系xOv中，点A(-l,0),B(0,2),点C在第一象限，ZABC=135°,AC交)，轴

于D,CD=3AD,反比例函数丁二人的图象经过点C,则攵的值为.

【详解】解：•・•点A(-1,0),B(0,2),

.*.C'A=1,0B=2,

:，AB—\/12+22=\/5；

如图，过点A作AH_LCB的延长线于点H,

VZABC=135°，

...NHBA二HAB=45°，

.・.AH=BH=W=4^,

&2

VEH±AH,BO±AO,

AB,H,A,。四点共圆，

连接OH,则NB()H=NB,AH=45°,

・・・H在第二象限角平分线上，

作HM_Lx轴于M,HN_Ly轴于N,

则四边形HMON是正方形,

VAH=BH,

ARtAIlAM^RtAHBN,

二.AM二BN,

VOM=ON,

AAM=BN=y,

・••直线BH的解析式为y=1x+2,

过C作CIJ_x轴于I,

・・・CD〃CI,

.OAAD

**o7-CD*

.\GI=3AO=3,

把:《=3代入y=；x+2得y=3,

・・・C点坐标为(3,3).

•・•点C在反比例函数y=k人的图像上，

x

k=xy=3x3=9-

故答案为：9.

三、解答题

6.某市一-湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳二不乘船不易到达，每年初春时节，人们

喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一

天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离.测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的1处，

用侧倾器测得“乡思、柳"顶端."点的仰角为23°,此时测得小军的眼睛距地面的高度/仍为L7米，然后，

小军在力处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°,这时测得小军的眼睛距地面的高度力。

为1米.请你利用以上测得的数捱，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离4A.的长（结果精确到1米）.（参

考数据：sin230比0.3907,cos230g0.9205,tan230比0.4245,sin24°g0.4067,cos24°比0.9135,

【详解】解：如图，作"_LMM,CE1MN,垂足分别为点〃、E,

设4gx米，则腔上x米，

在生△.如〃中，：除rtan230,

在竹吐中，J^=>・tan24°,

*：ME-MD-DE-BC,

A*tan240-x・tan230=1.7-1,

tan24°-tan23°'

解得才七34（米）.

答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离4v的长约为34米.

7.宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）DE•在高13.4〃?的假山EC

上，在A处测得塑像底部E的仰角为34。，再沿AC方向前进10,%到达A处，测得塑像顶部。的仰角为60。，

求柳宗元塑像OE的高度.

（精确到1〃?.参考数据：sin34°«0.56,cos34°«0.83,tan340ko.67,6^1.73）

【答案】柳宗元塑像。石的高度约为4〃L

【详解】在RtJCE中，

VZACE=90°,ZC4E=34°,CE=13Am,

CE

/.(anZ.CAE=-----,

AC

CE13.4

AC==20m

tan34"(167

VAB=10w

・•・5C=AC-AB=20-10=lOw

在RS/SCO中，

VZBCD=90°,ZD£?C=60°,BC=IO，〃,

CD

tan^DBC=—

BC

tan60=-----=0，

BC

；・CD=&C=1.73x10=113m

:.DE=CD-EC=\7.3-13A=3.9^4m

答：柳宗元塑像。月的高度约为4皿

8.如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在条直线上的三点4A

为楼底），RE,她在。处测得广告牌顶端。的仰角为60。，在£处测得商场大楼楼顶8的仰角为45。,DE=5

米.已知广告牌的高度8C=2.35米，求这座商场大楼的高度人8（6=1.73,忘之1.41,小红的身高不计，结

果保留整数）.

ED

【答案】15米.

【详解】设AB为x米,

•・•在E处测得商场大楼楼顶B的仰角为45。,

AZBEA=45°,

.".AE=AB=x,

.*.AD=AE-DE=x-5,AC=BC+AB=2.35+x,

•・•在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，

/.ZCDA=60°,

/.AC=AD•tanZCDA=AD,

x+2.35=出(x-5),

:.(x/3-1)x=2.35+575,

由〃但+2.35.

角《得x=——=-------«15,

V3-1

答：商场大楼的高度AB约为15米.

9.某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在力

处测得塑像顶部〃的仰角为45°,塑像底部后的仰角为30.1°，再沿/1C方向前进10m到达£处，测得塑

像顶部〃的仰角为59.1°.求塑像“夸父追日”施高度.(结果精确到0.1万参考数据：sin30.1°*0.50,

COS30.r%0.87,tan30.1°^0.58,sin59.1°^0.86,cos59.1°比0.51,tan59.1°比1.67)

【答案】塑像“夸父追日”龙的高度约为10.5米

【详解】解：在Rt△力⑦中，ZC4D=45°,则AC=CZ).

