第5章 直角三角形 全章提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

第5章直角三角形

5.1直角二角形的性质定理

课时1直角三角形的性质和判定

刷基础

知识点1直角三角形的两个锐角互余

1如图,AM〃BN,NACB=90o,NMAC=25oJjHlNCBN的度数为（）

2如图，在4ABC中、NBAC=9（r,AD是斜边上的高,DE_LAB于点E,则下列各角不与NC互余的是（）

A.ZBB.ZDAC

C.ZADED.ZBAD

3在直角三角形中，锐角a比锐角p的3倍还多10。，则锐角a的度数为.

知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形

4下列条件:①NA+NC=NB;②NA:NB:NC=2:3:5;③NA=901/B④NC,其中能确定△ABC是直

角三角形的条件有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5如图，梯子AB斜靠在墙面上，P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点点A沿CA

滑动远离墙角C点，则P点和C点的距离（）

A.始终不变B.不断变小

C.不断变大D.先变小后变大

（第5题图）（第6题图）

6如图,RtZXDAB中、NDAB=9()o,/D=36。,。为DB的中点，则NBAO=

7如图,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的箴M,N分别是线段BC,DE的中点.求证:MN_LDE.

课时2含3（）。角的直角三角形的性质及其应用

刷基础

知识点1直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半

1BAABC中,NA:/B:NC=I:2:3,AB=a，则CB等于()

B.D.以上结果都不对

234

2如图，在RtAABC中,NACB=9（）o,NBCD=3（）o,CD是aABC的高，且BD=2厕AB的长为（）

A.3B.5C.8D.9

3如图，在AABC中,NA=90o,NC=75o,AC=6,DE垂直平分BC,则BE的长为（)

A.I2B.6C.8D.9

（第4题图）

4如图，在aABC中,NA=NC=75o,AB=6,则4ABC的面积为

知识点2直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，其所对的角等于30。

5如图在aABC中,NC=90o,AB=2AC,DE是AB的垂直平分线,DC=5,则BC=（)

A.7.5B.10C.15D.20

（第6题图）

6如图在aABC中,AC=2AB=12,NABC=90。,点D是边BC上一动点，以AD为腰作等腰三角形ADE,使AE

AD,NDAE=60。,连接BE厕BE的最小值为（）

A.2B.3

知识点3含30。角的直角三角形的应用

7某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买

这种草支至少需要)

A.450a元B.225a元

C.150a元D.300a元

20米米

150°

（第7题图）

8如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C,仰角为15。，沿AB行走4千米到达B处，此时小明看气

象站C的仰角为30。.请你算出这个气象站离地面的高度CD是

9如图，灯塔C在海岛A的北偏东75。方向，某天上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里时的速度由西

向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60。方向.

（1）求8处到灯塔©的距离；

（2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险?

请你说明理由.

1如图在Rt^ABC中,NACB=9(rCD为AB边的中线，点E在BC上，且CE=AC,NBAE=15W1!1/DEB的大

小为（)

A.I250B.75°

0105°D.115°

0

（第1题图）（第2题图）

2如图，已知/AOB=60。,点P在0A边上,0P=8cm点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2cm,则OM=

A.2cmD.3cm

C.4cmD.lcm

3如图，在四边形ABCD中,AD=8,BC=2,NB=90o,NA=30o,NADC=120。,则CD的长为（）

A3B.4C.5D.6

4已知，三角形ABC为等腰三角形,ADJ_BC,垂足为D,8c测NACB的度数有()

A.6种B.5种C.4种D.3种

5如图，在三角形纸片ABC中,/BAC=9()o,AC=12,；^^^A的直线将纸片折叠，使点B落在BC上的点D

处，折痕交BC于点F；再折叠纸片,使点C与点D重合，折痕交AC于点E,交BC于点G.若AD=2FD,则DE

6如图在AABC中,NA=90o,NB=30o,AC=6cm^D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从

点C出发以2cm/s的速度向点B运动，设运动的时间为ts,解决以下问题：

⑴当t为何值时，^DEC为等边三角形？

(2)当t为何值时，^DEC为直角三角形？

7如图,ZXABC是等边三角形,P是aABC的角平分线BD上一点,PE_LAB于点E,线段BP的垂直平分线交B

C于点F,垂足为点Q.

(1诺BQ=2,求PE的长；

(2旌接PF,EF,试判断4EFP的形状，并说明理由.

