北京市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷（一）人教版（含答案）

北京市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.（3分）（2025秋•浑南区期中）下列各式中，属于最简二次杈式的是（）

A.V19B.C.V05D.V8

2.（3分）（2024秋•方城县期中）估计鱼（如+书）的值应在（）

A.6和7之间B.7和8之间C.8和9之间D.9和10之间

3.（3分）（2025秋•绍兴期中）加图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板力墙角

走到C墙角，电线管的长度至少要（）

4.（3分）（2025春♦陵城区期末）若式子有意义，则实数x的取值范闱是（）

A.xW-1B.x>-1C.Q-1D.Q0

5.（3分）甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片

中，算式的计算结果是有理数的有（）

乙—)

丙（1—）

A.3张B.2张C.1张D.0张

6.（3分）（2023•研口区模拟）将10根棒棒糖分给甲，乙，丙三个小朋友，要求三个小朋友都有棒棒糖,

且分得棒棒糖的根数互不相同，则不同的分法有（）

A.22种B.23种C.24种D.25种

7.（3分）（2024秋•桐柏县期末）如图，在平面直角坐标系xQv中，四边形"CO是菱形，ZABC=\20Q

点8的坐标为（0,-2）,则点力的坐标为（)

A.（-2VL0）B.（-3VL0）C.（-4,0）D.（一付0）

8.（3分）（2023•辉县市二模）下列计算正确的是（）

A.2a2+a=3a3B.（-3.x2）2=6.v4

C.V（-2）2=2D.（a-2）2=a2-4

9.（3分）（2024秋♦三水区期末）下列命题中是真命题的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.有一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形

C.对角线互相垂直日相等的四边形是矩形

D.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形

10.（3分）（2025春•集宁区校级期末）如图，等边三角形力8C的边长为6a〃，射线AG〃BC,点E从点、

A出发沿射线AG以\cm的速度运动，点”从点B出发沿射线BC以2cm!s的速度运动.当以力、C、E、

产为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（）

A.1s或2sB.2s或6sC.2s或4sD.2s或3s

11.（3分）（2022秋•渝北区期末）如图，第①个图形有1个点，第②个图形有6个点，第③个图形有

15个点，第④个图形有28个点，按此规律排列下去，则第⑧个图形的点的个数为（）

①②③④

A.72B.80C.120D.153

12.（3分）（2025春•岚山区期末）在正方形"CO中，”在力8上，E在4c的延长线上，AF=CE,连接

DF、DE、EF,瑁7交对角线8。于点MM为即的中点，连接下列结论：①△OEF为等腰直

角三角形：②NFDB=NFEC：③直线MC是8。的垂直平分线：④若8b=2,则MC=或：其中结

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

13.（3分）（2025秋•鹿城区校级期中）如图所示在数轴上有个4X4的格点正方形，平放在数轴上，单位

格点长度就是数轴的单位长度，力点表示的数为0.以力为圆心、43为半径画弧交数轴于点C,则。

点表示的数为___________________

14.（3分）（2024秋•永川区月考）现有6张正面分别标有数字-4,-3,-2,-1,0,1的不透明卡片,

他们除数字不同外，其余都相同.现将他们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记该卡片上的数字为

ny—3—1

a,则使得关于x的分式方程：工二w二7有整数解，且使关于歹的一元二次方程（q-I）/-6），-2=

0有实数根的概率为.

15.（3分）如图，四边形48C。中，对角线8。_1_力。,8。，8。,力。=11-》,8。=彳-5,则当x=时，

四边形48co是平行四边形.

16.（3分）（2023秋•成都期中）将字母C、”按如图所示拼图，第1图中有4个，，第2图中有6个〃,

第3图中有8个“，若按此规律拼图，则第2023图中字母〃的个数

HHHHHH

III।II

H—C—HH-C—C—HH—C—C—C—H

III

HI|

HHHHH

①

为____________③

17.（3分）定义：如图，点8,C把线段力。分割成48,BC,三段，若以48,BC,。为边的三角

形是一个直角三角形，则称点4,C是线段/I。的勾股分割点.已知点从。是线段力。的勾股分割点,

且//为直角边，若/0=24,40=18,则CO的长为.

