北师大版九年级数学 反比例函数的应用 同步练习

第六章反比例函数

3反比例函数的应用

基础过关全练

知识点1利用反比例函数解决实际问题

1.(2021湖北宜昌中考)某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压

〃(单位：kPa)是气体体积”单位：it?)的反比例函数：p二食加为常数)，能够反映两个变量〃

和V函数关系的图象是()

2.(2023安徽萧县一模)一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控

制电流的变化来实现.已知闭合电路的电流/(A)与电路的电阻R(Q)是反比例函数关系，卜图是

该台灯的电流/与电阻R的函数图象，该图象经过点尸(1100,0.2).根据图象可知，下列说法

正确的是()

0.2

0100R/Q

A./与R的函数关系式是/二等(R>0)

B.当R=100时,1=5

C.当Q1100时,7X).2

D.当电阻R越大时，该台灯的电流/也越大

3.(2022江西上饶广丰期末)某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片湿

地.当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对湿地的压强〃(Pa)是木板面积S(n?)的反比例

函数，其图象如图.点A在反比例函数图象上，坐标是(8,30),当压强〃(Pa)是4800Pa时，

木板面积为m2.

8S(nr)

4.（2023陕西西安期末）电灭蚊器的电阻），（kC）随温度双。C）变化的大致图象如图所示，通电后温

度由室温10℃上升到30°C时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30c时，电

阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，电阻.v（kC）与温度工（℃）之间的函数关系式为

>,=—.r-6（x>30）.

JLO

⑴当10q<30时，求），与x之间的关系式；

⑵电灭蚊器在使用过程中，了在什么范围内时，电阻不超过5kQ?

01()30Y/V.

知识点2反比例函数与一次函数的综合运用

5.（2023山西晋中月考）反比例函数的图象与一次函数）=21的图象（）

A.没有交点B.有一个交点C.有两个交点D.有三个交点

6.（2022山东东营中考）如图，一次函数）『依+〃与反比例函数的图象相交于43两点,

点A的横坐标为2,点3的横坐标为-1,则不等式hx+从段的解集是（）

J2

A.-l<x<0或x>2B.x<-1或0<x<2C.x<-1或x>2D.-l<x<2

7.则图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线）=%Q0）交于点A和。，与x轴交于点8和。,

点A和B的刻度分别为5cm和2cm,直尺的宽度为2cm,OB=2cm.（注：平面直角坐标系内

一个单位长度为1cm）

⑴点A的坐标为；

⑵求双曲线）=§的解析式;

⑹若经过A,C两点的直线解析式为尸〃ir+4请直接写出关于x的不等式加计《＜0的解集•

8.（2023湖南隆回期末）如图，己知一次函数产a+〃与反比例函数广钝图象在第一、三象限

的交点分别为A（5,1）,8（2w）,连接OA,OB.

⑴求一次函数和反比例函数的表达式；

⑵求△AOB的面积.

能力提升全练

9.（2022湖南怀化中考）如图，直线AB交x轴于点C,交反比例函数产?（公＞1）的图象于A、B

两点，过点8作轴，垂足为点。，若Ss=5,则。的值为（）

A.8B.9C.10D.11

10.（2022江苏扬州中考）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、

丁四所学校竞赛成绩的优秀率），（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛

人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这

四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）

y

A・、

二乙

A.甲B.乙C.丙D.T

11.（2023河北平泉期末）如图，一次函数产船+伙后0）与反比例函数产%>0）的图象交于

X

6）.8（3,〃）两点.

⑴求一次函数的解析式；

⑵根据图象，直接写出使日成立的以d0）的取值范围；

（3）求仆AOB的面积.

12.（2023山东新泰期末）如图，一次函数产kix+人的图象与反比例函数产与的图象相交于A、B

两点,其中点4的坐标为（-2,3）,点3的横坐标为6.

⑴求这两个函数的解析式；

⑵根据图象，直接写出满足Hr+尻g>0的x的取值范围；

X

⑶连接04,03,点P在直线A5上，且S“oP=；Szi8o户，求点P的坐标.

4

13.（2022山东枣庄中考）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果

显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L,环保局要

求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度

），（mg/L）与时间天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫

化物的浓度降为4.5mg/L.当.它3时，所排污水中硫化物的浓度），与时间x满足下面表格中的

关系：

时间M天）3569•••

硫化物的浓度

4.52.72.251.5•••

y（mg/L）

⑴在整改过程中，当0夕＜3时，求硫化物的浓度），与时间x的函数表达式；

⑵在整改过程中，当.仑3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

⑶该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内（含15天）不超过最高允许的1.0mg/L?为什

么？

fn（mg/L）

4.5-V

()\3武天）

素养探究全练

14.（2021广东深圳中考）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、（k

倍？

⑴若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍?

（填“存在”或“不存在”）.

⑵继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3,宽为2的矩形的2倍?同学们

有以下思路：

①设新矩形的长和宽分别为』、,，,则依题意得.壮产10,盯=12,联立10'得f-l（k+12=0,

再探究根的情况.根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的小

②如图，也可用反比例函数与一次函数证明：已知小广-x+lO,/2：尸苫，那么，

a.是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍?（填“存在”或"不存在”）；

b.请探究是否有一新矩形的周长和面积为原矩形的?若不存在，用图象表达；

c.请直接写出当结论成立时攵的取值范围：____________.

尸T+](]

第六章反比例函数

3反比例函数的应用

答案全解全析

基础过关全练

1.B•・•气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积“段位：n?)的反比例函数：〃=£(〃?为常

数)，根据实际意义可知V,/，都大于零，，选项B中的函数图象能够反映两个变量〃和V的

函数关系.故选B.