刷素养

8如图，在等边AABC中,AC=6,CD_LAB点EP是线段CD上一动点，连接AE,将线段AE绕点A顺时针

旋转60。，得到线段AP,连接DP,则DP长的最小值为.

5.2勾股定理及其逆定理

课时1勾股定理

刷基础

知识点勾股定理及简单应用

1在aABC中,NC=9()。,若/出=应,则AB2+的值为)

A.2B.4C.2V2D.4V2

2如图所示，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为)

A-V55.-1-V5

C.l-x/5Z),-l+V5

3如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,BCD

的面积分别是5,7,35则最大的正方形E的面积是

4如图，aABC的顶点A,B,C均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点(小正方形的顶点称为格点)上,

则AC边上的高为

5如图，在aABC中,AB=10,AC=13,AD_LBC,垂足为D,M为AD上任意一点，贝！］MC2-MB2=_.

6在R^ABC中,NACB=90o,AB=10cm,AB边上的高为4cm、则RtAABC的周长为cm.

7如图在RtAABC4,.ZC=90°,ZCDB=30°,BD=6AD,且8c=V5,求AB的长度.

8学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图(1),

点B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将4ACB裁剪拼接至4A

EF的位置，如图⑵所示，该同学利用图⑴、图⑵的面积不变证明了勾股定理请你写出用该方法证明勾股定理的

过程.

图（1）图（2）

刷易错

易错点没有明确已知边是哪条边而忽视分类讨论致错

94ABC的三边长分别是a,b,c,且满足I。-8I+（66>=0厕当c=_________时，/XABC是直角三角形.

刷提升

1如图，在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点D与点B重合，点C的对应点为C;

折痕为EF,贝UaABE的面积为（）

2如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知&+$2=9,，且AC+BC=

10,则AB的长为（）

A.4B.6C.7D.8

3我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图二弦图由四个全等的直角三

角形按如图所示方式围成正方形ABCD,然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.

已知AM为Rt^ABM较长的直角边，若4W=2V5EE则正方形ABCD的面积为（）

4如图在△ABC中,CE平分NACB.CF平分/ACD,且EF〃BC交AC于点M.若CM=3、则。尸+C/的值为

5如图，等腰△ABC中,AB=AC,NBAC=12()。,点P在AABC外、连接AP,BP,CP.若PA=2,.尸4=2«,/BPA=60。,

则PC的长为

（第6题图）

6如图，在RtZ\ABC中,AC=3,BC=4,NACB=90。,点P,Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP=BQ,连接A

Q,CP则AQ+CP的最小值为.

7如图，已知4ABC中,NC=9（）o,AC=8cm,BC=6cm、P,Q是AABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A-C方

向运动，且速度为1cm/s”点Q从点C开始沿C-B-A方向运切，且速度为2cmZs,它们同时出发，设运动的

时间为ts.

⑴当t=2时，求PQ的长.

⑵求运动几秒时，4APB是等腰三角形.

⑶当点Q在边BA上运动时,求能使aCBQ成为等腰三角形的运动时间.（直接写答案）

课时2勾股定理的应用

刷基础

知识点利用勾股定理解决实际问题

1如图，在离水面点A8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m,止匕人以1m

/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（假设绳子是直的）（）

A.9mB.8mC.7mD.6m

2如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树

梢，则它至少要飞行（）

A.7米B.8米C.9米D.10米

3如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照''马走日"的

规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为

4《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:

“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算

出索长有几?”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示.已知秋千静止时，踏板离地1尺（AC=1尺），将它推送2

步（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，此人身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直.若小明同学根据题意计算

出秋千的绳索长为14.5尺（OA=OB=14.5尺）厕文中',二步"是_______尺.

5如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15。的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B

处，测得灯塔C在北偏西60。的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为.

20

B

（第5题图）（第6题图）

6如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个相对

的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_______dm.

7如图，一架25米长的悌子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米.

（1这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至E,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？

（3）如果梯子与地面的夹角小于30。，梯子就会滑倒，那么在第（2）问中，梯子会滑倒吗?请说明理由.