IIII

ABCD

18.（3分）（2025秋•化州市期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著

作《周髀算经》中.勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由RIZX46C、Rt△力8尸组成的图

形，其中/月8。=//尸〃=90°,已知/C=13,8c=12,AP+BP=7,则尸的面积为.

19.（3分）有15个数排成一列，它们正好构成等差数列，其中第1个数、第3个数、第5个数、…、第

15个数（第奇数个数）的和为2024,那么其余数的和为.

20.（3分）（2025春•龙凤区校级期末）如图，在RtZXZBC中，ZACB=90°，点。、E分别在边8C、AB

上，CD=BD,CE=^AB.AD与CE交于点、F,如果48=6,那么b的长等于.

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（10分）（2023春•澄海区期末）计算：V9+|V3-2|-（1-2V3）.

22.（10分）（2025春•运河区校级月考）（1）若x=g+遮，y=V3-V5,求x2-孙+/的直；

（2）若a+b=-6,ah=7t求电+器的值.

23.（6分）（2023•呼和浩特）如图，四边形48CO是平行四边形，连接AC,4。交于点O,DE平分N4DB

交力。于点E,BF平分NCBD交4C于点F,连接DF.

（1）求证：Z1=Z2：

（2）若四边形［38是菱形且43=2,ZABC=\20°,求四边形3EZ）户的面积.

24.（7分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△/HC的三个顶点均在格点上，点M也在格点

上，按要求完成下列各题.

（1）△XBC的形状为三角形.

（2）利用无刻度的直尺作图：

①画出8c边上的高力。，并求力。的长；

②将线段平移至MM点5的对应点为M.

M

25.（5分）（2025•蜀山区校级三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的

方法探究下面二次根式的运算规律.下面是他的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律.

特例1：Jl+g==

特例2：衣［=坪=河=3』，

特例3；历=44,

特例4：J+>.

（2）观察、归纳，得出猜想.

如果〃为正整数，按此规律第〃个式子可以表示为：.

（3）应用运算规律：

①化简：J2024+xV4052=；

②若Ja+今=11g（a,b均为正整数），则a+b=.

26.（6分）（2024春•秀山县期末）如图，在平行四边形48CQ中，BE1AD,垂足为点DE=CD,点、

F为DE中点，点G为CD上的一点,连接CREG,BG,Z1=Z2.

（1）若DF=2,BE=3,求HE的长;

27.（8分）（2024秋•长寿区校级月考）如图，点4B,。三点在一直线上，在8。同侧作△8C。、/\BCE,

若BE,CE分别平分N/出。，/BCD,过点4作NC8O的平分线交CE于点立

（1）若4E〃CO,求证：BE=BC；

（2）已知NE=32°,求/。的度数；

（3）箔BE"8、BD=4,BF=3,求线段CO的长.

28.（8分）（2025春•中山区期末）（1）【教材呈现】

人教版八年级下册数学教材第63页”实验与探究”问题1如下：如图1,正方形48CO的对角线交于

点。，点。又是正方形4勺。。的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形/归1。。绕

点。怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的;.设O小交48于点，OCi

4

交BC于点F,求证：S四边形BEOP^.S正方形ABCD:

（2）【类比探究】

如图2,在正方形48CO中，点M为对角线8。上一一点，点E,b分别在边力〃和延长线上，

MF,若AB=6,DM=V2,求四边形ME8/7的面积；

（3）【拓展运用】

如图3,在菱形/BCD中，点E,尸分别在边8C,CQ上，NEAF=NB,S四边形.菱/ABCD

BE=2EC,求而的值.

图1图2图3

参考答案与试题解析

选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.（3分）（2025秋•浑南区期中i下列各式中，属于最简二次模式的是（）

A.V19B.C.V0?5D.V8

【考点】最简二次根式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】A

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件①被开方数

不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，

否则就不是.

【解答】解：力、回,符合最简二次根式的条件；故本选项符合题意；

仄JI=苧，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

C、底=电=冬被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

。、V8=2V2,被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了最简二次根式的定义.熟练掌握定义是关键.

2.（3分）（2024秋•方城县期中〕估计加（我+通）的值应在（）

A.6和7之间B.7和8之间C.8和9之间D.9和1（）之间

【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算.

【专题】二次根式：符号意识.

【答案】B

【分析】先计算出原式等于4+VTU,可得3vVIUv4,即可求解.