设AC=8=x,WiJ/?C=x-10

CD

在RtZ\8⑦中，tan59.1°=—

BC

・•・CD=BC.tiin59.1°

Ax=1.67(x-10)

解得：24.93.

PC

在RtA4以中，tan30.10=-=^；

AC

CE=4c“an30.1°=24.93x0.58«14.46

DE=DC-CE=24.93-14.46=10.47®10.5

答：塑像“夸父追口”如的高度约为10.5米.

10.山西大学主校区内有一座毛泽东主席塑像，落成于1969年12月26日.是山西大学的标志性建筑之一

，目前已被列入保护文物.综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛泽东主席塑像高度的活动.他们在该

塑像底

部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角.为

了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量

结果，测量数据如下表.

课

题

成

测量毛泽东主席塑像的高度

员

组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

测测倾器，皮尺等

量

工

具

测A

说明：线段48的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，C为测点，

量

线段CE,CD表示测倾器（点。在CE上），点A,B,C,D,E都

示/,/

在同一竖直平面内，且AB/BC,CE工BC；/ADF.NAEG表示

意骸二----------7G

F两次测量的仰角，点G,尸在A8上.

图CB

测量项目第一次第二次立均值

测440户的度数35.1°34.9°35.0°

量

Z4EG的度数33.4°33.6°33.5。

数

据测倾器C£的高1.68〃？1.72m1.70〃?

测倾器的高1.07///1.05m1.06m

任务:

（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛泽东主席塑像的高度；（参考数据：sin35.0。=0.57

,

cos35.0°弋0.82,tan35.0°*0.70,sin33.5°*0.55,cos33.5°*0.83,

tan33.5°^0.66）

（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器C7）测出仰角NAD尸，再测出8C的长

来计算塑像高度A8”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）

【答案】（1塑像的高度为12.26〃?；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准

确测出BC.

【详解】解：（1）由题意，得AB_LBC,CE1BC,AB1EG,AB1DF,

JZB=ZC=ZEGB=ZDFG=ZFDE=9(r,

・•・四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形,

ABG=CE=1.70m,FG=DE=CE-CD=1.70-1.06=0.64m,EG=DF,

在RiZXAEG中，ZAEG=33.5°,ZAGE=90°,

AGAG

且画33.5。=黑即EG=

EGtan33.5°

在R【Z\ADF中，ZAI)F=35.0°,NAFD=90°,

AFAF

/.tan35°即DF=

DFtan35.0°

AGAFu”AGAG+0.64

tan335。-tan350。'"066-070

解得：AG=10.56m,

.\AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m,

答塑像的高度为12.26米.

（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC.

11.某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB,如图所示，在山

脚平地上的。处测得塔底6的仰角为30。，向小山前进80米到达点七处，测得塔顶A的仰角为6（）。，求小山

3C的高度.

【答案】小山笈C的高度为00+4仇万）米

【详解】解：设BC为a・米，则4C=(20+x)米，・・・/瓦＞。=30°/.ZDBC=Z4EC=60°,而OE=80米，

DCDC

在mAD8C中，tan60°=—=—,

BCx

则DC=VI丫米，.・.。七=(后一80)米，

在.哂CE中.，.6,。„o。二3AC二2而0+国x=6q,

解得％=10+40百.

答：小山8c的高度为(10+406)米.

12.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示，炎帝塑像以‘在高54m

的小山比上，在力处测得塑像底部£的仰角为34°,再沿力C方向前进22m到达8处，测得塑像顶部〃的

仰角为60°.

(1)求炎帝塑像以1的高度.(精确到1m.参考数据：sin34°20.5,cos34°^0.8,tan34°30.6,

1.73)

(2)“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63nb请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合

理化建议.

【答案】(1)64m；(2)误差为0.36,减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值.

【详解】(1)解：设DE=xm,则【尤=(x+54)m.

nr

在RtZXDCB中，tanZDBC=——，

BC

3DC=『且(x+54).

tan/LDHCV33

EC

在Rt^ECA中，tcinA=——,

AC

・・心与碟=90,

tanA0.6

由题意得：90-B(x+54)=22,

3

解得：x^64,

答：炎帝塑像DE的高度约为64nl.

(2)由(1)知.1=(90-22)x6-54=63.64,误差为64-63.64=0.36

减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值.