刷易错

易错点忽略实际情况导致错解

8工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段钢条恰好与两根长分别为60cm,100cm的钢条一起焊接成一个

直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）

A.80cmB.20V34cw

C.80cm或20V34cmD.60cm

刷提升

I如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的R点，已知圆柱底面周长是4m，高为16m,

则所需彩带最短是（）

A.8mB.5mC.20mD.lOni

2如图，门上钉子P处挂着一个，欢迎光临”的长方形挂牌ABCD测得AB=10cm,AD=24cm如图⑴，当挂牌水平

悬挂（即BC与地面平行）时，测得挂绳AP=DP=20cm.将挂绳长度缩短4cm后重新挂到P处，此时不小心把挂牌弄

斜了，如图（2）,发现AC与地面平行，且点P,D,C三点在同一直线上，则点B的高度下降了)

p

p

A

B

图(2)

「23

CD.

3为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器，监控器的最大旋转角度为

90。.如图⑴所示，监控布设线I距离河流南岸300m,村落位于河流南侧，邻接河流的长度为5000m,任意两个监

控器布设点之间的距离相等.小张设计了如图Q）所示的方案,AB为监控器M监测范围,BC为监控器监测范围,

4%_18必,8河2，《%.此时8M=C%=375m,若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设_____个监控器.

r______________河流南岸

河流：：：：：：：：：：：：：=：：：：ABC

图（1）图（2）

4小明不小心将三角尺掉到了两墙之间，如图所示，AC=BC=25,则砌墙砖块的厚度a的大小是

（第4题图）（第5题图）

5如图所示的长方体透明玻璃鱼缸.假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G

处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm.一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面

包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为cm.

6如图是一个滑梯示意图，若将滑道BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米,BC为1

米.

（1）求滑道BD的长；

（2）若把滑道BD改成滑道BF,使NBFA=60°,试求出DF的长.（精确到（）.1米，参考数据：序1.732）

课时3勾股定理的逆定理

刷基础

知识点1勾股数的判断

1任下列四组数中，属于勾股数的是（)

A.0.3,040.5B.l,V2,V3

C.3,5,7D.5,12,13

2若8,15,x是一组勾股数，则x的值为.

3如果正整数a,b,c满足等式。2+序=凡那么正整数a,b,c称为勾股数.小明根据自己探究勾股数的过程，列

成下表:

abc

345

8610

15817

小明发现：3=2?-1,4=2x2,5=22+1.请你根据小明发现的规津若b=2n（n为整数.且佗2）,则a,c用含n的代数式

分别表示为和

知识点2勾股定理的逆定理及应用

4下列条件能判定AABC是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5

B.AB=V3,BC=V4^C=V5

C.标=（什c）（b-c）（a,b,c为AABC的三条边长）

D.AB:BC：AC=2：2:3

5如图，在4x4的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）,点A,B,C在格点（小正方形的顶点称为格点）上，连

接AB,AC,BC厕aABC的形状是

A.说角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

知识点3勾股定理及逆定理的综合应用（

6如图，已知4ABC中,NA=9（）\AC=AB=4.若CD=2,BD=6,则NACD的度数为（）

A.300B.350C.40°D.450

7如图，已知4ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,点M,N为垂足.若

6Q=，DE=2,EC=测AC的长为.

8如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地.已知AD=4米,CD=3米,NADC=90o,AB=13米,BC=12米，求

这块空地的面积.

9如图，在AABC中,D是BC的中点DE_LBC交AB于点E且BE1-AE2=AC2.

⑴求证:NA=90。；

（2）若AC=3,BD=25求AE的长.

1五根小木棒，其长度（单位：cm）分别为7,15,20,24,25现与它们摆成两个直角三角形，下图中正确的是（）

7

2如图，在AABC中，力8=66,,AC=I2,BC=6,将aABC折叠彳导至I」折痕DE,且顶点B恰好与点A重合，点C

落在点F处厕CE的长为()

A.4

D.3X<T0

（第3题图）

3如图，正方形网格中，每个小格的边长为小网格内有△PAB,点P,A,B均在格点上厕NPAB+NPBA的度数

S______.

4已知等腰直角△ABC,NABC=9（）o,AB=BC=4,平面内有一点D,连接CD,AD.若CD=2,AD=6,则NBCD=.

5某小区有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋，A处为小区入口.为方便小区居W传递爱心，物业管理处准

备在小区的一条主干道BE上增设一个“爱心衣物回收箱）现需确定''爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋

住宅楼的距离之和最短.某数学兴趣小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图(如图(1)),并将该小区的平面图

进一步抽象成几何图形(如图(2)),具中主干道AC与BE交于点F,BE//CD.小组成员测量出了杲些道路的长度(如表

格所示1,又借助电子角度仪测得NBCE=9()o,NCEB=NCED.