【解答】解：V2（V8+V5）=4+V10,

VV9<VTO<V16,gp3<VTO<4,

.\7<44-V10<B,

/.V2（V8+遍）的值应在7和S之间，

故选：B.

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的

关键.

3.（3分）（2025秋•绍兴期中）如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板小墙角

走到。墙角，电线管的长度至少要（)

D.14w

【考点】平面展开-最短路径问题；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识.

【答案】B

【分析】先连接4C，再根据勾股定理列式计算，即可作答.

【解答】解：连接XC，如图所示:

AB=6m,

则/C=7AB2+CB2=10(771),

・••电线管要从天花板/墙角走到C墙角，电线管的长度至少要10"

故选：B.

【点评】木题考查了勾股定理，平面展开一最短路径问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

4.（3分）（2025春•陵城区期末）若式子焉:有意义，则实数x的取值范围是（）

A.xW-1B.x>-1C.-1D.x20

【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.

【专题】分式；二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义却分母不为（），由此解答即可.

【解答】解：若式子-77有意义，则

Vx+1皿+100

解得x>-l,

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键.

5.（3分）甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片

中，算式的计算结果是有理数的有（）

甲后超

乙—>ls）

丙（1—VF）（i4~VF）

A.3张B.2张C.1张D.0张

【考点】有理数.

【专题】计算题；运算能力.

【答案】B

【分析】先求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可.

【解答】解：回+J=」45号局=5,5是有理数，故甲符合题意，

V2（V3—x^8）=V2x3—\/2x8=V6-4,逐一4不是有理数，故乙不符合题意，

（1-V2）（l+V2）=1-2=-1,-1是有理数，故丙符合题意，

综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有2张.

故选：B.

【点评】本题考查了有理数，熟练掌握运算法则是解题的关健.

6.（3分）（2023•研口区模拟）将10根棒棒糖分给甲，乙，丙三个小朋友，要求三个小朋友都有棒棒糖，

且分得棒棒糖的根数互不相同，则不同的分法有（）

A.22种B.23种C.24种D.25种

【考点】排列与组合问题.

【专题】数字问题；规律型；应用意识.

【答案】C

【分析】把1（）进行拆分，得到3个不同的正整数相加的情况即可求解.

【解答】解：10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=1+5+4=1+6+3=1+7+2=2+3+5=2+5+3,

•・•将10根棒棒糖分给甲，乙，丙三个小朋友，

8X3=24（种）.

故不同的分法有24种.

故选：C.

【点评】本题考查了排列与组合问题，关键是将10分解为10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=B5+4=1+6+3

=1+7+2=2+3+5=2+5+3.

7.（3分）（2024秋•桐柏县期末）如图，在平面直角坐标系xO>，+，四边形43。是菱形，ZJ5C=120°,

点8的坐标为（0，-2）,则点力的坐标为（）

A.（一2疽0）B.（-3vL0）C.（-4,0）D.（一底0）

【考点】菱形的性质；坐标与图形性质：等边三角形的判定与性质；含3（）度角的直角三角形：勾股定

理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】由菱形的性质和有角二角形的性质求比/840=30°,再由含30°角的直角二角形的件质得

48=208=4,然后由勾股定理求出。4的长，即可解决问题.

【解答】解：•・•四边形力是菱形，ZABC=120°,

AZABO=^ZABC=60°,ACLBD,

:・NAOB=90",

：・N840=90°-60°=30°,

:・AB=2OB,

•・•点6的坐标为（0,-2）,

：・OB=2,

：.AB=2OB=4,

：,OA=>/AB2-OB2=V42-22=2A/3,

，点4的坐标为（-2百，0）.

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知

识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键.

8.（3分）（2023•辉县市二模）下列计算正确的是（）

A.2a2+a=3a3B.（-3.x2）2=6x4

C.V（-2）2=2D.（a-2）2=a2-4

【考点】二次根式的性质与化简；合并同类项；察的乘方与积的乘方：完全平方公式.

【专题】实数；整式；二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据同类项的定义判断力选项；利用鼎的乘方与积的乘方判断4选项：根据二次根式的性质

判定C选项；根据完全平方公式判定。选项.