13.如图，在某市景区主干道路旁盘立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点。处，测

得景区指示牌的上沿M处仰角为30°：前进8米后到达8处，测得景区指示牌的下沿Ar处仰角为45°,再

前进4米后到达景区指示牌底部/处，求指示牌的高"V长(结果精确到0.1米，72=1.414,73=1.732)

【答案】劭衿2.9米

【详解】解：•・•汽车由东西行驶到C处，测得景区指示牌的上沿4处仰角为30°,

/.ZMCA=30°,

•・•前进8米后到达8处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°,

.\BC=8m,NABN=ZANB=45。

V前进4米后到达景区指示牌底部力处，

.*.AB=AN=4m

.,.AC=AB+BO4+8=12m

•・•ZACM=30°

・“3。。=州=妪=立

AC123

；・AM=46

V73=1.732

:.A4N=AMAN=464=4x1.7324=2.928*2.9（米）

答：指示牌的高机¥长约为2.9米.

14.如图所示，小王在校园上的A处正面观测一座教学楼墙上的大型标牌，测得标牌下端。处的仰角为30。,

然后他正对大楼方向前进5m到达3处，又测得该标牌上端。处的仰角为45。.若该楼高为16.65m,小王的

眼睛离地面1.65m,大型标牌的上端与楼房的顶端平齐.求此标牌上端与下端之间的距离(右。1.732,结

果精确到0.1m).

【答案】大型标牌1：端与下端之间的距离约为3.5m.

【详解】设A8,CD的延长线相交十点E,

C

,/NCBE-45。,CEA.AE,

:.CE=BE,

CE=16.65-1.65=15,

・•・BE=15,

IfjjAE=AB+BE=2(),

•・,ZDAE=30°,

/.DE=AEtan300=20x立=11.55,

3

CD=CE-DE=\5-\\.55^3.5m,

答：大型标牌上端与下端之间的距离约为3.5m.

15.太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进行综合实践活动-

一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为人B,点。是AB的中点，OC是灯杆.地面上

三点〃，£与C在一条直线上，DE=1.5m,EC=5m.该校学生在〃处测得电池板边缘点8的仰角为37。，

在夕处测得电池板边缘点〃的仰角为45。.此时点月、〃与少在一芸直线上.求太阳能电池板宽AB的长度.（结

果精确到0.1m.参考数据：sin37°«^,cos37°«-,tan37°«4，拉=1.41）

【答案】L4m

【详解】解：过点8作8〃_LOC于点，，过点8作8/_LOC于点尸，如图,

又BHA.DC

.•.ABE”和△OEC均为等腰直角三角形，

:.EH=BH,EC=OC,

QD£=1.5m,EC=5m,

OC=EC=5m,

BH±DCfBFIOC,OC上DC,

「•四边形为矩形，

:.BF=CH,BH=CF,BF//CH,

NOBF=ZNEH=45。，

.•.△03/为等腰直角三角形，

:.BF=OF=CH,

设=则0/=0〃=入』，

EH=BH=EC-CH=(5-x)m,

:.DH=DE+EH=\.5+5-x=(6.5-x)m,

BH

在RtZXBD”中，lan^BDH=—t

Dll

即：tan370=-^5——2r-,

6.5-x

.3_5-x

"厂6.5->'

解得：x=0.5,

检验：x=0.5是原方程的根.

/.BF=OF=0.5(m),

在等腰Rt/\OBF中，由勾股定理得：OR=J。尸+犷。0.5x&a0.5x1.41=0.705(m),

点。为A6的3点，

...AB=2OB®2x0.705*L4(m),

答：太阳能电池板宽人8的长度约为L4m.

16.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CO,小明在山坡的坡脚/!

处测得宣传牌底部〃的仰角为60。，沿山坡向上走到夕处测得宣传牌顶部。的仰角为45。.已知山坡力巴的坡

度,'=1：石，A3=I0米，CD=2米,求4E.

【答案】9+46米

【详解】解：过点8作BG_LCE于G,过8作AFJ.必于凡如图所示:

FAE

在R%A8/中，i=ianZBAF=-^==—,

V33

/.ZBAF=30°,

BF=^AB=5（米），AF=5yf3（米）,

设AE=x米,

则：BG=AF+AE=5>/3+x（米）,

在必aAGC中,NCAG=45。，

：.CG=BG=56+x（米）,

/.DG=CG-CD=5>/3+x-2（米）,

DE=DG+I3F=5y/3+3+x,

在RaA£D中，NDAE=60。，ZDE4=90°,

々、。DE5G+3+x即：6=53+3+x

」.tan60°=——=----------------

AExx

解得：x=9+4>/3»

AE=9+4>/3（米）.