道路AEABBCBFEFDE

长度(米)403030183225

图(1)图(2)

(14艮据图⑵及表格中的相关数据，请完成下列计算:

①道路CD=______米

②道路AC=______米.

(2)0根据以上探究，请你在主干道BE上画出j爱心衣物回收箱”的具体位置(用点G表示)，并画出需要增设

的道路CG,DG(保留作图痕迹，不需要写作法)；

②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为米(保留根号).

刷素养

6⑴如图⑴,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PZf/I,PC=l若把4BPC绕点B逆时针旋转60。得到

△BPA连接PP',求NBPC的度数和PP的长.

(2)如图(2),在等腰直角三角形ABC内有一点P.且NABC=9()。,PA=6,PB=4,PC=2,求NBPC的度数.

图(1)图⑵

5.3直角三角形全等的判定

知识点1斜边、直角边定理

1如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么

判定aABC与4DEF全等的依据是

A.边边边B.边角边

C.角边角D.斜边、直角边

〃〃/〃〃/7〃//〃〃〃〃〃

（第1题图）（第2题图）

2如图，在RtAABC与RtZ\DCB中，已知NA=ND=90。,为了使RlZSABCgRtZXDCB,需添加的条件是________

（不添加字母和辅助线）.

3如图，在△ABC中,AD平分NBAC,AD_LBC于D,EC±BC于C,且AB=BE,CD=CE.求证:Rt/XABDgRtaBEC.

知识点2斜边、直角边定理的应用

4如图，在RtAABCZBAC=90°,DE±BC,AC=6,EC=6,ZACB=6（）。,则NACD等于（）

A.45°B.30°C,20°D,15°

5如图，在RtAABC中,NB=90。点E在边AB上点D在边BC上、DE=CD,DF_LAC于点F,BE=CF,连接A

D.若AB=12,BD=4,AABC的面积是54,则线段AC的长为（）

A.I3B.15C.16D.18

6如图,已知在RtAABCRtABDE中,/ABC=NBDE=9()o,BC=DE,AC=BE.如果/BAC=20。,那么NBDA的

大小为__________°.

7如图，在AABC和ADCB中,NA=ND=90o,AC=BD,AC与BD相交十点0.

(1)求证:Z^ABCgaDCB;

（2）AOBC是何种三角形?证明你的结论.

AD

刷提升

1如图，长方形纸片ABCD中,AB=7,BC=9、M是BC上的点且CM=2将长方形纸片ABCD沿过点M的直线

折叠，使点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为MN,则线段AP的长是（）

A.4B.5C.6D.7

（第1题图）（第2题图）

2如图、在△ABC中,PB=PQ,PR=PS,PR_LAB于R,PS_LAC于S,则三个结论:①AS=AR;②QP〃AR;③AB+AQ=2A

R中（）

A.全部正确B.仅①和③正确

C.仅①正确D.仅①和②正确

3在数学拓展课上，有两个全等的含45。角的直角三角板ADE,ABC重叠在一起.李老师将三角板ADE绕点

A顺时针旋转（保持NBAE<9（）。）,作DE的延长线与CB的延长线交于点F,如图所示，随着NBAE的增大,CF-EF

的值（）

A.一直变小B.保持不变

C.先变小，后变大D.一直变大

（第3题图）（第4题图）

4如图，已知在RtZ\ABC中,NACB=90o,AC=8,BC=12,D是AC上的一点,CD=3,点P从B点出发沿射线BC

方向以每秒2个单位的速度向右运动设点P的运动时间为t秒.过点D作DE1AP于点E.在点P的运动过程中,

当I为时，能使DE=CD.

5如图（1）,E,F分别为线段AC上的两个动点，且DE_LAC于E,BFJ_AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC

于点M.

（1）求证:MB=MD,ME=MF.

（2）当E,F两点移动到如图（2）的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立，请给予证明；若不成立,

请说明理由.

图（1）图（2）

刷素养

6如图.在AABC^OAADE*.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,CEBD于点F.

(1)^<UE：AACE^AABD.

(2试点A作AH±BD于点H,求证:EF+DH=HF.