【解答】解：2a2与。不能合并同类项，故力不符合题意；

（-3x2）2=9d,故8不符合题意；

V（-2）2=V4=2,故C符合题怠：

（tz-2）2=a2-4tz+4,故。穴符合题意；

故选：C.

【点评】本题考杳合并同类项，基的乘方与枳的乘方，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握相应

的运算法则和性质是解题的关键.

9.（3分）（2024秋•三水区期末）下列命题中是真命题的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.有一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形

C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

D.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形

【考点】命题与定理：平行四边形的判定；菱形的判定：矩形的性质；中点四边形.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命

题，不符合题意；

8、有•个角为90°且•组邻边相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意：

C、对角线互相垂直且相等的四边形不一定矩形，故错误，是假命题，不符合题意：

。、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大.

10.（3分）（2025春•集宁区校级期末）如图，等边三角形力8c的边长为6a〃，射线AG〃BC,点、E从点、

4出发沿射线4G以的速度运动，点尸从点8出发沿射线8c以2c〃?/s的速度运动.当以4、C、E、

厂为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（）

A»EC

A.Is或2sB.2s或6sC.2s或4sD.2s或3s

【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质.

【专题】行程问题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形：运

算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】设运动时间为zs,由点歹运动的速度为2c〃”s,求得当点少与点。重合时1=3,由力G〃4C,

可知当以力、C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，则/1E=CF,再分两种情况讨论，一是当（）＜/

V3时，则/=6-2/,求得f=2；二是当f＞3时，则/=2/-6,求得f=6,于是得到问题的答案.

【解答】解：设运动时间为双

当点产与点C重合时，则2/=6,

解得/=3,

•・•射线NG〃8C,点£在线段4G上运动，点尸在射线8C上运动，

:.AEHCF,

当以力、C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，则力£=CE

•・•当0VJV3时,由/七=。（得/=6・2f,

解得/=2；

当，＞3时，由力E=C/得尸2/-6,

解得1=6,

・•・当以力、。、E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为2s或6s,

故选：B.

【点评】此题重点考杳一元一次方程的应用、平行四边形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方

法，正确地用代数式表示力E的长及C/的长是解题的关键.

11.（3分）（2022秋•渝北区期末）如图，第①个图形有1个点，第②个图形有6个点，第③个图形有

15个点，笫④个图形有28个点，按此规律排列下去，则第⑧个图形的点的个数为（）

①②③④

A.72B.80C.120D.153

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】规律型：数据分析观念.

【答案】C

【分析】根据图形的变化规律，可得第8个图形中的点数.

【解答】解：71X1=1；2X3=6,3X5=15,4X7=28.,

••・第⑧个图形的点的个数为8X（2X8-1）=120,

故选：C.

【点评】本题主要考查了图形变化类问题，解决问题的关键是依据图形的变化，得到第8个图形中的点

数.

12.（3分）（2025春•岚山区期末）在正方形力4C。中，尸在力8上,石在4c的延长线上，AF=CE,连接

DF、DE、EF,E产交对角线8。于点MM为七产的中点，连接MC,下列结论：①为等腰直

角三角形；②NFDB=NFEC；③直线MC是3。的垂直平分线；④若BF=2,则MC=遮：其中结

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质：等腰直角三角形.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形：几何直观：运算能力：推理能力.

【答案】D

【分析】①证明△4。产和△COE全等得。"=。七，NADF=NCDE,ZADF+ZFDE=ZADC

-90°得/FDE—90°,由此可对结论①进行判断；

②设N4Ob=NCQE=a,则/正08=45°-a,ZCPE=450+a,进而得/正。=90°-NCPE=45°

-a,由此可对结论②进行判析；

③连接DM,过点M作M〃_L8C于点”，根据点〃是E尸的中点得。M=BM=初,由此

得点M在线段BD的垂直平分线上，据此可对结论③进行判断；

④证明MH是XBFE的中位线得MH=\BF=1,再证明是等腰直角三角形得MH=CH=1,进

而由勾股定理得MC=>/L据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案.