17.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决

定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡A4=2（X）米，坡度为1：75；将斜坡A8的

高度AE降低AC=IO米后，斜坡A3改造为斜坡CO,其坡度为1:4.求斜坡C。的长.（结果保留根号）

图1图2

【答案】斜坡C。的长为90J万米

【详解】解：悌=90。，A5=200米，坡度为1:6，

tanZ.ABE=-4==，

V53

Z.Z4BE=30°,

・•・AE=1AB=IOO米，

2

ACE=AE-AC=100-10=90（米），

VZCED=90°,斜坡CO的坡度为1:4,

赍f喘4

解得：。£=360,

•**CD=>JCE2+DE2=V9O2+36O2=90V17（米），

答：斜坡CD的长为90j万米.

18.如图所示，塑像如在高54m的小山比上，在力处测得塑像底部£的仰角为34°,再沿〃方向前进

221r.到达8处，测得塑像顶部〃的仰角为60°,求该塑像龙的高度.（精确到1m,参考数据；sin340弋0.5,

cos34°~0.8,tan34°~0.6,、与〜1.73）

60叭3丁

B

【答案】64m

【详解】解：由题意可得，EC=54n1,AB=22m,/DBC=60°,/以a34°,

设DE=xm,则%=(AH-54)m,

在RSDCB中,

nrr+54

♦：tan/DBC=上，即G=上^,

BCBC

x+54

：.BC=k

在RtZXEO中,

EC

Vtan/l=——

AC

FC54

：.7.C=^—^—=90（M,

tanA0.6

由题意得，90--（户54）=22,解得，K64,

3

答：塑像〃/：'的高度约为64m.

19.某公园的人工湖边.匕有一座山，山顶上有一直竖的建筑物CD,高为10米.某校数学兴趣小组的同学为

了测量山的高度OE,在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点。（即山顶）的仰角为35。，沿水平方

向前进20米到达8点，测得建筑物顶部。点的仰角为45。，求山的高度。£（结果精确到1米，参考数据：

757

sin35°»—,cos350*-,tan350—）

12610

【答案】假山的高度如约为70米.

【详解】解：过点〃作水平线的垂线，即（DE±AB\垂足为£,则C、〃、£在一条直线上,

设比的长为*米,

在Rt△成石中，NCBE=45°,

：,CE=BE=CD\DE=(10+JT)米,

在中，/力=35°,

AE=田BE=20+10+x=30+x,

tan*,

AE

v7

/.tan350,解得：—70,

30+x10

答：假山的高度应约为70米.

20.如图，某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一座高为5米的建筑物切，数学小组为了测量假

山宏的高度，在公园找了一水平地面，在月处测得建筑物底部〃点（即假山顶）的仰角为30,，沿水平方

向前进25米到达4点，测得建筑物顶部。点的仰角为45°,点儿B,C,D,£在同一平面内，求假山应

【答案】假山的的高度为（156+15）米.

【详解】解：设假山施的高度为筋

则CE=DE+CD=x+5,

.在RtABCE中,

VZ6^45°,

:.BE=C拄x+5,

：・小心叱30+x,

在生△/［鹿中，•・•/加良30°,DE=x,

:“上—1~二0x,解答：尸15点+15,

心〃30

答：假山龙的高度为（15档+15）米.

21.在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）.数学兴趣小组成员小明

在操场上的点I）处，用高度为1m的测角仪CD,从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°,然后向教学楼正

方向走了4m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为45二已知教学楼高8W=19m,且点A、B、

M在同一更线上，求宣传牌AB的高度.（参考数据：石七1.73,sin37°«0.60,cos370“0.81,tan37°«0.75）

【答案】宣传牌AB的高度为2米

【详解】解：过点C作CG_LAM于G,则例G=CO=lm,

BG=18m,

设AB为x,

ZAEG=45°,

.・.EG=AG=18+x,

ACG=4+18+x=22+x,

在Rt二C8G中，4BCG=37°,

则tan37°=也，即0.75=18

CG22+x

解得：x=2,

答：宣传牌AB的高度为2米.

22.如图，某幢大楼顶部有广告牌C。，小字目高M4为1.89米，他站立在离大楼45米的4处测得大楼顶端

点D的仰角为30。：接着他向大楼前进15米、站在点8处，测得广告牌顶端点。的仰角为45。（取6^1.732,

计算结果保留一位小数）

C

/D

□□

□□

□□

□□

□□

E□□

ABH

（D求这幢大楼的高/）”；

（2）求这块广告牌C。的高度.

【答案】（1）楼高为27.9米；（2）广告牌C。的高度为4.0米.

【详解】（1）解：在RIZXDW石中，ME=A”=45米；

DE

由俗1!30°=量,

ME

得DE=45x@=15x1.732=25.98米；

3

又因为£”=M4=1.89米，

因而大楼=0E+£1，=25.98+1.89=27.87p27.9米，

答：楼高为27.9米；

（2）解：•・・在RtZXCNE中，入