5.4角平分线的性质

课时1角平分线的性质和判定

知识点L角平分线的性质

1如图,P是NAOB的平分线上的一点PC_LOA,PD_LOB,垂足分别为点C,D,下列结论不一定成立的是（

)

A.Z1=Z2B.PC=PD

C.Z3=Z4D.OP=2PC

（第1题图）（第2题图）

2如图，在aABC中,NABC=5()o,/ACB=6()。,点E在BC的延长线上,NABC的平分线BD与NACE的平分

线CD相交于点D,连接AD,则NCAD的度数为()

A.35°B.45°

C.550D.650

3如图，在△ABC中,NC=9()o,AD平分NCAB,BD=2CD,点D到AB的距离为5.6,则BC=.

4如图在aABC中,NC=90<\AC=BC以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB,AC于D,E两点；分

别以点D,E为圆心，以大于©E长为半径作弧，在NBAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F过点F

作FG_LAB,垂足为G.若AB=8cm,则4BFG的周长等于.

5如图.AD〃BC.NABC的平分线BP与NBAD的平分线AP相交于点P.作PE1AB于点E.若PE=2,求两

平行线AD与BC间的距离.

知识点2角平分线的判定

6如图,CD_LAD,BE_LAC,垂足分别为点D,E,DE,CD相交于点OQB-OC,连接AO.若NAOD-5S。,则NBAC-(

)

A35°B.55°C,60°D.70°

7如图在AABC中，点D在BC边上,NBAD=110o,BE平分/ABC交AC于点E,过点E作EF_LAB交BA

的延长或于点F,且NAEF=55。,连接DE.

(1)求/©人口的度数：

(2)求证:DE平分NADC.

BC

课时2角平分线的综合运用

刷基础

知识点角平分线的综合运用

1两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为点P.其中一把直尺的一边恰好在射

线0A上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在射线OB上，另一边与射线OA交于点M,连接0P.

2如图，若aABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则

S&ABO：S&B8：S^CAOWT()

B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5

3如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站

4如图，点0在△ABC内，且到三边的距离相等若NA=4()。,则NBOC等于()

A.I100B.115°C.125。D.130。

5如图⑴，把aABC剪成三部分，将边AB,BC,AC放在同一直线1上，点0都落在直线MN上，直线MN〃1,

如图⑵所示在AABC中.若NBOC=115。,则NBAC的度数为()

A

图(1)图⑵

A.50°B.60°C.65°D.70°

6如图，在RtAABC中,NACB=90o,Z\ABC的三条内角平分线交于点O,0M1AB于点M.若0M=2,

^5C=24J!|AABC的周长是

7如图，两条公路0A与0B相交于点0,在NA0B的内部有两个小区C与D,现要在NA0B的内部修建一

个市场P,使市场P到两条公路0A,0B的距离相等，且到两个小区C,D的距离相等.

（1沛场P应修建在什么位置（请用文字加以说明）？

（2底图中标出点P的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

刷提升

1如图,E是BC的中点,AB_LBC,DCJ_BC,AE平分/BAD,连接DE,下歹I」结论:①NAED=90。;②/ADE=NCDE;

③DE=BE;④AD=AB+CD.其中正确的是()

A.①②④B.①②③

C.②③④D.①③

2如图，已知射线OC上的任意一点到NAOB的两边的距离都相等，点D,E,F分别在射线OCQAQB上,

EF与0C交于点G.如果要想证得OE=OF,只需要添加以下四个条件中的某一个即可（不添加字母和辅助线），请写

出所有满足题意的条件的序号:

©Z0DE=Z0DF;(2)Z0ED=Z0FD;

@ED=FD;©EF10C.

3如图，AB_LBC,AB=8,点E,F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰直角三角形DE

F,NEDF=9()。,连接ADMAD的最小值为.

4如图,AE是NCAM的平分线，点B在射线AM上QE是线段BC的垂直平分线，交AE于匕交BC于D,

EF1AM.若NACB=26o,NCBE=25oJ^NAED=.

5如图，在NAOB的两边OA,OB上分别取点M,N.连接MN.若MP平分NAMN,NP平分NMNB.

(1球证:0P平分NAOB;

(2府MN=8,且△PMN与aOMN的面积分别是16和24,求线段OM与ON的长度之和.

6【定理】如图(1).因为CB1AB于B,CD_LAD于D,CB=CD,所以ACZBAD.