【解答】解：①；四边形48CQ是正方形，

:,AD=CD=CB,NA=N4BC=NBCD=NADC=90°,N/1DB=45°,

:./A=NDCE=90",

在△，/)尸和△C/?E中，

AD=CD

Z.A=Z.DCE=90。，

AD=CE

:AADF学ACDE(S4S),

:.DF=DE,/ADF=/CDE,

VZADF+ZFDE=ZADC=W,

；・NCDE+NFDE=N4DC=90°,

即・"DE=90。,

・•・△。样矩等腰直角三角形，

故结论①正确；

②设N4Ob=NO)£=a,

JZFDB=ZADB-NADF=450-a,

•••△。后厂是等腰直角三角形，

；・NDFE=45°,

•••/CPE是△尸。石的外角，

:・/CPE=/DFE+/CDE=450+a,

在RtZXCPE中，/FEC=90°・/CPE=90°-(45°+a)=45°-a,

:・/FDB=/FEC=45°-a,

故结论②正确；

③连接8W,DM,过点M作.“"_L4C于点，，如图所示：

•••△。月产是等腰直角三角形，点历是跖的中点,

:,DM=

/.ZJ5C=90°，

，BM是Rt^FBE斜边卜.的中线，

工BM=AEF,

：.DM=BM,

・••点M在线段BD的垂直平分线上，

・•・直线CM是BD的垂直平分线：

故结论③正确；

④8C,BF=2,

:・/MHE=/ABC=90°,

:・MH〃AB,

•・•点M是叮的中点，

・•・"〃是44总的中位线，

:・MH=%BF=1,

•:CD=CB,直线CM是的垂直平分线，

：・NHCM=3/BCD=45。,

・••△//CM是等腰直角三角形，

:.MH=CH=1,

由勾股定理得：MC=y/MH24-CH2=V2,

故结论④正确，

综上所述：正确的结论是①②③④.

故选：D.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，线

段垂直平分线的性质，理解正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定

与性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键.

二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

13.（3分）（2025秋•鹿城区校级期中）如图所示在数轴上有个4X4的格点正方形，平放在数轴上，单位

格点长度就是数轴的单位长度，4点表示的数为0.以4为圆心、48为半径画弧交数轴于点C,则C

点表示的数为_内_.

-2-1012C

【考点】勾股定理；实数与数轴.

【专题】三角形；运算能力.

【答案】/To.

【分析】根据勾股定理求出4B,即可解答.

【解答】解：由图可知力8=v'12+32=g,

•・•以A为圆心、AB为半径画弧交数轴于点C,

：.AC=AB=V10,

・••点。表示的数为VT5.

故答案为：Vio.

【点评】本题考查勾股定理，利用勾股定理求出力8是解题关键.

14.（3分）（2024秋•永川区月考）现有6张正面分别标有数字-4,-3,-2,-1,0,1的不透明卡片,

他们除数字不同外，其余都相同.现将他们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记该卡片上的数字为

QY-33%—1

a,则使得关于工的分式方程=—有整数解，且使关于y的一元二次方程（a-1）/-6y-2=

x-22-x

0有实数根的概率为.

6

【考点】概率公式：一元二次方程的定义：根的判别式：分式方程的解.

【专题】概率及其应用；运算能力.

【答案】3

6

【分析】先解分式方程得％=系，且XX2,根据分式方程有整数解得到。=-7,-5,-4,-2,1,

符合题意的。=-4,・2,1,再由一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义得到。=-2,即

可求解概率.

ax-33x-1

【解答】解：--=--，

X—22-x

去分母得：ax-3=1-3x,

4

解得：X=—ry,且X#2,

।O

."3W2,

二•。力-1,

•・•有整数解,

:.。+3=-4»-2»-1,1,4»

：.a=~7>-5,~4,-2,1,

•・•有6张正面分别标有数字-4,-3,-2,-I,0,1的不透明卡片，

：.a=-4,-2,1,

•・•关于y的一元二次方程（a-1）f・6y・2=0有实数根，

.•.△=36十8（a-1）力0,aHl,

解得：心-3.5,。工1,

^•（1=•2,9

QX-33x-1

工使得关于X的分式方程-7=^—有整数解，且使关于N的一元二次方程（〃-1）炉-6y-2=0有

x-22-x

实数根的概率为［

6

故答案为：7-

6

【点评】本题考查了概率公式，解分式方程，一元二次方程论定义，一元二次方程根的判别式等知识点.

15.（3分）如图，四边形"CO中，对角线BD1BC,AD=\\-x,BC=x-5,则当x=8时，

四边形月88是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】8.