2.A选项A,设反比例函数的解析式为

把(1100,0.2)代入得入1100x0.2=220,则上竽，故此选项符合题意；

选项B,当R==100时，/=第=2.2,故此选项不合题意；

选项C,当R>1100时•，/<0.2,故此选项不合题意；

选项D,当电阻R越大时，该台灯的电流/越小，故此选项不合题意.

故选A.

3.0.05

解析设反比例函数的解析式为

将(8,30)代入，得30=J,解得上240,・•・〃二手，

8S

当p=4800时，4800二等，解得S=().()5,

所以当压强〃(Pa)是4800Pa时，木板面积为0.05m2,故答案为0.05.

4.解析(1)设y与x之间的关系式为尸?

..•函数图象过点(10,6),/.m=xy=10x6=60.

当10Sv<30时，y与x之间的关系式为产学

⑵在尸吊中，令尸5,解得尸12；

在产卷46中，令产5,解得广41*

故当12mq时，电阻不超过5kC.

5.A・・•反比例函数产彳的图象位于第二、四象限，一次函数)=2丫的图象过第一、三象限，

・••两图象没有交点.故选A.

6.A观察函数图象可知，当-W0或x>2时，一次函数yi为计〃的图象在反比例函数”咛的

图象的下方，，不等式hx+反”的解集为・14

X

<0或x>2,故选A.

7.解析⑴(2,3).

⑵将A点坐标代入产£中，得34，・・・依6,・,•双曲线的解析式为y=p

⑶•・•直尺的宽度为2cm,Af3D=2cm,

/.OD=OB+BD=4cm,

・••点。的横坐标为4.

由图象可知，关于x的不等式加叶人匕①的解集是()4<2或心>4.

X

8.解析(1)・・•点A(5,1)在反比例函数的图象上，，"5x1=5,・••反比例函数的表达式为

)，=3・・,点6(-2,〃。在反比例函数的图象上，・・・-2/〃=5,・・・/〃=1,・・・6(-2,一，，把点A,3的

(Sa+b=1,\a=1Q

坐标代入)=办+。得［_2Q+b=_三解得3•••一次函数的表达式为y=

⑵设直线AB与x轴的交点为C,令尸0,则打一:二0,解得43,・・・C(3,0),J

SAAOB=S^Aoc+SaBOC-Zx3xl+lx3x|=|+^=^.

能力提升全练

9.D解法一：设点8的坐标为,/5ABCD=5,且・《乂??2乂^^=5,解得〃=ll,

故选D.

解法二：连接30,因为BZ)_Ly轴，所以轴，

所以BOD=SABCD=3\k\=刎11=5,解得a-\I或。=-9,

因为〃>1,所以。=11.故选D.

10.C由题意知町，=该校成绩优秀人数.

过甲点、丙点作X轴的垂线，交反比例函数图象于点A、点已因为点A、点8和乙点、丁点

在反比例函数图象上，所以加下中时尸乙、丁学校优秀人数.观察图象可知X”甲〈必用，x丙y

丙>初)⑶所以丙学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多，故选C.

11.解析(1)1,点A(加,6),B(3,〃)在反比例函数冶的图象上，6号=〃，

・•・"k1,n=2，即A(1,6),B(3,2).•・•点A(1,6),8(3,2)在一次函数y=kx+b的图象上，.二仁二，：上

—uK十u9

解得9Z「，.•.一次函数的解析式为产2叶&

I。=O,

⑵根据图象可知，使乙+。<：成立的x(x>0)的取值范围是0<x<\或A>3.

⑶分别过点A、B作AE_Lx轴，BClxtt，垂足分别是E、C点.设直线AB交x轴于。点.在

y=2x+8中,令)=0,则・2x+8=0,解得户4,・,•令(4,0).VA(l,6),8(3,2),：.AE=6,BC=2,

SAAOB=ShAOD-SHHOI>=-x4x6--x4x2=8.

22

12.解析(1)・・•一次函数产如什匕的图象与反比例函数)，4的图象相交于A(-2,3),

.*.A：2=-2X3=-6,3=-2%+b①，，反比例函数的解析式为)：二£

X

•・•点B的横坐标为6,・,•点8(6,-1),・・・-l=6k+b②，

①•②得4=8%,解得Zi=-j

将ki=-?弋入①得1+6=3,I.42,

・•・一次函数的解析式为尸$+2.

⑵由图象可得当Z-2或0vx6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即丝>0.

X

⑶设一次函数的图象与｝，轴交于点C,

在产-1+2中，当D时，)=2,C(0,2).

:&AOB=ShAco+ShBCO=；x2x2+=x2x6=8,SAAOC=^2X2=2.

222

分两种情况：

①如图1.当夕在线段AA卜时.

1118

•SAAOP="SABOP，••SAAOP="S△AOB=7X8=">

45ss

/.SAPOC=2-1=I，.*.1x2x|xp|=|,

・'.XP=V(舍正)，・,•点P的坐标为(—[,£)；

②如图2,当点P在线段BA的延长线上时,

1118

S△AOP=-S△BOP，.'.SAAOP=-S△AOB=-X8=-,

4333

，SApoc=2+g=?,|x2x|xp|=-^,，xp=-?（舍正），

・••点p的坐标为

综上所述，点p的坐标为（―I,装）或（—g,孩）.

13.解析（1）设线段AC的函数表达式为丫=10<+>二

（JK।D一

・•・仁二if,•当0G<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为y=-2.5x+12.

（2「・・3x4.5=5x2.7=6x2.25=9x1.5=13.5,「.y是x的反比例函数，

・••当x>3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为尸手.

⑶该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天内（含15天）不超过最高允许的1.0mg/L,理

由如下：当x=15时，产胃=