【运用】如图(2),在四边形ABCD41,BAD+ZBCD=180°,BC=CD,^iiE：ACZBAD.

【拓展】如图(3),在等边4ABC中,NACD=NBAE,且DE=2AD,求NAEC的度数

大招专题7角平分线中常见辅助线

刷难关

母题学大招29角平分线卜垂直一边

1如图，在4ABC中,BD是NABC的平分线,DE_LAB于点E.若AABC的面积为36cm2,AB=18cm,BC=12cm,

求DE的长.

子即练变式

2如图所示,△ABC中,AD是角平分线、BE是△ABD的中线若△ABC的面积是16,AB=5,AC=3、求4ABE的面

积.

母题学大招30角平分线+斜线

3如图所示,AD是aABC的内角平分线，P是AD上异于点A的任意一点,试比较PC-PB与AC-AB的大小,

并说明理由.

母题学大招31角平分线十垂线

4如图，已知BP是/ABC的平分线,AP_LBP,若5以此=10。层则SAABC等于（）

A.20cm2B.30cm2

C.25cm2D.不能确定

子遨练变式

5如图，已知NBAC=90o,AB=AC.BD是NABC的平分线.且CE_LBD交BD的延长线于点E求证:BD=2CE.

c

综合与实践利用拼接探究勾股定理

刷实践

【问题情境】

小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图(1),利用此图，可以险证勾股定理吗?

【探索新知】

从面积的角度思考，不难发现:

大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积,

从而得数学等式：3+与2=3+4《",化简证得勾股定理：a2^b2=c2.

【初步运用】

小正方形的面积

(1)如图⑴，若a=2,b=3,则

大正方形的面积

(2)如图Q),将图⑴中上方的两个直角三角形向内折叠，若a=4,b=6,求空白部分的面积；

(3)如图(3),将这四个直角三角形紧密地拼接，拼成风车状，已知外围轮廓(实线)的周长为24,0C=3,求该风

车状图案的面积；

(4)如图(4),将八个直角边长分别为m,n(m<n),斜边长为t的全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形AB

CD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为SSS,若$+$2+53=40,则S*

第5章直角三角形全章综合训练

考点1含30。角的直角三角形

15月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个

等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为12m,则底边上的高是（）

C.lOmD.12m

考点2直角三角形斜边上的中线

2如图，在RtAABC中,NACB=90。，48=2技AC=2,分别以点A,B为圆心，大于；AB的长为半径画弧，两弧分

别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.

⑴求CD的长;

（2）求4ACE的周长.

考点3勾股定理

3如图，图（1）是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三

角形拼成.若图⑴中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图（2）,则图（2）中大正

方形的面积为（）

A.24B.36C.40D.44

4如图，在4ABC中,AB=30,,AC=2,以BC为边作RtZ\BCD.BC=BD,点D与点A在BC的两侧，则AD的最

大值为［）

A.2+3V2B.6+2戊C.5D.8

（第4题图）（第5题图）

5如图，在^ABC中,AB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC的右侧作BF〃AC,且BF=AE,连接CF.若AC=

13,BC=l（）,则四边形EBFC的面积为.

考点4角平分线的性质

6如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高，在BA,BC上分别截取线段BE,BF、使BE=BF;分别以点E,

F为圆心，大于；EF的长为半径画弧，在/ABC内，两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN_LA

B于点N若MN=2,AD=4MD,则AM=

第5章直角三角形章测

一、选择题（本大题共24分，每小题4分）

1将一副直角三角板和一把宽度为3cm的直尺按如图方式摆放冼把60。角和45。角的顶点及它们的直角边重合,

再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A,B两点,

A.（3百一3）。〃B.（3-5/3）cw

C.ScmD.36cm

2如图，在AABC中,NACB=90o,/B=35。,分别以点A和点B为圆心，大于决B长为半径作弧，两弧分别相

交于点M,N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E,连接CD,则/CDE的度数为（）

A.3。B.10°C.15°D.20°

3如图、BM是NABC的平分线,D是BM上一点,P为直线BC上的f动点.若AABD的面积为12,AB=8,则线

段DP的长不可能是（）

A.2B.3C.4D,5.5

4某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远

航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距

3（）海里.若知道“远航''号沿东北方向航行，则,'海天”号的航行方向为（）

A.西南B东北