【分析】当月。一时，是平行四边形，从而可求出解.

【解答】解：・；BDUD,BD1BC,

:.AD//BC,

只要月。=8。，四边形48C。是平行四边形.

*：AD=BC,

11-x=x-5>

解得x=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

16.（3分）（2023秋•成都期中）将字母C、H按如图所示拼图，第1图中有4个，，第2图中有6个从

的个

数为

母

第3图中有8个H,若按此规律拼图，则第2023图中字〃

HH

HHHHI

—

CCH

-一

H——C——HH-C—C—HH—C—-——

HHH

HHH

①

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】规律型；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】2048个.

【分析】根据拼图得：第①个拼图中“H”的个数有4个.即4=2义2：第②个拼图中的个数有

6个，即6=2X3；第③个拼图中“〃”的个数有8个，即8=2X4：…，以此类推，第〃个拼图中

的个数有2（〃+1）个，据此可求出第2023图中字母〃的个数.

【解答】解：•・•第①个拼图中的个数有4个，即4=2X2：

第②个拼图中的个数有6个，即6=2X3；

第③个拼图中“〃”的个数有8个，即8=2X4；

…，以此类推，第/?个拼图中的个数有2（〃+1）个，

工第2023图中字母”的个数是：2X（2023+1）=4048（个）.

故答案为：2048个.

【点评】此题主要考查了图形类规律题，理解题意，通过观察、分析、归纳总结出规律，然后根据总结

出的规律来解决问题，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，

哪些部分没有发生变化.

17.（3分）定义：如图，点C把线段月。分割成月氏BC,CO三段，若以月3,BC,CO为边的三角

形是一个直角三角形，则称点8,C是线段力力的勾股分割点.已知点8,。是线段力。的勾股分割点,

旦为直角边，若力。=24,80=18,则。的K为8或若.

IIII

ABCD

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形：运算能力；推理能力.

【答案】8或10.

【分析】根据题意需分类讨论；①3c当为最长线段时，由勾股定理求出；②当为最长线段时，由勾

股定理求出即可.

【解答】解：VJD=24,40=18,

：.AB=AD-BD=24-18=6,

设CD=x,则BC=BD-CD=18-x,

以4B,BC,CQ为边的三角形是一个直角三角形，分类讨论如下：

①3c当为最长线段时，

由勾股定理得：AB2+CD2=BC2,

62+^=(18-x)2,

解得：x=8；

②当8为最长线段时，

由勾股定理得：AB2+BC2=CD2,

/.62+(18-x)2=x2,

解得：x=10；

故答案为：8或10.

【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键.

18.(3分)(2025秋•化州市期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著

作《周髀算经》中.勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由RtZ\48C、RtZV182组成的图

形，其中N/8C=N加为=90°,已知力。=13,8c=12,AP+BP=7,则△/8P的面积为6.

【考点】勾股定理:三角形的面积.

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】6

【分析】由勾股定理求出48=5,AP2+BP2=AB2=25,再垢合力尸+BP=7,求出4p・8P=12,然后由

三角形面积公式列式计算即可.

【解答】解：VZJ5C=90°,AC=\3,4c=12,

：.AB=V71C2-BC2=V132-122=5,

VZAPB=90°,

：,AP1\BP1=AB1=25>

♦：AP+BP=7,

：.4P?+B*24P*BP=49,

：・AP・BP=T2,

:・2ABP的面积=%P・BP=1x12=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查的是勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

19.（3分）有15个数排成一列，它们正好构成等差数列，其中第1个数、第3个数、第5个数、…、第

15个数（第奇数个数）的和为2024,那么其余数的和为1771.

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；整式；符号意识；运算能力.

【答案】1771.

【分析】根据等差数列特点设出这15个数：x,田力，x+24,…，x+144,再根据第1个数、第3个数、

第5个数、…、第15个数（第奇数个数）的和为2024,求出x+7d的值，再求出其余数字的和，利用

整体代入的方法即可解决问题.

【解答】解：因为15个数排成一列，它们正好构成等差数列，

所以可设这15个数为：x,x+d,x+2d,...»x+\4d,

因为第1个数、第3个数、第5个数、…、第15个数（第奇数个数）的和为2024,

所以x+x+2d+x+4d+...+x+14"=2024,

所以8.什56〃=2（）24,

所以x+7d=253,

所以其余数的和为x+d+x+3d+"5c/+...+x+13c/=7x+49d=7X（x+7d）=7X253=1771,

故答案为：1771.

【点评】本题考查数字变化类规律，整体思想在求代数式值中的运用，掌握等差数列的特点是解题的关

键.

20.（3分）（2025春•龙凤区校级期末）如图，在RtZ\/14。中，ZJCZ?=90°,点。、E分别在边4C、/也

上，CD=BD,CE=^AB.AD与CE交于点F,如果48=6,那么CE的长等于2.

CDB

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力.

【答案】2.

【分析】取48的中点G,连接OG,由直角三角形斜边中线的性质推出CG=S&判定G和E重合,

由三角形中位线定理推出DE〃力C,DE=判定△OE尸s△力。凡推出即：CF=DE；AC=\：2,

得到CF=|CE,求出CE=切?=3,即可得到CF的长.

【解答】解：取力8的中点G,连接。G,

VZJC5=90°,

：.CG=^AB,

•；CE=9B,

：.CE=CG,

・・・G和£重合，

•:CD=BD,E是48的中点,

:・DE是4ABC的中位线，

：.DE//AC,DE=|jC,

:.△DEFsgCF,

:・EF：CF=DE：AC=\t2,

：.CF=^CE,

VCE=|jZ/=1x6=3,

:,CF=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，关键是由三

角形中位线定理推出OE〃/TC，DE=%C,判定AOE尸/△/c凡推出月产：CF=DE：AC.

三,解答题（共8小题，满分60分）

21.(10分)(2023春•澄海区期末)计算：V9+|V3-2|-(1-273).

【考点】二次根式的加减法；实数的性质.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】4+V3.

【分析】先算开方，化简绝对值和括号，再合并计算.

【解答】解：原式=3+2-逐一1+2百

=4+V3.

【点评】4+V3.

22.(1()分)(2025春•运河区校级月考)(1)若X=逐+而，y=V3-V5,求¥-孙+/的，直;

(2)若a+b=-6,ab=7,求熊+业勺值.

【考点】二次根式的化简求值；分母有理化.

【专题】二次根式：运算能力.

【答案】(1)18；(2)一乎.

【分析】(1)根据完全平方公式对原式进行变形，再将数值代入求出结果：

(2)根据二次根式的运算法则对•原式进行变形，再将数值代入求出结果.

【解答】解：(1)•:x=瓜+瓜y=V3-V5,

Ax2-xy+y1的

一(.X-yy2+号

=(V3+\/5-V3+V5)2+(V3+\/5)x(V3-V5)

=20+3-5

=18；

(2)9：a+b=-6,"=7,

^a+h)/ah

=-ab-

_-6x77

=-7-

6/7

=~~'

【点评】本题考杳了二次根式的化简求传，解题的关键是根据运算法则来计算.

23.（6分）（2023•呼和浩特）如图，四边形488是平行四边形，连接4C,BD交于点O,DE平分NADB

交4c于点、E,BF平分/CBD交AC于点、F,连接8E,DF.

（1）求证：Z1=Z2：

（2）若四边形"CO是菱形且力8=2,ZABC=\2Q°,求四边形〃E。尸的面积.

【考点】菱形的性质；平行四边形的性质：等边三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等：矩形菱形正方形：运算能力；推理能力.

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）由平行四边形的性质，角平分线定义推出△OZ5E且△（方尸"S/1）,得到。E=4R判定四

边形。£3q是平行四边形，推出〃。兄得到N1=N2.

（2）由菱形的性质得到5O1EGOD=OB,推出四边形山方尸的菱形，由平行线的性质得到/a

=60°,判定△月8。是等边三角形，得到8。=18=2,ZADO=60a,求出0£=第。。=停，得到）

=2OE=苧，由菱形的面积公式即可求出四边形BEDF的面积.

【解答】（1）证明：•・•四边形/6CO是平行四边形，

:.AD//BC,OD=OB,

・•・NADO=NCBO,

•・・OE平分N/O8,8/平分NC8Q,

/.ZODE=^ZADO,NOBF=〃CBO,

・•・/ODE=/OBF,

:.DE//BF,

•：OD=OB,NDOE=NBOF,

:.MODE沿1XOBF（ASA）,